Pflichtaufgaben
1.1 Analysis
Gegeben sind die in 
definierten Funktionen 
und 
Zeige, dass sich die Graphen von 
und 
nur für 
und 
schneiden.
Die in definierte Funktion 
ist eine Stammfunktion von 
Berechne den Inhalt der Fläche, die die Graphen von und einschließen.
1.2 Analysis
Für eine Zahl 
sind die in definierten Funktionen und mit 
und 
gegeben.
Gib an, wie der Graph von aus dem Graphen von erzeugt werden kann.
Die Graphen von und schneiden sich senkrecht. Bestimme 
1.3 Analytische Geometrie
Gegeben sind die Gerade 
mit 
und die Ebene 
Begründe, dass senkrecht zu 
steht, und zeige, dass der Punkt 
in liegt.
Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf 
der zu den Abstand 
hat.
1.4 Stochastik
Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße 
mit den Parametern 
und 
Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit 
berechnet werden kann.
Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von 
Ermittle einen Näherungswert für 
wobei 
der Erwartungswert und 
die Standardabweichung von sind.
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?1.1 Analysis
![Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x)\\[5pt] 4 \mathrm e^{\frac{1}{2}x+1}&=&x^2\cdot \mathrm e^{\tfrac{1}{2}x+1}&\quad\scriptsize\mid : \mathrm e^{\tfrac{1}{2}x+1} \\[5pt] 4&=&x^2 &\quad\scriptsize\mid \sqrt{\; }\\[5pt] \pm2&=&x \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3b55376aadf909c7f21c62297830544e56c0ec11799b5ad7f6236f2aacf1bf22_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x)\\[5pt] 4 \mathrm e^{\frac{1}{2}x+1}&=&x^2\cdot \mathrm e^{\tfrac{1}{2}x+1}&\quad\scriptsize\mid : \mathrm e^{\tfrac{1}{2}x+1} \\[5pt] 4&=&x^2 &\quad\scriptsize\mid \sqrt{\; }\\[5pt] \pm2&=&x \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3b55376aadf909c7f21c62297830544e56c0ec11799b5ad7f6236f2aacf1bf22_dark.svg)
Damit schneiden sich die Graphen nur für 
und 
![Formula: \begin{array}{rcl} A&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=&\left[8\mathrm e^{\tfrac{1}{2}x+1}-\left(2x^2-8x+16\right) \mathrm e^{\tfrac{1}{2}x+1}\right]_{-2}^{2}\\[5pt]&=&\left(8 \mathrm e^{\tfrac{1}{2}\cdot2+1}-\left(2\cdot2^2-8\cdot2+16\right) \mathrm e^{\tfrac{1}{2}\cdot2+1}\right)-\left(8 \mathrm e^{\tfrac{1}{2}\cdot(-2)+1}-\left(2\cdot(-2)^2-8\cdot(-2)+16\right) \mathrm e^{\tfrac{1}{2}\cdot(-2)+1}\right)\\[5pt]&=&\left(8 \mathrm e^2-\left(8-16+16\right) \mathrm e^2\right)-\left(8 \mathrm e^0-\left(8+16+16\right)\mathrm e^0\right)\\[5pt]&=&\left(8 \mathrm e^2-8\mathrm e^2\right)-\left(8-40\right)\\[5pt]&=&0-(-32)\\[5pt]&=&32 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8846cd2bbbd98c78c1d4ac4ef1a9fc588a89a921c1ef4f984d7bf28a846433dc_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcl} A&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=&\left[8\mathrm e^{\tfrac{1}{2}x+1}-\left(2x^2-8x+16\right) \mathrm e^{\tfrac{1}{2}x+1}\right]_{-2}^{2}\\[5pt]&=&\left(8 \mathrm e^{\tfrac{1}{2}\cdot2+1}-\left(2\cdot2^2-8\cdot2+16\right) \mathrm e^{\tfrac{1}{2}\cdot2+1}\right)-\left(8 \mathrm e^{\tfrac{1}{2}\cdot(-2)+1}-\left(2\cdot(-2)^2-8\cdot(-2)+16\right) \mathrm e^{\tfrac{1}{2}\cdot(-2)+1}\right)\\[5pt]&=&\left(8 \mathrm e^2-\left(8-16+16\right) \mathrm e^2\right)-\left(8 \mathrm e^0-\left(8+16+16\right)\mathrm e^0\right)\\[5pt]&=&\left(8 \mathrm e^2-8\mathrm e^2\right)-\left(8-40\right)\\[5pt]&=&0-(-32)\\[5pt]&=&32 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8846cd2bbbd98c78c1d4ac4ef1a9fc588a89a921c1ef4f984d7bf28a846433dc_dark.svg)
Der Inhalt der Fläche, die die Graphen von und einschließen, beträgt 
1.2 Analysis
Der Graph von kann aus dem Graphen von durch Spiegelung an der 
-Achse erzeugt werden.
![Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x) \\[5pt] 2 \mathrm e^{k\cdot x}&=&2 \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \;: 2 \\[5pt] \mathrm e^{k \cdot x} &=& \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \; \ln \\[5pt] k \cdot x &=& -k \cdot x &\quad \scriptsize\mid \;+ kx \\[5pt] 2kx &=& 0 &\quad \scriptsize\mid \;:2k \\[5pt] x&=& 0\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/aa37bdcc57911295937458e6a966ae13667b182d1efabc1c93d1eb3d6686e831_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x) \\[5pt] 2 \mathrm e^{k\cdot x}&=&2 \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \;: 2 \\[5pt] \mathrm e^{k \cdot x} &=& \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \; \ln \\[5pt] k \cdot x &=& -k \cdot x &\quad \scriptsize\mid \;+ kx \\[5pt] 2kx &=& 0 &\quad \scriptsize\mid \;:2k \\[5pt] x&=& 0\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/aa37bdcc57911295937458e6a966ae13667b182d1efabc1c93d1eb3d6686e831_dark.svg)
Für die ersten Ableitungen von und gilt:
Einsetzen von 
liefert jeweils:
Da sich die Graphen senkrecht schneiden, muss 
gelten. Für 
folgt damit:
![Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0)&=&-1\\[5pt] 2k\cdot\left(-2k\right)&=&-1\\[5pt] -4k^2&=&-1&\quad\scriptsize\mid\;:(-4)\\[5pt] k^2&=&\dfrac{1}{4}&\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\dfrac{1}{2} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/016b2d4e2a658f9fb2b61094d6d65b3728ee1e1e5dc7ff97ab3e1e61046134e2_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0)&=&-1\\[5pt] 2k\cdot\left(-2k\right)&=&-1\\[5pt] -4k^2&=&-1&\quad\scriptsize\mid\;:(-4)\\[5pt] k^2&=&\dfrac{1}{4}&\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\dfrac{1}{2} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/016b2d4e2a658f9fb2b61094d6d65b3728ee1e1e5dc7ff97ab3e1e61046134e2_dark.svg)
1.3 Analytische Geometrie
Lage von 
begründen
Der Vektor 
ist sowohl Richtungsvektor von als auch Normalenvektor von 
somit steht senkrecht zu 
Lage von 
zeigen
Einsetzen der Koordinaten von 
in die Ebenengleichung von ergibt:
Somit liegt in
Der Ortsvektor von ergibt sich durch den Punkt 
der nach Teilaufgabe a in liegt. Für die Länge des Richtungsvektors von gilt:
Da der Richtungsvektor von orthogonal zu steht, liefert 
den Ortsvektor eines geeigneten Punktes:
Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit z.B. gegeben durch 
1.4 Stochastik
Es gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/fcadf1e7b865b643d4ec6641c58800d4e0748d499dde2767ad675dfe5061ad5d_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/fcadf1e7b865b643d4ec6641c58800d4e0748d499dde2767ad675dfe5061ad5d_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/81a8680219c5f57a615e5f850109fe55c317bc4239cd6c5c81ee2473cfcb9c50_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/81a8680219c5f57a615e5f850109fe55c317bc4239cd6c5c81ee2473cfcb9c50_dark.svg)
Damit ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/92ff2870c99177f4592403f63c59e8c573e5b9f2015295362f1e2649f34e7305_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/92ff2870c99177f4592403f63c59e8c573e5b9f2015295362f1e2649f34e7305_dark.svg)