Stochastik 4 – Treuepunkte

Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktesystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. Beim Bezahlen an der Kasse erhält man auf Wunsch pro $Formula: 5\,€$ $Formula: 5\,€$ Warenwert einen Treuepunkt zum Aufkleben. $Formula: 75\,\%$ $Formula: 75\,\%$ der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte.

Aus dem Kundenkreis werden Formula: 10 Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße Formula: A beschreibt die Anzahl der ausgewählten Personen, die Treuepunkte sammeln. Es soll davon ausgegangen werden, dass binomialverteilt ist.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als Formula: 8 der ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.

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Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße Formula: B mit den Parametern Formula: n=10 und Formula: p=0,25. Erläutere, wie man mithilfe von Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass genau Formula: 6 der Formula: 10 ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.

Balkendiagramm P(B=k) von k=0 bis 10, höchste Wahrscheinlichkeiten bei k=2 und k=3, danach zu beiden Seiten abnehmend.

Abb. 1

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Von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, sind $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ weiblich. Der Anteil der weiblichen Personen unter den Personen aus dem Kundenkreis, die keine Treuepunkte sammeln, wird mit Formula: a bezeichnet. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

Baumdiagramm: Zweig für T und T̄ zu W bzw. W̄, oben 80%, unten a.

Abb. 2

Angenommen, der Kundenkreis besteht aus Formula: 500.000 Personen. Entscheide unter dieser Annahme, ob die Anzahl der Personen, die weiblich sind und Treuepunkte sammeln, kleiner als Formula: 400.000 ist, und begründe deine Entscheidung

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Der Anteil der nicht weiblichen Personen aus dem Kundenkreis beträgt $Formula: 30\,\%.$ $Formula: 30\,\%.$ Berechne den Anteil Formula: a.

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Ein Jahr später stellt sich der Sachverhalt wie folgt dar:

Weiterhin sammeln $Formula: 75\,\%$ $Formula: 75\,\%$ der Personen aus dem Kundenkreis Treuepunkte.
Weiterhin sind von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ weiblich.
Der Wert von ist im Vergleich zum Vorjahr gestiegen.

Beurteile folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus dem Kundenkreis zufällig ausgewählte nicht weibliche Person Treuepunkte sammelt, ist größer als vor einem Jahr.

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Eine normalverteilte Zufallsgröße Formula: X hat den Erwartungswert Formula: 19 und die Standardabweichung Formula: 3. Für eine weitere Zufallsgröße Formula: C, die natürliche Zahlen als Werte annimmt, gilt

$Formula: P(C=0)=P(X \leq 0,5)$ $Formula: P(C=0)=P(X \leq 0,5)$ sowie
$Formula: P(C=k)=P(k-0,5 \leq X \leq k+0,5)$ $Formula: P(C=k)=P(k-0,5 \leq X \leq k+0,5)$ für $Formula: k \in \mathbb{N}$ $Formula: k \in \mathbb{N}$ und $Formula: k \geq 1.$ $Formula: k \geq 1.$

Berechne Formula: P(C=20).

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Betrachtet wird ein Einkauf mit einem Warenwert von $Formula: 95,00\,€$ $Formula: 95,00\,€$ bis $Formula: 99,99\,€.$ $Formula: 99,99\,€.$ Bei diesem Einkauf wird davon ausgegangen, dass die an der Kasse auf Wunsch ausgegebenen Treuepunkte in zufälliger Anzahl von einer Rolle abgerissen werden. Dabei beschreibt die Zufallsgröße Formula: C die Anzahl der ausgegebenen Treuepunkte.

Gemäß dem Modell ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem betrachteten Einkauf Formula: 1000 Treuepunkte ausgegeben werden, größer als Formula: 0.

Begründe, dass diese Tatsache kein Argument gegen die Verwendung des beschriebenen Modells ist.

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Das Management der Supermarktkette nimmt an, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ bei einem beliebigen Einkauf die Anzahl der tatsächlich ausgegebenen Treuepunkte von der dem Warenwert entsprechenden Anzahl an Treuepunkten um höchstens zwei abweicht. Beurteile, ob die Annahme des Managements bei dem betrachteten Einkauf zutrifft.

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$Formula: P_{0,75}^{10}(A<8) \approx 0,474 = 47,4\,\%$ $Formula: P_{0,75}^{10}(A<8) \approx 0,474 = 47,4\,\%$

Aufgrund der Parameter der Zufallsgrößen Formula: A und Formula: B gilt $Formula: P_{0,75}^{10}(A=6)=P_{0,25}^{10}(B=4).$ $Formula: P_{0,75}^{10}(A=6)=P_{0,25}^{10}(B=4).$ Somit gibt der Balken für Formula: k=4 aus der Abbildung 1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit an.

Es gilt $Formula: 0,75\cdot0,8\cdot500.000=300.000.$ $Formula: 0,75\cdot0,8\cdot500.000=300.000.$ Die Anzahl der Personen, die weiblich sind und Treuepunkte sammeln, ist somit kleiner als Formula: 400.000.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0,75 \cdot 0,2+0,25 \cdot(1-a)&=&0,3 &\quad\scriptsize\mid\;-0,4 \\[5pt] -0,25a&=&-0,1 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-4) \\[5pt] a&=&0,4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0,75 \cdot 0,2+0,25 \cdot(1-a)&=&0,3 &\quad\scriptsize\mid\;-0,4 \\[5pt] -0,25a&=&-0,1 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-4) \\[5pt] a&=&0,4 \end{array}$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_\overline{w}(T)&=&\dfrac{P\left(\overline{w}\cap T\right)}{P\left(\overline{w}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,75\cdot0,2}{0,75\cdot0,2+0,25\cdot(1-a)} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_\overline{w}(T)&=&\dfrac{P\left(\overline{w}\cap T\right)}{P\left(\overline{w}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,75\cdot0,2}{0,75\cdot0,2+0,25\cdot(1-a)} \end{array}$

Da für steigende Werte von Formula: a der Wert des Nenners kleiner wird und somit die Wahrscheinlichkeit größer, stimmt die Aussage aus der Aufgabenstellung.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(C=20)&=&P(20-0,5 \leq X \leq 20+0,5) \\[5pt] &=&P(19,5 \leq X \leq 20,5) \\[5pt] &\approx&0,125 \\[5pt] &=&12,5\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(C=20)&=&P(20-0,5 \leq X \leq 20+0,5) \\[5pt] &=&P(19,5 \leq X \leq 20,5) \\[5pt] &\approx&0,125 \\[5pt] &=&12,5\,\% \end{array}$

Aufgrund dessen, wie die Wahrscheinlichkeit von Formula: P(C=1000) mit der Zufallsgröße Formula: X verbunden ist, welche den Erwartungswert Formula: 19 und die Standardabweichung Formula: 3 besitzt, ist die Wahrscheinlichkeit für diesen unrealistischen Fall dem Modell nach verschwindend gering. Somit ist die Tatsache aus der Aufgabenstellung kein Argument gegen die Verwendung des Modells.

Es gilt $Formula: \tfrac{99,99}{5}\approx19,998.$ $Formula: \tfrac{99,99}{5}\approx19,998.$ Somit ist die entsprechende Anzahl der Treuepunkte Formula: 19. Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(17\leq C\leq21)&=&P(17-0,5 \leq X \leq 21+0,5) \\[5pt] &=&P(16,5 \leq X \leq 21,5) \\[5pt] &\approx&0,595 \\[5pt] &=&59,5\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(17\leq C\leq21)&=&P(17-0,5 \leq X \leq 21+0,5) \\[5pt] &=&P(16,5 \leq X \leq 21,5) \\[5pt] &\approx&0,595 \\[5pt] &=&59,5\,\% \end{array}$

Da diese Wahrscheinlichkeit größer als $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ ist, trifft die Annahme des Managements bei dem betrachteten Einkauf zu.

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