Wahlaufgaben

1.5 Analysis

Gegeben ist eine in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit der Wertemenge Formula: [−3; 2[.

Begründe, dass der Graph von Formula: f nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

1 BE

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h mit $Formula: h(x) = −2 \cdot f(x − 5) + 1.$ $Formula: h(x) = −2 \cdot f(x − 5) + 1.$

Gib die Wertemenge von Formula: h an und begründe die Angabe.

4 BE

1.6 Analysis

Gegeben sind die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=\frac{1}{2} x^3-2 a^2 x$ $Formula: f_a(x)=\frac{1}{2} x^3-2 a^2 x$ und $Formula: a \in \mathbb{R}.$ $Formula: a \in \mathbb{R}.$

Die Graphen von Formula: f_a sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Zeige, dass Formula: 2 a eine Nullstelle von Formula: f_a ist.

1 BE

Die Funktion Formula: g_a ist mit $Formula: g_a(x)=f_{a}(x)+2 a$ $Formula: g_a(x)=f_{a}(x)+2 a$ für Formula: 0<a<1 gegeben.

Die Graphen von Formula: g_a liegen für $Formula: -2a \leq x \leq 2 a$ $Formula: -2a \leq x \leq 2 a$ oberhalb der Formula: x -Achse.

Begründe ohne Rechnung, dass $Formula: \int_{-2 a}^{2 a} g_a(x)\;\mathrm d x=4 a \cdot 2 a$ $Formula: \int_{-2 a}^{2 a} g_a(x)\;\mathrm d x=4 a \cdot 2 a$ gilt.

4 BE

1.7 Analytische Geometrie

Betrachtet werden die Dreiecke Formula: AB_s C_t mit $Formula: A(0\mid0\mid 0), B_s(4 s\mid3s\mid0)$ $Formula: A(0\mid0\mid 0), B_s(4 s\mid3s\mid0)$ und $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ mit $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$ $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$

Begründe, dass jedes Dreieck Formula: AB_sC_t im Punkt rechtwinklig ist.

2 BE

Zu jedem Wert von Formula: s gibt es einen Wert von Formula: t, so dass das Dreieck Formula: A B_s C_t gleichschenklig ist. Zeige, dass die zugehörigen Punkte $Formula: (s \mid t)$ $Formula: (s \mid t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Gerade liegen.

3 BE

1.8 Analytische Geometrie

Gegeben sind für $Formula: a \in\mathbb{R}$ $Formula: a \in\mathbb{R}$ die Geraden $Formula: g_a: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -2 a\end{array}\right)$ $Formula: g_a: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -2 a\end{array}\right)$ mit $Formula: t \in\mathbb{R}$ $Formula: t \in\mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl Formula: c die Ebene Formula: E: 2 y+z=c. Jede Gerade liegt in Formula: E.

Bestimme Formula: c.

1 BE

Beurteile die folgende Aussage, ohne Abstände zu berechnen:

Der Punkt $Formula: P(1\mid3\mid-1)$ $Formula: P(1\mid3\mid-1)$ hat zu jeder Gerade Formula: g_a den gleichen Abstand.

4 BE

1.9 Stochastik

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Auf drei der Kugeln steht die Zahl Formula: a, auf den beiden anderen Kugeln die Zahl Formula: b. Die Summe von und ist Formula: 17. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ berechnet werden kann.

1 BE

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden entnommenen Kugeln. Der Erwartungswert von ist Formula: 16. Bestimme Formula: a und Formula: b .

4 BE

1.10 Stochastik

Die Abbildung zeigt die Netze zweier Würfel Formula: A und Formula: B.

Kreuzförmige Anordnung weißer Quadrate mit grauen Zahlen 3 und 5

Würfel Formula: A

Würfelnetz aus sechs Quadraten, vier mit Zahl 4, zwei mit Zahl 1.

Würfel Formula: B

Bei einem Spiel wird pro Runde jeder der beiden Würfel einmal geworfen.

Es werden zwei Runden gespielt.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei beiden Runden mit Würfel Formula: A eine größere Zahl erzielt wird als mit Würfel Formula: B.

3 BE

Nun werden vier Runden gespielt. Für jede Runde wird die Summe der beiden erzielten Zahlen berechnet. Betrachtet wird das Ereignis „Alle vier Summen sind untereinander verschieden.“

Gib jeweils eine natürliche Zahl für Formula: v und Formula: w an, sodass mit dem Term

$Formula: v \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^w \cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ $Formula: v \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^w \cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$

die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnet werden kann.

2 BE

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1.5 Analysis

Eine Punktsymmetrie zum Ursprung würde voraussetzen, dass die Wertemenge symmetrisch zu Formula: 0 ist. Da Formula: -3 in der Wertemenge enthalten ist aber Formula: 3 nicht, kann der Graph von Formula: f nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

Wertemenge angeben

$Formula: W=\,]-3;7]$ $Formula: W=\,]-3;7]$

Angabe begründen

Der Graph von Formula: h kann aus dem Graphen von Formula: f schrittweise erzeugt werden. Dabei haben die Spiegelung an der Formula: x -Achse, die Streckung mit dem Faktor Formula: 2 in Formula: y -Richtung und die anschließende Verschiebung um Formula: 1 in positive -Richtung einen entsprechenden Einfluss auf die Wertemenge, die Verschiebung in -Richtung hat hingegen keinen Einfluss auf die Wertemenge.

1.6 Analysis

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(2a)&=&\dfrac{1}{2} \cdot(2a)^3-2 a^2 \cdot(2a) \\[5pt] &=&4a^3-4a^3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(2a)&=&\dfrac{1}{2} \cdot(2a)^3-2 a^2 \cdot(2a) \\[5pt] &=&4a^3-4a^3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Wegen der Punktsymmetrie des Graphen von Formula: f_a hat die Nullstellen Formula: -2a, 0 und Formula: 2a. Durch die Verschiebung des Graphen von um in Formula: y -Richtung gilt somit:

Formula: g_a(2 a)=g_a(-2 a)=g_a(0)=2 a

Die Fläche die Formula: f_a zwischen Formula: -2a und Formula: 2a mit der Formula: x -Achse einschließt, besteht wegen der Punktsymmetrie aus zwei gleichgroßen Teilstücken. Die Verschiebung des punktsymmetrischen Graphen von um in Formula: y -Richtung ergibt somit, dass die jeweils eingeschlossene Fläche zwischen dem Graphen von Formula: g_a und der Geraden Formula: y=2 a über den beiden Intervallen Formula: [0 ; 2 a] und Formula: [-2 a ; 0] gleich groß ist. Der Wert des Integrals, der durch die eingeschlossene Fläche von mit der Formula: x -Achse gegeben ist, entspricht damit dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Grundseite Formula: 4a und der Höhe Formula: 2a, somit gilt:

$Formula: \displaystyle\int_{-2 a}^{2 a} g_a(x) \;\mathrm{d} x=4 a \cdot 2 a$ $Formula: \displaystyle\int_{-2 a}^{2 a} g_a(x) \;\mathrm{d} x=4 a \cdot 2 a$

1.7 Analytische Geometrie

Die Seite $Formula: \overline{AB_s}$ $Formula: \overline{AB_s}$ liegt in der Formula: xy -Ebene und die Seite $Formula: \overline{AC_t}$ $Formula: \overline{AC_t}$ liegt auf der Formula: z -Achse.

Es kann aus der Abbildung abgelesen werden, dass die Gerade die Gleichung Formula: t=5s hat. Für die folgenden Werte ist das Dreieck gleichschenklig:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$

Somit liegen die Punkte auf der dargestellten Geraden.

1.8 Analytische Geometrie

Einsetzen der Koordinaten des Ortsvektors in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2\cdot(-1)+(-3)&=&c \\[5pt] -5&=&c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2\cdot(-1)+(-3)&=&c \\[5pt] -5&=&c \end{array}$

Wenn jede Gerade Formula: g_a den Fußpunkt des Lots von Formula: P auf Formula: E enthält, dann hat zu jeder Gerade den gleichen Abstand. Da der Ortsvektor von nicht von Formula: a abhängig ist, ist $Formula: Q(1\mid-1\mid-3)$ $Formula: Q(1\mid-1\mid-3)$ ein gemeinsamer Punkt aller Geraden. Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{PQ}&=&\pmatrix{1\\-1\\-3}-\pmatrix{1\\3\\-1} \\[5pt]&=&\pmatrix{0\\-4\\-2} \\[5pt]&=&-2\cdot\pmatrix{0\\2\\1}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{PQ}&=&\pmatrix{1\\-1\\-3}-\pmatrix{1\\3\\-1} \\[5pt]&=&\pmatrix{0\\-4\\-2} \\[5pt]&=&-2\cdot\pmatrix{0\\2\\1}\end{array}$

Da $Formula: \overrightarrow{PQ}$ $Formula: \overrightarrow{PQ}$ somit kollinear zum Normalenvektor von Formula: E ist, ist Formula: Q der Lotfußpunkt und deshalb ist die Aussage wahr.

1.9 Stochastik

Es wird höchstens eine Kugel mit der Zahl Formula: b entnommen.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: b=17-6=11.

1.10 Stochastik

Würfel Formula: A erzielt immer eine größere Zahl als der Würfel Formula: B, wenn dieser eine Formula: 1 erzielt. Wenn der Würfel allerdings eine Formula: 4 erzielt, dann benötigt der Würfel eine Formula: 5, um eine größere Zahl zu erzielen. Für den ersten Wurf ergibt sich somit für die Wahrscheinlichkeit, dass Würfel Formula: A eine größere Zahl erzielt als Würfel Formula: B:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{2}{6}\cdot1+\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{6}&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{2}{6}\cdot1+\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{6}&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit als $Formula: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.$ $Formula: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&24 \\[5pt] w&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&24 \\[5pt] w&=&4 \end{array}$

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