Analysis 2.1 – Weltbevölkerung

Gegeben ist für jede reelle Zahl Formula: a mit $Formula: a \neq 0$ $Formula: a \neq 0$ die Funktion Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=x \cdot \mathrm e^{-a x^2} ; x \in \mathbb{R}.$ $Formula: f_a(x)=x \cdot \mathrm e^{-a x^2} ; x \in \mathbb{R}.$

Der Graph von Formula: f_a wird mit Formula: G_a bezeichnet. Weiterhin ist die Gerade Formula: h mit der Gleichung Formula: y=x gegeben.

Weise nach, dass die beiden folgenden Aussagen wahr sind:

$Formula: \text{I}\;$ $Formula: \text{I}\;$	verläuft punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
$Formula: \text{II}\;$ $Formula: \text{II}\;$	Die Gerade ist für jedes die Tangente an im Punkt $Formula: (0 \mid 0).$ $Formula: (0 \mid 0).$

3 BE

Bestimme die Anzahl der Punkte mit waagerechter Tangente an Formula: G_a in Abhängigkeit von Formula: a. Gib die Formula: x -Koordinaten dieser Punkte in Abhängigkeit von an.

(zur Kontrolle: eine -Koordinate hat den Wert $Formula: \tfrac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{a}}$ $Formula: \tfrac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{a}}$ )

3 BE

Begründe unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und des Verhaltens von Formula: f_a für $Formula: x \rightarrow+\infty,$ $Formula: x \rightarrow+\infty,$ dass $Formula: f_a\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{a}}\right)$ $Formula: f_a\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{a}}\right)$ für jedes Formula: a mit Formula: a>0 der größte Funktionswert von ist. Gib die Wertemenge von für in Abhängigkeit von an.

4 BE

Betrachtet wird im Folgenden die Funktion $Formula: f_{0,02}.$ $Formula: f_{0,02}.$

Für jeden beliebigen Wert von Formula: u mit Formula: u>0 ist der Punkt $Formula: P\left(u \mid f_{0,02}(u)\right)$ $Formula: P\left(u \mid f_{0,02}(u)\right)$ gegeben.

Der Punkt Formula: P wird an der Geraden Formula: h aus Aufgabe Formula: a gespiegelt. Prüfe, ob es einen Wert für Formula: u gibt, so dass der gespiegelte Punkt auf $Formula: G_{-0,02}$ $Formula: G_{-0,02}$ liegt.

3 BE

Die Punkte $Formula: (0 \mid 0),(u \mid 0)$ $Formula: (0 \mid 0),(u \mid 0)$ und Formula: P sind für jedes Formula: u die Eckpunkte eines Dreiecks. Es gibt einen Wert für Formula: u, für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal ist. Ermittle diesen Wert.

(zur Kontrolle: $Formula: u=5 \sqrt{2}$ $Formula: u=5 \sqrt{2}$ )

3 BE

Der Graph $Formula: G_{0,02},$ $Formula: G_{0,02},$ die Formula: x -Achse und die senkrechte Gerade Formula: x=r mit $Formula: r \in \mathbb{R}^{+}$ $Formula: r \in \mathbb{R}^{+}$ schließen im ersten Quadranten eine Fläche Formula: A in Abhängigkeit von ein.

Berechne den prozentualen Anteil der Fläche des Dreiecks mit maximalem Flächeninhalt aus Aufgabe e vom Inhalt der Fläche Formula: A für $Formula: r \rightarrow+\infty.$ $Formula: r \rightarrow+\infty.$

3 BE

Begründe unter Verwendung der zweiten Aussage aus Aufgabe a, dass alle Graphen der Stammfunktionen von $Formula: f_{0,02}$ $Formula: f_{0,02}$ einen Tiefpunkt auf der Formula: y -Achse besitzen.

3 BE

In der Abbildung sind drei Modelle für die Entwicklung der Weltbevölkerungszahl dargestellt. Dabei ist Formula: x die seit dem Jahr 2023 vergangene Zeit in Jahren. Der Zeit in Jahren wird die Weltbevölkerungszahl in Mrd. zugeordnet. Es wird davon ausgegangen, dass im Jahr 2023 etwa Formula: 8 Mrd. Menschen auf der Erde lebten.

Nach Modell Formula: A wird sich die Weltbevölkerung bis zum Jahr 2075 gleichmäßig auf Formula: 13 Mrd. Menschen erhöhen.

Liniendiagramm der Weltbevölkerung (Mrd.) mit drei Prognosen: Modell A stark steigend, Modell B moderat, Modell C leicht fallend, Jahre seit 2023.

Für einen Wert von Formula: k kann die Entwicklung der Weltbevölkerungszahl in Milliarden nach Modell Formula: B bis zum Jahr 2075 näherungsweise durch die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion mit $Formula: b(x)=11-3 \cdot \mathrm e^{k x}$ $Formula: b(x)=11-3 \cdot \mathrm e^{k x}$ beschrieben werden. Ermittle Formula: k , wenn sich die Weltbevölkerungszahl zum Zeitpunkt Formula: x=0 um Formula: 0,1 Mrd. Menschen pro Jahr erhöht. Untersuche, wie sich die Weltbevölkerungszahl nach Modell auf lange Sicht entwickelt.

(zur Kontrolle: $Formula: k=-\tfrac{1}{30}$ $Formula: k=-\tfrac{1}{30}$ )

3 BE

Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion Formula: g im Intervall Formula: [v ; w] kann mithilfe des Werts des Integrals $Formula: \dfrac{1}{w-v} \cdot \displaystyle\int_v^w g(x) \;\mathrm d x$ $Formula: \dfrac{1}{w-v} \cdot \displaystyle\int_v^w g(x) \;\mathrm d x$ bestimmt werden.

Der Term $Formula: \frac{1}{52} \cdot \int_0^{52}\left(11-3 \mathrm{e}^{-\frac{1}{30} x}\right)\;\mathrm dx-8$ $Formula: \frac{1}{52} \cdot \int_0^{52}\left(11-3 \mathrm{e}^{-\frac{1}{30} x}\right)\;\mathrm dx-8$ liefert näherungsweise das Ergebnis Formula: 1,6.

Interpretiere den Term und das Ergebnis im Sachzusammenhang.

2 BE

Ermittle auf der Grundlage des Modells Formula: C die maximale Weltbevölkerungszahl, wenn gilt:

Die Weltbevölkerungszahl im Modell wird durch eine Parabel modelliert.
Das durchschnittliche Wachstum der Weltbevölkerungszahl ist im Zeitraum von 2031 bis 2075 null.
Zum Zeitpunkt des Maximums der Weltbevölkerungszahl nach Modell gilt: Die Differenz der Weltbevölkerungszahlen zwischen Modell und Modell ist gleich der Differenz der Weltbevölkerungszahlen zwischen Modell und

4 BE

30 BE

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$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(-x)&=&-x \cdot \mathrm e^{-a\cdot(-x)^2} \\[5pt] &=&-x \cdot \mathrm e^{-ax^2} \\[5pt] &=&-f_a(x) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(-x)&=&-x \cdot \mathrm e^{-a\cdot(-x)^2} \\[5pt] &=&-x \cdot \mathrm e^{-ax^2} \\[5pt] &=&-f_a(x) \end{array}$

Somit stimmt Aussage $Formula: \text{I}.$ $Formula: \text{I}.$ Zudem gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(0)&=&0 \cdot \mathrm e^{-a\cdot0^2} \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(0)&=&0 \cdot \mathrm e^{-a\cdot0^2} \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Mit dem MMS folgt für die erste Ableitung von Formula: f_a:

$Formula: f_a^{\prime}(x)=\left(1-2 a x^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-a x^2}$ $Formula: f_a^{\prime}(x)=\left(1-2 a x^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-a x^2}$

Einsetzen von Formula: x=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'_a(0)&=&\left(1-2 a\cdot0^2\right) \cdot \mathrm e^{-a\cdot0^2} \\[5pt] &=&1\cdot 1 \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'_a(0)&=&\left(1-2 a\cdot0^2\right) \cdot \mathrm e^{-a\cdot0^2} \\[5pt] &=&1\cdot 1 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Da die Gerade Formula: h die gleichen Eigenschaften besitzt, ist die Tangente im Punkt mit den Koordinaten $Formula: (0\mid0)$ $Formula: (0\mid0)$ und somit stimmt auch Aussage $Formula: \text{II}.$ $Formula: \text{II}.$

Auflösen von Formula: f'_a(x)=0 nach Formula: x mit dem solve-Befehl des MMS liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&-\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}} \\[5pt] x_2&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&-\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}} \\[5pt] x_2&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}} \end{array}$

Damit folgt:

Für Formula: a>0 existieren zwei Punkte mit waagerechter Tangente an Formula: G_a.

Für Formula: a<0 existieren keine Punkte mit waagerechter Tangente an Formula: G_a.

Es gilt $Formula: \lim_{x \rightarrow+\infty}f_a(x)=0$ $Formula: \lim_{x \rightarrow+\infty}f_a(x)=0$ für $Formula: a\gt0.$ $Formula: a\gt0.$ Aus Teilaufgabe a ist bekannt, dass Formula: f_a im Koordinatenursprung eine positive Steigung besitzt. Damit ändert sich für irgendeinen positiven Wert von Formula: x die Steigung von von positiv zu negativ. Aufgabenteil b besagt, dass der einzige mögliche Wert dafür $Formula: x=\tfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}$ $Formula: x=\tfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}$ ist. Da in diesem Punkt somit die Steigung des Graphen von positiv zu negativ wechselt, handelt es sich um einen Hochpunkt. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung verläuft der Graph für negative -Werte vollständig unterhalb der -Achse, somit ist $Formula: f_a\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}\right)$ $Formula: f_a\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}\right)$ der größte Funktionswert. Für diesen gilt:

$Formula: f_a\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}\right)=\dfrac{\mathrm e^{-0,5} \cdot \sqrt{2}}{2 \sqrt{a}}$ $Formula: f_a\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}\right)=\dfrac{\mathrm e^{-0,5} \cdot \sqrt{2}}{2 \sqrt{a}}$

Aufgrund der Symmetrie ergibt sich somit die Wertemenge als $Formula: \left[-\tfrac{\mathrm e^{-0,5} \cdot \sqrt{2}}{2 \sqrt{a}} ; \tfrac{\mathrm e^{-0,5} \cdot \sqrt{2}}{2 \sqrt{a}}\right].$ $Formula: \left[-\tfrac{\mathrm e^{-0,5} \cdot \sqrt{2}}{2 \sqrt{a}} ; \tfrac{\mathrm e^{-0,5} \cdot \sqrt{2}}{2 \sqrt{a}}\right].$

Die Koordinaten des gespiegelten Punktes sind $Formula: \left(f_{0,02}(u) \mid u\right).$ $Formula: \left(f_{0,02}(u) \mid u\right).$ Einsetzen in $Formula: f_{-0,02}(x)$ $Formula: f_{-0,02}(x)$ liefert:

$Formula: x \cdot \mathrm{e}^{-a x^2}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_{-0,02}\left(f_{0,02}(u)\right)&=&u \\[5pt] u \cdot \mathrm{e}^{-0,02 u^2}\cdot\mathrm e^{0,02\cdot\left(u \cdot \mathrm{e}^{-0,02 u^2}\right)^2}&=&u \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_{-0,02}\left(f_{0,02}(u)\right)&=&u \\[5pt] u \cdot \mathrm{e}^{-0,02 u^2}\cdot\mathrm e^{0,02\cdot\left(u \cdot \mathrm{e}^{-0,02 u^2}\right)^2}&=&u \end{array}$

Auflösen nach Formula: u mit dem MMS liefert Formula: u=0. Für Formula: u>0 gibt es somit keinen Wert von Formula: u, der die gewünschte Eigenschaft erfüllt.

Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_D(u)&=&\dfrac{1}{2}\cdot u\cdot f_{0,02}(u) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} u^2 \cdot \mathrm e^{-0,02 u^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_D(u)&=&\dfrac{1}{2}\cdot u\cdot f_{0,02}(u) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} u^2 \cdot \mathrm e^{-0,02 u^2} \end{array}$

Für die Ableitung von Formula: A_D folgt mit dem MMS:

$Formula: A_D'(u)=-0,02u\cdot\left(u^2 - 50\right)\cdot\mathrm{e}^{-0,02u^{2}}$ $Formula: A_D'(u)=-0,02u\cdot\left(u^2 - 50\right)\cdot\mathrm{e}^{-0,02u^{2}}$

Auflösen der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: A_D'(u)=0 nach Formula: u mit dem solve-Befehl des MMS liefert:

$Formula: u=5\sqrt{2}$ $Formula: u=5\sqrt{2}$

Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks für $Formula: u=5\sqrt{2}$ $Formula: u=5\sqrt{2}$ maximal.

Für den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_D(5\sqrt{2})&=&\dfrac{1}{2} (5\sqrt{2})^2 \cdot \mathrm e^{-0,02\cdot(5\sqrt{2})^2} \\[5pt] &=&\dfrac{25}{\mathrm e} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_D(5\sqrt{2})&=&\dfrac{1}{2} (5\sqrt{2})^2 \cdot \mathrm e^{-0,02\cdot(5\sqrt{2})^2} \\[5pt] &=&\dfrac{25}{\mathrm e} \end{array}$

Für den Inhalt der Fläche Formula: A für $Formula: r\rightarrow+\infty$ $Formula: r\rightarrow+\infty$ ergibt sich mit dem MMS:

$Formula: \lim_{r \rightarrow+\infty}A_A=\lim_{r \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\int_0^r f_{0,02}(x) \;\mathrm d x\right)=25$ $Formula: \lim_{r \rightarrow+\infty}A_A=\lim_{r \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\int_0^r f_{0,02}(x) \;\mathrm d x\right)=25$

Für den gesuchten prozentualen Anteil folgt damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{A_D(5\sqrt{2})}{\displaystyle\lim_{r \rightarrow+\infty}A_A}&=&\dfrac{\tfrac{25}{\mathrm e}}{25} \\[5pt] &\approx&0,368 \\[5pt] &=&36,8\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{A_D(5\sqrt{2})}{\displaystyle\lim_{r \rightarrow+\infty}A_A}&=&\dfrac{\tfrac{25}{\mathrm e}}{25} \\[5pt] &\approx&0,368 \\[5pt] &=&36,8\,\% \end{array}$

Die Funktion $Formula: f_{0,02}$ $Formula: f_{0,02}$ gibt die Steigung der Stammfunktionen an. Da die Tangente Formula: h aus der Teilaufgabe a mit einer positiven Steigung durch den Koordinatenursprung verläuft, welcher auf dem Graphen von $Formula: f_{0,02}$ $Formula: f_{0,02}$ liegt, besitzen die Graphen aller Stammfunktionen einen Tiefpunkt bei Formula: x=0, d.h. auf der Formula: y -Achse.

Für die erste Ableitung von Formula: b folgt:

$Formula: b'(x)=-3 k \cdot \mathrm e^{k x}$ $Formula: b'(x)=-3 k \cdot \mathrm e^{k x}$

Auflösen von Formula: b'(0)=0,1 nach Formula: k mit dem solve-Befehl des MMS liefert:

$Formula: k=-\dfrac{1}{30}$ $Formula: k=-\dfrac{1}{30}$

Damit folgt, dass $Formula: \lim_{x \rightarrow+\infty}b(x)=11$ $Formula: \lim_{x \rightarrow+\infty}b(x)=11$ gilt und sich somit auf lange Sicht die Weltbevölkerungszahl Formula: 11 Mrd. Menschen annähert.

Die durchschnittliche Weltbevölkerungszahl im Zeitraum von 2023 bis 2075 liegt laut Modell Formula: B etwa Formula: 1,6 Mrd. über dem Wert von 2023.

Es gilt $Formula: \tfrac{2031+2075}{2}=2053,$ $Formula: \tfrac{2031+2075}{2}=2053,$ somit muss die Parabel symmetrisch zu Formula: x=30 verlaufen, wo sie ihren Hochpunkt besitzt. In Modell Formula: A steigt die Weltbevölkerung in Formula: 52 Jahren proportional um insgesamt Mrd. Menschen. Damit ergibt sich für den Wert in Milliarden im Jahr 2053:

$Formula: 8+30\cdot\dfrac{5}{52}\approx10,9$ $Formula: 8+30\cdot\dfrac{5}{52}\approx10,9$

Das Modell Formula: B liefert den folgenden Wert in Milliarden:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} b(30)&=&11-3\cdot\mathrm e^{-\tfrac{1}{30}\cdot30} \\[5pt] &\approx&9,9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} b(30)&=&11-3\cdot\mathrm e^{-\tfrac{1}{30}\cdot30} \\[5pt] &\approx&9,9 \end{array}$

Da die Differenz dieser beiden Werte genau Formula: 1 Mrd. beträgt, folgt mit der dritten Bedingung für die maximale Weltbevölkerungsanzahl ca. Formula: 8,9 Mrd. Menschen nach Modell Formula: C.

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