Analytische Geometrie 3 – Pyramide
Die Abbildung zeigt die Pyramide 
mit 
und 
Zeige, dass die Grundfläche 
ein Trapez ist, und berechne das Volumen der Pyramide.
Bestimme die Größe des Winkels, den die Kanten 
und 
einschließen.
Die Ebene 
mit der Gleichung 
schneidet die Kante 
im Punkt 
Berechne die Koordinaten von
(zur Kontrolle: 
)
Die Pyramide wird um die Gerade 
um einen Winkel der Größe 
gedreht. Dabei durchläuft die Spitze einen Kreis.
Begründe, dass dieser Kreis in der Ebene liegt und 
der Mittelpunkt des Kreises ist.
Der Kreis, den die Spitze der Pyramide beschreibt, hat den Radius 
Beurteile folgende Aussage:
Während des Drehvorgangs gibt es eine Position der Pyramide, bei der ihre Spitze die 
-Koordinate 
hat.
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\overrightarrow{AD} &=&\pmatrix{0-0\\3-(-3)\\0-0} \\[5pt]
&=&\pmatrix{0\\6\\0}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/961d0ee22cc2dce0349f1fd0951a3864ab84357853cf8513172556366962f0d5_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{AD} &=&\pmatrix{0-0\\3-(-3)\\0-0} \\[5pt]
&=&\pmatrix{0\\6\\0}
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![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{BC} &=&\pmatrix{4-4\\1-(-1)\\0-0} \\[5pt]
&=&\pmatrix{0\\2\\0}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e4874dd729d4090addc227f0b2e9921d2593b84c3cc37babbdafc54ed24e2d5a_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{BC} &=&\pmatrix{4-4\\1-(-1)\\0-0} \\[5pt]
&=&\pmatrix{0\\2\\0}
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Da 
gilt sind die beiden zugehörigen gegenüberliegenden Seiten der Grundflache parallel und es handelt es sich um ein Trapez. Für das Volumen der Pyramide ergibt sich damit:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
V &=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot\left(6+2\right)\cdot4\cdot4 \\[5pt]
&=&\dfrac{64}{3}\;[\text{VE}]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/96df2fdbab18d5b07c98b55312f7c1b96ec7802410644ae67dc9742aa6123a55_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
V &=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot\left(6+2\right)\cdot4\cdot4 \\[5pt]
&=&\dfrac{64}{3}\;[\text{VE}]
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![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\cos\alpha &=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{CD}\circ\overrightarrow{CS}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{CD}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{CS}\right\vert} \\[5pt]
\cos\alpha&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0-4\\3-1\\0-0}\circ\pmatrix{2-4\\0-1\\4-0}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0-4\\3-1\\0-0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{2-4\\0-1\\4-0}\right\vert} \\[5pt]
\cos\alpha&=&\dfrac{6}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{21}}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0f59d6cce03d0493d53fce01cd89a9349bcbfd614ad2e56f6ebe7671502f654f_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\cos\alpha &=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{CD}\circ\overrightarrow{CS}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{CD}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{CS}\right\vert} \\[5pt]
\cos\alpha&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0-4\\3-1\\0-0}\circ\pmatrix{2-4\\0-1\\4-0}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0-4\\3-1\\0-0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{2-4\\0-1\\4-0}\right\vert} \\[5pt]
\cos\alpha&=&\dfrac{6}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{21}}
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Mit dem solve-Befehl des MMS folgt 
Die Kante kann für 
durch die folgende Gerade beschrieben werden:
Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung von liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
-2\cdot4\mu+3-2\mu+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-7 \\[5pt]
-10\mu&=&-7 &\quad\scriptsize\mid\;:(-10) \\[5pt]
\mu&=&0,7
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/329dbb83ee67b4479cfd85a85a15e98d8109fdc3eb9ec6a8192af5e22db59fca_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
-2\cdot4\mu+3-2\mu+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-7 \\[5pt]
-10\mu&=&-7 &\quad\scriptsize\mid\;:(-10) \\[5pt]
\mu&=&0,7
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/329dbb83ee67b4479cfd85a85a15e98d8109fdc3eb9ec6a8192af5e22db59fca_dark.svg)
Da 
gilt, liegt der zugehörige Punkt tatsächlich auf der Kante und einsetzen in die Geradengleichung liefert:
Die Koordinaten von ergeben sich somit als 
Für den Normalenvektor 
aus der Ebenengleichung von gilt:
Damit steht die Gerade senkrecht zu der Ebene 
Da 
gilt, liegt die Spitze 
der Pyramide in Somit liegt der gesamte Kreis in und da der Mittelpunkt des Kreises damit der Schnittpunkt der Geraden mit ist, ist der Punkt der Mittelpunkt des Kreises.
Ein solcher Punkt hat die allgemeinen Koordinaten 
Da der gesamte Kreis in der Ebene liegt, liefert Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
-2\cdot x_{S'}+5,6+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-9,6 \\[5pt]
-2x_{S'}&=&-9,6 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt]
x_{S'}&=&4,8
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a780480d17eb64e486d1f27d33f08aff8db1c21dd29ee33b46357dc4b5adcc4a_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
-2\cdot x_{S'}+5,6+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-9,6 \\[5pt]
-2x_{S'}&=&-9,6 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt]
x_{S'}&=&4,8
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a780480d17eb64e486d1f27d33f08aff8db1c21dd29ee33b46357dc4b5adcc4a_dark.svg)
Damit folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\left\vert\overrightarrow{HS'}\right\vert &=&\left\vert\pmatrix{ 4,8-2,8\\5,6-1,6 \\z_{S'} }\right\vert \\[5pt]
&=&\sqrt{2^2+4^2+z_{S'}^2} \\[5pt]
&=&\sqrt{20+z_{S'}^2}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4d213e4e8082053aeabfe1c21c67439b748d21a3f8cdc96310778676fd72c509_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\left\vert\overrightarrow{HS'}\right\vert &=&\left\vert\pmatrix{ 4,8-2,8\\5,6-1,6 \\z_{S'} }\right\vert \\[5pt]
&=&\sqrt{2^2+4^2+z_{S'}^2} \\[5pt]
&=&\sqrt{20+z_{S'}^2}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4d213e4e8082053aeabfe1c21c67439b748d21a3f8cdc96310778676fd72c509_dark.svg)
Wegen 
und der Monotonie der Wurzelfunktion gilt 
und da der Mittelpunkt des Kreises ist, bedeutet das, dass die Aussage aus der Aufgabenstellung falsch ist.