B1 – Analysis

Die Abbildung im Material zeigt modellhaft den Querschnitt eines Flusses an einer bestimmten Stelle. Im Folgenden wird ausschließlich diese Stelle des Flusses betrachtet. Der Fluss verläuft dort in einer Senke, an die sich links bzw. rechts jeweils unmittelbar das west- bzw. östliche Ufer anschließt.

Die Profillinie der Senke wird für $Formula: 0 \leq x \leq 7$ $Formula: 0 \leq x \leq 7$ durch den Graphen der Funktion Formula: f mit $Formula: f(x) = -3x^2 \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2}+1$ $Formula: f(x) = -3x^2 \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2}+1$ beschrieben. Die Wasseroberfläche wird durch den Abschnitt der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse dargestellt, der zwischen den Schnittpunkten des Graphen der Funktion mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse liegt.

Die unmittelbar an die Senke angrenzenden Ufer können in guter Näherung durch an den Graphen von Formula: f sprungfrei anschließende Parallelen zur $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse dargestellt werden.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Koordinatensystem mit grüner Funktion f, Tiefpunkt unterhalb der x‑Achse, gestrichelte Horizontallinie (westliches/östliches Ufer).

1.1

Bestimme rechnerisch den Höhenunterschied zwischen beiden Ufern.

Gib unter Ergänzung des vorgegebenen Ansatzes die vollständige Definition einer geeigneten abschnittsweise definierten Funktion Formula: k zur Beschreibung der Senke inklusive der angrenzenden Ufer an.

$Formula: k(x)=\begin{cases}\ldots & \text{für } x<0\\ f(x) & \text{für } 0\le x\le 7\\ \ldots & \text{für } x>7\end{cases}$ $Formula: k(x)=\begin{cases}\ldots & \text{für } x<0\\ f(x) & \text{für } 0\le x\le 7\\ \ldots & \text{für } x>7\end{cases}$

(3 BE)

1.2

Bestimme die Nullstellen von Formula: k und gib diese auf Tausendstel gerundet an. Bestimme die Breite des Flusses.

Formula: [ zur Kontrolle: Die auf zwei Nachkommastellen gerundeten Nullstellen lauten $Formula: x_{\text{N}_1} = 0{,}38$ $Formula: x_{\text{N}_1} = 0{,}38$ und $Formula: x_{\text{N}_2} = 5{,}82.]$ $Formula: x_{\text{N}_2} = 5{,}82.]$

(3 BE)

1.3

Berechne unter Angabe der verwendeten zentralen Ableitungsregeln alle Extrempunkte der Funktion Formula: f. Dabei kann die Funktionsgleichung der zweiten Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime\prime}(x) = (−3x^2 + 12x − 6) \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2}$ $Formula: f^{\prime\prime}(x) = (−3x^2 + 12x − 6) \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2}$ ohne Nachweis verwendet werden.

Erläutere die Bedeutung der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate des Tiefpunkts im Sachzusammenhang.

(7 BE)

1.4

Das Gelände im Bereich der Senke und des westlichen Ufers ist felsig. Felsiges Gelände gilt nur bis zu einer Neigung von maximal $Formula: 80^{\circ}$ $Formula: 80^{\circ}$ als widerstandsfähig gegen starke Erosion.

Da die Senke im Bereich des westlichen Ufers sehr steil abfällt, wird befürchtet, dass es hier trotz des felsigen Geländes zu starker (Seiten-)Erosion kommen könnte.

1.4.1

Gib den Wert des Terms $Formula: \tfrac{f(2) − f(0)}{2 − 0}$ $Formula: \tfrac{f(2) − f(0)}{2 − 0}$ an und erläutere die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang.

(2 BE)

1.4.2

Bestimme mithilfe der notwendigen Bedingung und unter Verwendung des Graphen die Stelle, an der der Graph der Funktion Formula: f einen Rechts-Links-Wendepunkt besitzt, und erläutere die Bedeutung des Rechts-Links-Wendepunkts im Sachzusammenhang.

Ermittle den zugehörigen Neigungswinkel und beurteile, ob es im Bereich der Senke zu starker Erosion kommen könnte.

(5 BE)

2.1

Der Inhalt Formula: A_1 der Querschnittsfläche des Flusses entspricht dem Inhalt der vom Graphen der Funktion Formula: k und der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse eingeschlossenen Fläche.

Bestimme den Flächeninhalt Formula: A_1.

Gib dein Ergebnis auf ganze Quadratmeter gerundet an.

Formula: [ zur Kontrolle: Das auf eine Nachkommastelle gerundete Ergebnis lautet $Formula: A_1 = 12{,}9 \; \text{m}^2.]$ $Formula: A_1 = 12{,}9 \; \text{m}^2.]$

(3 BE)

2.2

Bestimme, um wie viele Quadratmeter der Inhalt der Querschnittsfläche des Flusses im Vergleich zum Flächeninhalt Formula: A_1 aus Aufgabe 2.1 größer wird, wenn infolge eines Starkregens der Wasserstand um $Formula: 50 \; \text{cm}$ $Formula: 50 \; \text{cm}$ steigt.

(4 BE)

2.3

Während einer Trockenphase reduziert sich die Querschnittsfläche des Flusses. In diesem Zusammenhang wird das folgende Gleichungssystem angegeben.

$Formula: \boxed{\begin{array}{ll}\mathrm{I} & f(a)=f(b)\quad\text{mit }a,b\in[0;7]\\[1.2ex]\mathrm{II} & \dfrac{\int_a^b\left(f(a)-f(x)\right)\,dx}{A_1}=30\%\end{array}}$ $Formula: \boxed{\begin{array}{ll}\mathrm{I} & f(a)=f(b)\quad\text{mit }a,b\in[0;7]\\[1.2ex]\mathrm{II} & \dfrac{\int_a^b\left(f(a)-f(x)\right)\,dx}{A_1}=30\%\end{array}}$

Formuliere im Sachzusammenhang eine zu diesem Gleichungssystem passende Aufgabenstellung.

(3 BE)

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1.1

Berechnung des Höhenunterschieds der beiden Ufer:

Da das westliche Ufer bei Formula: x=0 an die Senke anschließt, gilt:

$Formula: f(0) = -3 \cdot 0^2 \cdot \mathrm{e}^{-0+1{,}2}+1 = 1$ $Formula: f(0) = -3 \cdot 0^2 \cdot \mathrm{e}^{-0+1{,}2}+1 = 1$

Das westliche Ufer liegt also in einer Höhe von $Formula: 1 \; \text{m}.$ $Formula: 1 \; \text{m}.$

Da das östliche Ufer bei Formula: x=7 an die Senke anschließt, gilt:

$Formula: f(7) = -3 \cdot 7^2 \cdot \mathrm{e}^{-7+1{,}2} +1 = -147\mathrm{e}^{-5{,}8}+1 \approx 0{,}55$ $Formula: f(7) = -3 \cdot 7^2 \cdot \mathrm{e}^{-7+1{,}2} +1 = -147\mathrm{e}^{-5{,}8}+1 \approx 0{,}55$

Das östliche Ufer liegt also in einer Höhe von ungefähr $Formula: 0{,}55 \; \text{m}.$ $Formula: 0{,}55 \; \text{m}.$

Der Höhenunterschied beträgt also Formula: 1 - 0{,}55 = 0{,}45 Meter.

Angabe einer abschnittweise definierten Funktion:

$Formula: k(x)=\begin{cases} 1, & x<0 \\ -3x^2\mathrm{e}^{-x+1{,}2}+1, & 0\leq x\leq 7 \\ 0{,}55, & x>7 \end{cases}$ $Formula: k(x)=\begin{cases} 1, & x<0 \\ -3x^2\mathrm{e}^{-x+1{,}2}+1, & 0\leq x\leq 7 \\ 0{,}55, & x>7 \end{cases}$

1.2

Berechnung der Nullstellen von $Formula: \boldsymbol{k{:}}$ $Formula: \boldsymbol{k{:}}$

Da Formula: k(x)=1 für Formula: x < 0 und $Formula: k(x) \approx 0{,}55$ $Formula: k(x) \approx 0{,}55$ für Formula: x>7 gilt, können die Nullstellen von nur im Bereich $Formula: 0 \leq x \leq 7$ $Formula: 0 \leq x \leq 7$ liegen. In diesem Bereich gilt Formula: k(x) = f(x).

$Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\[5pt] -3x^2\mathrm{e}^{-x+1{,}2}+1 &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\[5pt] -3x^2\mathrm{e}^{-x+1{,}2}+1 &=& 0 \end{array}$

Der solve-Befehl des CAS liefert $Formula: x_{\text{N}_1} \approx 0{,}384$ $Formula: x_{\text{N}_1} \approx 0{,}384$ und $Formula: x_{\text{N}_2} \approx 5{,}822.$ $Formula: x_{\text{N}_2} \approx 5{,}822.$

Berechnung der Breite des Flusses:

Die Wasseroberfläche wird durch den Abschnitt der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse zwischen den beiden Nullstellen beschrieben. Daher entspricht die Breite des Flusses dem Abstand der beiden Nullstellen:

Formula: 5{,}822 - 0{,}384 = 5{,}438

Die Breite des Flusses beträgt daher ungefähr Formula: 5{,}438 Meter.

1.3

Berechnung der Extremstellen von $Formula: \boldsymbol{f{:}}$ $Formula: \boldsymbol{f{:}}$

Für Extremstellen von Formula: f gilt die notwendige Bedingung: $Formula: f^{\prime}(x) = 0$ $Formula: f^{\prime}(x) = 0$

Mit der Produkt- und Kettenregel ergibt sich für die erste Ableitung von Formula: f{:}

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(x) &=& (-6x) \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2} + 3x^2 \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2} \\[5pt] &=& (3x^2-6x) \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(x) &=& (-6x) \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2} + 3x^2 \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2} \\[5pt] &=& (3x^2-6x) \cdot \mathrm{e}^{-x+1{,}2} \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS liefert die notwendige Bedingung von Extremstellen $Formula: f^{\prime}(x) = 0{:}$ $Formula: f^{\prime}(x) = 0{:}$

$Formula: \begin{array}{rcll} x_1 &=&0 \\ x_2 &=& 2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} x_1 &=&0 \\ x_2 &=& 2 \end{array}$

Für Extremstellen von Formula: f gilt die hinreichende Bedingung: $Formula: f^{\prime}(x) = 0$ $Formula: f^{\prime}(x) = 0$ und $Formula: f^{\prime\prime}(x) \neq 0$ $Formula: f^{\prime\prime}(x) \neq 0$

Formula: x=0 Da

$Formula: f^{\prime\prime}(0) = (-3 \cdot 0^2+12 \cdot 0 -6) \cdot \mathrm{e}^{-0+1{,}2} = -6 \cdot \mathrm{e}^{1{,}2} < 0$ $Formula: f^{\prime\prime}(0) = (-3 \cdot 0^2+12 \cdot 0 -6) \cdot \mathrm{e}^{-0+1{,}2} = -6 \cdot \mathrm{e}^{1{,}2} < 0$

gilt, liegt bei Formula: x=0 ein Hochpunkt vor.

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime\prime}(2) &=& (-3 \cdot 2^2+12 \cdot 2 -6) \cdot \mathrm{e}^{-2+1{,}2} \\[5pt] &=& (-3 \cdot 4 + 24 - 6) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}8} \\[5pt] &=& (-12 + 24 - 6) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}8} \\[5pt] &=& 6 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}8} > 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime\prime}(2) &=& (-3 \cdot 2^2+12 \cdot 2 -6) \cdot \mathrm{e}^{-2+1{,}2} \\[5pt] &=& (-3 \cdot 4 + 24 - 6) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}8} \\[5pt] &=& (-12 + 24 - 6) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}8} \\[5pt] &=& 6 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}8} > 0 \end{array}$

gilt, liegt bei Formula: x=2 ein Tiefpunkt vor.

Berechnung der zugehörigen Funktionswerte:

$Formula: f(0) = -3 \cdot 0^2 \cdot \mathrm{e}^{-0+1{,}2} + 1 = 1$ $Formula: f(0) = -3 \cdot 0^2 \cdot \mathrm{e}^{-0+1{,}2} + 1 = 1$

$Formula: f(2) = -3 \cdot 2^2 \cdot \mathrm{e}^{-2+1{,}2} + 1 = -12 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}8} +1 \approx -4{,}39$ $Formula: f(2) = -3 \cdot 2^2 \cdot \mathrm{e}^{-2+1{,}2} + 1 = -12 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}8} +1 \approx -4{,}39$

Also hat die Funktion Formula: f einen Tiefpunkt bei $Formula: T(2 \mid -4{,}39)$ $Formula: T(2 \mid -4{,}39)$ und einen Hochpunkt bei $Formula: H(0 \mid 1).$ $Formula: H(0 \mid 1).$

Deutung der $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ Koordinate des Tiefpunkts im Sachzusammenhang:

Der Tiefpunkt beschreibt die tiefste Stelle der Senke. Da die Wasseroberfläche durch die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse dargestellt wird, gibt der Betrag der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate des Tiefpunkts die maximale Wassertiefe von ca. $Formula: 4{,}39 \; \text{m}$ $Formula: 4{,}39 \; \text{m}$ an.

1.4.1

Berechnung des Terms:

$Formula: \dfrac{f(2) - f(0)}{2-0} = \dfrac{-4{,}39 - 1}{2} = \dfrac{-5{,}39}{2} = -2{,}695 \approx -2{,}7$ $Formula: \dfrac{f(2) - f(0)}{2-0} = \dfrac{-4{,}39 - 1}{2} = \dfrac{-5{,}39}{2} = -2{,}695 \approx -2{,}7$

Deutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang:

Das durchschnittliche Gefälle der Senke vom Anschlusspunkt an das westliche Ufer bis zum tiefsten Punkt beträgt etwa Formula: 2{,}7 Meter pro Meter.

1.4.2

Berechnung der Wendestelle von $Formula: \boldsymbol{f{:}}$

Mit dem solve-Befehl des CAS liefert die notwendige Bedingung von Wendestellen $Formula: f^{\prime\prime}(x) = 0{:}$ $Formula: f^{\prime\prime}(x) = 0{:}$

$Formula: \begin{array}{rcll} x_1 &=& 2- \sqrt{2} \approx 0{,}59 \\[5pt] x_2 &=& 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}41 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} x_1 &=& 2- \sqrt{2} \approx 0{,}59 \\[5pt] x_2 &=& 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}41 \end{array}$

Anhand des Graphen lässt sich erkennen, dass der Rechts-Links-Wendepunkt bei $Formula: x_{1} \approx 0{,}59$ $Formula: x_{1} \approx 0{,}59$ liegt. Dort fällt die Senke am steilsten ab.

Berechnung der Steigung an der Wendestelle:

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0{,}59) &=& (3 \cdot 0{,}59^2 - 6 \cdot 0{,}59) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}59+1{,}2} \\[5pt] &=& (3 \cdot 0{,}3481 - 3{,}54) \cdot \mathrm{e}^{0{,}61} \\[5pt] &=& (1{,}0443 - 3{,}54) \cdot \mathrm{e}^{0{,}61} \\[5pt] &=& -2{,}4957 \cdot \mathrm{e}^{0{,}61} \\[5pt] &\approx& -4{,}59 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0{,}59) &=& (3 \cdot 0{,}59^2 - 6 \cdot 0{,}59) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}59+1{,}2} \\[5pt] &=& (3 \cdot 0{,}3481 - 3{,}54) \cdot \mathrm{e}^{0{,}61} \\[5pt] &=& (1{,}0443 - 3{,}54) \cdot \mathrm{e}^{0{,}61} \\[5pt] &=& -2{,}4957 \cdot \mathrm{e}^{0{,}61} \\[5pt] &\approx& -4{,}59 \end{array}$

Berechnung des zugehörigen Neigungswinkels:

$Formula: \left|\alpha \right| = \left| \tan^{-1}(-4{,}59) \right| \approx \left| -77{,}7^{\circ} \right| = 77{,}7^{\circ}$ $Formula: \left|\alpha \right| = \left| \tan^{-1}(-4{,}59) \right| \approx \left| -77{,}7^{\circ} \right| = 77{,}7^{\circ}$

Damit beträgt der Neigungswinkel etwa $Formula: 77{,}7^{\circ}$ $Formula: 77{,}7^{\circ}$ und ist damit kleiner als $Formula: 80^{\circ}.$ $Formula: 80^{\circ}.$ Daher wird es im Bereich der Senke nicht zu starker Erosion kommen.

2.1

Berechnung des Flächeninhalts $Formula: \boldsymbol{A_1{:}}$ $Formula: \boldsymbol{A_1{:}}$

Der Inhalt der Querschnittsfläche entspricht dem Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von Formula: k und der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse. Zwischen den Nullstellen liegt der Graph unterhalb der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse. Daher muss der Betrag des Integrals gebildet werden:

Mit dem CAS ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rcl} A_1&=&\left|\displaystyle\int_{0{,}38}^{5{,}82}k(x)\,dx\right|\\&=&\left|-12{,}94\right|\\[6pt]&=&12{,}94 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} A_1&=&\left|\displaystyle\int_{0{,}38}^{5{,}82}k(x)\,dx\right|\\&=&\left|-12{,}94\right|\\[6pt]&=&12{,}94 \end{array}$

Der Flächeninhalt beträgt also ungefähr $Formula: 12{,}94 \; \text{m}^2.$ $Formula: 12{,}94 \; \text{m}^2.$

2.2

Bestimmung der neuen Wasseroberfläche:

Wenn der Wasserstand um $Formula: 50 \; \text{cm}$ $Formula: 50 \; \text{cm}$ steigt, liegt die neue Wasseroberfläche bei Formula: y=0{,}5.

Die neuen Schnittpunkte erhält man aus Formula: k(x) = 0{,}5. Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich $Formula: x_1 \approx 0{,}254$ $Formula: x_1 \approx 0{,}254$ und $Formula: x_2 \approx 6{,}836.$ $Formula: x_2 \approx 6{,}836.$

Berechnung des neuen Flächeninhalts $Formula: \boldsymbol{A_2{:}}$ $Formula: \boldsymbol{A_2{:}}$

Das CAS liefert:

$Formula: \begin{array}{rcl} A_2&=&\displaystyle\int_{0{,}254}^{6{,}836}\left(0{,}5-k(x)\right)\,dx\\[6pt]&=&15{,}92 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} A_2&=&\displaystyle\int_{0{,}254}^{6{,}836}\left(0{,}5-k(x)\right)\,dx\\[6pt]&=&15{,}92 \end{array}$

Berechnung der Vergrößerung gegenüber $Formula: \boldsymbol{A_1{:}}$ $Formula: \boldsymbol{A_1{:}}$

$Formula: A_2 - A_1 = 15{,}92 - 12{,}94 = 2{,}98$ $Formula: A_2 - A_1 = 15{,}92 - 12{,}94 = 2{,}98$

Die Querschnittsfläche vergrößert sich um $Formula: 2{,}98 \; \text{m}^2.$ $Formula: 2{,}98 \; \text{m}^2.$

2.3

Deutung des Gleichungssystems im Sachzusammenhang:

Die Gleichung Formula: f(a) = f(b) bedeutet, dass die Punkte an den Stellen Formula: a und Formula: b auf gleicher Höhe liegen. Damit bilden sie die Endpunkte der neuen Wasseroberfläche.

Der Term $Formula: \textstyle\int_a^b (f(a)-f(x)) \, dx$ $Formula: \textstyle\int_a^b (f(a)-f(x)) \, dx$ beschreibt den Inhalt der neuen Querschnittsfläche des Flusses. Durch die Gleichung $Formula: \tfrac{\int_a^b (f(a)-f(x)) \, dx}{A_1}=30 \, \%$ $Formula: \tfrac{\int_a^b (f(a)-f(x)) \, dx}{A_1}=30 \, \%$ wird festgelegt, dass diese neue Querschnittsfläche nur noch $Formula: 30 \, \%$ $Formula: 30 \, \%$ der ursprünglichen Querschnittsfläche Formula: A_1 beträgt.

Passende Aufgabenstellung:

Bestimme die Stellen Formula: a und Formula: b , an denen die abgesunkene Wasseroberfläche während einer Trockenphase an die Ufer grenzt, wenn der Inhalt der Querschnittsfläche des Flusses nur noch $Formula: 30 \, \%$ $Formula: 30 \, \%$ des ursprünglichen Flächeninhalts Formula: A_1 beträgt.

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