B2 – Analysis

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f_a mit $Formula: f_a(x) = \tfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x − a)^2$ $Formula: f_a(x) = \tfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x − a)^2$ und $Formula: a \in \mathbb{R}^+.$ $Formula: a \in \mathbb{R}^+.$ Der Graph von wird mit Formula: G_a bezeichnet.

1.1

Begründe mithilfe des Funktionsterms von Formula: f_a, dass Formula: G_a die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse nur in den Punkten $Formula: A(0 \mid 0)$ $Formula: A(0 \mid 0)$ und $Formula: B(a \mid 0)$ $Formula: B(a \mid 0)$ schneidet.

Zeige, dass die Steigung von Formula: G_a im Punkt Formula: A dem $Formula: 60\text{-}$ $Formula: 60\text{-}$ fachen Wert von entspricht und dass die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse die Tangente an im Punkt Formula: B ist.

(4 BE)

1.2

Für jeden Wert von Formula: a schließt Formula: G_a mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse eine Fläche ein.

Bestimme den Wert von Formula: a, für den der Inhalt dieser Fläche Formula: 10 beträgt.

(3 BE)

1.3

Es gibt einen Wert von Formula: a, für den der Wendepunkt von Formula: G_a auf der Gerade mit der Gleichung Formula: y = x liegt. Bestimme diesen Wert von Formula: a.

(4 BE)

1.4

Der Graph der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: w_a(x) = \tfrac{11}{10} \cdot f_a\Bigl(\tfrac{11}{10} \cdot (12-x) \Bigr)$ $Formula: w_a(x) = \tfrac{11}{10} \cdot f_a\Bigl(\tfrac{11}{10} \cdot (12-x) \Bigr)$ kann schrittweise aus Formula: G_a erzeugt werden durch:

Streckung mit einem Faktor in $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung
Streckung mit einem Faktor in $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Richtung
Spiegelung an der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse
Verschiebung um in positive $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung

Betrachtet werden die auf Formula: G_a liegenden Punkte $Formula: A(0 \mid 0),$ $Formula: A(0 \mid 0),$ $Formula: B(a \mid 0)$ $Formula: B(a \mid 0)$ und $Formula: C\bigl(x_C \mid f_a (x_C)\bigr)$ $Formula: C\bigl(x_C \mid f_a (x_C)\bigr)$ mit Formula: 0 < x_C < a. Auf dem Graphen von Formula: w_a gibt es Punkte $Formula: A^{\prime},$ $Formula: A^{\prime},$ $Formula: B^{\prime}$ $Formula: B^{\prime}$ und $Formula: C^{\prime},$ $Formula: C^{\prime},$ die den Punkten Formula: A, bzw. gemäß der beschriebenen Beziehung der beiden Graphen entsprechen.

Gib die Faktoren Formula: s_x und Formula: s_y an und beurteile folgende Aussage:

Die Dreiecke und $Formula: A'B'C^{\prime}$ $Formula: A'B'C^{\prime}$ haben den gleichen Flächeninhalt.

(5 BE)

An einem bestimmten Sommertag hat das Strandbad an einem Badesee von 9:00 Uhr bis 21:00 Uhr geöffnet. Außerhalb der Öffnungszeiten befindet sich kein Gast im Strandbad.

Am betrachteten Tag wird die Anzahl der Gäste erfasst, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad betreten. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass an diesem Tag jeder Gast genau einmal das Strandbad betritt.

Die in Formula: [0;12] definierte Funktion Formula: g ist durch

$Formula: g(x)=\begin{cases}f_{11}(x)&\text{für }0\leq x\leq 11\\0&\text{für }11<x\leq 12\end{cases}$ $Formula: g(x)=\begin{cases}f_{11}(x)&\text{für }0\leq x\leq 11\\0&\text{für }11<x\leq 12\end{cases}$

festgelegt. Die Funktion Formula: g beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate der erfassten Anzahl, die als Eingangsrate bezeichnet wird. Dabei ist Formula: x die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und Formula: g(x) die Eingangsrate in der Einheit $Formula: \tfrac{1}{\text{h}}.$ $Formula: \tfrac{1}{\text{h}}.$

2.1

Begründe die folgende Aussage:

Das Modell steht in Einklang damit, dass bereits ab 20:00 Uhr kein Gast mehr eingelassen wird.

(2 BE)

2.2

Es gibt genau einen Zeitpunkt, zu dem die Eingangsrate ihren größten Wert annimmt. Ermittle rechnerisch sowohl den Zeitpunkt als auch den Wert.

(4 BE)

Die Anzahl der Gäste, die an dem betrachteten Tag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad verlassen, wird ebenfalls erfasst. Die momentane Änderungsrate dieser Anzahl (Ausgangsrate) wird durch die in Formula: [0;12] definierte Funktion Formula: h beschrieben. Dabei ist Formula: x die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und Formula: h(x) die Ausgangsrate in der Einheit $Formula: \tfrac{1}{\text{h}}.$ $Formula: \tfrac{1}{\text{h}}.$

In der Abbildung sind die Graphen von Formula: g und Formula: h dargestellt.

Zwei überlappende Kurven: voller Graph g und gestrichelter Graph h, drei schattierte Bereiche I, II, III.

2.3

Die beiden Graphen und die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse schließen drei Flächen ein, die in der Abbildung mit $Formula: \mathrm{I},$ $Formula: \mathrm{I},$ $Formula: \mathrm{II}$ $Formula: \mathrm{II}$ und $Formula: \mathrm{III}$ $Formula: \mathrm{III}$ bezeichnet sind.

Erläutere im Sachzusammenhang, dass die Inhalte der Flächen $Formula: \mathrm{I}$ $Formula: \mathrm{I}$ und $Formula: \mathrm{III}$ $Formula: \mathrm{III}$ gleich sind.

(4 BE)

2.4

Betrachtet wird zudem die in Formula: [0;12] definierte Funktion Formula: D mit $Formula: D(x) = \displaystyle\int_0^x \bigl(g(t) − h(t)\bigr)\;\mathrm dt.$ $Formula: D(x) = \displaystyle\int_0^x \bigl(g(t) − h(t)\bigr)\;\mathrm dt.$

Im Bereich $Formula: 2 \leq x \leq 11$ $Formula: 2 \leq x \leq 11$ nimmt die Funktion Formula: D ihr Maximum an. In diesem Bereich schneiden sich die Graphen von Formula: g und Formula: h genau in einem Punkt, dessen $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate mit $Formula: x_\text{S}$ $Formula: x_\text{S}$ bezeichnet wird.

Begründe, dass das Maximum von Formula: D an der Stelle $Formula: x_\text{S}$ $Formula: x_\text{S}$ angenommen wird, und gib die Bedeutung des Maximums von im Sachzusammenhang an.

(4 BE)

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1.1

Berechnung der Schnittpunkte von $Formula: \boldsymbol{G_a}$ $Formula: \boldsymbol{G_a}$ mit der $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ Achse:

$Formula: \begin{array}{rcll} f_a(x) &=& 0 \\[5pt] \dfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2 &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f_a(x) &=& 0 \\[5pt] \dfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2 &=& 0 \end{array}$

Da Formula: a > 0 und damit auch $Formula: \tfrac{60}{a} > 0$ $Formula: \tfrac{60}{a} > 0$ ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts:

$Formula: \begin{array}{rclcccccrcl}x_1&=&0&&&\mathrm{oder}&&&(x-a)^2&=&0\\[0.4em]&&&&&&&&x-a&=&0\\[0.4em]&&&&&&&&x_2&=&a\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rclcccccrcl}x_1&=&0&&&\mathrm{oder}&&&(x-a)^2&=&0\\[0.4em]&&&&&&&&x-a&=&0\\[0.4em]&&&&&&&&x_2&=&a\end{array}$

Damit schneidet der Graph Formula: G_a die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse nur in den Punkten $Formula: A(0 \mid 0)$ $Formula: A(0 \mid 0)$ und $Formula: B(a \mid 0).$ $Formula: B(a \mid 0).$

Berechnung der Steigung von $Formula: \boldsymbol{G_a}$ $Formula: \boldsymbol{G_a}$ im Punkt $Formula: \boldsymbol{A{:}}$ $Formula: \boldsymbol{A{:}}$

Mit dem CAS erhält man die erste Ableitung $Formula: f_a'(x)=\tfrac{60}{a}\cdot (x-a)(3x-a).$ $Formula: f_a'(x)=\tfrac{60}{a}\cdot (x-a)(3x-a).$

Für Formula: x=0 gilt:

$Formula: \begin{array}{rcl}f_a'(0)&=&\dfrac{60}{a}\cdot(0-a)(3\cdot0-a)\\[5pt]&=&\dfrac{60}{a}\cdot(-a)\cdot(-a)\\[5pt]&=&60a\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}f_a'(0)&=&\dfrac{60}{a}\cdot(0-a)(3\cdot0-a)\\[5pt]&=&\dfrac{60}{a}\cdot(-a)\cdot(-a)\\[5pt]&=&60a\end{array}$

Nachweis der $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ Achse als Tangente an $Formula: \boldsymbol{G_a}$ $Formula: \boldsymbol{G_a}$ im Punkt $Formula: \boldsymbol{B{:}}$ $Formula: \boldsymbol{B{:}}$
Für Formula: x=a gilt:

$Formula: f_a'(a)=\frac{60}{a}\cdot (a-a)(3a-a)=0$ $Formula: f_a'(a)=\frac{60}{a}\cdot (a-a)(3a-a)=0$

Die Tangente im Punkt $Formula: B(a \mid 0)$ $Formula: B(a \mid 0)$ ist also waagerecht. Da auf der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse liegt, ist die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse die Tangente an Formula: G_a im Punkt Formula: B.

1.2

Aufstellung des Integralansatzes für den eingeschlossenen Flächeninhalt:

Da die eingeschlossene Flächeninhalt im Intervall Formula: [0;a] liegt und Formula: f_a(x) dort nicht negativ ist, gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} 10 &=& \displaystyle\int_0^a f_a(x) \, dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_0^a \dfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2 \, dx \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 10 &=& \displaystyle\int_0^a f_a(x) \, dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_0^a \dfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2 \, dx \end{array}$

Berechnung des Parameters $Formula: \boldsymbol{a{:}}$ $Formula: \boldsymbol{a{:}}$

Das CAS liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} 10 &=& \displaystyle\int_0^a f_a(x) \, dx \\[5pt] 10 &=& 5a^3 &\quad \mid \div 5 \\[5pt] 2 &=& a^3 &\quad \mid \sqrt[3]{\ } \\[5pt] \sqrt[3]{2} &=& a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 10 &=& \displaystyle\int_0^a f_a(x) \, dx \\[5pt] 10 &=& 5a^3 &\quad \mid \div 5 \\[5pt] 2 &=& a^3 &\quad \mid \sqrt[3]{\ } \\[5pt] \sqrt[3]{2} &=& a \end{array}$

1.3

Berechnung der Wendestelle von $Formula: \boldsymbol{G_a{:}}$ $Formula: \boldsymbol{G_a{:}}$

Für eine Wendestelle von Formula: f_a gilt die notwendige Bedingung: Formula: f_a''(x)=0

Das CAS liefert die zweite Ableitung $Formula: f_a''(x)=\frac{60}{a}(6x-4a).$ $Formula: f_a''(x)=\frac{60}{a}(6x-4a).$

Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll}f_a''(x)&=&0\\[5pt]\dfrac{60}{a}(6x-4a)&=&0&\mid \div \dfrac{60}{a} &\quad \left( \dfrac{60}{a} > 0 \right) \\[5pt]6x-4a&=&0&\mid+4a\\[5pt]6x&=&4a&\mid:6\\[5pt]x&=&\dfrac{2}{3}a\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll}f_a''(x)&=&0\\[5pt]\dfrac{60}{a}(6x-4a)&=&0&\mid \div \dfrac{60}{a} &\quad \left( \dfrac{60}{a} > 0 \right) \\[5pt]6x-4a&=&0&\mid+4a\\[5pt]6x&=&4a&\mid:6\\[5pt]x&=&\dfrac{2}{3}a\end{array}$

Damit besitzt Formula: G_a die mögliche Wendestelle $Formula: x_\text{W}=\dfrac{2}{3}a$ $Formula: x_\text{W}=\dfrac{2}{3}a$ .

Für eine Wendestelle von Formula: f_a gilt zusätzlich die hinreichende Bedingung: $Formula: f_a''(x_\text{W})=0$ $Formula: f_a''(x_\text{W})=0$ und $Formula: f_a'''(x_\text{W})\neq 0$ $Formula: f_a'''(x_\text{W})\neq 0$ .

Das CAS liefert die dritte Ableitung: $Formula: f_a'''(x)=\dfrac{360}{a}$ $Formula: f_a'''(x)=\dfrac{360}{a}$

Wegen Formula: a>0 gilt: $Formula: f_a'''\left(\dfrac{2}{3}a\right) = \dfrac{360}{a}\neq 0$ $Formula: f_a'''\left(\dfrac{2}{3}a\right) = \dfrac{360}{a}\neq 0$ .

Damit ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Also liegt bei $Formula: x_\text{W}=\dfrac{2}{3}a$ $Formula: x_\text{W}=\dfrac{2}{3}a$ tatsächlich eine Wendestelle von Formula: G_a vor.

Berechnung des Funktionswerts an der Wendestelle:

$Formula: \begin{array}{rcl}f_a\left(\dfrac{2}{3}a\right)&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\left(\dfrac{2}{3}a-a\right)^2\\[5pt]&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\left(-\dfrac{1}{3}a\right)^2\\[5pt]&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\dfrac{1}{9}a^2\\[5pt]&=&\dfrac{40}{9}a^2\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}f_a\left(\dfrac{2}{3}a\right)&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\left(\dfrac{2}{3}a-a\right)^2\\[5pt]&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\left(-\dfrac{1}{3}a\right)^2\\[5pt]&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\dfrac{1}{9}a^2\\[5pt]&=&\dfrac{40}{9}a^2\end{array}$

Der Wendepunkt hat also die Koordinaten $Formula: W\left(\dfrac{2}{3}a\,\bigg\vert\,\dfrac{40}{9}a^2\right).$ $Formula: W\left(\dfrac{2}{3}a\,\bigg\vert\,\dfrac{40}{9}a^2\right).$

Aufstellen der Bedingung für die Lage des Wendepunktes und Berechnung des Parameters:

Da der Wendepunkt auf der Geraden Formula: y=x liegen soll, muss gelten:

$Formula: \begin{array}{rcll} f_{a}\left(\dfrac{2}{3}a\right)&=&\dfrac{2}{3}a\\[5pt] \dfrac{40}{9}a^2&=&\dfrac{2}{3}a&\mid \cdot 9\\[5pt] 40a^2&=&6a&\mid \div a &\quad (a>0)\\[5pt] 40a&=&6&\mid \div 40\\[5pt] a&=&\dfrac{3}{20}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f_{a}\left(\dfrac{2}{3}a\right)&=&\dfrac{2}{3}a\\[5pt] \dfrac{40}{9}a^2&=&\dfrac{2}{3}a&\mid \cdot 9\\[5pt] 40a^2&=&6a&\mid \div a &\quad (a>0)\\[5pt] 40a&=&6&\mid \div 40\\[5pt] a&=&\dfrac{3}{20}\end{array}$

Für den Wert $Formula: a = \tfrac{3}{20}$ $Formula: a = \tfrac{3}{20}$ liegt der Wendepunkt von Formula: G_a auf der Geraden Formula: y=x.

1.4

Ermittlung des Streckfaktors in $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ Richtung:

Der innere Funktionsterm kann umgeformt werden zu:

$Formula: \begin{array}{rcl}\dfrac{1}{10}(12-x)&=&-\dfrac{1}{10}(x-12)\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}\dfrac{1}{10}(12-x)&=&-\dfrac{1}{10}(x-12)\end{array}$

Der Faktor $Formula: \tfrac{11}{10}$ $Formula: \tfrac{11}{10}$ im Argument bewirkt eine Streckung in $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung mit dem Kehrwert $Formula: s_x = \tfrac{10}{11}.$ $Formula: s_x = \tfrac{10}{11}.$

Ermittlung des Streckungsfaktors in $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ Richtung:

Der Faktor vor der Funktion beträgt $Formula: \tfrac{11}{10},$ $Formula: \tfrac{11}{10},$ also gilt $Formula: s_y=\tfrac{11}{10}.$ $Formula: s_y=\tfrac{11}{10}.$

Berechnung des Flächenfaktors der Transformation

Bei der Transformation wird die Grundseite eines Dreiecks mit dem Faktor Formula: s_x verändert. Die zugehörige Höhe wird mit dem Faktor Formula: s_y verändert.

Der Flächeninhalt wird daher insgesamt mit dem Produkt $Formula: s_x\cdot s_y$ $Formula: s_x\cdot s_y$ multipliziert.

$Formula: s_x\cdot s_y = \dfrac{10}{11}\cdot\dfrac{11}{10} = 1$ $Formula: s_x\cdot s_y = \dfrac{10}{11}\cdot\dfrac{11}{10} = 1$

Die Spiegelung an der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse und die Verschiebung um Formula: 12 Einheiten in positive $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung verändern den Flächeninhalt nicht.

2.1

Zuordnung der Zeitvariable zum Zeitpunkt 20:00 Uhr:

Die Variable Formula: x beschreibt die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden. Für Formula: x=11 gilt:

$Formula: 9{:}00 \; \text{Uhr} + 11 \; \text{h} = 20 \; \text{Uhr}$ $Formula: 9{:}00 \; \text{Uhr} + 11 \; \text{h} = 20 \; \text{Uhr}$

Betrachtung der Eingangsrate ab 20:00 Uhr:

Für $Formula: 11 < x \leq 12$ $Formula: 11 < x \leq 12$ gilt Formula: g(x)=0.

Das bedeutet, dass die Eingangsrate ab 20:00 Uhr null ist. Ab diesem Zeitpunkt werden also keine Gäste mehr eingelassen. Das Modell steht daher im Einklang mit der Aussage.

2.2

Ermittlung des Zeitpunkts und des Werts der größten Eingangsrate:

Für $Formula: 0 \leq x \leq 11$ $Formula: 0 \leq x \leq 11$ gilt: $Formula: g(x) = f_{11}(x) = \tfrac{60}{11} \cdot x \cdot (x-11)^2.$ $Formula: g(x) = f_{11}(x) = \tfrac{60}{11} \cdot x \cdot (x-11)^2.$

Für $Formula: 11 < x \leq 12$ $Formula: 11 < x \leq 12$ gilt Formula: g(x) = 0. Daher kann die größte Eingangsrate nur im Intervall Formula: [0;11] angenommen werden.

Für Extremstellen innerhalb dieses Intervalls gilt die notwendige Bedingung: Formula: f'(x)=0

Der CAS liefert die erste Ableitung $Formula: f'(x) = \tfrac{60}{11}(x-11)(3x-11).$ $Formula: f'(x) = \tfrac{60}{11}(x-11)(3x-11).$

Aus $Formula: \tfrac{60}{11}(x-11)(3x-11)=0$ $Formula: \tfrac{60}{11}(x-11)(3x-11)=0$ folgt mit dem Satz des Nullprodukts:

$Formula: \begin{array}{ccc}\begin{array}{rcll}x-11&=&0&\mid+11\\[5pt]x&=&11&\end{array}&\quad\quad\quad\mathrm{oder}\quad\quad\quad&\begin{array}{rcll}3x-11&=&0&\mid+11\\[5pt]3x&=&11&\mid:3\\[5pt]x&=&\dfrac{11}{3}&\end{array}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{ccc}\begin{array}{rcll}x-11&=&0&\mid+11\\[5pt]x&=&11&\end{array}&\quad\quad\quad\mathrm{oder}\quad\quad\quad&\begin{array}{rcll}3x-11&=&0&\mid+11\\[5pt]3x&=&11&\mid:3\\[5pt]x&=&\dfrac{11}{3}&\end{array}\end{array}$

Vergleich der Funktionswerte an den Randstellen und möglichen Extremstellen:

Da die Eingangsrate auf dem Intervall Formula: [0;11] betrachtet wird, werden die Funktionswerte der Randstellen und der möglichen Extremstellen verglichen:

$Formula: g(0) = \dfrac{60}{11} \cdot 0 \cdot (0-11)^2 = 0$ $Formula: g(0) = \dfrac{60}{11} \cdot 0 \cdot (0-11)^2 = 0$

$Formula: g(11) = \dfrac{60}{11} \cdot 11 \cdot (11-11)^2 = 0$ $Formula: g(11) = \dfrac{60}{11} \cdot 11 \cdot (11-11)^2 = 0$

$Formula: g\left( \dfrac{11}{3} \right) = \dfrac{60}{11} \cdot \dfrac{11}{3} \cdot \left(\dfrac{11}{3} -11 \right)^2 = \dfrac{9680}{9} \approx 1075{,}56$ $Formula: g\left( \dfrac{11}{3} \right) = \dfrac{60}{11} \cdot \dfrac{11}{3} \cdot \left(\dfrac{11}{3} -11 \right)^2 = \dfrac{9680}{9} \approx 1075{,}56$

Somit nimmt die Funktion Formula: g bei $Formula: x= \tfrac{11}{3}$ $Formula: x= \tfrac{11}{3}$ den maximalen Wert an.

Umrechnung der Extremstelle in eine Uhrzeit:

Da die Variable Formula: x die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden beschreibt, gilt:

$Formula: \dfrac{11}{3} \;\text{h} \cdot 60 \; \dfrac{\text{min}}{\text{h}} = 220 \; \text{min} = 3 \; \text{h} \; 40 \; \text{min}$ $Formula: \dfrac{11}{3} \;\text{h} \cdot 60 \; \dfrac{\text{min}}{\text{h}} = 220 \; \text{min} = 3 \; \text{h} \; 40 \; \text{min}$

Also:

$Formula: 9{:}00 \; \text{Uhr} + 3 \; \text{h} \; 40 \; \text{min} = 12{:}40 \; \text{Uhr}$ $Formula: 9{:}00 \; \text{Uhr} + 3 \; \text{h} \; 40 \; \text{min} = 12{:}40 \; \text{Uhr}$

Um 12:40 Uhr ist die Eingangsrate mit etwa Formula: 1076 Personen pro Stunde am größten.

2.3

Deutung der Flächeninhalte unter den Graphen:

Der Flächeninhalt unter dem Graphen von Formula: g beschreibt die Gesamtzahl der Gäste, die das Strandbad betreten.

Der Flächeninhalt unter dem Graphen von Formula: h beschreibt die Gesamtzahl der Gäste, die das Strandbad verlassen.

Begründung der Gleichheit der Gesamtflächen:

Da sich außerhalb der Öffnungszeiten kein Gast im Strandbad befindet, müssen am Ende des Tages genauso viele Gäste das Strandbad verlassen haben, wie es betreten haben.

Damit müssen die Gesamtflächen unter den Graphen von Formula: g und Formula: h gleich groß sein.

2.4

Begründung des Maximums von $Formula: \boldsymbol{D}$ $Formula: \boldsymbol{D}$ an der Schnittstelle $Formula: \boldsymbol{x_\textbf{S}{:}}$ $Formula: \boldsymbol{x_\textbf{S}{:}}$

Für Extremstellen von Formula: D gilt die notwendige Bedingung: Formula: D'(x)=0

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: Formula: D'(x) = g(x) - h(x).

Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} D'(x) &=& 0 \\[5pt] g(x) - h(x) &=& 0 &\quad \mid +h(x) \\[5pt] g(x) &=& h(x) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} D'(x) &=& 0 \\[5pt] g(x) - h(x) &=& 0 &\quad \mid +h(x) \\[5pt] g(x) &=& h(x) \end{array}$

In dem Bereich $Formula: 2 \leq x \leq 11$ $Formula: 2 \leq x \leq 11$ schneiden sich die Graphen von Formula: g und Formula: h genau einmal an der Stelle $Formula: x_\text{S}.$ $Formula: x_\text{S}.$

Untersuchung des Vorzeichenwechsels von $Formula: \boldsymbol{D'(x)}$ $Formula: \boldsymbol{D'(x)}$ an der Stelle $Formula: \boldsymbol{x_\textbf{S}{:}}$ $Formula: \boldsymbol{x_\textbf{S}{:}}$

Vor $Formula: x_\text{S}$ $Formula: x_\text{S}$ gilt Formula: g(x) > h(x) und damit Formula: D'(x) = g(x) - h(x) > 0.

Nach $Formula: x_\text{S}$ $Formula: x_\text{S}$ gilt Formula: g(x) < h(x) und damit Formula: D'(x) = g(x) - h(x) < 0.

An der Stelle $Formula: x_\text{S}$ $Formula: x_\text{S}$ findet ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung Formula: D'(x) von einem positiven zu einem negativen Vorzeichen statt. Daher nimmt an dieser Stelle ihr Maximum an.

Deutung des Maximums von $Formula: \boldsymbol{D}$ $Formula: \boldsymbol{D}$ im Sachzusammenhang:

Die Funktion Formula: D beschreibt die Anzahl der Gäste, die sich zum Zeitpunkt Formula: x im Strandbad befinden. Das Maximum von beschreibt daher die größte Anzahl an Gästen, die sich gleichzeitig im Strandbad befindet.

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