A – Wahlaufgaben

5 Analysis (Wahlaufgabe – Niveau 2)

Gegeben ist eine in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit der Wertemenge Formula: [-3; 2[.

5.1

Begründe, dass der Graph von Formula: f nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(1 BE)

5.2

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h mit $Formula: h(x) = -2 \cdot f(x-5) + 1.$ $Formula: h(x) = -2 \cdot f(x-5) + 1.$

Gib die Wertemenge von Formula: h an und begründe die Angabe.

(4 BE)

6 Analysis (Wahlaufgabe – Niveau 2)

Gegeben sind die Funktion Formula: f mit Formula: f(x) = x^2 + 5x − 3 und die Geradenschar Formula: g_c mit $Formula: g_c(x) = x − c,\,c \in \mathbb{R}.$ $Formula: g_c(x) = x − c,\,c \in \mathbb{R}.$

Zeige, dass es einen Wert Formula: c gibt, für den die zugehörige Gerade eine Tangente an den Graphen von Formula: f ist.

Gib die Koordinaten des gemeinsamen Punktes des Graphen von Formula: f und dieser Tangente an.

(5 BE)

7 Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Wahlaufgabe – Niveau 2)

Gegeben sind für $Formula: a \in \mathbb{R}$ $Formula: a \in \mathbb{R}$ die Geraden $Formula: g_a\text{:}\;\vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ a \\ -2a\end{pmatrix}$ $Formula: g_a\text{:}\;\vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ a \\ -2a\end{pmatrix}$ mit $Formula: t \in \mathbb{R}$ $Formula: t \in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl Formula: c die Ebene $Formula: E\text{:}\;2x_2 + x_3 = c.$ $Formula: E\text{:}\;2x_2 + x_3 = c.$ Jede Gerade Formula: g_a liegt in Formula: E.

7.1

Bestimme Formula: c.

(1 BE)

7.2

Beurteile die folgende Aussage, ohne Abstände zu berechnen:

Der Punkt $Formula: P(1 \mid 3 \mid −1)$ $Formula: P(1 \mid 3 \mid −1)$ hat zu jeder Gerade Formula: g_a den gleichen Abstand.

(4 BE)

8 Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Wahlaufgabe – Niveau 2)

Betrachtet werden die Dreiecke Formula: AB_sC_t mit $Formula: A(0 \mid 0 \mid 0),$ $Formula: A(0 \mid 0 \mid 0),$ $Formula: B_s(4s \mid 3s \mid 0)$ $Formula: B_s(4s \mid 3s \mid 0)$ und $Formula: C_t(0 \mid 0 \mid t)$ $Formula: C_t(0 \mid 0 \mid t)$ mit $Formula: s, t \in \mathbb{R}^+.$ $Formula: s, t \in \mathbb{R}^+.$

8.1

Begründe, dass jedes Dreieck Formula: AB_sC_t im Punkt rechtwinklig ist.

(2 BE)

8.2

Zu jedem Wert von Formula: s gibt es einen Wert von Formula: t, sodass das Dreieck Formula: AB_sC_t gleichschenklig ist. Zeige, dass die zugehörigen Punkte $Formula: (s \mid t)$ $Formula: (s \mid t)$ auf der im Material dargestellten Gerade liegen.

Koordinatensystem mit s- und t-Achsen und einer grünen, leicht gekrümmten aufsteigenden Kurve rechts vom Ursprung

(3 BE)

9 Stochastik (Wahlaufgabe – Niveau 2)

Das Material zeigt die Netze zweier (fairer) Würfel Formula: A und Formula: B. Bei einem Spiel wird pro Runde jeder der beiden Würfel einmal geworfen.

Würfelnetz aus sechs Quadraten, drei mit der Zahl 3 und drei mit der Zahl 5.

Würfel A

Netz eines Würfels: vier nebeneinander stehende Quadrate mit 4, darüber und darunter je ein Quadrat mit 1

Würfel B

9.1

Es werden zwei Runden gespielt. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei beiden Runden mit Würfel Formula: A eine größere Zahl erzielt wird als mit Würfel Formula: B.

(3 BE)

9.2

Nun werden vier Runden gespielt. Für jede Runde wird die Summe der beiden erzielten Zahlen berechnet. Betrachtet wird das Ereignis „Alle vier Summen sind untereinander verschieden.“

Gib jeweils eine natürliche Zahl für Formula: v und Formula: w an, sodass mit dem Term $Formula: v \cdot \left( \tfrac{1}{2} \right)^w \cdot \bigl( \tfrac{1}{3} \bigr)^2 \cdot \bigl( \tfrac{2}{3} \bigr)^2$ $Formula: v \cdot \left( \tfrac{1}{2} \right)^w \cdot \bigl( \tfrac{1}{3} \bigr)^2 \cdot \bigl( \tfrac{2}{3} \bigr)^2$ die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnet werden kann.

(2 BE)

10 Stochastik (Wahlaufgabe – Niveau 2)

Ein Unternehmen stellt aus recycelten Materialien SIM-Karten her. Diese werden bei einigen Mobiltelefonen benötigt. Die Herstellung erfolgt mittlerweile an drei Standorten Formula: S_1, Formula: S_2, und Formula: S_3. Standort liefert $Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$ aller produzierten Karten, die Standorte und jeweils $Formula: 25 \, \% .$ $Formula: 25 \, \% .$

Leider werden auch fehlerhafte SIM-Karten hergestellt, die nicht verwendet werden können. Der Anteil fehlerhafter SIM-Karten an den drei Standorten kann der folgenden Tabelle entnommen werden.

Standort
Anteil fehlerhafter SIM-Karten	$Formula: 2 \, \%$ $Formula: 2 \, \%$	$Formula: 4 \, \%$ $Formula: 4 \, \%$	$Formula: 1 \, \%$ $Formula: 1 \, \%$

10.1

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig der Gesamtproduktion entnommene SIM-Karte an Standort Formula: S_1 produziert wurde und nicht fehlerhaft ist.

(2 BE)

10.2

Die Gleichung $Formula: \tfrac{0{,}25 \cdot 0{,}04 + 0{,}25 \cdot 0{,}01}{0{,}5 \cdot 0{,}02 + 0{,}25 \cdot 0{,}04 + 0{,}25 \cdot 0{,}01} = \tfrac{5}{9}$ $Formula: \tfrac{0{,}25 \cdot 0{,}04 + 0{,}25 \cdot 0{,}01}{0{,}5 \cdot 0{,}02 + 0{,}25 \cdot 0{,}04 + 0{,}25 \cdot 0{,}01} = \tfrac{5}{9}$ stellt im Sachzusammenhang die Lösung einer Aufgabe dar.

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und beschreibe die Bedeutung des Nenners des Terms auf der linken Seite der Gleichung.

(3 BE)

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5 Analysis (Wahlaufgabe – Niveau 2)

5.1

Eine Punktsymmetrie zum Ursprung würde voraussetzen, dass die Wertemenge symmetrisch zu Formula: 0 ist. Da Formula: -3 , aber nicht Formula: 3, in der Wertemenge enthalten ist, kann der Graph von Formula: f nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

5.2

Der Graph von Formula: h kann aus dem Graphen von Formula: f schrittweise erzeugt werden, indem der Graph zunächst um Formula: 5 Einheiten nach rechts verschoben, an der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse gespiegelt, in $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Richtung mit dem Faktor Formula: 2 gestreckt und anschließend um Formula: 1 nach oben verschoben wird.

Die Verschiebung in $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung hat keinen Einfluss auf die Wertemenge.

Durch die Multiplikation mit Formula: -2 wird die Wertemenge gespiegelt und mit dem Faktor Formula: 2 gestreckt:

$Formula: [-3 ; 2[ \quad \Rightarrow \quad ]-4; 6]$ $Formula: [-3 ; 2[ \quad \Rightarrow \quad ]-4; 6]$

Durch die anschließende Addition von Formula: 1 wird die Wertemenge um Einheit nach oben verschoben:

$Formula: ] -4; 6] \quad \Rightarrow \quad ]-3;7]$ $Formula: ] -4; 6] \quad \Rightarrow \quad ]-3;7]$

6 Analysis (Wahlaufgabe – Niveau 2)

Eine Tangente berührt den Graphen von Formula: f in genau einem Punkt.

Gleichsetzen der Funktionsgleichungen von Formula: f und Formula: g_c liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& g_c(x) \\[5pt] x^2+5x-3 &=& x-c &\quad \mid -x+c \\[5pt] x^2+4x-3+c &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& g_c(x) \\[5pt] x^2+5x-3 &=& x-c &\quad \mid -x+c \\[5pt] x^2+4x-3+c &=& 0 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& - \dfrac{4}{2} \pm \sqrt{ \left(\dfrac{4}{2} \right)^2 - \left( - 3+c \right)} \\[5pt] &=& - 2 \pm \sqrt{ 4 + 3 - c} \\[5pt] &=& - 2 \pm \sqrt{7 - c} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& - \dfrac{4}{2} \pm \sqrt{ \left(\dfrac{4}{2} \right)^2 - \left( - 3+c \right)} \\[5pt] &=& - 2 \pm \sqrt{ 4 + 3 - c} \\[5pt] &=& - 2 \pm \sqrt{7 - c} \end{array}$

Damit die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat Formula: (x=-2), muss die Diskriminante gleich Formula: 0 sein. Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} 7-c &=& 0 &\quad\mid+c \\[5pt] 7 &=& c \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 7-c &=& 0 &\quad\mid+c \\[5pt] 7 &=& c \end{array}$

Damit lautet die Gleichung der Tangente:

$Formula: g_{7}(x) = x-7$ $Formula: g_{7}(x) = x-7$

Berechnung der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate des Berührpunktes durch Einsetzen in Formula: f{:}

$Formula: f(-2) = (-2)^2+5 \cdot (-2) - 3= 4 - 10 - 3 = -9$ $Formula: f(-2) = (-2)^2+5 \cdot (-2) - 3= 4 - 10 - 3 = -9$

Der gemeinsame Punkt lautet also $Formula: P(-2 \mid -9)$ $Formula: P(-2 \mid -9)$ und der gesuchte Wert ist Formula: c=7.

7 Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Wahlaufgabe – Niveau 2)

7.1

Da jede Gerade Formula: g_a in der Ebene Formula: E liegt, liegt insbesondere ihr Stützpunkt in Formula: E.

Der gemeinsame Stützpunkt aller Geraden ist $Formula: Q(1 \mid -1 \mid -3).$ $Formula: Q(1 \mid -1 \mid -3).$

Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} 2 \cdot (-1) + (-3) &=& c \\[5pt] -2 - 3 &=& c \\[5pt] -5 &=& c \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 2 \cdot (-1) + (-3) &=& c \\[5pt] -2 - 3 &=& c \\[5pt] -5 &=& c \end{array}$

7.2

Alle Geraden Formula: g_a besitzen den gemeinsamen Punkt $Formula: Q(1 \mid -1 \mid -3).$ $Formula: Q(1 \mid -1 \mid -3).$

Der Verbindungsvektor von Formula: P zu Formula: Q ist
$Formula: \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ -1-3 \\ -3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}.$ $Formula: \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ -1-3 \\ -3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}.$

Ein Normalenvektor der Ebene Formula: E ist

$Formula: \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$ $Formula: \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$

Es gilt: $Formula: \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = -2 \cdot \vec{n}$ $Formula: \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = -2 \cdot \vec{n}$

Damit ist $Formula: \overrightarrow{PQ}$ $Formula: \overrightarrow{PQ}$ ein Normalenvektor der Ebene Formula: E. Also steht die Strecke $Formula: \overline{PQ}$ $Formula: \overline{PQ}$ senkrecht auf der Ebene

Da alle Geraden Formula: g_a in der Ebene Formula: E liegen und durch Formula: Q verlaufen, steht $Formula: \overline{PQ}$ $Formula: \overline{PQ}$ senkrecht auf jeder dieser Geraden. Somit ist für jede Gerade der Lotfußpunkt von Formula: P.

Die Aussage ist also wahr.

8 Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Wahlaufgabe – Niveau 2)

8.1

Bestimmen der Vektoren $Formula: \overrightarrow{AB_s}$ $Formula: \overrightarrow{AB_s}$ und $Formula: \overrightarrow{AC_t}{:}$ $Formula: \overrightarrow{AC_t}{:}$

$Formula: \overrightarrow{AB_s} = \overrightarrow{OB_s} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 4s \\ 3s \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4s \\ 3s \\ 0 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{AB_s} = \overrightarrow{OB_s} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 4s \\ 3s \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4s \\ 3s \\ 0 \end{pmatrix}$

$Formula: \overrightarrow{AC_t} = \overrightarrow{OC_t} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ t \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{AC_t} = \overrightarrow{OC_t} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ t \end{pmatrix}$

Berechnung des Skalarprodukts:

$Formula: \overrightarrow{AB_s} \circ \overrightarrow{AC_t} = 4s \cdot 0 + 3s \cdot 0 + 0 \cdot t = 0$ $Formula: \overrightarrow{AB_s} \circ \overrightarrow{AC_t} = 4s \cdot 0 + 3s \cdot 0 + 0 \cdot t = 0$

Da das Skalarprodukt gleich Formula: 0 ist, stehen die Vektoren $Formula: \overrightarrow{AB_s}$ $Formula: \overrightarrow{AB_s}$ und $Formula: \overrightarrow{AC_t}$ $Formula: \overrightarrow{AC_t}$ senkrecht aufeinander. Also ist jedes Dreieck Formula: AB_sC_t im Punkt rechtwinklig.

8.2

Damit das Dreieck gleichschenklig ist, müssen zwei Seiten gleich lang sein.

Die Länge der Seite $Formula: \overline{AB_s}$ $Formula: \overline{AB_s}$ ist:

$Formula: \Bigl\vert\overrightarrow{AB_s} \Bigr\vert = \sqrt{(4s)^2+(3s)^2+0^2} = \sqrt{16s^2+9s^2} = \sqrt{25s^2} = 5s$ $Formula: \Bigl\vert\overrightarrow{AB_s} \Bigr\vert = \sqrt{(4s)^2+(3s)^2+0^2} = \sqrt{16s^2+9s^2} = \sqrt{25s^2} = 5s$

Die Länge der Seite $Formula: \overline{AC_t}$ $Formula: \overline{AC_t}$ ist:

$Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{AC_t} \Bigr\vert = \sqrt{0^2+0^2+t^2} = t$ $Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{AC_t} \Bigr\vert = \sqrt{0^2+0^2+t^2} = t$

Für ein gleichschenkliges Dreieck gilt daher:
$Formula: \begin{array}{rcll} \Bigl\vert \overrightarrow{AB_s} \Bigr\vert &=& \Bigl\vert \overrightarrow{AC_t} \Bigr\vert \\[5pt] 5s &=& t \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \Bigl\vert \overrightarrow{AB_s} \Bigr\vert &=& \Bigl\vert \overrightarrow{AC_t} \Bigr\vert \\[5pt] 5s &=& t \end{array}$

Also liegen alle zugehörigen Punkte $Formula: (s \mid t)$ $Formula: (s \mid t)$ auf der Gerade Formula: t = 5s, die im Material dargestellt ist.

9 Stochastik (Wahlaufgabe – Niveau 2)

9.1

Würfel Formula: A zeigt eine größere Zahl als Würfel Formula: B, wenn entweder Formula: A=3 und Formula: B=1 oder Formula: A=5 gilt. Denn bei ist die Zahl immer größer als bei Würfel Formula: B.

Damit gilt für eine Runde:

$Formula: \begin{array}{rcll} P(A > B) &=& P(A = 3) \cdot P(B = 1) + P(A=5) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P(A > B) &=& P(A = 3) \cdot P(B = 1) + P(A=5) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$

Da zwei Runden gespielt werden, gilt:

$Formula: P\left( \text{in beiden Runden } A > B \right) = \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \dfrac{4}{9}$ $Formula: P\left( \text{in beiden Runden } A > B \right) = \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \dfrac{4}{9}$

9.2

Mögliche Summen pro Runde sind:

$Formula: \begin{array}{rcll} 3+1 &=& 4 \\ 3+4 &=& 7 \\ 5+1 &=& 6 \\ 5+4 &=& 9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 3+1 &=& 4 \\ 3+4 &=& 7 \\ 5+1 &=& 6 \\ 5+4 &=& 9 \end{array}$

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind:

$Formula: \begin{array}{rcll} P(4) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt] P(7) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \\[5pt] P(6) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt] P(9) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P(4) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt] P(7) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \\[5pt] P(6) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt] P(9) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \end{array}$

Damit in vier Runden alle Summen verschieden sind, muss jede der vier möglichen Summen genau einmal auftreten.

Dafür gibt es $Formula: 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ $Formula: 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ verschiedene Reihenfolgen.

Die Wahrscheinlichkeit kann daher geschrieben werden als:

$Formula: 24 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^4 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^2$ $Formula: 24 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^4 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^2$

Ein Vergleich mit dem gegebenen Term liefert Formula: v=24 und Formula: w = 4.

10 Stochastik (Wahlaufgabe – Niveau 2)

10.1

Da am Standort Formula: S_1 der Anteil fehlerhafter SIM-Karten $Formula: 2 \, \%$ $Formula: 2 \, \%$ beträgt, gilt: $Formula: P_{S_1}(\overline{F} )=0{,}98.$ $Formula: P_{S_1}(\overline{F} )=0{,}98.$

Damit folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} P(S_1 \cap \overline{F}) &=& P(S_1) \cdot P_{S_1}(\overline{F}) \\[5pt] &=& 0{,}5 \cdot 0{,}98 \\[5pt] &=& 0{,}49 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P(S_1 \cap \overline{F}) &=& P(S_1) \cdot P_{S_1}(\overline{F}) \\[5pt] &=& 0{,}5 \cdot 0{,}98 \\[5pt] &=& 0{,}49 \end{array}$

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig entnommene SIM-Karte am Standort Formula: S_1 produziert wurde und nicht fehlerhaft ist, $Formula: 49 \, \%.$ $Formula: 49 \, \%.$

10.2

„Eine zufällig der Gesamtproduktion entnommene SIM-Karte ist fehlerhaft. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese SIM-Karte an Standort Formula: S_2 oder Formula: S_3 produziert wurde.“

Es gilt: $Formula: P_{F}(S_{2} \cup S_{3}) = \dfrac{P \bigl( (S_2 \cup S_3) \cap F \bigr)}{P(F)}.$ $Formula: P_{F}(S_{2} \cup S_{3}) = \dfrac{P \bigl( (S_2 \cup S_3) \cap F \bigr)}{P(F)}.$

Der Zähler gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine SIM-Karte fehlerhaft ist und von Formula: S_2 oder Formula: S_3 stammt.

Der Nenner beschreibt die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte SIM-Karte fehlerhaft ist.

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