D – Stochastik

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $Formula: 80 \, \%$ $Formula: 80 \, \%$ Personenkraftwagen (Pkw).

1.1

Es werden Formula: 200 Kraftfahrzeuge zufällig ausgewählt.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter höchstens Formula: 170 Pkw befinden.

(2 BE)

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $Formula: 70{,}8 \, \%$ $Formula: 70{,}8 \, \%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

1.2

Gib in der abgebildeten Vierfeldertafel die fehlenden Einträge an.

	„Ein Kraftfahrzeug ist mindestens fünf Jahre alt.“
	„Ein Kraftfahrzeug ist ein Pkw.“

$Formula: \begin{array}{c|c|c|c}\phantom{00000} & \phantom{00}A\phantom{00} & \phantom{00}\overline{A}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline B & & & \\ \hline \overline{B} & & 0{,}044 & \\ \hline & & & 1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{c|c|c|c}\phantom{00000} & \phantom{00}A\phantom{00} & \phantom{00}\overline{A}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline B & & & \\ \hline \overline{B} & & 0{,}044 & \\ \hline & & & 1 \end{array}$

(2 BE)

1.3

Untersuche, ob der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, unter den Pkw größer ist als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

(3 BE)

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Material 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

Grünes Balkendiagramm mit Anteilen nach Altersgruppen (0–4 bis mindestens 30 Jahre), höchste bei 0–4, Werte nehmen mit Alter ab.

Material 1

1.4

Alle zugelassenen Pkw werden nach ihrem Alter in einer Liste sortiert. Angenommen, es gibt einen Pkw, für den die Anzahl jüngerer Pkw gleich der Anzahl älterer Pkw ist.

Gib dasjenige der sieben Zeitintervalle an, in dem das Alter dieses Pkw liegt, und begründe deine Angabe.

(2 BE)

1.5

Beschreibe den mathematischen Zusammenhang zwischen Material 1 und dem Term $Formula: 5\cdot 0{,}26+10\cdot 0{,}21+15\cdot 0{,}13+20\cdot 0{,}05+25\cdot 0{,}02+30\cdot 0{,}02$ $Formula: 5\cdot 0{,}26+10\cdot 0{,}21+15\cdot 0{,}13+20\cdot 0{,}05+25\cdot 0{,}02+30\cdot 0{,}02$ und gib die Bedeutung seines Wertes im Sachzusammenhang an.

(3 BE)

In einer Region werden die Personen betrachtet, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren. Frühere Untersuchungen haben ergeben, dass etwa $Formula: 90 \, \%$ $Formula: 90 \, \%$ dieser Personen dabei allein im Pkw sind. Um diesen Anteil zu senken, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Nun soll untersucht werden, ob der beschriebene Anteil deutlich gesunken ist. Dazu wird die Durchführung eines Signifikanztests geplant mit einem Signifikanzniveau von $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ und der Nullhypothese „Der Anteil der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren, liegt bei mindestens $Formula: 75 \, \%.$ $Formula: 75 \, \%.$ “

2.1

Es ist geplant, den Test auf der Grundlage einer Stichprobe von Formula: 400 Personen durchzuführen. Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

2.2

Angenommen, der Test würde mit unveränderter Nullhypothese und unverändertem Signifikanzniveau mit Formula: n zufällig ausgewählten Personen geplant. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person allein im Pkw zur Arbeit fährt, wird mit Formula: p bezeichnet.

Material 2 stellt für einen bestimmten Wert von Formula: n in Abhängigkeit von Formula: p die Wahrscheinlichkeit dafür dar, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich liegt.

Ermittle für ein geeignet gewähltes Beispiel mithilfe von Material 2 die Wahrscheinlichkeit für den zugehörigen Fehler zweiter Art.

Diagramm mit Gitternetz und einer stark fallenden Kurve von p≈0,7 bis 0,8; y-Achse von 0 bis 0,25.

Material 2

(3 BE)

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1.1

Definition der Zufallsgröße:

Es sei Formula: X die Anzahl der Pkw unter den Formula: 200 zufällig ausgewählten Kraftfahrzeugen. Da $Formula: 80 \, \%$ $Formula: 80 \, \%$ der Kraftfahrzeuge Pkw sind, gilt: $Formula: X \sim B(200; 0{,}8)$ $Formula: X \sim B(200; 0{,}8)$

Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit:

Mit dem WTR ergibt sich: $Formula: P_{0{,}8}^{200}(X \leq 170) \approx 0{,}972$ $Formula: P_{0{,}8}^{200}(X \leq 170) \approx 0{,}972$

Angabe des Ergebnisses im Sachzusammenhang:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den Formula: 200 zufällig ausgewählten Kraftfahrzeugen höchstens Formula: 170 Pkw befinden, beträgt ungefähr $Formula: 97{,}2 \, \%.$ $Formula: 97{,}2 \, \%.$

1.2

$Formula: \begin{array}{c|c|c|c}\phantom{00000} & \phantom{00}A\phantom{00} & \phantom{00}\overline{A}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline B & 0{,}552 & 0{,}248 & 0{,}8 \\ \hline \overline{B} & 0{,}156 & 0{,}044 & 0{,}2 \\ \hline & 0{,}708 & 0{,}292 & 1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{c|c|c|c}\phantom{00000} & \phantom{00}A\phantom{00} & \phantom{00}\overline{A}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline B & 0{,}552 & 0{,}248 & 0{,}8 \\ \hline \overline{B} & 0{,}156 & 0{,}044 & 0{,}2 \\ \hline & 0{,}708 & 0{,}292 & 1 \end{array}$

1.3

Vergleich der Anteile mindestens fünf Jahre alter Kraftfahrzeuge:

Der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, beträgt unter den Pkw:

$Formula: \dfrac{0{,}522}{0{,}8} = 0{,}69$ $Formula: \dfrac{0{,}522}{0{,}8} = 0{,}69$

Der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, beträgt unter den übrigen Kraftfahrzeugen:

$Formula: \dfrac{0{,}156}{0{,}2} = 0{,}78$ $Formula: \dfrac{0{,}156}{0{,}2} = 0{,}78$

Mit Formula: 0{,}69 < 0{,}78 ist der Anteil der mindestens fünf Jahre alten Kraftfahrzeuge unter den Pkw nicht größer, sondern kleiner als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

1.4

Deutung der Aufgabenstellung:

Gesucht ist das Alter des Pkw, für den die Anzahl jüngerer Pkw genauso groß ist wie die Anzahl älterer Pkw.

Damit ist der Median der Altersverteilung gesucht.

Auswertung der kumulierten Anteile:

Aus Material 1 lässt sich entnehmen, dass $Formula: 31 \, \%$ $Formula: 31 \, \%$ der Pkw Formula: 0 bis Formula: 4 Jahre alt sind. Damit sind nach dem ersten Intervall noch weniger als $Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$ erreicht.
Für die ersten beiden Intervalle gilt: $Formula: 31 \, \% + 26 \, \% = 57 \, \%$ $Formula: 31 \, \% + 26 \, \% = 57 \, \%$

Damit wird die $Formula: 50 \, \%\text{-}$ $Formula: 50 \, \%\text{-}$ Grenze im Intervall von bis Formula: 9 Jahren überschritten. Der gesuchte PKW muss also zwischen und Jahren alt sein.

1.5

Beschreibung des mathematischen Zusammenhangs:

Die Zahlen Formula: 5, Formula: 10, Formula: 15, Formula: 20, Formula: 25 und Formula: 30 sind jeweils die unteren Intervallgrenzen der Altersklassen ab Jahren. Diese werden mit den zugehörigen Anteilen aus Material 1 multipliziert.

Berechnung des Wertes:

$Formula: \begin{array}{lll} 5\cdot0{,}26+10\cdot0{,}21+15\cdot0{,}13+20\cdot0{,}05+25\cdot0{,}02+30\cdot0{,}02\\[5pt]=1{,}3+2{,}1+1{,}95+1+0{,}5+0{,}6\\[5pt]=7{,}45 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{lll} 5\cdot0{,}26+10\cdot0{,}21+15\cdot0{,}13+20\cdot0{,}05+25\cdot0{,}02+30\cdot0{,}02\\[5pt]=1{,}3+2{,}1+1{,}95+1+0{,}5+0{,}6\\[5pt]=7{,}45 \end{array}$

Deutung im Sachzusammenhang:

Die untere Grenze für das durchschnittliche Alter der zugelassenen Pkw beträgt Formula: 7{,}45 Jahre.

2.1

Festlegung der Zufallsgröße:

Es sei Formula: Y die Anzahl der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren.

Formulierung der Hypothesen:

Die Nullhypothese lautet: $Formula: H_0\text{:}\;p \geq 0{,}75$ $Formula: H_0\text{:}\;p \geq 0{,}75$

Die Gegenhypothese lautet: $Formula: H_1\text{:}\;p < 0{,}75$ $Formula: H_1\text{:}\;p < 0{,}75$

Da untersucht werden soll, ob der Anteil deutlich gesunken ist, handelt es sich um einen linksseitigen Signifikanztest.

Bestimmung des Ablehnungsbereichs:

Für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs wird mit Formula: p = 0{,}75 gerechnet: $Formula: Y \sim B(400; 0{,}75)$ $Formula: Y \sim B(400; 0{,}75)$

Gesucht ist der größte Wert Formula: k, für den gilt: $Formula: P_{0{,}75}^{400}(Y \leq k) \leq 0{,}05$ $Formula: P_{0{,}75}^{400}(Y \leq k) \leq 0{,}05$

Mit dem WTR erhält man:

$Formula: P_{0{,}75}^{400}(Y \leq 285) \approx 0{,}0486$ $Formula: P_{0{,}75}^{400}(Y \leq 285) \approx 0{,}0486$

$Formula: P_{0{,}75}^{400}(Y \leq 286) \approx 0{,}0610$ $Formula: P_{0{,}75}^{400}(Y \leq 286) \approx 0{,}0610$

Angabe der Entscheidungsregel:

„Wenn $Formula: Y \leq 285$ $Formula: Y \leq 285$ gilt, wird Formula: H_0 verworfen“ bzw. „Befinden sich weniger als Formula: 286 allein fahrende Personen in der Stichprobe, wird die Nullhypothese abgelehnt.“

2.2

Auswahl eines geeigneten Werts für $Formula: \boldsymbol{p{:}}$ $Formula: \boldsymbol{p{:}}$

Für den Fehler zweiter Art muss ein Wert Formula: p < 0{,}75 gewählt werden, da dann die Gegenhypothese tatsächlich gilt.

Beispielhaft wird Formula: p = 0{,}73 gewählt.

Ablesen der Wahrscheinlichkeit aus Material 2:
$Formula: P(\text{Ablehnungsbereich}) \approx 0{,}16$ $Formula: P(\text{Ablehnungsbereich}) \approx 0{,}16$

Das bedeutet: Wenn tatsächlich Formula: p = 0{,}73 gilt, wird die Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $Formula: 16 \, \%$ $Formula: 16 \, \%$ abgelehnt.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art:

Ein Fehler zweiter Art liegt vor, wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie tatsächlich falsch ist.

Daher gilt: $Formula: P (\text{Fehler 2. Art}) \approx 1 - 0{,}16 = 0{,}84$ $Formula: P (\text{Fehler 2. Art}) \approx 1 - 0{,}16 = 0{,}84$

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art in diesem Beispiel ungefähr $Formula: 84 \, \%.$ $Formula: 84 \, \%.$

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