B2 – Analysis

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen $Formula: g_a\text{:}\;x \mapsto \mathrm{e}^x + a \cdot \mathrm{e}^{-x}$ $Formula: g_a\text{:}\;x \mapsto \mathrm{e}^x + a \cdot \mathrm{e}^{-x}$ mit $Formula: a \in \mathbb{R}^+.$ $Formula: a \in \mathbb{R}^+.$ Der Graph von wird mit bezeichnet.

1.1

Begründe, dass Formula: G_a für jeden Wert von Formula: a vollständig oberhalb der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse verläuft. Gib die Koordinaten des Schnittpunktes von mit der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse an und berechne die Steigung von in diesem Punkt.

(5 BE)

1.2

In Material 1 sind für eine bestimmte Zahl Formula: k>1 die Graphen von Formula: g_a zu folgenden Werten von Formula: a dargestellt: $Formula: \tfrac{1}{k},$ $Formula: \tfrac{1}{k},$ und Formula: k^2.

Ordne jedem dieser drei Werte von Formula: a den zugehörigen Graphen zu und begründe die Zuordnung.

Koordinatensystem mit drei Parabeln (schwarz, grün gestrichelt, blau gepunktet) und Achsenbeschriftungen x, y.

Material 1

(3 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen $Formula: h_a\text{:}\;x \mapsto g_a \left( x + \tfrac{1}{2} \ln a \right)$ $Formula: h_a\text{:}\;x \mapsto g_a \left( x + \tfrac{1}{2} \ln a \right)$ mit $Formula: a \in \mathbb{R}^+.$ $Formula: a \in \mathbb{R}^+.$

1.3

Zeige rechnerisch, dass $Formula: h_a (x) = \sqrt{a} \cdot (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})$ $Formula: h_a (x) = \sqrt{a} \cdot (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})$ gilt und dass der Graph von symmetrisch bezüglich der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse ist.

(5 BE)

1.4

Begründe mithilfe von Formula: h_a, dass Formula: G_a symmetrisch bezüglich einer Geraden ist, und gib eine Gleichung dieser Geraden in Abhängigkeit von Formula: a an.

(3 BE)

Material 2 stellt schematisch die Vorderansicht einer Bahnhofshalle mit zwei Einfahrten für Züge dar. Die Vorderansicht wird modellhaft durch das zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse symmetrische Flächenstück beschrieben, das die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse, die Geraden mit den Gleichungen Formula: x = −1{,}2 und Formula: x = 1{,}2 sowie der Graph der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: f\text{:}\;x \mapsto 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})$ $Formula: f\text{:}\;x \mapsto 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})$ einschließen. Dabei stellt der Graph von für $Formula: −1{,}2 \leq x \leq 1{,}2$ $Formula: −1{,}2 \leq x \leq 1{,}2$ die Profillinie des Dachs dar.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $Formula: 20 \; \text{m}$ $Formula: 20 \; \text{m}$ in der Realität.

Schematische Zeichnung: symmetrische Garage mit zwei Einfahrten, Dachprofil und x-/y-Achsen

Material 2

2.1

Zeige, dass die Bahnhofshalle $Formula: 48 \; \text{m}$ $Formula: 48 \; \text{m}$ breit ist, und bestimme ihre Höhe.

(2 BE)

2.2

Der Flächeninhalt, den die beiden Einfahrten in der Vorderansicht einnehmen, beträgt insgesamt etwa $Formula: 447 \; \text{m}^2.$ $Formula: 447 \; \text{m}^2.$

Berechne den Flächeninhalt des Teils der Vorderansicht, der in Material 2 durch die grau markierte Fläche dargestellt wird.

(5 BE)

2.3

Bestimme rechnerisch die Größe des Winkels, den die Profillinie des Dachs und die linke Seitenkante in der Vorderansicht einschließen (Material 2).

(3 BE)

2.4

Im Modell beschreibt die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion $Formula: r\text{:}\;x \mapsto 0{,}75 - 10 \cdot (x-0{,}5)^4$ $Formula: r\text{:}\;x \mapsto 0{,}75 - 10 \cdot (x-0{,}5)^4$ für $Formula: 0{,}1 \leq x \leq 0{,}9$ $Formula: 0{,}1 \leq x \leq 0{,}9$ den oberen Rand der rechten Einfahrt. Unterhalb des oberen Rands dieser Einfahrt befindet sich eine Signalleuchte, die im Modell durch den Punkt $Formula: P(0{,}8 \mid 0{,}6)$ $Formula: P(0{,}8 \mid 0{,}6)$ beschrieben werden kann.

Betrachtet wird die folgende Rechnung im Zusammenhang mit einem Punkt $Formula: Q\bigl(x_Q \mid r(x_Q)\bigr){:}$ $Formula: Q\bigl(x_Q \mid r(x_Q)\bigr){:}$

$Formula: \frac{r(x_Q)-0{,}6}{x_Q-0{,}8}=r'(x_Q)=-1 \Leftrightarrow x_Q=0{,}835\ldots$ $Formula: \frac{r(x_Q)-0{,}6}{x_Q-0{,}8}=r'(x_Q)=-1 \Leftrightarrow x_Q=0{,}835\ldots$

damit: $Formula: \sqrt{(0{,}8-x_Q)^2+\bigl(0{,}6-r(x_Q)\bigr)^2}\cdot 20 \approx 0{,}85$ $Formula: \sqrt{(0{,}8-x_Q)^2+\bigl(0{,}6-r(x_Q)\bigr)^2}\cdot 20 \approx 0{,}85$

Gib die Bedeutung des Ergebnisses Formula: 0{,}85 dieser Rechnung im Sachzusammenhang an und erläutere den Ansatz, mit dem in der ersten Zeile der Rechnung die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate des Punktes Formula: Q ermittelt wird.

(4 BE)

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1.1

Begründung der Lage von $Formula: \boldsymbol{G_a}$ $Formula: \boldsymbol{G_a}$ oberhalb der $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ Achse:

Da $Formula: \mathrm{e}^x > 0$ $Formula: \mathrm{e}^x > 0$ und wegen Formula: a > 0 auch $Formula: a \cdot \mathrm{e}^{-x} > 0$ $Formula: a \cdot \mathrm{e}^{-x} > 0$ für alle $Formula: x \in \mathbb{R}$ $Formula: x \in \mathbb{R}$ gilt, folgt:

$Formula: g_a(x) = \mathrm{e}^x + a \cdot \mathrm{e}^{-x} > 0$ $Formula: g_a(x) = \mathrm{e}^x + a \cdot \mathrm{e}^{-x} > 0$

Der Graph Formula: G_a verläuft also für jeden Wert von Formula: a vollständig oberhalb der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse.

Berechnung des Schnittpunktes mit der $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ Achse:

Es gilt: $Formula: g_a(0) = \mathrm{e}^0 + a \cdot \mathrm{e}^0 = 1 + a \cdot 1 = 1 + a$ $Formula: g_a(0) = \mathrm{e}^0 + a \cdot \mathrm{e}^0 = 1 + a \cdot 1 = 1 + a$

Damit lautet der Schnittpunkt mit der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse $Formula: S_y(0 \mid 1+a).$ $Formula: S_y(0 \mid 1+a).$

Berechnung der Steigung im Schnittpunkt mit der $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ Achse:

Die erste Ableitung von Formula: g_a lautet $Formula: g_a^{\prime}(x) = \mathrm{e}^x - a \cdot \mathrm{e}^{-x}.$ $Formula: g_a^{\prime}(x) = \mathrm{e}^x - a \cdot \mathrm{e}^{-x}.$

Damit gilt:

$Formula: g_a^{\prime}(0) = \mathrm{e}^0 - a \cdot \mathrm{e}^0 = 1 - a \cdot 1 = 1 - a$ $Formula: g_a^{\prime}(0) = \mathrm{e}^0 - a \cdot \mathrm{e}^0 = 1 - a \cdot 1 = 1 - a$

Die Steigung im Schnittpunkt mit der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse beträgt also Formula: 1-a.

1.2

Zuordnung der Graphen zu den Parameterwerten:

Da Formula: k > 1 ist, gilt: $Formula: \dfrac{1}{k} < k < k^2$ $Formula: \dfrac{1}{k} < k < k^2$

Damit gilt auch: $Formula: 1 + \dfrac{1}{k} < 1 + k < 1 + k^2$ $Formula: 1 + \dfrac{1}{k} < 1 + k < 1 + k^2$ bzw. $Formula: g_{\frac{1}{k}}(0) < g_k(0) < g_{k^2}(0)$ $Formula: g_{\frac{1}{k}}(0) < g_k(0) < g_{k^2}(0)$

Die Graphen können also über ihren Schnittpunkt mit der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse zugeordnet werden:

$Formula: \text{I: }a=\dfrac{1}{k},\quad \text{II: }a=k,\quad \text{III: }a=k^2$ $Formula: \text{I: }a=\dfrac{1}{k},\quad \text{II: }a=k,\quad \text{III: }a=k^2$

1.3

Einsetzen der Verschiebung in $Formula: \boldsymbol{g_a{:}}$ $Formula: \boldsymbol{g_a{:}}$

$Formula: \begin{array}{rcll} h_a(x) &=& g_a \left(x + \dfrac{1}{2} \ln a \right) \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{x + \frac{1}{2} \ln a} + a \cdot \mathrm{e}^{- \left( x + \frac{1}{2} \ln a \right)} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{2} \ln a} + a \cdot \mathrm{e}^{-x} \cdot \mathrm{e}^{- \frac{1}{2} \ln a} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^x \cdot a^{\frac{1}{2}} + a \cdot \mathrm{e}^{-x } \cdot a^{-\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^x \cdot \sqrt{a} + a \cdot \mathrm{e}^{-x} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{a}} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^x \cdot \sqrt{a} + \mathrm{e}^{-x} \cdot \sqrt{a} \\[5pt] &=& \sqrt{a} \cdot (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} h_a(x) &=& g_a \left(x + \dfrac{1}{2} \ln a \right) \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{x + \frac{1}{2} \ln a} + a \cdot \mathrm{e}^{- \left( x + \frac{1}{2} \ln a \right)} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{2} \ln a} + a \cdot \mathrm{e}^{-x} \cdot \mathrm{e}^{- \frac{1}{2} \ln a} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^x \cdot a^{\frac{1}{2}} + a \cdot \mathrm{e}^{-x } \cdot a^{-\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^x \cdot \sqrt{a} + a \cdot \mathrm{e}^{-x} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{a}} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^x \cdot \sqrt{a} + \mathrm{e}^{-x} \cdot \sqrt{a} \\[5pt] &=& \sqrt{a} \cdot (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}) \end{array}$

Nachweis der Symmetrie zur $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{y\text{-}}$ Achse:

$Formula: h_a(-x) = \sqrt{a} \cdot (\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-(-x)}) = \sqrt{a} \cdot (\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}) = h_a(x)$ $Formula: h_a(-x) = \sqrt{a} \cdot (\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-(-x)}) = \sqrt{a} \cdot (\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}) = h_a(x)$

Damit ist der Graph von Formula: h_a(x) symmetrisch zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse.

1.4

Begründung der Symmetrie von $Formula: \boldsymbol{G_a}$ $Formula: \boldsymbol{G_a}$ mithilfe von $Formula: \boldsymbol{h_a{:}}$ $Formula: \boldsymbol{h_a{:}}$

Der Graph von Formula: h_a entsteht aus dem Graphen Formula: G_a durch eine Verschiebung um $Formula: \tfrac{1}{2} \ln a$ $Formula: \tfrac{1}{2} \ln a$ Einheiten in negative $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung.

Umgekehrt entsteht der Graph Formula: G_a aus dem Graphen von Formula: h_a durch eine Verschiebung um $Formula: \tfrac{1}{2} \ln a$ $Formula: \tfrac{1}{2} \ln a$ Einheiten in positive $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung.

Da der Graph von $Formula: h_{a}$ $Formula: h_{a}$ symmetrisch zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse, also zur Geraden Formula: x = 0, ist, ist Formula: G_a symmetrisch zur verschobenen Gerade $Formula: x = \tfrac{1}{2} \ln a.$ $Formula: x = \tfrac{1}{2} \ln a.$

2.1

Berechnung der Breite im Modell:

$Formula: 1{,}2 - (-1{,}2) = 2{,}4 \; \text{LE}$ $Formula: 1{,}2 - (-1{,}2) = 2{,}4 \; \text{LE}$

Umrechnung der Breite in die Realität:

Da eine Längeneinheit $Formula: 20 \; \text{m}$ $Formula: 20 \; \text{m}$ entspricht, ist die Bahnhofshalle $Formula: 2{,}4 \; \text{LE} \cdot 20\ \dfrac{\text{m}}{\text{LE}} = 48 \; \text{m}$ $Formula: 2{,}4 \; \text{LE} \cdot 20\ \dfrac{\text{m}}{\text{LE}} = 48 \; \text{m}$ breit.

Berechnung der Höhe im Modell:

Die Höhe liegt wegen der Symmetrie bei Formula: x=0{:}

$Formula: \begin{array}{rcll} f(0) &=& 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^0 + \mathrm{e}^0) \\[5pt] &=& 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (1+1) \\[5pt] &=& 2{,}6 - 1 \\[5pt] &=& 1{,}6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(0) &=& 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^0 + \mathrm{e}^0) \\[5pt] &=& 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (1+1) \\[5pt] &=& 2{,}6 - 1 \\[5pt] &=& 1{,}6 \end{array}$

Umrechnung der Höhe in die Realität:

Das entspricht einer Höhe von $Formula: 1{,}6 \; \text{LE} \cdot 20\ \dfrac{\text{m}}{\text{LE}} = 32 \; \text{m}.$ $Formula: 1{,}6 \; \text{LE} \cdot 20\ \dfrac{\text{m}}{\text{LE}} = 32 \; \text{m}.$

2.2

Berechnung des gesamten Flächeninhalts der Vorderansicht im Modell:

Eine Stammfunktion von Formula: f ist $Formula: F(x) = 2{,}6x - 0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}).$ $Formula: F(x) = 2{,}6x - 0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}).$

Aufgrund der Symmetrie zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse genügt es, den Flächeninhalt von Formula: x=0 bis Formula: x=1{,}2 zu berechnen und anschließend zu verdoppeln:

$Formula: \begin{array}{rcll} A_{\text{gesamt, Modell}}&=&2\cdot\displaystyle\int_0^{1{,}2}\left(2{,}6-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)\right)\,dx\\[5pt]&=&2\cdot\bigl[2{,}6x-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}\right)\bigr]_0^{1{,}2}\\[5pt]&=&2\cdot\left(2{,}6\cdot1{,}2-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^{1{,}2}-\mathrm{e}^{-1{,}2}\right)-\left(2{,}6\cdot0-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^0-\mathrm{e}^0\right)\right)\right)\\[5pt]&=&2\cdot\left(3{,}12-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^{1{,}2}-\mathrm{e}^{-1{,}2}\right)-0 \cdot (1-1) \right)\\[5pt]&\approx&2\cdot1{,}6104\\[5pt]&=&3{,}2208 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} A_{\text{gesamt, Modell}}&=&2\cdot\displaystyle\int_0^{1{,}2}\left(2{,}6-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)\right)\,dx\\[5pt]&=&2\cdot\bigl[2{,}6x-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}\right)\bigr]_0^{1{,}2}\\[5pt]&=&2\cdot\left(2{,}6\cdot1{,}2-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^{1{,}2}-\mathrm{e}^{-1{,}2}\right)-\left(2{,}6\cdot0-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^0-\mathrm{e}^0\right)\right)\right)\\[5pt]&=&2\cdot\left(3{,}12-0{,}5\cdot\left(\mathrm{e}^{1{,}2}-\mathrm{e}^{-1{,}2}\right)-0 \cdot (1-1) \right)\\[5pt]&\approx&2\cdot1{,}6104\\[5pt]&=&3{,}2208 \end{array}$

Der gesamte Flächeninhalt der Vorderansicht beträgt im Modell also ungefähr $Formula: 3{,}2208 \; \text{FE}.$ $Formula: 3{,}2208 \; \text{FE}.$

Umrechnung des Flächeninhalts in die Realität:

$Formula: 3{,}2208 \; \text{FE} \cdot (20)^2\ \dfrac{\text{m}^2}{\text{FE}} = 1288{,}32 \; \text{m}^2$ $Formula: 3{,}2208 \; \text{FE} \cdot (20)^2\ \dfrac{\text{m}^2}{\text{FE}} = 1288{,}32 \; \text{m}^2$

Der gesamte Flächeninhalt der Vorderansicht beträgt ungefähr $Formula: 1288{,}32 \; \text{m}^2.$ $Formula: 1288{,}32 \; \text{m}^2.$

Berechnung des Flächeninhalts der grau markierten Fläche:

$Formula: A_{\text{grau}} \approx 1288{,}32 \; \text{m}^2 - 447 \; \text{m}^2 = 841{,}32 \; \text{m}^2$ $Formula: A_{\text{grau}} \approx 1288{,}32 \; \text{m}^2 - 447 \; \text{m}^2 = 841{,}32 \; \text{m}^2$

Der Flächeninhalt der grau markierten Fläche beträgt ungefähr $Formula: 841{,}32 \; \text{m}^2.$ $Formula: 841{,}32 \; \text{m}^2.$

2.3

Berechnung der Steigung der Profillinie des Dachs an der linken Seitenkante:

Die erste Ableitung von Formula: f lautet $Formula: f^{\prime}(x) =- 0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}).$ $Formula: f^{\prime}(x) =- 0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}).$

Für Formula: x=-1{,}2 ergibt sich:

$Formula: f^{\prime}(-1{,}2) = -0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^{-1{,}2} - \mathrm{e}^{1{,}2}) \approx 1{,}51$ $Formula: f^{\prime}(-1{,}2) = -0{,}5 \cdot (\mathrm{e}^{-1{,}2} - \mathrm{e}^{1{,}2}) \approx 1{,}51$

Berechnung des Winkels zwischen der Profillinie des Dachs und der linken Seitenkante:

Der Steigungswinkel der Tangente zur Waagerechten ergibt sich durch:
$Formula: \beta = \tan^{-1}(1{,}51) \approx 56{,}5^{\circ}$ $Formula: \beta = \tan^{-1}(1{,}51) \approx 56{,}5^{\circ}$

Die linke Seitenkante verläuft senkrecht und schließt daher mit mit der Waagerechten einen Winkel von $Formula: 90^{\circ}$ $Formula: 90^{\circ}$ ein.

Damit schließen die Profillinie des Dachs und die linke Seitenkante insgesamt einen Winkel von $Formula: \alpha \approx 56{,}5^{\circ} + 90^{\circ} = 146{,}5^{\circ}$ $Formula: \alpha \approx 56{,}5^{\circ} + 90^{\circ} = 146{,}5^{\circ}$ ein.

2.4

Deutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang:

Die Signalleuchte hat zum oberen Rand der rechten Einfahrt einen kürzesten Abstand von ungefähr $Formula: 0{,}85 \; \text{m}.$ $Formula: 0{,}85 \; \text{m}.$

Erläuterung des Ansatzes zur Bestimmung von $Formula: \boldsymbol{Q{:}}$ $Formula: \boldsymbol{Q{:}}$

Der Ansatz in der ersten Zeile beruht darauf, dass der kürzeste Abstand von einem Punkt zu einem Graphen entlang einer Strecke verläuft, die senkrecht zur Tangente an dem Graphen steht. Deshalb muss die Strecke $Formula: \overline{PQ}$ $Formula: \overline{PQ}$ senkrecht zur Tangente an den Graphen von Formula: r im Punkt Formula: Q stehen.

Die Steigung der Strecke $Formula: \overline{PQ}$ $Formula: \overline{PQ}$ ist $Formula: \dfrac{r(x_Q)-0{,}6}{x_Q-0{,}8}.$ $Formula: \dfrac{r(x_Q)-0{,}6}{x_Q-0{,}8}.$

Die Steigung der Tangente an den Graphen von Formula: r im Punkt Formula: Q ist $Formula: r^{\prime}(x_Q).$ $Formula: r^{\prime}(x_Q).$

Da die Strecke $Formula: \overline{PQ}$ $Formula: \overline{PQ}$ senkrecht zur Tangente steht, muss das Produkt der beiden Steigungen Formula: -1 ergeben. Durch Lösen dieser Gleichung erhält man $Formula: x_Q \approx 0{,}835.$ $Formula: x_Q \approx 0{,}835.$ Damit ist der Punkt Formula: Q auf dem oberen Rand der rechten Einfahrt bestimmt, der der Signalleuchte am nächsten liegt.

Anschließend wird der Abstand zwischen Formula: P und Formula: Q im Modell mit der Abstandsformel berechnet. Da eine Längeneinheit im Modell $Formula: 20 \; \text{m}$ $Formula: 20 \; \text{m}$ in der Realität entspricht, wird dieser Abstand schließlich mit multipliziert.

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