A – Pflichtaufgaben

1 Analysis (Pflichtaufgabe – Niveau 1)

Für eine Zahl Formula: k > 0 sind die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f und Formula: g mit $Formula: f(x) = 2\mathrm{e}^{k \cdot x}$ $Formula: f(x) = 2\mathrm{e}^{k \cdot x}$ und $Formula: g(x) = 2\mathrm{e}^{-k \cdot x}$ $Formula: g(x) = 2\mathrm{e}^{-k \cdot x}$ gegeben.

1.1

Gib an, wie der Graph von Formula: f aus dem Graphen von Formula: g erzeugt werden kann.

(1 BE)

1.2

Die Graphen von Formula: f und Formula: g schneiden sich senkrecht. Bestimme Formula: k.

(4 BE)

2 Analysis (Pflichtaufgabe – Niveau 1)

Gegeben sind die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen $Formula: f\text{:}\;x \mapsto 4\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}$ $Formula: f\text{:}\;x \mapsto 4\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}$ und $Formula: g\text{:}\;x \mapsto x^2 \cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}.$ $Formula: g\text{:}\;x \mapsto x^2 \cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}.$

2.1

Zeige, dass sich die Graphen von Formula: f und Formula: g nur für Formula: x = −2 und Formula: x = 2 schneiden.

(1 BE)

2.2

Die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion $Formula: G\text{:}\;x \mapsto (2x^2 - 8x + 16) \cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}$ $Formula: G\text{:}\;x \mapsto (2x^2 - 8x + 16) \cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}$ ist eine Stammfunktion von Formula: g.

Berechne den Inhalt der Fläche, die die Graphen von Formula: f und Formula: g einschließen.

(4 BE)

3 Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Pflichtaufgabe – Niveau 1)

Gegeben sind die Gerade $Formula: g\text{:}\;\vec{x} = \begin{pmatrix}-4 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$ $Formula: g\text{:}\;\vec{x} = \begin{pmatrix}-4 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$ mit $Formula: t \in \mathbb{R}$ $Formula: t \in \mathbb{R}$ und die Ebene $Formula: E\text{:}\;-2x_1 - x_2+2x_3-2 = 0.$ $Formula: E\text{:}\;-2x_1 - x_2+2x_3-2 = 0.$

3.1

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht, und zeige, dass der Punkt $Formula: P(-4 \mid 2 \mid -2)$ $Formula: P(-4 \mid 2 \mid -2)$ in liegt.

(2 BE)

3.2

Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand Formula: 12 hat.

(3 BE)

4 Stochastik (Pflichtaufgabe – Niveau 1)

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n = 36 und Formula: p = 0{,}5.

4.1

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit Formula: P(X = 27) berechnet werden kann.

(1 BE)

4.2

Das Material zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X.

Ermittle einen Näherungswert für $Formula: P( \mu - 0{,}5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu + 0{,}5 \cdot \sigma),$ $Formula: P( \mu - 0{,}5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu + 0{,}5 \cdot \sigma),$ wobei $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ der Erwartungswert und $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ die Standardabweichung von Formula: X sind.

Histogramm: diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k), glockenförmig, k von 0-36, Maximum bei etwa 18

(4 BE)

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1 Analysis (Pflichtaufgabe – Niveau 1)

1.1

Es gilt: $Formula: g(-x) = 2\mathrm{e}^{-k \cdot (-x)} = 2\mathrm{e}^{k \cdot x} = f(x)$ $Formula: g(-x) = 2\mathrm{e}^{-k \cdot (-x)} = 2\mathrm{e}^{k \cdot x} = f(x)$

Der Graph von Formula: f kann also aus dem Graphen von Formula: g durch Spiegelung an der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse erzeugt

werden.

1.2

Berechnung der Schnittstelle durch Gleichsetzen:

$Formula: \begin{array}{rcll} 2\mathrm{e}^{k\cdot x}&=&2\mathrm{e}^{-k\cdot x} &\quad \mid \div 2 \\[5pt] \mathrm{e}^{k \cdot x} &=& \mathrm{e}^{-k\cdot x} &\quad \mid \, \ln \left( \ \right) \\[5pt] k \cdot x &=& -k \cdot x &\quad \mid + \left( k \cdot x \right) \\[5pt] 2 \cdot k \cdot x &=& 0 &\quad \mid \div \left(2 \cdot k \right) &\quad \left( k > 0 \right) \\[5pt] x&=& 0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 2\mathrm{e}^{k\cdot x}&=&2\mathrm{e}^{-k\cdot x} &\quad \mid \div 2 \\[5pt] \mathrm{e}^{k \cdot x} &=& \mathrm{e}^{-k\cdot x} &\quad \mid \, \ln \left( \ \right) \\[5pt] k \cdot x &=& -k \cdot x &\quad \mid + \left( k \cdot x \right) \\[5pt] 2 \cdot k \cdot x &=& 0 &\quad \mid \div \left(2 \cdot k \right) &\quad \left( k > 0 \right) \\[5pt] x&=& 0\end{array}$

Berechnung der Steigungen der beiden Graphen im Schnittpunkt:

$Formula: f^{\prime}(x) = 2k\mathrm{e}^{k \cdot x}$ $Formula: f^{\prime}(x) = 2k\mathrm{e}^{k \cdot x}$

$Formula: g^{\prime}(x) = -2k\mathrm{e}^{-kx}$ $Formula: g^{\prime}(x) = -2k\mathrm{e}^{-kx}$

Für Formula: x=0 gilt:

$Formula: f^{\prime} (0) = 2k\mathrm{e}^{k \cdot 0} = 2k\mathrm{e}^{0} = 2k \cdot 1 = 2k$ $Formula: f^{\prime} (0) = 2k\mathrm{e}^{k \cdot 0} = 2k\mathrm{e}^{0} = 2k \cdot 1 = 2k$

$Formula: g^{\prime}(0) = -2k\mathrm{e}^{-k \cdot 0} = -2k\mathrm{e}^{0} = -2k \cdot 1 = -2k$ $Formula: g^{\prime}(0) = -2k\mathrm{e}^{-k \cdot 0} = -2k\mathrm{e}^{0} = -2k \cdot 1 = -2k$

Da sich die Graphen senkrecht schneiden, muss für die Steigungen gelten: $Formula: f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0) = -1$ $Formula: f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0) = -1$

Damit folgt für Formula: k{:}

$Formula: \begin{array}{rcll} 2k\cdot\left(-2k\right)&=&-1\\[5pt] -4k^2&=&-1&\quad\mid \div(-4)\\[5pt] k^2&=&\dfrac{1}{4}&\quad\mid \sqrt{\ }\\[5pt] k&=&\dfrac{1}{2}&\quad(k>0) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 2k\cdot\left(-2k\right)&=&-1\\[5pt] -4k^2&=&-1&\quad\mid \div(-4)\\[5pt] k^2&=&\dfrac{1}{4}&\quad\mid \sqrt{\ }\\[5pt] k&=&\dfrac{1}{2}&\quad(k>0) \end{array}$

2 Analysis (Pflichtaufgabe – Niveau 1)

2.1

Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen:

$Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x)\\[5pt] 4\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}&=&x^2\cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}&\quad\mid \div \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}\quad \bigl(\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}>0\text{ für alle }x\in\mathbb{R}\bigr)\\[5pt] 4&=&x^2&\quad\mid \sqrt{\ }\\[5pt] x&=&\pm 2\\[5pt] x_1&=&-2\\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x)\\[5pt] 4\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}&=&x^2\cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}&\quad\mid \div \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}\quad \bigl(\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}>0\text{ für alle }x\in\mathbb{R}\bigr)\\[5pt] 4&=&x^2&\quad\mid \sqrt{\ }\\[5pt] x&=&\pm 2\\[5pt] x_1&=&-2\\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$

Damit schneiden sich die Graphen nur für Formula: x=-2 und Formula: x=2.

2.2

Eine Stammfunktion von Formula: f ist: $Formula: F(x) = 8\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}$ $Formula: F(x) = 8\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}$

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt:

$Formula: \begin{array}{rcl} A&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[5pt]&=&\bigl[F(x)-G(x)\bigr]_{-2}^{2}\\[5pt]&=&\left[8\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}-\left(2x^2-8x+16\right)\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}\right]_{-2}^{2}\\[5pt]&=&\left(8\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\cdot2+1}-\left(2\cdot2^2-8\cdot2+16\right)\cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\cdot2+1}\right)\\[5pt]&&-\left(8\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\cdot(-2)+1}-\left(2\cdot(-2)^2-8\cdot(-2)+16\right)\cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\cdot(-2)+1}\right)\\[5pt]&=&\left(8\mathrm{e}^2-\left(8-16+16\right)\cdot\mathrm{e}^2\right)-\left(8\mathrm{e}^0-\left(8+16+16\right)\cdot\mathrm{e}^0\right)\\[5pt]&=&\left(8\mathrm{e}^2-8\mathrm{e}^2\right)-\left(8-40\right)\\[5pt]&=&0-(-32)\\[5pt]&=&32 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} A&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[5pt]&=&\bigl[F(x)-G(x)\bigr]_{-2}^{2}\\[5pt]&=&\left[8\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}-\left(2x^2-8x+16\right)\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x+1}\right]_{-2}^{2}\\[5pt]&=&\left(8\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\cdot2+1}-\left(2\cdot2^2-8\cdot2+16\right)\cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\cdot2+1}\right)\\[5pt]&&-\left(8\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\cdot(-2)+1}-\left(2\cdot(-2)^2-8\cdot(-2)+16\right)\cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\cdot(-2)+1}\right)\\[5pt]&=&\left(8\mathrm{e}^2-\left(8-16+16\right)\cdot\mathrm{e}^2\right)-\left(8\mathrm{e}^0-\left(8+16+16\right)\cdot\mathrm{e}^0\right)\\[5pt]&=&\left(8\mathrm{e}^2-8\mathrm{e}^2\right)-\left(8-40\right)\\[5pt]&=&0-(-32)\\[5pt]&=&32 \end{array}$

Der Inhalt der Fläche, die die Graphen von Formula: g und Formula: f einschließen, beträgt $Formula: 32 \; \text{FE}.$ $Formula: 32 \; \text{FE}.$

3 Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Pflichtaufgabe – Niveau 1)

3.1

Der Richtungsvektor der Geraden Formula: g ist
$Formula: \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $Formula: \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Aus der Koordinatengleichung der Ebene Formula: E lässt sich der Normalenvektor ablesen:

$Formula: \vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $Formula: \vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Da $Formula: \vec{u}$ $Formula: \vec{u}$ und $Formula: \vec{n}$ $Formula: \vec{n}$ übereinstimmen, steht die Gerade Formula: g senkrecht zur Ebene Formula: E.

Um zu zeigen, dass der Punkt Formula: P in der Ebene Formula: E liegt, werden seine Koordinaten in die Ebenengleichung eingesetzt:

$Formula: \begin{array}{rcll} -2 \cdot (-4) - 2 + 2 \cdot (-2) -2 &=& 0 \\[5pt] 8-2-4-2 &=& 0 \\[5pt] 0 &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} -2 \cdot (-4) - 2 + 2 \cdot (-2) -2 &=& 0 \\[5pt] 8-2-4-2 &=& 0 \\[5pt] 0 &=& 0 \end{array}$

Damit liegt der Punkt Formula: P in der Ebene Formula: E.

3.2

Da Formula: P der Stützpunkt der Geraden Formula: g ist und zugleich in der Ebene Formula: E liegt, ist er der Schnittpunkt von und Formula: E. Da die Gerade zudem senkrecht auf der Ebene steht, verläuft die kürzeste Verbindung eines Punktes Formula: Q der Geraden zur Ebene entlang der Geraden .

Der Richtungsvektor der Geraden hat die Länge:

$Formula: \bigl\vert \overrightarrow{u} \bigr\vert = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ $Formula: \bigl\vert \overrightarrow{u} \bigr\vert = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$

Ein Punkt auf der Geraden Formula: g hat die Form:

$Formula: Q(t) = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $Formula: Q(t) = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Der Abstand von Formula: Q(t) zur Ebene beträgt daher:

$Formula: d\bigl(Q(t), E\bigr) = \left| t \right| \cdot 3$ $Formula: d\bigl(Q(t), E\bigr) = \left| t \right| \cdot 3$

Dieser Abstand soll Formula: 12 sein:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| t \right| \cdot 3 &=& 12 &\quad \mid \div 3 \\[5pt] \left| t \right| &=& 4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| t \right| \cdot 3 &=& 12 &\quad \mid \div 3 \\[5pt] \left| t \right| &=& 4 \end{array}$

Damit ist Formula: t=4 oder Formula: t=-4 möglich. Es genügt, einen der beiden Werte zu wählen.

Mit Formula: t=4 erhält man:

$Formula: \begin{array}{rcll} Q(4) &=& \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} - 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - 8 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -12 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} Q(4) &=& \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} - 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - 8 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -12 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{array}$

Ein möglicher Punkt auf Formula: g, der zur Ebene Formula: E den Abstand Formula: 12 hat, ist also $Formula: Q(-12 \mid -2 \mid 6).$ $Formula: Q(-12 \mid -2 \mid 6).$

4 Stochastik (Pflichtaufgabe – Niveau 1)

4.1

$Formula: P(X=27)=\binom{36}{27}\cdot 0{,}5^{27}\cdot 0{,}5^9$ $Formula: P(X=27)=\binom{36}{27}\cdot 0{,}5^{27}\cdot 0{,}5^9$

4.2

Für den Erwartungswert $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ und die Standardabweichung $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ gilt:

$Formula: \mu = n \cdot p = 36 \cdot 0{,}5 = 18$ $Formula: \mu = n \cdot p = 36 \cdot 0{,}5 = 18$

$Formula: \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{36 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{9} = 3$ $Formula: \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{36 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{9} = 3$

Gesucht ist also $Formula: P(16{,}5 \leq X \leq 19{,}5).$ $Formula: P(16{,}5 \leq X \leq 19{,}5).$

Da die Zufallsgröße Formula: X nur ganze Werte annehmen kann, gilt:
$Formula: P(16{,}5 \leq X \leq 19{,}5) = P(17 \leq X \leq 19)$ $Formula: P(16{,}5 \leq X \leq 19{,}5) = P(17 \leq X \leq 19)$

Aus dem Diagramm lässt sich näherungsweise ablesen:

$Formula: P(X=17) \approx 0{,}125$ $Formula: P(X=17) \approx 0{,}125$

$Formula: P(X=18) \approx 0{,}13$ $Formula: P(X=18) \approx 0{,}13$

$Formula: P(X=19) \approx 0{,}125$ $Formula: P(X=19) \approx 0{,}125$

Damit gilt

$Formula: P(17 \leq X \leq 19) \approx 0{,}125 + 0{,}13 + 0{,}125 = 0{,}38,$ $Formula: P(17 \leq X \leq 19) \approx 0{,}125 + 0{,}13 + 0{,}125 = 0{,}38,$

also $Formula: P(\mu - 0{,}5 \sigma \leq X \leq \mu + 0{,}5 \sigma) \approx 0{,}38.$ $Formula: P(\mu - 0{,}5 \sigma \leq X \leq \mu + 0{,}5 \sigma) \approx 0{,}38.$

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