C – Lineare Algebra / Analytische Geometrie

Das Alte Rathaus in Michelstadt im Odenwald wurde 1484 erbaut und stellt eine außergewöhnliche Sehenswürdigkeit des Odenwaldes dar. Aus Planskizzen aus dem Michelstädter Stadtarchiv konnten die Originalmaße des Rathauses gewonnen werden. Material 1 zeigt eine der Planskizzen.

Im Modell liegt die Bodenfläche des Rathauses in der $Formula: x\text{-}y\text{-}$ $Formula: x\text{-}y\text{-}$ Ebene, die den Erdboden beschreibt. Die in Material 1 angegebenen Punkte auf der Dachfläche besitzen die Koordinaten $Formula: A(0 \mid 0{,}5 \mid 15),$ $Formula: A(0 \mid 0{,}5 \mid 15),$ $Formula: B(3{,}2 \mid 0 \mid 7),$ $Formula: B(3{,}2 \mid 0 \mid 7),$ $Formula: C(3{,}2 \mid 16 \mid 7)$ $Formula: C(3{,}2 \mid 16 \mid 7)$ und $Formula: D(0 \mid 15{,}5 \mid 15).$ $Formula: D(0 \mid 15{,}5 \mid 15).$ Die Dachkante $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ liegt dabei in der $Formula: y\text{-}z\text{-}$ $Formula: y\text{-}z\text{-}$ Ebene und verläuft parallel zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse. Eine Längeneinheit entspricht $Formula: 1 \; \text{m}.$ $Formula: 1 \; \text{m}.$

Schwarzweiß-Illustration eines historischen Fachwerkhauses mit offenem Dachstuhl und detaillierter Dachdeckung.

Material 1

1.1

Zeige, dass es sich bei dem Viereck Formula: ABCD um ein Trapez handelt.

Weise nach, dass bei diesem Trapez zwei Seiten gleich lang sind.

(4 BE)

1.2

Die Punkte Formula: A, Formula: B, Formula: C und Formula: D liegen in einer Ebene Formula: E. Gib eine Parametergleichung der Ebene an und ermittle eine zugehörige Koordinatengleichung.

Formula: [ zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung von Formula: E lautet Formula: 5x+2z=30.]

(4 BE)

1.3

Auf der Kante $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ des Dachfirsts wird (für ein Experiment zum Nachweis der Erdrotation) im Punkt $Formula: P(0 \mid 10 \mid 15)$ $Formula: P(0 \mid 10 \mid 15)$ ein Pendel aufgehängt. Im Modell wird die Dicke des Dachfirsts vernachlässigt.

Das Pendel wird als Strecke angenommen und hängt zunächst in der Ruhelage senkrecht nach unten. Das untere Ende des Pendels befindet sich dabei im Punkt $Formula: P_1(0 \mid 10 \mid 12{,}4).$ $Formula: P_1(0 \mid 10 \mid 12{,}4).$ Anschließend wird das Ende des Pendels bis zur Maximalauslenkung im Punkt $Formula: P_2(0{,}8 \mid 10{,}6 \mid 12{,}6)$ $Formula: P_2(0{,}8 \mid 10{,}6 \mid 12{,}6)$ ausgelenkt und losgelassen (Material 2).

Pendelskizze mit Ruhelage P1, Auslenkung P2 und Winkel α

Material 2

1.3.1

Berechne den Winkel $Formula: \alpha,$ $Formula: \alpha,$ um den das Pendel ausgelenkt wurde.

(3 BE)

1.3.2

Die Gerade Formula: g verläuft durch die Punkte Formula: P und Formula: P_1. Weisen nach, dass der Abstand des Punktes Formula: P_2 von der Geraden $Formula: 1 \; \text{m}$ $Formula: 1 \; \text{m}$ beträgt.

(3 BE)

1.3.3

Ein Schüler berechnet ohne Beachtung der Dachfläche eine weitere Position, an der sich das Ende des Pendels befinden würde, wenn man es ausgehend von der Ruhelage um den Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ in eine andere Richtung auslenken würde, und erhält den Punkt $Formula: P_3 (1 \mid 10 \mid 12{,}6).$ $Formula: P_3 (1 \mid 10 \mid 12{,}6).$

Zeige, dass der Punkt Formula: P_3 oberhalb der Ebene Formula: E (und somit außerhalb des Rathauses) liegt.

(2 BE)

Eine bestimmte im Odenwald lebende Insektenart durchläuft drei Lebensstadien: Aus einem Ei entwickelt sich über ein Larvenstadium ein ausgewachsenes Insekt.

In der folgenden Modellierung werden ausschließlich die weiblichen Tiere einer Population betrachtet. Dabei beschreibt $Formula: n \in \mathbb{N}$ $Formula: n \in \mathbb{N}$ die Zeit in Wochen nach dem Beobachtungsbeginn (Zeitpunkt Formula: n=0).

Die Entwicklung der Population von einer Woche zur nächsten lässt sich modellhaft durch die Gleichung $Formula: \overrightarrow{v_{n+1}} = M \cdot \overrightarrow{v_n}$ $Formula: \overrightarrow{v_{n+1}} = M \cdot \overrightarrow{v_n}$ mit $Formula: M=\begin{pmatrix}0&0&25\\0{,}1&0&0\\0&0{,}2&0{,}5\end{pmatrix}$ $Formula: M=\begin{pmatrix}0&0&25\\0{,}1&0&0\\0&0{,}2&0{,}5\end{pmatrix}$ beschreiben. Dabei hat der Vektor $Formula: \vec{v_n}$ $Formula: \vec{v_n}$ die Form $Formula: \begin{pmatrix} E \\ L \\ I \end{pmatrix}{,}$ $Formula: \begin{pmatrix} E \\ L \\ I \end{pmatrix}{,}$ wobei Formula: E die Anzahl der Eier, Formula: L die Anzahl der Larven und Formula: I die Anzahl der ausgewachsenen Insekten angibt. Sieben Wochen nach Beobachtungsbeginn wird die Zusammensetzung der Population durch den Vektor $Formula: \overrightarrow{v_7} \begin{pmatrix} 12\,400 \\ 1\,280 \\ 496 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{v_7} \begin{pmatrix} 12\,400 \\ 1\,280 \\ 496 \end{pmatrix}$ dargestellt.

2.1

In der Matrix Formula: M befindet sich in der zweiten Zeile an erster Position der Eintrag Formula: 0{,}1.

Interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

Berechne den Vektor $Formula: \overrightarrow{v_8},$ $Formula: \overrightarrow{v_8},$ der die Zusammensetzung der Population Formula: 8 Wochen nach Beobachtungsbeginn darstellt.

(2 BE)

2.2

Im Folgenden ist eine Herleitung dokumentiert.

Gib ohne Bezug zum Sachzusammenhang die Bedeutung der Matrix Formula: N in Zeile Formula: (1) an.

Deute das Ergebnis in Zeile Formula: (2) im Sachzusammenhang.

$Formula: \begin{aligned}(1)\;&N\cdot M=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\Rightarrow N=\begin{pmatrix}0&10&0\\-0{,}1&0&5\\0{,}04&0&0\end{pmatrix}\\[5pt](2)\;&N^5\cdot\vec{v_7}=\begin{pmatrix}12\,800\\1\,080\\528\end{pmatrix}\end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned}(1)\;&N\cdot M=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\Rightarrow N=\begin{pmatrix}0&10&0\\-0{,}1&0&5\\0{,}04&0&0\end{pmatrix}\\[5pt](2)\;&N^5\cdot\vec{v_7}=\begin{pmatrix}12\,800\\1\,080\\528\end{pmatrix}\end{aligned}$

(2 BE)

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1.1

Nachweis der Trapezeigenschaft:

Zunächst werden die gegenüberliegenden Seiten $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ und $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ betrachtet:

$Formula: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 15{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 15 \\ 0 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 15{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 15 \\ 0 \end{pmatrix}$

$Formula: \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 16 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 16 \\ 0 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 16 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 16 \\ 0 \end{pmatrix}$

Die beiden Vektoren sind kollinear, denn es gilt:

$Formula: \overrightarrow{BC} = \dfrac{16}{15} \cdot \overrightarrow{AD}.$ $Formula: \overrightarrow{BC} = \dfrac{16}{15} \cdot \overrightarrow{AD}.$

Damit sind die gegenüberliegenden Seiten $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ und $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ parallel. Daher handelt es sich bei dem Viereck Formula: ABCD um ein Trapez.

Nachweis der Gleichschenkligkeit:

Nun werden die Seiten $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ und $Formula: \overline{DC}$ $Formula: \overline{DC}$ betrachtet:

$Formula: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ -0{,}5 \\ -8 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ -0{,}5 \\ -8 \end{pmatrix}$

$Formula: \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 16 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 15{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 0{,}5 \\ -8 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 16 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 15{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ 0{,}5 \\ -8 \end{pmatrix}$

Die Längen der beiden Seiten betragen:

$Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{AB} \Bigr\vert = \sqrt{3{,}2^2+(-0{,}5)^2+(-8)^2} = \sqrt{74,49}$ $Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{AB} \Bigr\vert = \sqrt{3{,}2^2+(-0{,}5)^2+(-8)^2} = \sqrt{74,49}$

$Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{DC} \Bigr\vert = \sqrt{3{,}2^2 + 0{,}5^2 + (-8)^2} = \sqrt{74,49}$ $Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{DC} \Bigr\vert = \sqrt{3{,}2^2 + 0{,}5^2 + (-8)^2} = \sqrt{74,49}$

Also sind die Seiten $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ und $Formula: \overline{DC}$ $Formula: \overline{DC}$ gleich lang.

1.2

Aufstellen einer Parametergleichung der Ebene:

Eine Parametergleichung der Ebene Formula: E erhält man zum Beispiel mit dem Stützvektor $Formula: \overrightarrow{OA}$ $Formula: \overrightarrow{OA}$ und den Richtungsvektoren $Formula: \overrightarrow{AB}$ $Formula: \overrightarrow{AB}$ und $Formula: \overrightarrow{AD}{:}$ $Formula: \overrightarrow{AD}{:}$

$Formula: E\text{:}\;\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ -0{,}5 \\ -8 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 15 \\ 0 \end{pmatrix}$ $Formula: E\text{:}\;\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ 15 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3{,}2 \\ -0{,}5 \\ -8 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 15 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $Formula: r, s \in \mathbb{R}.$ $Formula: r, s \in \mathbb{R}.$

Aufstellen einer Koordinatengleichung der Ebene:

Zur Bestimmung einer Koordinatengleichung wird ein Normalenvektor der Ebene benötigt. Diesen erhält man mithilfe des Kreuzprodukts der beiden Spannvektoren:

$Formula: \begin{pmatrix}3{,}2\\-0{,}5\\-8\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\15\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-0{,}5)\cdot0-(-8)\cdot15\\(-8)\cdot0-3{,}2\cdot0\\3{,}2\cdot15-(-0{,}5)\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}120\\0\\48\end{pmatrix}=24\cdot\begin{pmatrix}5\\0\\2\end{pmatrix}$ $Formula: \begin{pmatrix}3{,}2\\-0{,}5\\-8\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\15\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-0{,}5)\cdot0-(-8)\cdot15\\(-8)\cdot0-3{,}2\cdot0\\3{,}2\cdot15-(-0{,}5)\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}120\\0\\48\end{pmatrix}=24\cdot\begin{pmatrix}5\\0\\2\end{pmatrix}$

Damit ist $Formula: \vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ $Formula: \vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene.

Die Ebene Formula: E hat also die Form: Formula: 5x + 2z = d.

Einsetzen von $Formula: A(0 \mid 0{,}5 \mid 15)$ $Formula: A(0 \mid 0{,}5 \mid 15)$ liefert:

$Formula: d = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 15 = 30$ $Formula: d = 5 \cdot 0 + 2 \cdot 15 = 30$

Also lautet eine Koordinatengleichung:

$Formula: E\text{:}\;5x + 2z = 30$ $Formula: E\text{:}\;5x + 2z = 30$

1.3.1

Bestimmung der Pendelvektoren:
$Formula: \overrightarrow{PP_1} = \overrightarrow{OP_1} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 12{,}4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2{,}6 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{PP_1} = \overrightarrow{OP_1} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 12{,}4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2{,}6 \end{pmatrix}$

$Formula: \overrightarrow{PP_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 10{,}6 \\ 12{,}6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 0{,}6 \\ -2{,}4 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{PP_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 10{,}6 \\ 12{,}6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 0{,}6 \\ -2{,}4 \end{pmatrix}$

Berechnung der Längen der Pendelvektoren:

$Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{PP_1} \Bigr\vert = \sqrt{0^2+0^2+(-2{,}6)^2} = \sqrt{2{,}6^2} = 2{,}6$ $Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{PP_1} \Bigr\vert = \sqrt{0^2+0^2+(-2{,}6)^2} = \sqrt{2{,}6^2} = 2{,}6$

$Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{PP_2} \Bigr\vert = \sqrt{0{,}8^2+0{,}6^2+(-2{,}4)^2} = \sqrt{0{,}64 + 0{,}36 + 5{,}76} = \sqrt{6{,}76} = 2{,}6$ $Formula: \Bigl\vert \overrightarrow{PP_2} \Bigr\vert = \sqrt{0{,}8^2+0{,}6^2+(-2{,}4)^2} = \sqrt{0{,}64 + 0{,}36 + 5{,}76} = \sqrt{6{,}76} = 2{,}6$

Berechnung des Skalarprodukts:

$Formula: \overrightarrow{PP_1} \circ \overrightarrow{PP_2} = 0 \cdot 0{,}8 + 0 \cdot 0{,}6 + (-2{,}6) \dot (-2{,}4) = 0 + 0 + 6{,}24 = 6{,}24$ $Formula: \overrightarrow{PP_1} \circ \overrightarrow{PP_2} = 0 \cdot 0{,}8 + 0 \cdot 0{,}6 + (-2{,}6) \dot (-2{,}4) = 0 + 0 + 6{,}24 = 6{,}24$

Berechnung des Winkels $Formula: \boldsymbol{\alpha}$ $Formula: \boldsymbol{\alpha}$ zwischen den Pendelvektoren:

$Formula: \begin{array}{rcll} \cos (\alpha) &=& \dfrac{ \overrightarrow{PP_1} \circ \overrightarrow{PP_2}}{\Bigl\vert \overrightarrow{PP_1} \Bigr\vert \cdot \Bigl\vert \overrightarrow{PP_2} \Bigr\vert} \\[5pt] \cos (\alpha) &=& \dfrac{6{,}24}{2{,}6 \cdot 2{,}6} \\[5pt] \cos (\alpha) &=& \dfrac{12}{13} &\quad \mid \cos^{-1}( \ )\\[5pt] \alpha &\approx& 22{,}6^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \cos (\alpha) &=& \dfrac{ \overrightarrow{PP_1} \circ \overrightarrow{PP_2}}{\Bigl\vert \overrightarrow{PP_1} \Bigr\vert \cdot \Bigl\vert \overrightarrow{PP_2} \Bigr\vert} \\[5pt] \cos (\alpha) &=& \dfrac{6{,}24}{2{,}6 \cdot 2{,}6} \\[5pt] \cos (\alpha) &=& \dfrac{12}{13} &\quad \mid \cos^{-1}( \ )\\[5pt] \alpha &\approx& 22{,}6^{\circ} \end{array}$

Der Pendelwinkel beträgt ungefähr $Formula: \alpha \approx 22{,}6^{\circ}.$ $Formula: \alpha \approx 22{,}6^{\circ}.$

1.3.2

Aufstellen einer Parametergleichung der Geraden $Formula: \boldsymbol{g{:}}$ $Formula: \boldsymbol{g{:}}$

Die Gerade Formula: g verläuft durch die Punkte Formula: P und Formula: P_1. Daher ist sie eine senkrechte Gerade mit der Parametergleichung:
$Formula: g\text{:}\;\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 15 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2{,}6 \end{pmatrix}$ $Formula: g\text{:}\;\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 15 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2{,}6 \end{pmatrix}$

Bestimmung eines geeigneten Lotfußpunktes:

Der Punkt $Formula: L(0 \mid 10 \mid 12{,}6)$ $Formula: L(0 \mid 10 \mid 12{,}6)$ liegt auf Formula: g und hat dieselbe $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Koordinate wie Formula: P_2.

Es gilt: $Formula: \overrightarrow{LP_2}=\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}6\\0\end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{LP_2}=\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}6\\0\end{pmatrix}$

Dieser Vektor steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden Formula: g,

da $Formula: \overrightarrow{LP_2}\cdot\overrightarrow{PP_1}=\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-2{,}6\end{pmatrix}=0.$ $Formula: \overrightarrow{LP_2}\cdot\overrightarrow{PP_1}=\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-2{,}6\end{pmatrix}=0.$

Damit ist Formula: L der Lotfußpunkt von Formula: P_2 auf Formula: g.

Berechnung des Abstands:

$Formula: d(P_2, g) = \Bigl\vert \overrightarrow{LP_2} \Bigr\vert = \sqrt{0{,}8^2+0{,}6^2} = \sqrt{0{,}64 + 0{,}36} = \sqrt{1} = 1$ $Formula: d(P_2, g) = \Bigl\vert \overrightarrow{LP_2} \Bigr\vert = \sqrt{0{,}8^2+0{,}6^2} = \sqrt{0{,}64 + 0{,}36} = \sqrt{1} = 1$

Damit beträgt der Abstand des Punktes Formula: P_2 von der Geraden Formula: g $Formula: 1 \; \text{m}.$ $Formula: 1 \; \text{m}.$

1.3.3

Bestimmung der Höhe der Ebene bei $Formula: \boldsymbol{x=1{:}}$ $Formula: \boldsymbol{x=1{:}}$

Einsetzen von Formula: x = 1 in die Ebenengleichung liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} 5 \cdot 1 + 2 \cdot z &=& 30 \\[5pt] 5 + 2z &=& 30 &\quad \mid -5 \\[5pt] 2z &=& 25 &\quad \mid \div 2 \\[5pt] z &=& 12{,}5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 5 \cdot 1 + 2 \cdot z &=& 30 \\[5pt] 5 + 2z &=& 30 &\quad \mid -5 \\[5pt] 2z &=& 25 &\quad \mid \div 2 \\[5pt] z &=& 12{,}5 \end{array}$

Der Punkt der Ebene mit Formula: x =1 hätte also die Höhe Formula: z = 12{,}5.

Vergleich der Höhe von $Formula: \boldsymbol{P_3{:}}$ $Formula: \boldsymbol{P_3{:}}$
Der Punkt Formula: P_3 hat aber die Koordinate Formula: z=12{,}6 und wegen Formula: 12{,}6 > 12{,}5 liegt oberhalb der Ebene Formula: E und damit außerhalb des Rathauses.

2.1

Deutung des Matrixeintrags:

Der Eintrag Formula: 0{,}1 in der zweiten Zeile und ersten Spalte der Matrix bedeutet:

Von einer Woche zur nächsten entwickeln sich $Formula: 10 \, \%$ $Formula: 10 \, \%$ der Eier zu Larven.

Berechnung des Populationsvektors $Formula: \boldsymbol{\vec{v_8}{:}}$ $Formula: \boldsymbol{\vec{v_8}{:}}$

$Formula: \begin{array}{rcl} \vec{v}_8&=&M\cdot\vec{v}_7\\[8pt]\vec{v}_8&=&\begin{pmatrix}0&0&25\\0{,}1&0&0\\0&0{,}2&0{,}5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12400\\1280\\496\end{pmatrix}\\[12pt] &=&\begin{pmatrix}0\cdot12400+0\cdot1280+25\cdot496\\0{,}1\cdot12400+0\cdot1280+0\cdot496\\0\cdot12400+0{,}2\cdot1280+0{,}5\cdot496\end{pmatrix}\\[12pt] &=&\begin{pmatrix}25\cdot496\\0{,}1\cdot12400\\0{,}2\cdot1280+0{,}5\cdot496\end{pmatrix}\\[12pt] &=&\begin{pmatrix}12400\\1240\\504\end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \vec{v}_8&=&M\cdot\vec{v}_7\\[8pt]\vec{v}_8&=&\begin{pmatrix}0&0&25\\0{,}1&0&0\\0&0{,}2&0{,}5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12400\\1280\\496\end{pmatrix}\\[12pt] &=&\begin{pmatrix}0\cdot12400+0\cdot1280+25\cdot496\\0{,}1\cdot12400+0\cdot1280+0\cdot496\\0\cdot12400+0{,}2\cdot1280+0{,}5\cdot496\end{pmatrix}\\[12pt] &=&\begin{pmatrix}25\cdot496\\0{,}1\cdot12400\\0{,}2\cdot1280+0{,}5\cdot496\end{pmatrix}\\[12pt] &=&\begin{pmatrix}12400\\1240\\504\end{pmatrix} \end{array}$

2.2

Angabe der Bedeutung der Matrix $Formula: \boldsymbol{N}$ $Formula: \boldsymbol{N}$ ohne Sachzusammenhang:

Die Matrix Formula: N ist die inverse Matrix zu Formula: M^5. Sie macht sozusagen die Wirkung von rückgängig. Sie ermöglicht es also, aus einem gegebenen Vektor denjenigen Vektor zu berechnen, der fünf Entwicklungsschritte vorher vorlag.

Deutung des Ergebnisses in Zeile $Formula: \boldsymbol{(2)}$ $Formula: \boldsymbol{(2)}$ im Sachzusammenhang:

Da Formula: N fünf Wochen zurück rechnet, beschreibt das Ergebnis die Zusammensetzung der Population zwei Wochen nach Beobachtungsbeginn.

Zwei Wochen nach Beobachtungsbeginn setzt sich die Population aus Formula: 12800 Eiern, Formula: 1080 Larven und Formula: 528 ausgewachsenen Insekten zusammen.

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