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Erweitern und Kürzen

Spickzettel
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Brüche erweiternBruchzahlen: Erweitern und Kürzen

Du erweiterst einen Bruch, indem du Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl multiplizierst.
$\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot \color{#87c800}{9}}{5 \cdot\color{#87c800}{ 9}} = \dfrac{18}{45}$
Der Wert des Bruchs ändert sich dadurch nicht, nur die Darstellung.

Brüche kürzen

Das Kürzen ist das Gegenstück zum Erweitern. Du kannst Brüche so übersichtlicher darstellen, indem du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividierst.
$\dfrac{12}{20}=\dfrac{12:\color{#87c800}{4}}{20:\color{#87c800}{4}} = \dfrac{3}{5}$
Der Wert des Bruchs ändert sich auch hierbei nicht, nur die Darstellung.
Wenn der Nenner eines Bruchs $1$ ist, kannst du ihn auch als Zahl schreiben:
$\dfrac{\color{#87c800}{6}}{1}= \color{#87c800}{6}\quad $ oder
$\dfrac{12}{6} = \dfrac{12:6}{6:6} = \dfrac{2}{1} = 2$
#brücheerweitern#brüchekürzen
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Aufgaben
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EinführungsaufgabeBruchzahlen: Erweitern und Kürzen

Lisa feiert ihren Geburtstag mit $9$ Freunden und möchte Pizza für alle backen. Sie möchte, dass jeder zwei Stücke mit unterschiedlichem Belag essen kann.
a)
In wie viele Stücke muss Lisa die Pizza schneiden? Welchen Anteil bekommt dann jeder an der Pizza?
b)
Zwei ihrer Freunde können leider nicht kommen. Lisa hat die Pizza aber schon in die entsprechende Anzahl Stücke geschnitten. Wie kann sie die vorhandenen Stücke nun teilen, damit trotzdem alle gleich viele gleich große Stücke bekommen?
Wie groß ist der Anteil, den jeder bekommt jetzt?

Aufgabe 1

Erweitere den Bruch mit der angegebenen Zahl.
b)
  • $\frac{7}{8}$ mit $5$
  • $\frac{23}{70}$ mit $10$
  • $\frac{6}{20}$ mit $5$
  • $\frac{18}{17}$ mit $3$
d)
  • $\frac{32}{7}$ mit $2$
  • $\frac{4}{3}$ mit $12$
  • $\frac{23}{23}$ mit $3$
  • $\frac{8}{50}$ mit $20$
#brücheerweitern

Aufgabe 2

Kürze den Bruch mit der angegebenen Zahl.
b)
  • $\frac{18}{63}$ mit $9$
  • $\frac{40}{100}$ mit $20$
  • $\frac{9}{39}$ mit $3$
  • $\frac{8}{12}$ mit $4$
d)
  • $\frac{100}{1\,000}$ mit $100$
  • $\frac{520}{13}$ mit $13$
  • $\frac{76}{38}$ mit $38$
  • $\frac{38}{76}$ mit $38$
#brüchekürzen

Aufgabe 3

Mit welcher Zahl wurde erweitert?
b)
  • $ \frac{13}{16}=\frac{39}{48}$
  • $\frac{21}{25}=\frac{84}{100} $
  • $ \frac{7}{5}=\frac{49}{35} $
  • $\frac{15}{13}=\frac{150}{130}$
#brücheerweitern

Aufgabe 4

Mit welcher Zahl wurde gekürzt?
b)
  • $\frac{91}{117}=\frac{7}{9}$
  • $\frac{112}{176} = \frac{7}{11}$
  • $\frac{125}{1\,000}=\frac{1}{8}$
  • $\frac{120}{200}=\frac{6}{10}$
#brüchekürzen

Aufgabe 5

Kürze so weit wie möglich.
b)
  • $\frac{15}{40}$
  • $\frac{60}{12}$
  • $\frac{26}{65}$
  • $\frac{16}{144}$
d)
  • $\frac{1\,620}{1\,944}$
  • $\frac{110}{990}$
  • $\frac{260}{2\,080}$
  • $\frac{510}{4\,080}$
#brüchekürzen

Aufgabe 6

Gib einen Bruch an, den man nur mit den angegebenen Zahlen kürzen kann.
b)
  • $1;3;9$
  • $1;2;3;6;12$
  • $1;3;9;27$
  • $1;5;7;35$
#brüchekürzen

Aufgabe 7

Welche Zahl fehlt?
b)
  • $\dfrac{56}{} = \dfrac{7}{10}$
  • $\dfrac{}{56} = \dfrac{3}{4}$
  • $\dfrac{}{108} = \dfrac{11}{12}$
d)
  • $\dfrac{90}{117} = \dfrac{}{13}$
  • $\dfrac{12}{} = \dfrac{132}{187}$
  • $\dfrac{3}{} = \dfrac{12}{48}$
f)
  • $\dfrac{12}{48} = \dfrac{}{60}$
  • $\dfrac{16}{20} = \dfrac{}{45}$
  • $\dfrac{22}{28} = \dfrac{33}{}$

Aufgabe 8

a)
Schreibe alle Brüche mit dem Nenner $10.$
  • $\dfrac{2}{5}$
  • $\dfrac{6}{15}$
  • $\dfrac{7}{35}$
  • $\dfrac{14}{28}$
b)
Schreibe alle Brüche mit dem Nenner $25.$
  • $\dfrac{32}{100}$
  • $\dfrac{2}{5}$
  • $\dfrac{24}{60}$
  • $\dfrac{26}{65}$
c)
Schreibe alle Brüche mit dem Nenner $20.$
  • $\dfrac{21}{30}$
  • $\dfrac{9}{15}$
  • $\dfrac{27}{36}$
  • $\dfrac{18}{72}$

Aufgabe 9

a)
Gib den Anteil der Felder eines Schachbretts an, der zu Beginn eines Spiels mit Figuren besetzt ist. Kürze dabei so weit wie möglich.
b)
Eine würfelförmige Schachtel ist mit $216$ (6 mal 6 mal 6) kleinen Schokoladenwürfeln gefüllt. Alle Schokoladenwürfel, die von außen zu sehen sind, sind mit einer Jogurt-Erdbeerfüllung gefüllt, alle anderen enthalten einen Keks.
Welcher Anteil der Schokoladenwürfel enthält einen Keks?
c)
„Stimmen Zähler und Nenner eines Bruchs überein, kann man den Bruch in jedem Fall kürzen. “
Stimmt diese Aussage? Begründe.
#brüchekürzen
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl Stücke berechnenBruchzahlen: Erweitern und Kürzen
Zusammen mit Lisa, muss die Pizza unter $10$ Leuten aufgeteilt werden. Jeder soll zwei gleich große Stücke bekommen. Lisa muss also die Pizza in $10\cdot 2 $ Stücke teilen.
$10\cdot 2 = 20$
Sie muss die Pizza in $20$ Stücke teilen.
$\blacktriangleright$  Anteil bestimmen
Da die gesamte Pizza gleichmäßig unter $10$ Leuten aufgeteilt wird, unabhängig davon, in wie viele Stücke sie geteilt wird, erhält jeder $\frac{1}{10}$ der Pizza.
Bruchzahlen: Erweitern und Kürzen
Abb. 1: Aufteilung der Pizza
Bruchzahlen: Erweitern und Kürzen
Abb. 1: Aufteilung der Pizza
b)
$\blacktriangleright$  Neue Anzahl der Stücke berechnen
Es sind nur $8$ Personen bei Lisas Geburtstagfeier. Unter diesen $8$ Personen sollen die $20$ Stücke gleichmäßig aufgeteilt werden. Die Gesamtanzahl der Stücke muss also ein Vielfaches von $20$ sein, aber auch ein Vielfaches von $8.$
Bruchzahlen: Erweitern und Kürzen
Abb. 2: Neue Aufteilung der Pizza
Bruchzahlen: Erweitern und Kürzen
Abb. 2: Neue Aufteilung der Pizza
$\blacktriangleright$  Anteil bestimmen
Da die gesamte Pizza gleichmäßig unter $8$ Leuten aufgeteilt wird, unabhängig davon, in wie viele Stücke sie geteilt wird, erhält jeder $\frac{1}{8}$ der Pizza.
Betrachtet man die eben berechnete Anzahl der Stücke, erhält jeder $5$ von insgesamt $40$ Stücken, also $\frac{5}{40}$ der Pizza.
Es ist also $\frac{1}{8} = \frac{5}{40}.$
Jeder erhält nun $\frac{1}{8} = \frac{5}{40}$ der Pizza.

Aufgabe 1

Zum Erweitern multiplizierst du sowohl den Nenner als auch den Zähler des Bruchs mit der angegebenen Zahl.
a)
$\blacktriangleright$  Brüche erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{1\cdot 4}{2\cdot 4} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{8} \\[10pt] \dfrac{2}{7}&=&\dfrac{2\cdot 3}{7\cdot 3} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{21} \\[10pt] \dfrac{2}{3}&=&\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{10}{15} \\[10pt] \dfrac{6}{23}&=&\dfrac{6\cdot 2}{23\cdot 2} \\[5pt] &=& \dfrac{12}{46} \\[10pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Brüche erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{8}&=&\dfrac{7\cdot 5}{8\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{35}{40} \\[10pt] \dfrac{23}{70}&=&\dfrac{23\cdot 10}{70\cdot 10} \\[5pt] &=& \dfrac{230}{700} \\[10pt] \dfrac{6}{20}&=&\dfrac{6\cdot 5}{20\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{30}{100} \\[10pt] \dfrac{18}{17}&=&\dfrac{18\cdot 3}{17\cdot 3} \\[5pt] &=& \dfrac{54}{51} \\[10pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Brüche erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6}{6}&=&\dfrac{6\cdot 5}{6\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{30}{30} \\[10pt] \dfrac{12}{19}&=&\dfrac{12\cdot 10}{19\cdot 10} \\[5pt] &=& \dfrac{120}{190} \\[10pt] \dfrac{42}{23}&=&\dfrac{42\cdot 4}{23\cdot 4} \\[5pt] &=& \dfrac{168}{92} \\[10pt] \dfrac{6}{31}&=&\dfrac{6\cdot 2}{31\cdot 2} \\[5pt] &=& \dfrac{12}{62} \\[10pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Brüche erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{32}{7}&=&\dfrac{32\cdot 2}{7\cdot 2} \\[5pt] &=& \dfrac{64}{14} \\[10pt] \dfrac{4}{3}&=&\dfrac{4\cdot 12}{3\cdot 12} \\[5pt] &=& \dfrac{48}{36} \\[10pt] \dfrac{23}{23}&=&\dfrac{23\cdot 3}{23\cdot 3} \\[5pt] &=& \dfrac{69}{69} \\[10pt] \dfrac{8}{50}&=&\dfrac{8\cdot 20}{50\cdot 20} \\[5pt] &=& \dfrac{160}{1\,000} \\[10pt] \end{array}$

Aufgabe 2

Um den Bruch zu kürzen dividierst du sowohl den Nenner als auch den Zähler des Bruchs durch die angegebene Zahl.
a)
$\blacktriangleright$  Brüche kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8}{8}&=&\dfrac{ 8: 8}{8 :8 } \\[5pt] &=& \dfrac{1}{1} \\[10pt] \dfrac{2}{8}&=&\dfrac{2 :2 }{8 :2 } \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \\[10pt] \dfrac{7}{21}&=&\dfrac{7 :7 }{21 :7 } \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \\[10pt] \dfrac{21}{33}&=&\dfrac{21 : 3}{ 33: 3} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{11} \\[10pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Brüche kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{18}{63}&=&\dfrac{ 18: 9}{63 :9 } \\[5pt] &=& \dfrac{2}{7} \\[10pt] \dfrac{40}{100}&=&\dfrac{40 :20 }{100 :20 } \\[5pt] &=& \dfrac{2}{5} \\[10pt] \dfrac{9}{39}&=&\dfrac{9 :3 }{ 39:3 } \\[5pt] &=& \dfrac{3}{13} \\[10pt] \dfrac{8}{12}&=&\dfrac{8 :4 }{12 :4 } \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \\[10pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Brüche kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5\,400}{9\,000}&=&\dfrac{5\,400 :900 }{9\,000 :900 } \\[5pt] &=& \dfrac{6}{10} \\[10pt] \dfrac{360}{720}&=&\dfrac{360 : 360}{720 : 360} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \\[10pt] \dfrac{18}{42}&=&\dfrac{ 18: 6}{42 :6 } \\[5pt] &=& \dfrac{3}{7} \\[10pt] \dfrac{81}{99}&=&\dfrac{81 :9 }{99 : 9} \\[5pt] &=& \dfrac{9}{11} \\[10pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Brüche kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{100}{1\,000}&=&\dfrac{100 :100 }{1\,000 :100 } \\[5pt] &=& \dfrac{1}{10} \\[10pt] \dfrac{520}{13}&=&\dfrac{520 :13 }{13 :13 } \\[5pt] &=& \dfrac{40}{1} \\[10pt] \dfrac{76}{38}&=&\dfrac{76 :38 }{38 :38 } \\[5pt] &=& \dfrac{2}{1} \\[10pt] \dfrac{38}{76}&=&\dfrac{38 :38 }{76 :38 } \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \\[10pt] \end{array}$

Aufgabe 3

Teile den größeren der beiden Zähler durch den kleineren Zähler oder den größeren Nenner durch den kleineren Nenner.
a)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen mit der erweitert wurde
  • $\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$
    Teile also $4:1$ oder $8:2$
    $4:1 = 4$
    Der Bruch $\dfrac{1}{2}$ wurde also mit $\color{#87c800}{4}$ erweitert:
    $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{4}}{2\cdot \color{#87c800}{4}} = \dfrac{4}{8}$
  • $\dfrac{1}{3} = \dfrac{15}{45}$
    Teile also $15:1$ oder $45:3$
    $15:1 = 15$
    Der Bruch $\dfrac{1}{3}$ wurde also mit $\color{#87c800}{15}$ erweitert:
    $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{15}}{3\cdot \color{#87c800}{15}} = \dfrac{15}{45}$
  • $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$
    Teile also $8:2$ oder $12:3$
    $8:2 = 4$
    Der Bruch $\dfrac{2}{3}$ wurde also mit $\color{#87c800}{4}$ erweitert:
    $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2\cdot \color{#87c800}{4}}{3\cdot \color{#87c800}{4}} = \dfrac{8}{12}$
  • $\dfrac{2}{5} = \dfrac{40}{100}$
    Teile also $40:2$ oder $100:5$
    $40:2 = 20$
    Der Bruch $\dfrac{2}{5}$ wurde also mit $\color{#87c800}{20}$ erweitert:
    $\dfrac{2}{5} = \dfrac{ 2 \cdot \color{#87c800}{20}}{5\cdot \color{#87c800}{20}} = \dfrac{40}{100}$
b)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen mit der erweitert wurde
  • $\dfrac{13}{16} = \dfrac{39}{48}$
    Teile also $39:13$ oder $48:16$
    $39:13 = 3$
    Der Bruch $\dfrac{13}{16}$ wurde also mit $\color{#87c800}{3}$ erweitert:
    $\dfrac{13}{16} = \dfrac{13\cdot \color{#87c800}{3}}{16\cdot \color{#87c800}{3}} = \dfrac{39}{48}$
  • $\dfrac{21}{25} = \dfrac{84}{100}$
    Teile also $84:21$ oder $100:25$
    $84:21 = 4$
    Der Bruch $\dfrac{21}{25}$ wurde also mit $\color{#87c800}{4}$ erweitert:
    $\dfrac{21}{25} = \dfrac{21\cdot \color{#87c800}{4}}{25\cdot \color{#87c800}{4}} = \dfrac{84}{100}$
  • $\dfrac{7}{5} = \dfrac{49}{35}$
    Teile also $49:7$ oder $35:5$
    $49:7 = 7$
    Der Bruch $\dfrac{7}{5}$ wurde also mit $\color{#87c800}{7}$ erweitert:
    $\dfrac{7}{5} = \dfrac{7\cdot \color{#87c800}{7}}{5\cdot \color{#87c800}{7}} = \dfrac{49}{35}$
  • $\dfrac{15}{13} = \dfrac{150}{130}$
    Teile also $150:15$ oder $130:13$
    $150:15 = 10$
    Der Bruch $\dfrac{15}{13}$ wurde also mit $\color{#87c800}{10}$ erweitert:
    $\dfrac{15}{13} = \dfrac{ 15 \cdot \color{#87c800}{10}}{13\cdot \color{#87c800}{10}} = \dfrac{150}{130}$

Aufgabe 4

Du kannst wie in Aufgabe 3 vorgehen:
Teile den größeren der beiden Zähler durch den kleineren Zähler oder den größeren Nenner durch den kleineren Nenner.
a)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen, mit der gekürzt wurde
  • $\dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}$
    Teile also $12:1$ oder $60:5$
    $12:1 = 12$
    Der Bruch $\dfrac{12}{60}$ wurde also mit $\color{#87c800}{12}$ gekürzt:
    $\dfrac{12}{60} = \dfrac{12: \color{#87c800}{12}}{60 : \color{#87c800}{12}} = \dfrac{1}{5}$
  • $\dfrac{90}{100} = \dfrac{9}{10}$
    Teile also $90:9$ oder $100:10$
    $90:9 = 10$
    Der Bruch $\dfrac{90}{100}$ wurde also mit $\color{#87c800}{10}$ gekürzt:
    $\dfrac{90}{100} = \dfrac{90: \color{#87c800}{10}}{100 : \color{#87c800}{10}} = \dfrac{9}{10}$
  • $\dfrac{32}{80} = \dfrac{2}{5}$
    Teile also $32:2$ oder $80:5$
    $32:2 = 16$
    Der Bruch $\dfrac{32}{80}$ wurde also mit $\color{#87c800}{16}$ gekürzt:
    $\dfrac{32}{80} = \dfrac{32: \color{#87c800}{16}}{80 : \color{#87c800}{16}} = \dfrac{2}{5}$
  • $\dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5}$
    Teile also $14:2$ oder $35:5$
    $14:2 = 7$
    Der Bruch $\dfrac{14}{35}$ wurde also mit $\color{#87c800}{7}$ gekürzt:
    $\dfrac{14}{35} = \dfrac{14: \color{#87c800}{7}}{35 : \color{#87c800}{7}} = \dfrac{2}{5}$
b)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen, mit der gekürzt wurde
  • $\dfrac{91}{117} = \dfrac{7}{9}$
    Teile also $91:7$ oder $117:9$
    $91:7 = 13$
    Der Bruch $\dfrac{91}{117}$ wurde also mit $\color{#87c800}{13}$ gekürzt:
    $\dfrac{91}{117} = \dfrac{91 : \color{#87c800}{13}}{117: \color{#87c800}{13}} = \dfrac{7}{9}$
  • $\dfrac{112}{176} = \dfrac{7}{11}$
    Teile also $112:7$ oder $176:11$
    $112:7 = 16$
    Der Bruch $\dfrac{112}{176}$ wurde also mit $\color{#87c800}{16}$ gekürzt:
    $\dfrac{112}{176} = \dfrac{112 : \color{#87c800}{16}}{176: \color{#87c800}{16}} = \dfrac{7}{11}$
  • $\dfrac{125}{1\,000} = \dfrac{1}{8}$
    Teile also $125:1$ oder $1\,000:8$
    $125:1 = 125$
    Der Bruch $\dfrac{125}{1\,000}$ wurde also mit $\color{#87c800}{125}$ gekürzt:
    $\dfrac{125}{1\,000} = \dfrac{125 : \color{#87c800}{125}}{1\,000: \color{#87c800}{125}} = \dfrac{1}{8}$
  • $\dfrac{120}{200} = \dfrac{6}{10}$
    Teile also $120:6$ oder $200:10$
    $120:6 = 20$
    Der Bruch $\dfrac{120}{200}$ wurde also mit $\color{#87c800}{20}$ gekürzt:
    $\dfrac{120}{200} = \dfrac{120 : \color{#87c800}{20}}{200: \color{#87c800}{20}} = \dfrac{6}{10}$

Aufgabe 5

Um so weit wie möglich zu kürzen kannst du systematisch vorgehen:
  1. Kürze so oft wie möglich mit $2,$ bis es nicht mehr geht.
  2. Kürze dann so oft wie möglich mit $3.$
  3. Da du schon so weit wie möglich mit $2$ gekürzt hast, kannst du nun mit keiner geraden Zahl mehr kürzen.
  4. Fahre also mit den anderen ungerade Zahlen genauso fort, bis du nicht mehr kürzen kannst.
Wenn du gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner direkt erkennen kannst, kannst du auch direkt mit diesen Kürzen. Enden beide auf eine Null, kannst du beispielsweise direkt mit $10$ kürzen.
a)
$\blacktriangleright$  So weit wie möglich kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{18}{36}&=& \dfrac{18:2}{36:2} \\[5pt] &=& \dfrac{9}{18}\\[5pt] &=& \dfrac{9:3}{18:3} \\[5pt] &=&\dfrac{3}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{3:3}{6:3} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\\[10pt] \dfrac{8}{12}&=& \dfrac{8:2}{12:2} \\[5pt] &=&\dfrac{4}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{4:2}{6:2}\\[5pt] &=& \dfrac{2}{3}\\[10pt] \dfrac{27}{180}&=& \dfrac{27:3}{180:3} \\[5pt] &=& \dfrac{9}{60}\\[5pt] &=& \dfrac{9:3}{60:3}\\[5pt] &=& \dfrac{3}{20}\\[10pt] \dfrac{140}{200}&=& \dfrac{140:10}{200:10} \\[5pt] &=& \dfrac{14}{20} \\[5pt] &=& \dfrac{14:2}{20:2} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{10}\\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  So weit wie möglich kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{40}&=& \dfrac{5:5}{40:5} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{8}\\[10pt] \dfrac{60}{12}&=& \dfrac{60:2}{12:2} \\[5pt] &=&\dfrac{30}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{30:2}{6:2}\\[5pt] &=& \dfrac{15}{3}\\[5pt] &=& \dfrac{15:3}{3:3}\\[5pt] &=& \dfrac{5}{1}\\[5pt] &=& 5\\[10pt] \dfrac{26}{65}&=& \dfrac{26:13}{65:13} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{5}\\[10pt] \dfrac{16}{144}&=& \dfrac{16:2}{144:2} \\[5pt] &=& \dfrac{8}{72} \\[5pt] &=& \dfrac{8:2}{72:2} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{36}\\[5pt] &=& \dfrac{4:2}{36:2}\\[5pt] &=& \dfrac{2}{18}\\[5pt] &=& \dfrac{2:2}{18:2}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{9}\\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  So weit wie möglich kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{168}{756}&=& \dfrac{168:2}{756:2} \\[5pt] &=& \dfrac{84}{378}\\[5pt] &=& \dfrac{84:2}{378:2}\\[5pt] &=& \dfrac{42}{189}\\[5pt] &=& \dfrac{42:3}{189:3}\\[5pt] &=& \dfrac{14}{63}\\[5pt] &=& \dfrac{14:7}{63:7}\\[5pt] &=& \dfrac{2}{9}\\[10pt] \dfrac{420}{1\,000}&=& \dfrac{420:10}{1\,000:10} \\[5pt] &=&\dfrac{42}{100} \\[5pt] &=& \dfrac{42:2}{100:2}\\[5pt] &=& \dfrac{21}{50}\\[5pt] \dfrac{210}{525}&=& \dfrac{210:3}{525:3} \\[5pt] &=& \dfrac{70}{175}\\[5pt] &=& \dfrac{70:5}{175:5}\\[5pt] &=& \dfrac{14}{35}\\[5pt] &=& \dfrac{14:7}{35:7}\\[5pt] &=& \dfrac{2}{5}\\[10pt] \dfrac{1\,890}{1\,134}&=& \dfrac{1\,890:2}{1\,134:2} \\[5pt] &=& \dfrac{945}{567} \\[5pt] &=& \dfrac{945:3}{567:3} \\[5pt] &=& \dfrac{315}{189}\\[5pt] &=& \dfrac{315:3}{189:3}\\[5pt] &=& \dfrac{105}{63}\\[5pt] &=& \dfrac{105:3}{63:3}\\[5pt] &=& \dfrac{35}{21}\\[5pt] &=& \dfrac{35::7}{21:7}\\[5pt] &=& \dfrac{5}{3}\\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  So weit wie möglich kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1\,620}{1\,944}&=& \dfrac{1\,620:2}{1\,944:2} \\[5pt] &=& \dfrac{810}{972}\\[5pt] &=& \dfrac{810:2}{972:2}\\[5pt] &=& \dfrac{405}{486}\\[5pt] &=& \dfrac{405:3}{486:3}\\[5pt] &=& \dfrac{135}{162}\\[5pt] &=& \dfrac{135:3}{162:3}\\[5pt] &=& \dfrac{45}{54}\\[5pt] &=& \dfrac{45:3}{54:3}\\[5pt] &=& \dfrac{15}{18}\\[5pt] &=& \dfrac{15:3}{18:3}\\[5pt] &=& \dfrac{5}{6}\\[10pt] \dfrac{110}{990}&=& \dfrac{110:10}{990:10} \\[5pt] &=&\dfrac{11}{99} \\[5pt] &=& \dfrac{11:11}{99:11}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{9}\\[5pt] \dfrac{260}{2\,080}&=& \dfrac{260:10}{2\,080:10} \\[5pt] &=& \dfrac{26}{208}\\[5pt] &=& \dfrac{26:2}{208:2}\\[5pt] &=& \dfrac{13}{104}\\[5pt] &=& \dfrac{13:13}{104:13}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{8}\\[10pt] \dfrac{510}{4\,080}&=& \dfrac{510:10}{4\,080:10} \\[5pt] &=& \dfrac{51}{408} \\[5pt] &=& \dfrac{51:3}{408:3} \\[5pt] &=& \dfrac{17}{136}\\[5pt] &=& \dfrac{17:17}{136:17}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{8}\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 6

Sowohl der Zähler als auch der Nenner muss durch alle angegebenen Zahlen teilbar sein. Zähler und Nenner müssen also Vielfache der Zahlen sein.
Beachte, dass es mehrere mögliche Lösungswege und Ergebnisse gibt.
Du kannst wie folgt vorgehen:
  1. Verwende zunächst die größte der angegebenen Zahlen als Zähler und ein Vielfaches davon als Nenner.
  2. Überprüfe, ob dieser Bruch bereits mit allen angegebenen Zahlen gekürzt werden kann. Kann mit einer Zahl nicht gekürzt werden, erweitere den Bruch mit dieser Zahl.
  3. Überprüfe, ob der Bruch mit einer anderen Zahl als den angegebenen gekürzt werden kann. Ist dies der Fall, kürze mit der Zahl und überprüfe 2. erneut.
a)
$\blacktriangleright$  Bruch angeben
Starte mit $\frac{6}{12}$ und überprüfe, ob Zähler und Nenner durch alle angegebenen Zahlen geteilt werden können.
Der Bruch kann mit folgenden Zahlen gekürzt werden:
$1;2;3;6$ aber mit keiner anderen Zahl.
Eine mögliche Lösung ist also $\frac{6}{12}.$
Hinweis: Andere Möglichkeiten sind zum Beispiel: $\frac{12}{6},$ $\frac{6}{18},$ $\frac{6}{24},$ $\frac{24}{6},$ …
$\blacktriangleright$  Bruch angeben
Starte mit $\frac{15}{30}$ und überprüfe, ob Zähler und Nenner durch alle angegebenen Zahlen geteilt werden können.
Der Bruch kann mit folgenden Zahlen gekürzt werden:
$1;3;5;15$ aber mit keiner anderen Zahl.
Eine mögliche Lösung ist also $\frac{15}{30}.$
Hinweis: Andere Möglichkeiten sind zum Beispiel: $\frac{30}{15},$ $\frac{15}{45},$ $\frac{45}{15},$ $\frac{15}{60},$ …
$\blacktriangleright$  Bruch angeben
Starte mit $\frac{28}{56}$ und überprüfe, ob Zähler und Nenner durch alle angegebenen Zahlen geteilt werden können.
Der Bruch kann mit folgenden Zahlen gekürzt werden:
$1;2;4;7;14;28$ aber mit keiner anderen Zahl.
Eine mögliche Lösung ist also $\frac{28}{56}.$
Hinweis: Andere Möglichkeiten sind zum Beispiel: $\frac{56}{28},$ $\frac{28}{84},$ $\frac{84}{28},$ $\frac{28}{560},$ …
$\blacktriangleright$  Bruch angeben
Starte mit $\frac{10}{20}$ und überprüfe, ob Zähler und Nenner durch alle angegebenen Zahlen geteilt werden können.
Der Bruch kann mit folgenden Zahlen gekürzt werden:
$1;2;5;10$ aber mit keiner anderen Zahl.
Eine mögliche Lösung ist also $\frac{10}{20}.$
Hinweis: Andere Möglichkeiten sind zum Beispiel: $\frac{20}{10},$ $\frac{10}{200},$ $\frac{200}{10},$ $\frac{10}{40},$ …
b)
$\blacktriangleright$  Bruch angeben
Starte mit $\frac{9}{18}$ und überprüfe, ob Zähler und Nenner durch alle angegebenen Zahlen geteilt werden können.
Der Bruch kann mit folgenden Zahlen gekürzt werden:
$1;3;9$ aber mit keiner anderen Zahl.
Eine mögliche Lösung ist also $\frac{9}{18}.$
Hinweis: Andere Möglichkeiten sind zum Beispiel: $\frac{18}{9},$ $\frac{9}{27},$ $\frac{27}{9},$ $\frac{9}{90},$ …
$\blacktriangleright$  Bruch angeben
Starte mit $\frac{12}{24}$ und überprüfe, ob Zähler und Nenner durch alle angegebenen Zahlen geteilt werden können.
Der Bruch kann mit folgenden Zahlen gekürzt werden:
$1;2;3;4;6;12$ aber mit keiner anderen Zahl.
Eine mögliche Lösung ist also $\frac{12}{24}.$
Hinweis: Andere Möglichkeiten sind zum Beispiel: $\frac{24}{12},$ $\frac{12}{36},$ $\frac{36}{12},$ $\frac{12}{48},$ …
$\blacktriangleright$  Bruch angeben
Starte mit $\frac{27}{54}$ und überprüfe, ob Zähler und Nenner durch alle angegebenen Zahlen geteilt werden können.
Der Bruch kann mit folgenden Zahlen gekürzt werden:
$1;3;9;27$ aber mit keiner anderen Zahl.
Eine mögliche Lösung ist also $\frac{27}{54}.$
Hinweis: Andere Möglichkeiten sind zum Beispiel: $\frac{54}{27},$ $\frac{27}{81},$ $\frac{81}{27},$ $\frac{27}{540},$ …
$\blacktriangleright$  Bruch angeben
Starte mit $\frac{35}{70}$ und überprüfe, ob Zähler und Nenner durch alle angegebenen Zahlen geteilt werden können.
Der Bruch kann mit folgenden Zahlen gekürzt werden:
$1;5;7;35$ aber mit keiner anderen Zahl.
Eine mögliche Lösung ist also $\frac{35}{70}.$
Hinweis: Andere Möglichkeiten sind zum Beispiel: $\frac{70}{35},$ $\frac{35}{105},$ $\frac{105}{35},$ $\frac{35}{350},$ …

Aufgabe 7

Du kannst wie folgt vorgehen:
  • Finde heraus, ob gekürzt oder erweitert wird.
  • Bestimme die Zahl mit der gekürzt bzw. erweitert wurde, indem du den größeren Zähler durch den kleineren Zähler beziehungsweise den größeren Nenner durch den kleineren Nenner teilst.
  • Vervollständige den Bruch, indem du den vollständigen Bruch mit der eben bestimmten Zahl erweiterst bzw. kürzt.
a)
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
In der ersten Gleichung fehlt der erste Zähler. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Nenner durch den kleineren Nenner. So findest du heraus mit welcher Zahl gekürzt wurde.
  2. Erweitere den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$6:2 = 3$
Es wurde also mit $3$ gekürzt.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3} = \dfrac{3}{6}.$
Der fehlende Zähler ist also $3:$
$\dfrac{\color{#87c800}{3}}{6} = \dfrac{1}{2}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Nenner bestimmen
In der zweiten Gleichung fehlt der erste Nenner. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Zähler durch den kleineren Zähler. So findest du heraus mit welcher Zahl gekürzt wurde.
  2. Erweitere den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$15:3 = 5$
Es wurde also mit $5$ gekürzt.
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3\cdot 5}{5\cdot 5} = \dfrac{15}{25}.$
Der fehlende Nenner ist also $25:$
$\dfrac{15}{\color{#87c800}{25}} = \dfrac{3}{5}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
In der dritten Gleichung fehlt der erste Zähler. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Nenner durch den kleineren Nenner. So findest du heraus mit welcher Zahl erweitert wurde.
  2. Erweitere den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$40:5 = 8$
Es wurde also mit $8$ erweitert.
$\dfrac{32}{40} = \dfrac{32:8}{40 :8} = \dfrac{4}{5}.$
Der fehlende Zähler ist also $4:$
$\dfrac{\color{#87c800}{4}}{5} = \dfrac{32}{40}$
b)
$\blacktriangleright$  Fehlenden Nenner bestimmen
In der ersten Gleichung fehlt der erste Nenner. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Zähler durch den kleineren Zähler. So findest du heraus mit welcher Zahl gekürzt wurde.
  2. Erweitere den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$56:7 = 8$
Es wurde also mit $8$ gekürzt.
$\dfrac{7}{10} = \dfrac{7\cdot 8}{10\cdot 8} = \dfrac{56}{80}.$
Der fehlende Nenner ist also $80:$
$\dfrac{56}{\color{#87c800}{80}} = \dfrac{7}{10}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
In der zweiten Gleichung fehlt der erste Zähler. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Nenner durch den kleineren Nenner. So findest du heraus mit welcher Zahl gekürzt wurde.
  2. Erweitere den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$56:4 = 14$
Es wurde also mit $14$ gekürzt.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3\cdot 14}{4\cdot 14} = \dfrac{42}{56}.$
Der fehlende Zähler ist also $42:$
$\dfrac{\color{#87c800}{42}}{56} = \dfrac{3}{4}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
In der dritten Gleichung fehlt der erste Zähler. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Nenner durch den kleineren Nenner. So findest du heraus mit welcher Zahl gekürzt wurde.
  2. Erweitere den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$108:12 = 9$
Es wurde also mit $9$ gekürzt.
$\dfrac{11}{12} = \dfrac{11\cdot 9}{12 \cdot 9} = \dfrac{99}{108}.$
Der fehlende Zähler ist also $99:$
$\dfrac{\color{#87c800}{99}}{108} = \dfrac{11}{12}$
c)
$\blacktriangleright$  Fehlenden Nenner bestimmen
In der ersten Gleichung fehlt der erste Nenner. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Zähler durch den kleineren Zähler. So findest du heraus mit welcher Zahl gekürzt wurde.
  2. Erweitere den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$39:13 =3$
Es wurde also mit $3$ gekürzt.
$\dfrac{13}{18} = \dfrac{13\cdot 3}{18\cdot 3} = \dfrac{39}{54}.$
Der fehlende Nenner ist also $54:$
$\dfrac{39}{\color{#87c800}{54}} = \dfrac{13}{18}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
In der zweiten Gleichung fehlt der erste Zähler. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Nenner durch den kleineren Nenner. So findest du heraus mit welcher Zahl gekürzt wurde.
  2. Erweitere den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$34:17 = 2$
Es wurde also mit $2$ gekürzt.
$\dfrac{10}{17} = \dfrac{10\cdot 2}{17\cdot 2} = \dfrac{20}{34}.$
Der fehlende Zähler ist also $20:$
$\dfrac{\color{#87c800}{20}}{34} = \dfrac{10}{17}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Nenner bestimmen
In der dritten Gleichung fehlt der erste Nenner. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Zähler durch den kleineren Zähler. So findest du heraus mit welcher Zahl gekürzt wurde.
  2. Erweitere den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$63:7 = 9$
Es wurde also mit $9$ gekürzt.
$\dfrac{7}{9} = \dfrac{7\cdot 9}{9 \cdot 9} = \dfrac{63}{81}.$
Der fehlende Nenner ist also $81:$
$\dfrac{63}{\color{#87c800}{81}} = \dfrac{7}{9}$
d)
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
In der ersten Gleichung fehlt der zweite Zähler. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Nenner durch den kleineren Nenner. So findest du heraus mit welcher Zahl gekürzt wurde.
  2. Kürze den vollständigen Bruch mit dieser Zahl, da nun die fehlende Zahl im zweiten Bruch ist.
$117:13 =9$
Es wurde also mit $9$ gekürzt.
$\dfrac{90}{117} = \dfrac{90:9}{117:9} = \dfrac{10}{13}.$
Der fehlende Zähler ist also $10:$
$\dfrac{90}{117} = \dfrac{\color{#87c800}{10}}{13}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Nenner bestimmen
In der zweiten Gleichung fehlt der erste Nenner. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Zähler durch den kleineren Zähler. So findest du heraus mit welcher Zahl erweitert wurde.
  2. Kürze den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$132:12 = 11$
Es wurde also mit $11$ erweitert.
$\dfrac{132}{187} = \dfrac{132 : 11}{187 : 11} = \dfrac{12}{17}.$
Der fehlende Nenner ist also $17:$
$\dfrac{12}{\color{#87c800}{17}} = \dfrac{132}{187}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Nenner bestimmen
In der dritten Gleichung fehlt der erste Nenner. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Teile den größeren Zähler durch den kleineren Zähler. So findest du heraus mit welcher Zahl erweitert wurde.
  2. Kürze den vollständigen Bruch mit dieser Zahl.
$12:3 = 4$
Es wurde also mit $4$ erweitert.
$\dfrac{12}{48} = \dfrac{12:4}{48 : 4} = \dfrac{3}{12}.$
Der fehlende Nenner ist also $12:$
$\dfrac{3}{\color{#87c800}{12}} = \dfrac{12}{48}$
e)
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
$\dfrac{6}{8} = \dfrac{}{12}$
Betrachte beide Nenner. Um von $8$ auf $12$ zu kommen, kannst du beispielsweise zuerst mit $2$ kürzen und dann mit $3$ erweitern:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6}{8} &=&\dfrac{6:2}{8:2} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 3}{4\cdot 3} \\[5pt] &=& \dfrac{\color{#87c800}{9}}{12} \end{array}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
$\dfrac{}{6} = \dfrac{2}{4}$
Betrachte beide Nenner. Um von $6$ auf $4$ zu kommen, kannst du beispielsweise zuerst mit $3$ kürzen und dann mit $2$ erweitern. Umgekehrt musst du also um von $4$ auf $6$ zu kommen zuerst mit $2$ kürzen und dann mit $3$ erweitern.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{4} &=&\dfrac{2:2}{4:2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 3} \\[5pt] &=& \dfrac{\color{#87c800}{3}}{6} \end{array}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
$\dfrac{9}{12} = \dfrac{}{16}$
Betrachte beide Nenner. Um von $12$ auf $16$ zu kommen, kannst du beispielsweise zuerst mit $3$ kürzen und dann mit $4$ erweitern.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{9}{12} &=&\dfrac{9:3}{12:3} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 4}{4\cdot 4} \\[5pt] &=& \dfrac{\color{#87c800}{12}}{16} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
$\dfrac{12}{48} = \dfrac{}{60}$
Betrachte beide Nenner. Um von $48$ auf $60$ zu kommen, kannst du beispielsweise zuerst mit $4$ kürzen und dann mit $5$ erweitern:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{12}{48} &=&\dfrac{12:4}{48:4} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{12} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 5}{12\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{\color{#87c800}{15}}{60} \end{array}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
$\dfrac{16}{20} = \dfrac{}{45}$
Betrachte beide Nenner. Um von $20$ auf $45$ zu kommen, kannst du beispielsweise zuerst mit $4$ kürzen und dann mit $9$ erweitern.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{16}{20} &=&\dfrac{16:4}{20:4} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot 9}{5\cdot 9} \\[5pt] &=& \dfrac{\color{#87c800}{36}}{45} \end{array}$
$\blacktriangleright$  Fehlenden Zähler bestimmen
$\dfrac{22}{28} = \dfrac{33}{}$
Betrachte beide Zähler. Um von $22$ auf $33$ zu kommen, kannst du beispielsweise zuerst mit $2$ kürzen und dann mit $3$ erweitern.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{22}{28} &=&\dfrac{22:2}{28:2} \\[5pt] &=& \dfrac{11}{14} \\[5pt] &=& \dfrac{11\cdot 3}{14\cdot 3} \\[5pt] &=& \dfrac{33}{\color{#87c800}{42}} \end{array}$

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$  Brüche auf den gleichen Nenner bringen
  • Um vom Nenner $5$ auf $10$ zu kommen, genügt es mit $2$ zu erweitern:
    $\dfrac{1}{5} = \dfrac{1\cdot 2}{5\cdot 2} = \dfrac{2}{10}$
  • Um vom Nenner $15$ auf $10$ zu kommen, kannst du beispielsweise erst mit $3$ kürzen, um auf $5$ zu kommen und dann mit $2$ erweitern:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6}{15}&=&\dfrac{6:3}{15:3} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot2}{5\cdot 2} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{10} \\[5pt] \end{array}$
  • Um vom Nenner $35$ auf $10$ zu kommen, kannst du beispielsweise erst mit $7$ kürzen, um auf $5$ zu kommen und dann mit $2$ erweitern:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{35}&=&\dfrac{7:7}{35:7} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{1\cdot2}{5\cdot 2} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{10} \\[5pt] \end{array}$
  • Um vom Nenner $28$ auf $10$ zu kommen, kannst du beispielsweise erst mit $14$ kürzen, um auf $2$ zu kommen und dann mit $5$ erweitern:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14}{28}&=&\dfrac{14:14}{28:14} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1\cdot 5}{2\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{10} \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Brüche auf den gleichen Nenner bringen
  • Um vom Nenner $100$ auf $25$ zu kommen, genügt es mit $4$ zu kürzen:
    $\dfrac{32}{100} = \dfrac{32:4}{100:4} = \dfrac{8}{25}$
  • Um vom Nenner $5$ auf $25$ zu kommen, genügt es mit $5$ zu erweitern:
    $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2\cdot 5}{5\cdot 5} = \dfrac{10}{25}$
  • Um vom Nenner $60$ auf $25$ zu kommen, kannst du beispielsweise erst mit $12$ kürzen, um auf $5$ zu kommen und dann mit $5$ erweitern:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{24}{60}&=&\dfrac{24:12}{60:12} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot5}{5\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{10}{25} \\[5pt] \end{array}$
  • Um vom Nenner $65$ auf $25$ zu kommen, kannst du beispielsweise erst mit $13$ kürzen, um auf $5$ zu kommen und dann mit $5$ erweitern:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{26}{65}&=&\dfrac{26:13}{65:13} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 5}{5\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{10}{25} \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Brüche auf den gleichen Nenner bringen
  • Um vom Nenner $30$ auf $20$ zu kommen, kannst du beispielsweise erst mit $3$ kürzen, um auf $10$ zu kommen und dann mit $2$ erweitern:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{21}{30}&=&\dfrac{21:3}{30:3} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{10} \\[5pt] &=& \dfrac{7\cdot2}{10\cdot 2} \\[5pt] &=& \dfrac{14}{20} \\[5pt] \end{array}$
  • Um vom Nenner $15$ auf $20$ zu kommen, kannst du beispielsweise erst mit $3$ kürzen, um auf $5$ zu kommen und dann mit $4$ erweitern:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{9}{15}&=&\dfrac{9:3}{15:3} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 4}{5\cdot 4} \\[5pt] &=& \dfrac{12}{20} \\[5pt] \end{array}$
  • Um vom Nenner $36$ auf $20$ zu kommen, kannst du beispielsweise erst mit $9$ kürzen, um auf $4$ zu kommen und dann mit $5$ erweitern:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{27}{36}&=&\dfrac{27:9}{36:9} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot5}{4\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{15}{20} \\[5pt] \end{array}$
  • Um vom Nenner $72$ auf $20$ zu kommen, kannst du beispielsweise erst mit $18$ kürzen, um auf $4$ zu kommen und dann mit $5$ erweitern:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{18}{72}&=&\dfrac{18:18}{72:18} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{1\cdot 5}{4\cdot 5} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{20} \\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 9

a)
$\blacktriangleright$  Anteil der besetzten Felder angeben
Ein Schachbrett besteht aus $8$ Reihen mit jeweils $8$ Felder. Die Gesamtanzahl der Felder ist also:
$8\cdot 8 = 64$
Zu Beginn des Spiels sind auf jeder Seite $2$ Reihen mit Figuren besetzt, also insgesamt $4$ Reihen:
$4\cdot 8 = 32$
Es sind also $\frac{32}{64}$ des Schachbretts mit Figuren besetzt. Dieser Bruch lässt sich noch weiter kürzen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{32}{64}&=&\dfrac{32:32}{64:32} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{1}{2}$ des Schachbretts ist zu Beginn mit Figuren besetzt.
b)
$\blacktriangleright$  Anteil der Würfel mit Keks bestimmen
Die kleinen Schokowürfel sind zu einem großen Schokowürfel zusammengesetzt. Dabei sind sie in $6$ Lagen aus $6$ mal $6$ Schokowürfeln angeordnet.
Die äußeren Schokowürfel enthalten eine Jogurt-Erdbeerfüllung. Stellst du dir einen Würfel aus kleinen Würfeln bildlich vor, erkennst du, dass das innere des großen Würfels wiederum ein Würfel aus $4$ mal $4$ mal $4$ kleinen Würfeln ist. Diese enthalten alle einen Keks.
Die Anzahl der Schokowürfel mit Keks ist also:
$4\cdot 4\cdot 4 = 64$
Die Gesamtzahl der kleinen Schokowürfel ist bereits in der Aufgabe angegeben und beträgt $216.$ Der Anteil der Schokowürfel mit Keks beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{64}{216}&=& \dfrac{64:4}{216:4} \\[5pt] &=& \dfrac{16}{54}\\[5pt] &=& \dfrac{16:2}{54:2}\\[5pt] &=& \dfrac{8}{27} \\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{8}{27}$ der Schokowürfel sind mit Keks gefüllt.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
Steht im Zähler die gleiche Zahl wie im Nenner, kannst du in jedem Fall mit dieser Zahl kürzen, da sie sowohl ein Teiler des Zählers als auch des Nenners ist.
Du kannst sie also soweit kürzen, dass nur noch $\dfrac{1}{1}$ da steht, was wiederum sogar ohne Bruch als $1$ geschrieben werden kann.
Die Aussage stimmt also.
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
Public Domain.
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