Rationale Zahlen addieren und subtrahieren

Bei der Addition und Subtraktion rationaler Zahlen gibt es ein paar mehr Dinge zu beachten als beispielsweise beim Rechnen mit natürlichen Zahlen. Beispielsweise können rationale Zahlen auch ein negatives Vorzeichen haben oder weitere Zahlen hinter dem Komma. Die wichtigsten Rechenregeln werden im Folgenden erläutert.

Rationale Zahlen

Um rationale Zahlen addieren und subtrahieren zu können, ist es wichtig zu wissen, welche Zahlen überhaupt rational sind. Dazu gehören alle Zahlen, die sich als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen schreiben lassen. Rationale Zahlen sind also Brüche, Dezimalzahlen, negative sowie positive Zahlen. Ihr Symbol ist $\mathbb Q.$

Rationale Zahlen sind also allgemeiner als die natürlichen und die ganzen Zahlen. Das bedeutet, dass zwar jede natürliche oder ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist, aber die Umkehrung nicht unbedingt gelten muss.

Rationale Zahlen Regeln

Um in der Rechnung Vor- und Rechenzeichen unterscheiden zu können, wird die Zahl mit Vorzeichen in eine Klammer geschrieben. Das wird jedoch schnell unübersichtlich, wie beispielsweise an folgender Rechnung deutlich wird:

$(+5)+(-3)-(-7)=?$

Daher gibt es zunächst Regeln, mit denen solche Ausdrücke vereinfacht werden können:

Merke:
Treffen ein Plus (+) und ein Minus (-) aufeinander, fällt das Plus weg und nur das Minus bleibt stehen.

Merke:
Treffen zwei Minus (-) aufeinander, wird aus diesen ein Plus (+).

$7 + (-4)$ wird zu $\longrightarrow7 - 4=$

$(-3,5) + (-5,7)$ wird zu $\longrightarrow-3,5-5,7=$

$6- (-2)$ wird zu $\longrightarrow 6 +2 =$

$(-1) - (+\frac{1}{2})$ wird zu $\longrightarrow -1 - \frac{1}{2} =$

Addition

Werden zwei positiven Zahlen miteinander addiert, rückt das Ergebnis auf dem Zahlenstrahl immer weiter nach rechts.

$6 + 2 = 8$

Schlichte schwarze Grafik mit abstrakten Formen und Linien auf hellem Hintergrund.

Abb. 1

Eine Additionsaufgabe könnte aber auch so aussehen:
$-2 + 3= 1$

Ein einfaches, stilisiertes Bild eines Baumes in Schwarz.

Abb. 2

Subtraktion

Bei der Subtraktion verringert sich das Ergebnis, wie du bestimmt schon weißt. Somit rutscht das Ergebnis auf dem Zahlenstrahl weiter nach links.

$7-4 = 3$

Symbol eines offenen Buches mit einem Stift daneben.

Abb. 3

Eine Subtraktionsaufgabe könnte aber auch so aussehen:
$-1-2=-3$

Ein einfaches, stilisiertes Symbol oder Icon in Schwarz auf weißem Hintergrund.

Abb. 4

Merke: Falls du mit einer Aufgabe nicht weiterkommst, nimm dir als Hilfestellung den Zahlenstrahl zur Hand.

Lösung 1

$(-3) + 5 = 2$

$4 - 15 = -11$

$(- 27) + (- 15) = -27 - 15$

$-$	$2$	$7$
$-$	$1$	$5$
	1

$-$	$4$	$2$

$(-7) - (-9) = -7 + 9 = 2$

	$1$	$2$	$0$
$+$		$3$	$9$

	$1$	$5$	$9$

	$2$	$3$
$-$	$4$	$7$

$-$	$2$	$4$

Lösung 2

Für Aufgabe 2 gibt es verschiedene Lösungswege. Du kannst entweder die ganze Zahl in einen Bruch umwandeln oder den Bruch in eine Dezimalzahl.

Wir werden die ganze Zahl in einen Bruch umwandeln.

1. Schritt: Bruch umwandeln

Eine ganze Zahl hat als Bruch immer den Nenner $1$ , also lautet der Bruch $-\dfrac{4}{1}$

2. Schritt: gemeinsamen Nenner finden

Der gemeinsame Nenner ist $3$ . Also muss $-\dfrac{4}{1}$ um $3$ erweitert werden:
$-\dfrac{4\cdot 3}{1 \cdot 3} = -\dfrac{12}{3}$

3. Schritt: Vereinfachen der Rechnung

$\dfrac{2}{3} - \dfrac{12}{3} = \dfrac{2-12}{3} = \dfrac{-10}{3} = -\dfrac{10}{3} = -3\dfrac{1}{3}$

1. Schritt: Unechten Bruch in Bruch umwandeln

$-3\dfrac{1}{4} = -\dfrac{(3\cdot 4) + 1}{4} = \dfrac{13}{4}$

2. Schritt: Rechnung vereinfachen

$-\dfrac{13}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{-13+2}{4} = \dfrac{-11}{4} = -\dfrac{11}{4} = -2\dfrac{3}{4}$

1. Schritt: Bruch in Deszimalzahl umwandeln

$\dfrac{3}{2} = 1,5$

2. Schritt: In die Gleichung eintragen

$5 + 1,5 = 6,5$

1. Schritt: Unechten Bruch in einen echten Bruch umwandeln

$-1\dfrac{3}{5} = -\dfrac{(1 \cdot 5) + 3}{5} = -\dfrac{8}{5}$

2. Schritt: gemeinsamen Nenner finden

Gemeinsamer Nenner: $15$

$-\dfrac{2}{3}$ muss mit $5$ erweitert werden. $-\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = -\dfrac{10}{15}$

$-\dfrac{8}{5}$ muss mit $3$ erweitert werden. $-\dfrac{8 \cdot 3}{5\cdot 3} = -\dfrac{24}{15}$

3. Schritt: Rechnung vereinfachen

$-\dfrac{10}{15} - (-\dfrac{24}{15}) = -\dfrac{10}{15} + \dfrac{24}{15} = \dfrac{-10+24}{15} = \dfrac{14}{15}$

Lösung 3

1. Schritt: Rechnung vereinfachen

$(-3,3)-(-1) = -3,3 + 1$

2. Schritt: Rechnen

$-$	$3$	,	$3$
$+$	$1$


$-$	$2$	,	$3$

	$1$	$6$	,	$8$
$+$		$4$	,	$5$
	1	1

	$2$	$1$	,	$3$

1. Schritt: Rechnung vereinfachen

$22,7 - (-0,75) = 22,7 \;+ 0,75$

2. Schritt: Rechnen

	$2$	$2$	,	$7$	$0$
$+$		$0$	,	$7$	$5$
		1

	$2$	$3$	,	$4$	$5$

1. Schritt: Rechnung vereinfachen

$-5,6 + (-3,1) = -5,6 - 3,1$

Wenn du zwei negative Zahlen miteinander Verrechnen musst wird das negative Ergebnis größer. Zur Berechnung musst du also beide Zahlen miteinander addieren und das Ergebnis mit einem negativen Vorzeichen versehen.

2. Schritt: Rechnen

	$(-)$	$5$	,	$6$
$+$	$(-)$	$3$	,	$1$


	$-$	$8$	,	$7$

Lösung 4

Ein einfaches, stilisiertes Symbol, das eine kreative Idee oder Inspiration darstellt.

Abb. 1

$6-8 = -2$

Lösung 5

Tipp: Für ein besseres Verständnis zeichne einen Zahlenstrahl und trage die Werte ein.

Wie schon in Aufgabe 2 d) behandelst du Aufgaben mit ausschließlich negativen Vorzeichen wie eine Additionsaufgabe. Um also den fehlenden Wert zu berechnen ziehst du die $6$ von der $34$ ab.

	$(-)$	$3$	$4$
$-$	$(-)$		$6$
		1

	$-$	$2$	$8$

Somit lautet die Aufgabe: $-6\color{#87c800}{-28}=-34$

	$9$	,	$5$
$-$	$7$	,	$2$


	$2$	,	$3$

Somit lautet die Aufgabe: $7,2 +\color{#87c800}{ 2,3} = 9,5$

1. Schritt: Rechnung vereinfachen

$? - (-4) = 0,5 \longrightarrow ? + 4 = 0,5$

Bei der Betrachtung der vereinfachten Rechnung siehst du, dass die fehlende Zahl ein negatives Vorzeichen haben muss. Denn die fehlende Zahl muss mit $4$ addiert werden um das Ergebnis $0,5$ ergeben. Also ziehst du vom Wert $4$ den Wert $0,5$ ab und veränderst das Vorzeichen.

2. Schritt: Rechnen