Periodischer und abbrechender Dezimalbruch
Ein Bruch ist eine Art, eine Dezimalzahl darzustellen. Eine Dezimalzahl kann nach einigen Nachkommastellen abbrechen, aber auch unendlich lang sein. So gibt es auch verschiedene Arten von Brüchen, nämlich ein abbrechender Dezimalbruch und periodische Dezimalbrüche. Die beiden Dezimalbrüche werden im Folgenden genauer erläutert.
gebracht werden kann.
Abbrechender Dezimalbruch Beispiel:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac {13}{40}&=&\dfrac{13}{5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } &=& 0,325& \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/41b4666b0ee60e63d74ce76bddc69b9460d2b0c13cff7e1eb2aef138966e7bea?color=5a5a5a)
Der Nenner besteht nach der Primfaktorzerlegung nur aus den Faktoren 5 und 2. Deshalb muss ein abbrechender Dezimalbruch vorliegen.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac {3}{25} &=&\dfrac {3 \cdot 4}{25 \cdot 4} &=&\dfrac{12}{100} &=& 0,12 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/138ad334e320e15988afea7554bca43bbbf3141f001c5ea4935c3fde3acb96f9?color=5a5a5a)
Der Bruch kann mit 
multipliziert werden, sodass der Nenner auf 100 erweitert wird. Daher liegt auch hier ein abbrechender Dezimalbruch vor.
und 
Periodischer Dezimalbruch Beispiel:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac {1}{3} &=& 0,\overline{33} & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/01ab07a230aba103b3ec08b9d40e936e74550b6cb6a0e8a0555a2ce5a1a33b36?color=5a5a5a)
Hier steht im Nenner nur die Zahl 
Da diese nicht als Faktor der Zahlen und 
geschrieben werden kann, liegt hier ein nicht abbrechender Dezimalbruch, also ein periodischer Dezimalbruch vor.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac {5}{24} &=& \dfrac {5}{3\cdot 2 \cdot2 \cdot 2} &=& 0,208\overline{33} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/497b76fab010b382810d28c5e7136561b9a1bf3b189cf99d9326eb1f16554dfa?color=5a5a5a)
Nach der Primfaktorzerlegung ist zu erkennen, dass 2 und 3 als Faktoren im Nenner stehen. Eigentlich ist eine 2 als Faktor im Nenner ein Hinweis dafür, dass ein abbrechender Dezimalbruch vorliegt. Jedoch ist die Regel, dass sobald ein anderer Faktor im Nenner alleine oder zusätzlich zu 2 und 5 steht, der Bruch periodisch sein muss (in diesem Beispiel war der Faktor die 3).
demonstriert.
Es wird beginnend bei der Zahl der Reihe nach überprüft, durch welche Zahlen die zu zerlegende Zahl, in diesem Fall 
geteilt werden kann. Offenbar ist durch teilbar und es gilt:
Anschließend wird nun analog für den übrigen Faktor 
vorgegangen. Dieser ist ebenfalls durch teilbar:
Nun wird überprüft, durch was die Zahl 
teilbar ist. Da nicht durch teilbar ist, wird die nächste natürliche Zahl überprüft, also die 
Die Zahl ist selbst eine Primzahl und kann daher nicht mehr weiter zerlegt werden. Die eindeutige Primfaktorzerlegung von ist also durch gegeben.
Da wie oben erwähnt jeder abbrechende Dezimalbruch so erweitert oder gekürzt werden kann, dass im Nenner steht, ist dies immer möglich. Die Dezimalzahl ist dann gegeben durch die Zahl im Zähler mit so vielen Nachkommastellen, wie die Zehnerpotenz im Nenner Nullen hat.
Beispiel: Abbrechender Dezimalbruch 
Abbrechende Dezimalzahl
Umgekehrt kann jede abbrechende Dezimalzahl als abbrechender Dezimalbruch geschrieben werden. Dafür muss die Zahl ohne Komma in den Zähler geschrieben werden. Die Zehnerpotenz mit der entsprechenden Anzahl Nullen, also der Anzahl der Nachkommastellen der Dezimalzahl, wird in den Nenner geschrieben.
Beispiel: Abbrechende Dezimalzahl Abbrechender Dezimalbruch
Periodische Dezimalzahl
Der Bruch 
soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden:
Möchte man sofort-periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, so wird wie folgt vorgegangen: Zunächst wird die Zahl vor dem Komma durch 
ersetzt. Der periodische Bruch zu dieser Zahl ergibt sich dann, indem die Periode in den Zähler und so viele 
-er in den Nenner geschrieben werden, wie die Periode Ziffern hat. Steht eine andere Zahl als vor dem Komma, so wird diese anschließend zu dem erhaltenten Bruch addiert.
Beispiel: Periodische Dezimalzahl Periodischer Dezimalbruch
Die sofort-periodische Dezimalzahl 
soll in einen Dezimalbruch umgewandelt werden. Die Periode ist 
und hat die Länge 
Es gilt also zuächst für die Dezimalzahl 
Nun muss noch die Zahl vor dem Komma, also 
addiert werden:
Abbrechender Dezimalbruch Definition
Was ist ein abbrechender Dezimalbruch? Ein abbrechender Dezimalbruch ist ein Bruch, der nur endlich viele Nachkommastellen hat. Die Nachkommastellen dieses Bruches sind also mit einer bestimmten Zahl begrenzt. Ist ein abbrechender Dezimalbruch vollständig gekürzt, so stehen im Nenner als Faktoren nur 2 und 5. Die Faktoren der Zahl im Nenner können mit der Primfaktorzerlegung berechnet werden, die weiter unten erklärt wird. Analog ist ein abbrechender Dezimalbruch auch daran erkennbar, dass der Nenner durch Erweitern bzw. Kürzen aufPeriodische Dezimalbrüche
Ein periodischer Dezimalbruch ist ein nicht abbrechender Dezimalbruch. Die Nachkommastellen dieses Bruches sind also nicht durch eine bestimmte Zahl begrenzt, sondern unendlich fortlaufend mit Wiederholungen. Um dies darzustellen, wird über die sich wiederholende Zahlenfolge ein "Periodenstrich" geschrieben. Bei einem periodischen Dezimalbruch können im Nenner alle Zahlen stehen, also nicht nur die FaktorenPrimfaktorzerlegung Erklärung
Was ist eine Primfaktorzerlegung? Eine Primfaktorzerlegung ist die eindeutige Zerlegung einer Zahl in ein Produkt aus Primzahlen, die sogenannten Primfaktoren. Die Zerlegung kann wie folgt berechnet werden: Zur Veranschaulichung wird die Berechnung an der ZahlEs wird beginnend bei der Zahl
Brüche umrechnen
Möchte man einen Bruch als Dezimalzahl schreiben, so muss unterschieden werden, ob ein abbrechender Dezimalbruch oder periodische Dezimalbrüche vorliegen. Abbrechende Brüche sind umgewandelt abbrechende Dezimalzahlen, periodische Brüche sind umgewandelt periodische Dezimalzahlen. Unendliche Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind, lassen sich jedoch nicht als Bruch darstellen.Abbrechende Dezimalbrüche
Soll ein abbrechender Dezimalbruch in eine Dezimalzahl umgewandelt werden, so muss der Bruch so erweitert bzw. gekürzt werden, dass im Nenner eine Zehnerpotenz steht, alsoPeriodische Dezimalbrüche
Möchte man Brüche in periodische Dezimalzahlen umwandeln, so wird der Bruch als Quotient aufgefasst und berechnet. Gibt es eine Zahlenfolge, die sich immer wiederholt, so ist dies die Periode. Beispiel: Periodischer DezimalbruchAufgabe 1
Welche zwei Merksätze gibt es für den abbrechenden Bruch?Aufgabe 2
Berechne schriftlich, ob der Bruch abbrechend oder periodisch ist.
a) ![\(\begin{array}[t]{rll}
6734 : 5&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0ec9199e0ceeb8ab1772dbad79cfa8dcdedd10a7377ca63a350b6aed4ddc1d74?color=5a5a5a)
b) ![\(\begin{array}[t]{rll}
13 : 7&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/981d253010f2bc933745cc6e6357d524a0e16c5eacef5e255e8301d3376ac256?color=5a5a5a)
c) ![\(\begin{array}[t]{rll}
1678 :9 &=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/048dbeec3a4eb38205f88226c25bafdeaae6b1143a54b3218be1f8ea4fa0972f?color=5a5a5a)
d) ![\(\begin{array}[t]{rll}
339 : 4 &=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a3f145be9e065d972e00b0c343f293c2450e53eb8c8bd5780f0c5ee5a7125421?color=5a5a5a)
e) ![\(\begin{array}[t]{rll}
7824 : 6 &=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fe0c17c59af52a0cc245a8857fb378386f1fb459027b900275fbecf8f91854e4?color=5a5a5a)
f) ![\(\begin{array}[t]{rll}
9643 : 3 &=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9f7e188b3a01d201ba220c5f07b440cddf17c7d057e4048bc75ea466c9c465d9?color=5a5a5a)
Aufgabe 3
Welcher der Brüche sind abbrechend und welche periodisch? Beurteile geschickt.
a) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{6}{18}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/83bfe608333e8c3d4857150d5f15bb267dd29b5e285ca65bf0460a0c33fe9e8b?color=5a5a5a)
b) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{5}{36}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bfab334eb5e8cf47c43dd6701a852f3785b84d2b93f65333de4b523dec5fa087?color=5a5a5a)
c) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{12}{14}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/54a4be7498b55d2ddd23ab66f542cd8b2751290aa142f0be4b739cc8f8243563?color=5a5a5a)
d) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{3}{5}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6c21b82618427fa66230523b161d8a09155973d2f01a67dfae7695290c10a8d2?color=5a5a5a)
e) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{17}{9}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f9f8b424288e16631ccc58754cf7a757028f5f6dcb23f478b09e4e7feb464b6d?color=5a5a5a)
f) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{7}{50}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/46f906818185c7c573772dffa6ca57989a926a0e6263d6e9c47c2cc4487427ff?color=5a5a5a)
g) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{21}{120}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b5b10a4a22607c7c2c42d23971fdb327a369f65136e9a46d5d50cad427000c72?color=5a5a5a)
h) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{9}{26}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9a70446dea38e5789cd221b12201784d03850aa2748a47fcf822d3810c275a4b?color=5a5a5a)
i) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{5}{6}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0c96f89f1ef9691d8fba927a0f6da226bbee6e041a8aea5ec1b30bd960eea268?color=5a5a5a)
j) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{8}{90}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d356e3399447eee0f67c2dacc0c495f8343ace2f5bd51c0e19eb1f3985fade26?color=5a5a5a)
k) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{5}{32}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ae38ba3002b569af45b7d2e71a516e5a917d6ca91f8772e8865b065b09960b4c?color=5a5a5a)
l) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{18}{24}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2c430501106729aaf5d0b6150a7eb08654a43a195958b9ae8a927aa4c95992b1?color=5a5a5a)
m) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{38}{60}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5b566106795002bbfc394e473b91b97b304d3fb1db34d12b65b79bb657509dfe?color=5a5a5a)
n) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{14}{28}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d0ea3f20d1cec66b346c9057b53377e038fd24eb88a5aca4f55ee1244c14ca99?color=5a5a5a)
o) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{39}{60}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/adc7a0a401d1e378316c2e643d23985b14096453263e77950c9301a804f6c6b6?color=5a5a5a)
p) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{2}{30}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f464383ce1f756513d62c0294331eb1820f2066e7b0270850e24e7b9744da3dc?color=5a5a5a)
q) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{8}{144}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ec042a68d79424f4bedf55015c30f7d584002d39a19f09e361846cd955536eb0?color=5a5a5a)
r) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{9}{27}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3b26e18e8f384750d06186164c0f59497295650cc0b6cb2cb6990f011cc7cd66?color=5a5a5a)
s) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{4}{28}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/85074de022f73e98df95266e4fd6e809e130f85288203fe61bd80fd56f8a7923?color=5a5a5a)
t) ![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{17}{58}&=& & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/276eb01110dabf348451d9dd54d25d69f5104cb57d01a92c166f91dc2437a6d7?color=5a5a5a)
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- Bei einem vollständig gekürzten Bruch stehen im Nenner als Faktoren nur 2 und 5.
- Durch erweitern/ kürzen des Nenners auf 100.
Lösung 2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Lösung 3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)