Einführung der rationalen Zahlen
Zum darstellen von rationalen Zahlen musst du den Zahlenstrahl erweitern. Man führt zusätzlich negative Zahlen ein.
Abb. 1: Zahlenstrahl
Die Zahlen, die mit dem Vorzeichen 
versehen sind nennt man positiv und Zahlen, die mit dem Vorzeichen 
versehen sind nennt man negativ. Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ. Bei positiven Zahlen lässt man das Vorzeichen oft weg.
Die natürlichen Zahlen und Bruchzahlen sind besondere positive rationale Zahlen.
entsprechend 
und die Gegenzahl der Zahl 
lautet 
Der Betrag einer Zahl gibt den Absand einer Zahl zur Null an. Der Betrag einer rationalen Zahl 
wird mit 
bezeichnet. Hierbei gilt 
. Außerdem gilt beispielsweise 
und 
gibt die Menge der natürlichen Zahlen an. Das bedeutet 
Die Zahlenmenge 
bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, wobei auch negative Zahlen enthalten sind. Das bedeutet 
Die Zahlenmenge 
bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen. Somit sind alle Bruchzahlen in der Menge enthalten, wobei auch negative Zahlen enthalten sind.
Somit gehört beispielsweise die Zahl 
zu der Menge der rationalen Zahlen. Man sagt, dass ein Element der Menge der rationalen Zahlen ist. Man schreibt 
Abb. 1: Zahlenstrahl
versehen sind nennt man positiv und Zahlen, die mit dem Vorzeichen versehen sind nennt man negativ. Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ. Bei positiven Zahlen lässt man das Vorzeichen oft weg.
Die natürlichen Zahlen und Bruchzahlen sind besondere positive rationale Zahlen.
Betrag und Gegenzahl
Die Gegenzahl einer Zahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl der Zahl Null ist Null. Beispielsweise ist die Gegenzahl der Zahl entsprechend und die Gegenzahl der Zahl lautet
Der Betrag einer Zahl gibt den Absand einer Zahl zur Null an. Der Betrag einer rationalen Zahl wird mit bezeichnet. Hierbei gilt . Außerdem gilt beispielsweise und
Zahlenmengen
Die Zahlenmenge gibt die Menge der natürlichen Zahlen an. Das bedeutet
Die Zahlenmenge bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, wobei auch negative Zahlen enthalten sind. Das bedeutet
Die Zahlenmenge bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen. Somit sind alle Bruchzahlen in der Menge enthalten, wobei auch negative Zahlen enthalten sind.
Somit gehört beispielsweise die Zahl zu der Menge der rationalen Zahlen. Man sagt, dass ein Element der Menge der rationalen Zahlen ist. Man schreibt
Einführungsaufgabe
In der Antarktis haben Forscher mit einem Satelliten den kältesten Ort der Welt entdeckt. Es wurde dort eine Temperatur von bis zu 
gemessen.
Die höchste jemals gemessene Temperatur auf der Erde waren 
und wurde im Death Valley in der USA gemessen.
gemessen.
Die höchste jemals gemessene Temperatur auf der Erde waren und wurde im Death Valley in der USA gemessen.
Abb. 1: Death Valley
a)
Berechne den Betrag der Temperaturen.
b)
Bestimme den Temperaturunterschied und gib diesen als Betrag an.
Aufgabe 1
Markiere die folgenden rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl.
a)
; 
; 
, 
b)
; 
; 
, 
Aufgabe 2
Bestimme den Betrag und die Gegenzahl der folgenden Zahlen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Aufgabe 3
Ordne die Zahlen aus der Ellipse den Zahlenmengen, und zu. Gib alle Zahlen an, die in der jeweiligen Zahlenmenge enthalten sind.
a)
Abb. 4: Zahlen
b)
Abb. 5: Zahlen
Aufgabe 4
Lies die Zahlen vom Zahlenstrahl ab.
a)
Abb. 6: Zahlenstrahl
b)
Abb. 7: Zahlenstrahl
Public Domain.
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a)
Betrag bestimmen
Bestimme den Betrag der angegebenen Temperaturen. Die niedrigste jemals gemessene Temperatur betrug 
. Der Betrag gibt nun den Abstand einer Zahl von Null an. Somit folgt für den gesuchten Betrag:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left| -89,2 \right|&=& 89,2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/701a1c7c8d5e80be1d3c3943320a623af0dd323bc2ab90a2bb7c65bfce1d4146_light.svg)
Somit beträgt der Betrag der angegebenen Temperatur 
Entsprechend folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left| +56,7 \right|&=& 56,7 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a198b67e0084186d2c698ca3259f9f369ab57a55a67c0ad7640bb18c55187dc9_light.svg)
Damit beträgt der Betrag der angegebenen Temperatur 
b)
Temperaturunterschied bestimmen
Hierbei ist eine negative Temperatur und eine positive Temperatur gegeben und dazu sollst du den Temperaturunterschied berechnen. Der Temperaturunterschied gibt den Abstand zwischen den jeweiligen Temperaturen an. Hierfür weißt du, da eine Temperatur negativ ist, dass diese Temperatur auf dem Zahlenstrahl links von der Null liegt und die positive Temperatur entsprechend rechts von der Null.
Somit kannst du den Temperaturunterschied bestimmen, indem du die zuvor bestimmten Beträge der Temperaturen addierst.
![\(\begin{array}[t]{rll}
89,2^{\circ}\,\text{C} +56,7^{\circ}\,\text{C} &=& 145,9\,\text{C} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/36ff42d2b0bcd7b80c86cf4425fe8009f7d76265f368567a8e77778b8e3fef6f_light.svg)
Damit beträgt der Betrag des Temperaturunterschiedes 
Aufgabe 1
a)
Zahlen im Zahlenstrahl markieren
Du sollst die angegebenen Zahlen auf dem Zahlenstrahl markieren. Hierbei musst du beachten, dass für die negativen Zahlen gilt, dass der Betrag der Zahlen größer wird, umso weiter du auf dem Zahlenstrahl nach links gehst.
Abb. 1: Zahlenstrahl
b)
Zahlen im Zahlenstrahl markieren
Du sollst die angegebenen Zahlen auf dem Zahlenstrahl markieren. Hierbei musst du beachten, dass für die negativen Zahlen gilt, dass der Betrag der Zahlen größer wird, umso weiter du auf dem Zahlenstrahl nach links gehst.
Abb. 2: Zahlenstrahl
Aufgabe 2
a)
Betrag und Gegenzahl bestimmen
Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left| -7,91 \right|&=& 7,91 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2f633d3dd3208144a9b3ea0f21ffc75b34bc8166f65b3879db0110fd70040ec5_light.svg)
Der Betrag der Zahl lautet 
Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl lautet somit 
b)
Betrag und Gegenzahl bestimmen
Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left| +8,881 \right|&=& 8,881 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c090de7b0e59cac69016621988913ded05ee62d92baf7a053e1abd7ef7f76fcd_light.svg)
Der Betrag der Zahl 
lautet 
Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl lautet somit 
c)
Betrag und Gegenzahl bestimmen
Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left| +0,651 \right|&=& 0,651 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/018b06cbc0b82310ce3ff1a2d4e44560300fa605e5c3f33ed74556bd7c8b9f78_light.svg)
Der Betrag der Zahl lautet 
Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl lautet somit 
d)
Betrag und Gegenzahl bestimmen
Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left| -31,1 \right|&=& 31,1 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ce04e5525cd17fab7d446fc0fce4f3869695abf0884af3cc73adadf1facb68c9_light.svg)
Der Betrag der Zahl lautet 
Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl lautet somit 
e)
Betrag und Gegenzahl bestimmen
Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left| -77,012 \right|&=& 77,012 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/02170ae4e6a81b6785247d63f00709ce6819f5fafc1f95fd74816066c76df046_light.svg)
Der Betrag der Zahl lautet 
Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl lautet somit 
f)
Betrag und Gegenzahl bestimmen
Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left| 0 \right|&=& 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6073d33e80c8e776c711397dc5abe8a727730f3934b80f0b070856827abc7a03_light.svg)
Der Betrag der Zahl lautet 
Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl lautet
Aufgabe 3
a)
Zahlen zuordnen
Die Zahlenmenge gibt die Menge der natürlichen Zahlen an. Das bedeutet 
Somit gehören 
und 
zu der Menge der natürlichen Zahlen. Man sagt, dass und Elemente der Menge der natürlichen Zahlen sind. Man schreibt 
und 
Die Zahlenmenge bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, wobei die natürlichen Zahlen auch negativ sein können. Das bedeutet Somit sind , und 
Elemente der Menge der ganzen Zahlen.
Die Zahlenmenge bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen. Somit sind alle Bruchzahlen in der Menge enthalten, wobei die Bruchzahlen auch negativ sein können. Damit folgt, dass alle angegebenen Zahlen Elemente der rationalen Zahlen sind.
b)
Zahlen zuordnen
Die Zahlenmenge gibt die Menge der natürlichen Zahlen an. Das bedeutet Somit gehört zu der Menge der natürlichen Zahlen. Man sagt, dass ein Element der Menge der natürlichen Zahlen ist. Man schreibt 
Die Zahlenmenge bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, wobei die natürlichen Zahlen auch negativ sein können. Das bedeutet 
Somit sind , 
und 
Elemente der Menge der ganzen Zahlen.
Die Zahlenmenge bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen. Somit sind alle Bruchzahlen in der Menge enthalten, wobei die Bruchzahlen auch negativ sein können. Damit folgt, dass alle angegebenen Zahlen Elemente der Menge der rationalen Zahlen sind.
Aufgabe 4
a)
Zahlen ablesen
b)
Zahlen ablesen
