Flächeninhalt eines Parallelogramms

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich durch Multiplikation von der Länge der Grundseite $g$ mit der zugehörigen Höhe $h$ berechnen:

$A=g \cdot h$

Als Grundseite kannst du eine beliebige Seite des Parallelogramms wählen, z.B $a$ oder $b$ . Willst du den Flächeninhalt berechnen, ist es wichtig, die zur gewählten Grundseite passende Höhe zu finden.

Die Höhe des Parallelogramms entspricht dem Abstand von den parallelen Seiten und steht immer senkrecht auf der Grundseite. Es gilt also:

$A=g\cdot h= a \cdot h_a =b \cdot h_b$

Geometrische Darstellung eines Parallelogramms mit Beschriftungen und Gitterhintergrund.

Abb. 1

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Einführungsaufgabe

In Abbildung $1$ sind drei verschiedene Parallelogramme dargestellt mit der Grundseite $g$ und der dazugehörigen Höhe $h$ .

Diagramm mit parallelen Linien und Maßen für g und h.

Abb. 1

Schätze, welches der Parallelogramme den größten und welches den kleinsten Flächeninhalt besitzt.

Berechne den Flächeninhalt der Parallelogramme.

Aufgabe 1

Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Grafik eines Rechtecks mit den Maßen h=2 cm und g=4 cm, umrandet in Rot.

Abb. 2

Bestimme die Länge der Grundseite $g$ des Parallelogramms.

Diagramm eines Rechtecks mit Höhe, Fläche und einer Frage zur Basis.

Abb. 3

Aufgabe 2

Ein Parallelogramm hat den Flächeninhalt $A=25\;\text{cm}^2$ . Wie lang ist die Grundseite, wenn die zugehörige Höhe $3\;\text{cm}$ lang ist?

Gib an, wie sich der Flächeninhalt eines Parallelogramms verändert, wenn die Grundseite halbiert wird.

Aufgabe 3

Übertrage die Parallelogramme in dein Heft und berechne den Flächeninhalt. Wähle dazu eine Grundseite und gib die zugehörige Höhe an.

Geometrische Form in Orange, die auf einem Gitter dargestellt ist, mit den Ecken A, B, C und D.

Abb. 4

Grafik eines orangefarbenen Parallelogramms auf einem Raster mit den Punkten A, B, C und D.

Abb. 5

Aufgabe 4

Berechne die in der Tabelle fehlenden Werte.

	a)	b)	c)	d)
$h$	$1,2\;\text{cm}$	$3\;\text{cm}$		$3,5\;\text{cm}$
$g$		$3\;\text{cm}$	$13\;\text{cm}$
$A$	$25\;\text{cm}^2$		$133\;\text{cm}^2$	$33\;\text{cm}^2$

Aufgabe 5

Trage die Punkte $A-D$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einem Parallelogramm. Berechne den Flächeninhalt.

$A(1\;|\;1)$ , $B(2,5\;|\;1)$ , $C(4\;|\;2)$ , $D(2,5\;|\;2)$

$A(1\;|\;2,5)$ , $B(1,5\;|\;1)$ , $C(2,5\;|\;2)$ , $D(2\;|\;3,5)$

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Flächeninhalte vergleichen

Diagramm mit schrägen Linien und Maßen, das geometrische Formen zeigt.

Abb. 1

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist von der Länge der Grundseite sowie der zugehörigen Höhe abhängig. Diese beiden Größen sind in allen abgebildeten Parallelogrammen gleich, somit ist auch der Flächeninhalt bei allen gleich.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich durch Multiplikation von der Länge der Grundseite mit der zugehörigen Höhe bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&2\;\text{cm} \cdot 4,5\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&9\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt der Parallelogramme beträgt $9\;\text{cm}^2$ .

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich durch Multiplikation von der Länge der Grundseite mit der zugehörigen Höhe bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&2\;\text{cm} \cdot 4\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&8\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $8\;\text{cm}^2$ .

$\blacktriangleright$ Länge der Grundseite berechnen

Die Länge der Grundseite lässt sich berechnen, indem du den Flächeninhalt durch die Höhe des Parallelogramms teilst.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{h}&=&g &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{24\;\text{cm}^2}{3\;\text{cm}}&=&8\;\text{cm} \end{array}$

Die Grundseite $g$ ist $8\;\text{cm}$ lang.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Länge der Grundseite berechnen

Die Länge der Grundseite lässt sich berechnen, indem du den Flächeninhalt durch die Höhe des Parallelogramms teilst.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{h}&=&g &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{25\;\text{cm}^2}{3\;\text{cm}}&\approx&8,33\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Grundseite ist ca. $8,33\;\text{cm}$ lang.

$\blacktriangleright$ Änderung des Flächeninhaltes angeben

Um zu überprüfen, wie sich der Flächeninhalt eines Parallelogramms ändert, wenn du die Grundseite halbierst, kannst die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms verwenden.

Setze für die Grundseite $\frac{1}{2} g$ ein:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2} \cdot g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms halbiert sich, wenn die Grundseite halbiert wird.

Aufgbabe 3

$\blacktriangleright$ Parallelogramm übertragen und Flächeninhalt berechnen

Übertrage das Parallelogramm in dein Heft und miss die Länge der Grundseite und der zugehörigen Höhe ab.

Diagramm eines Trapezes mit Beschriftungen und Gitterlinien.

Abb. 2

Die Grundseite ist $2,5\;\text{cm}$ und die zugehörige Höhe $1,5\;\text{cm}$ lang. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&2,5\;\text{cm} \cdot 1,5\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&3,75\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $3,75\;\text{cm}^2$ .

$\blacktriangleright$ Parallelogramm übertragen und Flächeninhalt berechnen

Übertrage das Parallelogramm in dein Heft und miss die Länge der Grundseite und der zugehörigen Höhe ab.

Diagramm eines Trapezes mit beschrifteten Punkten und einer orangefarbenen Fläche.

Abb. 3

Die Grundseite ist $1\;\text{cm}$ und die zugehörige Höhe $1,5\;\text{cm}$ lang. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&1\;\text{cm} \cdot 1,5\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1,5\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $1,5\;\text{cm}^2$ .

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Länge der Grundseite berechnen

Um die Länge der Grundseite zu berechnen, kannst du den Flächeninhalt durch die Höhe des Parallelogramms teilen.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{h}&=&g &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{25\;\text{cm}^2}{1,2\;\text{cm}}&\approx&20,83\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Grundseite des Parallelogramms ist ca. $20,83\;\text{cm}$ lang.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Zur Lösung der Aufgabe kannst du die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms verwenden.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&3\;\text{cm} \cdot 3\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=& 9\;\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt ca. $9\;\text{cm}^2$ .

$\blacktriangleright$ Höhe berechnen

Um die Höhe zu berechnen, kannst du den Flächeninhalt durch die Länge der Grundseite teilen.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{g}&=&h &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{133\;\text{cm}^2}{13\;\text{cm}}&\approx&10,23\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Höhe des Parallelogramms ist ca. $10,23\;\text{cm}$ lang.

$\blacktriangleright$ Länge der Grundseite berechnen

Um die Länge der Grundseite zu berechnen, kannst du den Flächeninhalt durch die Höhe des Parallelogramms teilen.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{h}&=&g &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{33\;\text{cm}^2}{3,5\;\text{cm}}&\approx&9,43\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Grundseite des Parallelogramms ist ca. $9,43\;\text{cm}$ lang.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Trag die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einem Parallelogramm. Miss die Länge der Gundseite und der zugehörigen Höhe ab.

Diagramm eines Parallelogramms mit Beschriftungen und Koordinatensystem.

Abb. 4

Die Grundseite ist $1,5\;\text{cm}$ und die zugehörige Höhe $1\;\text{cm}$ lang. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&1,5\;\text{cm} \cdot 1\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1,5\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $1,5\;\text{cm}^2$ .

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Trag die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einem Parallelogramm. Miss die Länge der Gundseite und der zugehörigen Höhe ab.

Grafik eines geometrischen Vierecks auf einem Koordinatensystem mit Beschriftungen.

Abb. 5

Die Grundseite ist ca. $1,6\;\text{cm}$ und die zugehörige Höhe ca. $1,2\;\text{cm}$ lang. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&1,6\;\text{cm} \cdot 1,2\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&1,92\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt ca. $1,92\;\text{cm}^2$ .

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