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Flächen- und Rauminha...

Flächeninhalt eines P...

Flächeninhalt eines Parallelogramms

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Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich durch Multiplikation von der Länge der Grundseite $g$ mit der zugehörigen Höhe $h$ berechnen:

$A=g \cdot h$

Als Grundseite kannst du eine beliebige Seite des Parallelogramms wählen, z.B $a$ oder $b$. Willst du den Flächeninhalt berechnen, ist es wichtig, die zur gewählten Grundseite passende Höhe zu finden.

Die Höhe des Parallelogramms entspricht dem Abstand von den parallelen Seiten und steht immer senkrecht auf die Grundseite. Es gilt also:

$A=g\cdot h= a \cdot h_a =b \cdot h_b$

Flächen- und Rauminhalte: Flächeninhalt eines Parallelogramms

Abb. 1

#parallelogramm

Bildnachweise [nach oben]

[1]

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Aufgaben

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Einführungsaufgabe

In Abbildung $1$ sind drei verschiedene Parallelogramme dargestellt mit der Grundseite $g$ und der dazugehörigen Höhe $h$.

Abb. 1

Schätze, welches der Parallelogramme den größten und welches den kleinsten Flächeninhalt besitzt.

Berechne den Flächeninhalt der Parallelogramme.

#parallelogramm

Aufgabe 1

Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Abb. 2

Bestimme die Länge der Grundseite $g$ des Parallelogramms.

Abb. 3

#parallelogramm

Aufgabe 2

Ein Parallelogramm hat den Flächeninhalt $A=25\;\text{cm}^2$. Wie lang ist die Grundseite, wenn die zugehörige Höhe $3\;\text{cm}$ lang ist.

Gib an, wie sich der Flächeninhalt eines Parallelogramms verändert, wenn die Grundseite halbiert wird.

#parallelogramm

Aufgabe 3

Übertrage die Parallelogramme in dein Heft und berechne den Flächeninhalt. Wähle dazu eine Grundseite und gib die zugehörige Höhe an.

Abb. 4

Abb. 5

#parallelogramm

Aufgabe 4

Berechne die in der Tabelle fehlenden Werte.

	a)	b)	c)	d)
Höhe $h$	$1,2\;\text{cm}$	$3\;\text{cm}$		$3,5\;\text{cm}$
Grundseite $g$		$3\;\text{cm}$	$13\;\text{cm}$
Flächeninhalt $A$	$25\;\text{cm}^2$		$133\;\text{cm}^2$	$33\;\text{cm}^2$

	a)	b)	c)	d)
$h$	$1,2\;\text{cm}$	$3\;\text{cm}$		$3,5\;\text{cm}$
$g$		$3\;\text{cm}$	$13\;\text{cm}$
$A$	$25\;\text{cm}^2$		$133\;\text{cm}^2$	$33\;\text{cm}^2$

#parallelogramm

Aufgabe 5

Trage die Punkte $A-D$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einem Parallelogramm. Berechne den Flächeninhalt.

$A(1\;|\;1)$, $B(2,5\;|\;3)$, $C(4\;|\;2)$, $D(2,5\;|\;2)$

$A(1\;|\;2,5)$, $B(1,5\;|\;1)$, $C(2,5\;|\;2)$, $D(2\;|\;3,5)$

#parallelogramm

Bildnachweise [nach oben]

[1-5]

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Lösungen

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Flächeninhalte vergleichen

Abb. 1

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist von der Länge der Grundseite sowie der zugehörigen Höhe abhängig. Diese beiden Größen sind in allen abgebildeten Parallelogrammen gleich, somit ist auch der Flächeninhalt bei allen gleich.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich durch Multiplikation von der Länge der Grundseite mit der zugehörigen Höhe bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&2\;\text{cm} \cdot 4,5\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&9\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt der Parallelogramme beträgt $9\;\text{cm}^2$.

#parallelogramm

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich durch Multiplikation von der Länge der Grundseite mit der zugehörigen Höhe bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&2\;\text{cm} \cdot 4\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&8\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $8\;\text{cm}^2$.

$\blacktriangleright$ Länge der Grundseite berechnen

Die Länge der Grundseite lässt sich berechnen, indem du den Flächeninhalt durch die Höhe des Parallelogramms teilst.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{h}&=&g &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{24\;\text{cm}^2}{3\;\text{cm}}&=&8\;\text{cm} \end{array}$

Die Grundseite $g$ ist $8\;\text{cm}$ lang.

#parallelogramm

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Länge der Grundseite berechnen

Die Länge der Grundseite lässt sich berechnen, indem du den Flächeninhalt durch die Höhe des Parallelogramms teilst.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{h}&=&g &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{25\;\text{cm}^2}{3\;\text{cm}}&\approx&8,33\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Grundseite ist ca. $8,33\;\text{cm}$ lang.

$\blacktriangleright$ Änderung des Flächeninhaltes angeben

Um zu überprüfen, wie sich der Flächeninhalt eines Parallelogramms ändert, wenn du die Grundseite halbierst, kannst die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms verwenden.

Setze für die Grundseite $\frac{1}{2} g$ ein:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2} \cdot g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms halbiert sich, wenn die Grundseite halbiert wird.

#parallelogramm

Aufgbabe 3

$\blacktriangleright$ Parallelogramm übertragen und Flächeninhalt berechnen

Übertrage das Parallelogramm in dein Heft und miss die Länge der Grundseite und der zugehörigen Höhe ab.

Abb. 2

Die Grundseite ist $2,5\;\text{cm}$ und die zugehörige Höhe $1,5\;\text{cm}$ lang. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&2,5\;\text{cm} \cdot 1,5\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&3,75\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $3,75\;\text{cm}^2$.

$\blacktriangleright$ Parallelogramm übertragen und Flächeninhalt berechnen

Übertrage das Parallelogramm in dein Heft und miss die Länge der Grundseite und der zugehörigen Höhe ab.

Abb. 3

Die Grundseite ist $1\;\text{cm}$ und die zugehörige Höhe $1,5\;\text{cm}$ lang. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&1\;\text{cm} \cdot 1,5\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1,5\;\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $1,5\;\text{cm}^2$.

#parallelogramm

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Länge der Grundseite berechnen

Um die Länge der Grundseite zu berechnen, kannst du den Flächeninhalt durch die Höhe des Parallelogramms teilen.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{h}&=&g &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{25\;\text{cm}^2}{1,2\;\text{cm}}&\approx&20,83\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Grundseite des Parallelogramms ist ca. $20,83\;\text{cm}$ lang.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Zur Lösung der Aufgabe kannst du die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms verwenden.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&3\;\text{cm} \cdot 3\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=& 9\;\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt ca. $9\;\text{cm}^2$.

$\blacktriangleright$ Höhe berechnen

Um die Höhe zu berechnen, kannst du den Flächeninhalt durch die Länge der Grundseite teilen.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{g}&=&h &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{133\;\text{cm}^2}{13\;\text{cm}}&\approx&10,23\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Höhe des Parallelogramms ist ca. $10,23\;\text{cm}$ lang.

$\blacktriangleright$ Länge der Grundseite berechnen

Um die Länge der Grundseite zu berechnen, kannst du den Flächeninhalt durch die Höhe des Parallelogramms teilen.

$\begin{array}[t]{rll} \frac{A}{h}&=&g &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{33\;\text{cm}^2}{3,5\;\text{cm}}&\approx&9,43\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Grundseite des Parallelogramms ist ca. $9,43\;\text{cm}$ lang.

#parallelogramm