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Teil A: Ohne Hilfsmittel

Aufgaben
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a)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x.$
Bestimme alle Nullstellen von $f$ und gib die Bereiche an, in denen der Graph von $f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft.
(6 BE)
#nullstelle
b)
c)
Gegeben sind die Geraden
$g:\quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-3\\3} +r\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ mit $r\in \mathbb{R}$ und $h:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\-3\\3} + s\cdot \pmatrix{1\\0\\3}$ mit $s\in \mathbb{R}.$
(1)
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ an.
Zeige, dass $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen.
(2 BE)
(2)
Die Ebene $E$ enthält die Geraden $g$ und $h.$
Prüfe, ob der Punkt $P(7\mid -3\mid 5)$ in $E$ liegt.
(4 BE)
#zentraleraufgabenpool
d)
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$.
(1)
Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Begründe, warum Abbildung 2 und Abbildung 4 nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellen.
(4 BE)
(2)
Ermittle aus der zugehörigen Abbildung näherungsweise den Wert der Wahrscheinlichkeit $P(6\leq X\leq 8).$
(2 BE)
#binomialverteilung#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[4]
© – SchulLV.
#hilfsmittelfreieaufgaben
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a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmenTeil A: Ohne Hilfsmittel
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{1}{3}x^3-3x &=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(\frac{1}{3}x^2-3 \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x_1=0 \\[5pt] \frac{1}{3}x^2-3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] \frac{1}{3}x^2 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] x^2&=& 9 \\[5pt] x_2 &=& -3 \\[5pt] x_3&=& 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2 &=& -3 \\[5pt] x_3&=& 3 \end{array}$
Die Nullstellen von $f$ sind $x_1 =0,$ $x_2=-3$ und $x_3 =3.$
$\blacktriangleright$  Bereiche angeben
Da sich das Vorzeichen von $f(x)$ nur in den Nullstellen ändern kann, muss es zwischen zwei benachbarten Nullstellen gleich sein.
Für $x\to -\infty$ gilt $f(x) \to -\infty,$ für $x< -3$ verläuft der Graph von $f$ also unterhalb der $x$-Achse.
Für $x\to \infty$ gilt $f(x) \to \infty,$ für $x> 3$ verläuft der Graph von $f$ also oberhalb der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 -3\cdot (-1) \\[5pt] &=& \frac{8}{3} \\[10pt] f(1)&=& \frac{1}{3}\cdot 1^3-3\cdot 1 \\[5pt] &=& -\frac{8}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& \frac{8}{3} \\[10pt] f(1)&=& -\frac{8}{3} \end{array}$
Der Graph von $f$ verläuft also für $-3< x < 0$ und $x>3$ oberhalb der $x$-Achse.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es keinen gemeinsamen Punkt gibt
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x) \\[5pt] \mathrm e^x +\frac{1}{2}x +1&=& \frac{1}{2}x &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{1}{2}x\\[5pt] \mathrm e^x +1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \mathrm e^x&=& -1 \end{array}$
$ … \mathrm e^x = -1 $
Da $\mathrm e^x$ nicht negativ werden kann, besitzt die Gleichung $f(x)=g(x)$ also keine Lösung. Die beiden Graphen von $f$ und $g$ können daher keine gemeinsamen Punkte besitzen.
(2)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Der gesuchten Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals über der Differenzenfunktion $f-g$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left(\mathrm e^x +\frac{1}{2}x +1-\frac{1}{2}x\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left(\mathrm e^x+1\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\mathrm e^x+x \right]_0^1 \\[5pt] &=& \mathrm e^1+1 -\left(\mathrm e^0+0 \right) \\[5pt] &=& \mathrm e+1 -1 \\[5pt] &=& \mathrm e \end{array}$
$ A = \mathrm e $
Der Inhalt der beschriebenen Fläche beträgt $\mathrm e$ Fächeneinheiten.
#integral
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben
Die beiden Stützvektoren von $g$ und $h$ stimmen überein. Dieser beschreibt die Koordinaten eines Punkts auf der jeweiligen Geraden. Die beiden Geraden $g$ und $h$ haben also den gemeinsamen Punkt $P(3\mid -3\mid 3).$
$\blacktriangleright$  Senkrechten Verlauf zeigen
Die Geraden verlaufen senkrecht zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander verlaufen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{3\\0\\-1}\circ \pmatrix{1\\0\\3}&=&3\cdot 1 +0\cdot 0 -1\cdot 3 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ … = 0 $
Die beiden Geraden verlaufen also senkrecht zueinander.
(2)
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Ein Normalenvektor von $E$ kann über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{3\\0\\-1}\times \pmatrix{1\\0\\3}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\cdot 3 -(-1)\cdot 0\\ (-1)\cdot 1 -3\cdot 3 \\ 3\cdot 0 -0\cdot 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-10\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\-10\\0}$
Du kannst den Stützpunkt der beiden Geraden $(3\mid -3\mid 3)$ für eine Punktprobe verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} E:\quad 0x_1 -10x_2 +0x_3 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; (3\mid -3\mid3) \\[5pt] -10\cdot (-3)&=& d \\[5pt] 30&=& d \end{array}$
$ d=30 $
Eine Gleichung in Koordinatenform von $E$ lautet:
$E:\quad -10x_2 = 30$
2. Schritt: Punktprobe durchführen
Prüfe, ob die Koordinaten von $P$ die Ebenengleichung erfüllen:
$\begin{array}[t]{rll} -10x_2 &=& 30 &\quad \scriptsize \mid\; P(7\mid -3\mid 5) \\[5pt] -10\cdot (-3)&=& 30 \\[5pt] 30&=& 30 \end{array}$
$ 30=30 $
Die Koordinaten von $P$ erfüllen also die Ebenengleichung von $E.$ Der Punkt $P$ liegt daher in $E.$
#kreuzprodukt#skalarprodukt
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Abbildungen ausschließen
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Folgende Diagramme stellen nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar:
  • Abbildung 2: Wegen $n=10$ kann die Wahrscheinlichkeit $P(X> 10)$ nicht größer als null sein.
  • Abbildung 4: Bei einer binomialverteilten Zufallsvariable muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten genau $1$ ergeben. Die hier dargestellten Wahrscheinlichkeiten für $k=8$ und $k=9$ sind in Summe bereits größer als 1, deshalb ist hier keine Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Lies die Werte für $X=6,$ $X=7$ und $X=8$ aus der Abbildung ab und addiere sie:
$\begin{array}[t]{rll} P(6\leq X \leq 8) &=& P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \\[5pt] &\approx & 0,09 + 0,2 + 0,3 \\[5pt] &=& 0,59 \\[5pt] \end{array}$
$ … \approx 0,59 $
Die Wahrscheinlichkeit $P(6\leq X \leq 8)$ beträgt ca. $0,59=59\,\%.$
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