Vektorielle Geometrie

Gegeben sind das gerade Prisma $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $C(0\mid0\mid 0),$ $D(6\mid0\mid 5),$ $E(0\mid8\mid5)$ und $F(0\mid0\mid 5)$ sowie der Punkt $M(3\mid4\mid 5)$ (vgl. Abbildung 1).

Abb. 1

(1)

Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an.

(2)

Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $DEF$ bei $D.$

(3)

Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas.

(4)

Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen.

(1 + 2 + 4 + 3 Punkte)

(1)

Die Ebene $W$ enthält die Punkte $M, F$ und $S(7,5\mid0\mid 0)$ (vgl. Abbildung 2).

Begründe, dass

$\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\5}+m \cdot\pmatrix{3\\4\\0}$ $+n \cdot\pmatrix{7,5\\0\\-5}, m \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{R}$

eine Gleichung von W in Parameterform ist.

Abb. 2

(2)

Im Folgenden sind zwei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:

$(\text{I})$

$P(6\mid 0\mid r)$ mit $0 \leq r \leq 5.$

$(\text{II})$

$\left|\begin{array}{rl} 6 \; & =\quad3 \cdot m+7,5\cdot n \\ 0 \; & =\quad4\cdot m \\ r \; & =\quad5 -5\cdot n \end{array}\right|$

Gib eine passende Aufgabenstellung an.

(3)

Gegeben ist die Gerade $g$ durch die Gleichung

$g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{-1,5\\8\\10}+k \cdot\pmatrix{7,5\\0\\-5},$ $k \in \mathbb{R}$

Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $S$ und $M$ und lässt sich beschreiben durch

$h: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{O S}+q \cdot \overrightarrow{S M}$ $=\pmatrix{7,5\\0\\0}+q \cdot\pmatrix{-4,5\\4\\5}, q \in \mathbb{R}.$

Untersuche rechnerisch, ob die Gerade $g$ und die Strecke $\overline{S M}$ einen gemeinsamen Punkt besitzen.

(4)

Anstelle des Punkts $S$ werden nun Punkte $S_t(t\mid0\mid 0)$ mit $t \geq 0$ auf der $x$ -Achse betrachtet.

Bestimme denjenigen Wert von $t,$ für den das Dreieck $MFS_t$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist.

(2 + 2 + 3 + 3 Punkte)

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(1)

$A(6\mid0\mid0)$

(2)

Rechenweg anzeigen

$\alpha\approx53,13^\circ$

(3)

Die Oberfläche des Prismas besteht aus zwei Dreiecken und drei Rechtecken.

1. Schritt: Flächeninhalt der Dreiecke berechnen

Da sich der Punkt $F$ jeweils nur in einer Koordinate von den Punkten $D$ und $E$ unterscheidet, ergeben sich die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, direkt als $6\;\text{LE}$ und $8\;\text{LE}.$ Somit folgt für den Flächeninhalt beider Dreiecke zusammen:

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8 \\[5pt] &=&48\;[\text{FE}] \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt der Rechtecke berechnen

Anhand der Koordinaten der Punkte $C$ und $F$ lässt sich ablesen, dass das Prisma eine Höhe von $5\;\text{LE}$ besitzt. Die fehlenden Seitenlängen der drei Rechtecke sind jeweils durch die Länge einer der Seiten des Dreiecks $DFE$ gegeben. Somit folgt mit dem Satz des Pythagoras für die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke:

$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&5\cdot\left(6+8+\sqrt{6^2+8^2}\right) \\[5pt] &=&120\;[\text{FE}] \end{array}$

Für den Inhalt der Oberfläche des Prismas folgt somit insgesamt:

$\begin{array}[t]{rll} A_O&=&A_D+A_R \\[5pt] &=&48+120 \\[5pt] &=&168\;[\text{FE}] \end{array}$

(4)

Für die Abstände der Punkte $D, E$ und $F$ zu $M$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$\left\vert\overrightarrow{MD}\right\vert = 5$

Rechenweg anzeigen

$\left\vert\overrightarrow{ME}\right\vert = 5$

Rechenweg anzeigen

$\left\vert\overrightarrow{MF}\right\vert = 5$

Da alle Abstände gleich sind, liegen die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit Mittelpunkt $M.$

(1)

Der Stützvektor der gegebenen Ebenengleichung ist der Ortsvektor von $F.$ Zudem gilt:

$\overrightarrow{FM}=\pmatrix{3\\4\\5}-\pmatrix{0\\0\\5}=\pmatrix{3\\4\\0}$

$\overrightarrow{FS}=\pmatrix{7,5\\0\\0}-\pmatrix{0\\0\\5}=\pmatrix{7,5\\0\\-5}$

Da $\overrightarrow{FM}$ und $\overrightarrow{FS}$ somit den beiden Spannvektoren der Ebenengleichung entsprechen, ist die gegebene Gleichung eine Gleichung von $W$ in Parameterform.

(2)

„Bestimme den Wert $0\leq r\leq 5,$ für den der Punkt mit den Koordinaten $P(6\mid 0\mid r)$ in der Ebene $W$ liegt.“

(3)

Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-1,5+7,5k&=& 7,5-4,5q &\quad \\ \text{II}\quad&8&=&4q &\quad \\ \text{III}\quad&10-5k&=&5q &\quad \\ \end{array}$

Aus der zweiten Gleichung folgt direkt $q=2.$ Aufgrund des Aufbaus der Geradengleichung von $h$ folgt, dass die Strecke $\overline{SM}$ vollständig auf der Geraden $h$ liegt. Zudem muss $0\leq q\leq 1$ gelten, damit ein Schnittpunkt von $g$ und $h$ auf dieser Strecke liegt.
Da $q=2$ die einzige potentielle Lösung des Gleichungssystems ist, besitzen die Gerade $g$ und die Strecke $\overline{SM}$ somit keinen gemeinsamen Punkt.

(4)

Der gesuchte Wert von $t$ ist der, für den $\overrightarrow{MF}$ orthogonal zu $\overrightarrow{MS_t}$ ist. Für die beiden Vektoren ergibt sich:

$\overrightarrow{MF} = \pmatrix{-3\\-4\\0}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MS_t}&=&\pmatrix{t-3\\0-4\\0-5} \\[5pt] &=&\pmatrix{t-3\\-4\\-5} \end{array}$

Somit folgt für den gesuchten Wert von $t:$

Rechenweg anzeigen

$t=\dfrac{25}{3}$

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