Vektorielle Geometrie

Gegeben sind das gerade Prisma $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $C(0\mid0\mid 0),$ $D(6\mid0\mid 5),$ $E(0\mid8\mid5)$ und $F(0\mid0\mid 5)$ sowie der Punkt $M(3\mid4\mid 5)$ (vgl. Abbildung 1).

Abb. 1

(1)

Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an.

(2)

Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $DEF$ bei $D.$

(3)

Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas.

(4)

Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen.

(1 + 2 + 4 + 3 Punkte)

(1)

Die Ebene $W$ enthält die Punkte $M, F$ und $S(7,5\mid0\mid 0)$ (vgl. Abbildung 2).

Begründe, dass

$\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\5}+m \cdot\pmatrix{3\\4\\0}$ $+n \cdot\pmatrix{7,5\\0\\-5}, m \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{R}$

eine Gleichung von W in Parameterform ist.

Abb. 2

(2)

Im Folgenden sind zwei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:

$(\text{I})$

$P(6\mid 0\mid r)$ mit $0 \leq r \leq 5.$

$(\text{II})$

$\left|\begin{array}{rl} 6 \; & =\quad3 \cdot m+7,5\cdot n \\ 0 \; & =\quad4\cdot m \\ r \; & =\quad5 -5\cdot n \end{array}\right|$

Gib eine passende Aufgabenstellung an.

(3)

Gegeben ist die Gerade $g$ durch die Gleichung

$g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{-1,5\\8\\10}+k \cdot\pmatrix{7,5\\0\\-5},$ $k \in \mathbb{R}$

Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $S$ und $M$ und lässt sich beschreiben durch

$h: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{O S}+q \cdot \overrightarrow{S M}$ $=\pmatrix{7,5\\0\\0}+q \cdot\pmatrix{-4,5\\4\\5}, q \in \mathbb{R}.$

Untersuche rechnerisch, ob die Gerade $g$ und die Strecke $\overline{S M}$ einen gemeinsamen Punkt besitzen.

(4)

Anstelle des Punkts $S$ werden nun Punkte $S_t(t\mid0\mid 0)$ mit $t \geq 0$ auf der $x$ -Achse betrachtet.

Bestimme denjenigen Wert von $t,$ für den das Dreieck $MFS_t$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist.

(2 + 2 + 3 + 3 Punkte)