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Teil A: Ohne Hilfsmittel

Aufgaben
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a)
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: \, x \mapsto x^3 + 2x^2.$
(1)
Bestätige, dass $x_1=-2$ und $x_2 = 0$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind.
(2 BE)
(2)
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.
(4 BE)
#zentraleraufgabenpool#nullstelle
b)
Untersucht werden die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen.
(1)
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems:
$\begin{array}{lrll} &3\cdot x_1 & -&2\cdot&x_2& && &=& 13 \\ & &&&x_2& +&2\cdot& x_3&=&5 \\ & &&&x_2&+& &x_3&=& 3 \\ \end{array}$
(4 BE)
(2)
Betrachtet wird das folgende Gleichungssystem mit einem Parameter $p\in\mathbb{R}:$
$\begin{array}{lrll} 3\cdot& x_1 & +&2\cdot&x_2& +&&x_3 &=& 4 \\ 3\cdot &x_1 &+&2\cdot&x_2& & & &=&5 \\ 3\cdot &x_1&+ &2\cdot&x_2&+& p\cdot&x_3&=& 4 \\ \end{array}$
Begründe, dass dieses Gleichungssystem für $p=1$ unendlich viele Lösungen und für $p=0$ keine Lösung besitzt.
(2 BE)
#gleichungssystem
c)
Gegeben sind die Punkte $A(-2\mid 1\mid -2),$ $B(1\mid 2\mid -1)$ und $C(1\mid 1\mid 4)$ sowie für eine reelle Zahl $d$ der Punkt $D(d\mid 1\mid 4).$
(1)
Begründe mithilfe der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC},$ dass $A,$ $B$ und $C$ nicht auf einer Geraden liegen, und gib eine Gleichung der Ebene an, in der das Dreieck $ABC$ liegt.
(4 BE)
(2)
Ermittle den Wert von $d,$ so dass das Dreieck $ABD$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist.
(2 BE)
#rechtwinkligesdreieck#zentraleraufgabenpool
d)
Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit einer Figur $25\;\%$ beträgt.
(1)
Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in genau zwei Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist.
(2 BE)
(2)
Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße $X$ dar:
Abb. 1: I
Abb. 1: I
Abb. 2: II
Abb. 2: II
Abb. 3: III
Abb. 3: III
Gib an, welche Abbildung dies ist.
Begründe, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind.
(4 BE)
#binomialverteilung#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestätigen
Für alle Nullstellen $x$ muss gelten $f(x)=0:$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0 \\[5pt] x^3+2x^2&=& 0 \\[5pt] x^2(x+2)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \text{Satz vom Nullprodukt: } x_2 = 0 \\[5pt] x_1+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x_1&=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -2 \\[5pt] x_2&=& 0 \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich für $f$ die einzigen Nullstellen zu $x_1=-2$ und $x_2=0.$
(2)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(x^3+2x^2\right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\left[\frac{1}{4}\cdot x^4+2\cdot \frac{1}{3}\cdot x^3\right]_{-2}^0 \right|\\[5pt] &=& \left|\left[\frac{1}{4}\cdot x^4+ \frac{2}{3}\cdot x^3\right]_{-2}^0 \right|\\[5pt] &=& \left|\left(\frac{1}{4}\cdot 0^4+ \frac{2}{3}\cdot 0^3\right) -\left( \frac{1}{4}\cdot (-2)^4+ \frac{2}{3}\cdot (-2)^3\right)\right|\\[5pt] &=& 0-4+\frac{16}{3}\\[5pt] &=& \frac{4}{3} \end{array}$
$ A=\frac{4}{3} $
Der Graph von $f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche der Größe $\frac{4}{3}$ ein.
#integral
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{crrrrrrl} \text{I}\quad&3\cdot x_1 & -&2\cdot x_2& & &=& 13 \\ \text{II}\quad& &&x_2& +&2\cdot x_3&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{II-III} \\ \text{III}\quad& &&x_2&+& x_3&=& 3 & \\ \hline \text{II'}\quad& &&& & x_3&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Einsetzen in III} \\ \hline \text{III'}\quad& &&x_2&+& 2&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\ & &&x_2&& &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Einsetzen in I} \\ \hline \text{I'}\quad&3\cdot x_1 & -&2\cdot1& & &=& 13 \\ &3\cdot x_1 & -&2 && &=& 13 &\quad\scriptsize \mid\; +2 \\ &3\cdot x_1 & & && &=& 15 &\quad\scriptsize \mid\; :3 \\ & x_1 & &&& &=& 5 &\quad\scriptsize \mid\; :3 \\ \end{array}$
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist $L=\{(5\mid 1\mid2)\}.$
(2)
$\blacktriangleright$  Lösungsanzahl begründen
Für $p=1$ stimmt die dritte Gleichung mit der ersten überein. Das Gleichungssystem besteht also nur noch aus zwei unterschiedlichen Gleichungen, enthält aber drei Variablen $x_1,$ $x_2$ und $x_3.$
Es ist daher nicht eindeutig bestimmt und besitzt unendlich viele Lösungen.
Für $p=0$ widersprechen sich die zweite und die dritte Gleichung:
$\begin{array}{lrll} 3\cdot &x_1 &+&2\cdot&x_2& & & &=&5 \\ 3\cdot &x_1&+ &2\cdot&x_2&& &&=& 4 \\ \end{array}$
Es kann keine Werte für $x_1$ und $x_2$ geben, die beide Gleichungen erfüllen. Das Gleichungssystem kann daher keine Lösung besitzen.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen
Die drei Punkte lägen auf einer Geraden, wenn die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ linear abhängig sind, wenn es also einen Faktor $a\in \mathbb{R}$ gibt, sodass gilt:
$\overrightarrow{AB} = a\cdot \overrightarrow{AC}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& a\cdot \overrightarrow{AC} \\[5pt] \pmatrix{3\\1\\1}&=&a\cdot \pmatrix{3\\0\\6} \\[5pt] \end{array}$
Aufgrund der zweiten Zeile, für die $1 = 0\cdot a$ gelten müsste, kann die Gleichung niemals erfüllt sein. Die beiden Vektoren sind nicht linear abhängig und die drei zugehörigen Punkte liegen damit nicht auf einer Geraden, bilden also ein Dreieck.
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung angeben
Eine Ebenengleichung in Parameterform ergibt sich beispielsweise mit $A$ als Stützpunkt und den beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ als Spannvektoren:
$E: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{-2\\1\\-2} +s\cdot \pmatrix{3\\1\\1} + t\cdot \pmatrix{3\\0\\6} $
$ E: \quad \overrightarrow{x} = … $
(2)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{d}$ ermitteln
Damit das Dreieck $ABD$ rechtwinklig im Punkt $B$ ist, müssen die beiden an $B$ angrenzenden Dreiecksseiten und damit auch die zugehörigen Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BD}$ orthogonal zueinander verlaufen.
Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BD}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{3\\1\\1}\circ \pmatrix{d-1\\-1\\ 5}&=& 0 \\[5pt] 3\cdot(d-1)+1\cdot (-1)+1\cdot 5 &=& 0 \\[5pt] 3d-3 -1+ 5 &=& 0 \\[5pt] 3d+1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 3d&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] d&=& -\frac{1}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ d = -\frac{1}{3} $
Damit das Dreieck $ABD$ bei $B$ einen rechten Winkel besitzt, muss $d=-\frac{1}{3}$ sein.
d)
(1)
$\blacktriangleright$ Term für die Wahrscheinlichkeit angeben
Da die Anzahl der Überraschungseier mit einer Figur binomialverteilt ist, ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe der Formel für die Binomialverteilung:
$\binom{10}{2}\cdot 0,25^2\cdot 0,75^8$
(2)
$\blacktriangleright$ Richtige Grafik auswählen und begründen
Die erste Abbildung stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Da $25\,\%$ aller Überraschungseier unabhängig von einander eine Figur enthalten oder nicht, ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine Figur zu enthalten bei jedem Überraschungsei gleich. Diese Wahrscheinlichkeit ist unabhängig davon ob sich in den anderen Überraschungseiern der Stichprobe Figuren befinden oder nicht. $X$ kann daher als binomialverteilt mit den Parametern $n=6$ und $p = 0,25$ angenommen werden. Der Erwartungswert von $X$ beträgt daher $6\cdot 0,25 = 1,5.$
Abbildung zwei zeigt eine Gleichverteilung. Da $X$ aber nicht gleichverteilt sondern binomialverteilt ist, kann diese Abbildung nicht die richtige sein.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße gibt den Wert von $X$ mit der größten Wahrscheinlichkeit an. Die höchsten Balken im Diagramm in Abbildung 3 befinden sich aber bei $X=4$ und $X=5,$ nicht bei $X=1$ und $X=2,$ was bei einem Erwartungswert von $1,5$ der Fall sein müsste. Abbildung 3 kann also nicht die richtige sein.
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