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Aufgabe 4

Aufgaben
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Aufgabenstellung:
Biologen wollen die Entwicklung einer Mäusebussardpopulation in einem Untersuchungsgebiet durch eine Matrix beschreiben. Dabei werden (auch in der gesamten folgenden Aufgabe) ausschließlich die weiblichen Tiere der Population betrachtet. Die Bussardpopulation besteht aus Küken ($k$), Jungvögeln ($j$), die noch nicht geschlechtsreif sind, und Altvögeln ($a$), die fortpflanzungsfähig sind. Die Küken entwickeln sich im Jahr nach dem Schlüpfen zu Jungvögeln und nach einem weiteren Jahr zu Altvögeln.
Nach Beobachtungen des Bestandes der Bussarde wurde vor ca. $25$ Jahren zur Modellierung der Populationsentwicklung die Matrix
von:$k$$j$$a$
$k$$\begin{pmatrix}0&0&0,6\\[2pt]0,5&0&0\\[2pt]0&0,7&0,79\end{pmatrix}$
nach:$j$$A=$
$a$
erstellt.
a)
(1)
Stelle die Entwicklung der Bussardpopulation nach dem vorgeschlagenen Modell durch einen Übergangsgraphen dar und interpretiere die Bedeutung der Matrixeinträge $0,6$ und $0,79$ im Sachzusammenhang.
(8P)
#übergangsgraph
$ $
(2)
Zur Simulation der Entwicklung der Population wurde von einem Bestand von $30$ Küken, $30$ Jungvögeln und $30$ Altvögeln ausgegangen.
Berechne die Verteilung auf die drei Altersstufen in der Population für das nächste und das übernächste Jahr.
(3P)
#verteilung
$ $
(3)
Berechne den Anteil der gerade geschlüpften Küken, die bei einer Modellierung mit der Matrix $A$ drei Jahre später noch leben.
(3P)
b)
In einem Jahr wurden $60$ Küken, $20$ Jungvögel und $100$ Altvögel im Beobachtungsgebiet gezählt.
Ermittle die Anzahlen an Küken, Jungvögeln und Altvögeln im Beobachtungsgebiet im Jahr zuvor, wenn die angegebene Modellierung der Populationsentwicklung durch die Matrix $A$ vorausgesetzt wird.
(4P)
c)
(1)
Bestimme $x$ und $y$ so, dass $A \cdot \pmatrix{x \\ 9 \\ 30} = y \cdot \pmatrix{x \\ 9 \\ 30}$ gilt.
[Zur Kontrolle: $x=18$ und $y=1$.]
(5P)
$ $
(2)
Interpretiere den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext.
(3P)
Veränderte Umweltbedingungen führen heute dazu, dass zur Modellierung jetzt die Matrix $B$ gewählt wird:
$B=\begin{pmatrix}0&0&0,7\\[2pt]0,6&0&0\\[2pt]0&0,75&0,8\end{pmatrix}$
d)
(1)
Vergleiche die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang.
(3P)
$ $
(2)
Für eine Population wird vorausgesetzt, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt die Anzahlen von Küken, Jungvögeln und Altvögeln übereinstimmen. Eine Forschungsgruppe behauptet, dass in diesem Fall die Gesamtzahl der Tiere nach der Modellierung in einem Zeitraum von $3$ Jahren um $20\,\%$ zunimmt.
Beurteile die Aussage.
(6P)
e)
In einem Beobachtungsgebiet leben einige Mäusebussarde.
(1)
Zeige, dass es nach der Modellierung durch die Matrix $B$ keine Verteilung dieser Tiere auf die drei Entwicklungsstufen der Bussardpopulation gibt, die im folgenden Jahr wieder zu derselben Verteilung führt.
(5P)
$ $
(2)
Untersuche, bei welcher Überlebensrate $u$ der Altvögel in der Matrix $B_{u}=\begin{pmatrix}0&0&0,7\\[2pt]0,6&0&0\\[2pt]0&0,75&u\end{pmatrix}$ es nach der Modellierung eine von $\pmatrix{0 \\ 0 \\ 0}$ verschiedene Verteilung auf die drei Entwicklungsstufen der Bussardpopulation gibt, die im folgenden Jahr wieder zu derselben Verteilung führt.
(6P)
Zurzeit lebt in einem Beobachtungsgebiet eine Population, bei der sich die Anzahlen von Küken, Jungvögeln und Altvögeln von Jahr zu Jahr nicht verändern. In der Population leben $50$ Altvögel.

(3)
Bestimme die Anzahlen von Küken und Jungvögeln, wenn zur Modellierung der Population die Matrix $B_{0,685}=\begin{pmatrix}0&0&0,7\\[2pt]0,6&0&0\\[2pt]0&0,75&0,685\end{pmatrix}$ gewählt wird.
(4P)
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Tipps
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Übergangsgraph zeichnen
Du sollst die vorgestellte Entwicklung der Bussardpopulation in einem Übergangsgraph darstellen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass es drei Entwicklungsstadien gibt: $k$, $j$ und $a$. Die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten kannst du der Matrix $A$ entnehmen.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Matrixeinträge interpretieren
Du sollst die Einträge $0,6$ und $0,79$ der Matrix $A$ im Sachzusammenhang interpretieren. Beachte dabei, dass der Eintrag $a_{ij}$ einer Übergangsmatrix die Übergangsrate vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ beschreibt.
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Verteilungen für die Folgejahre berechnen
Du sollst die Verteilungen der Bussardpopulation der nächsten beiden Jahre berechnen. Den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_t$, der die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ beschreibt, kannst du mit Hilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $A$ wie folgt berechnen:
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^{t}\cdot \overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^t \overrightarrow{v}_0$
Gesucht sind hier $\overrightarrow{v}_1$ und $\overrightarrow{v}_2$. $\overrightarrow{v}_0$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen:
$\overrightarrow{v}_0 = \begin{pmatrix}30\\30\\30 \end{pmatrix} $
Du kannst nun die gesuchten Vektoren entweder handschriftlich oder mit deinem CAS berechnen.
$ $
(3)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate der Küken berechnen
Gesucht ist der Anteil der Küken, die drei Jahre nach dem Schlüpfen noch leben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein geschlüpftes Küken im nächsten Jahr noch lebt ist gerade die Übergangsrate der Küken zu den Jungvögeln, also $0,5$. Da die Küken dann zu den Jungvögeln gehören, muss für das zweite Jahr die Überlebensrate dieser betrachtet werden, $0,7$. Für das dritte Jahr zählt die Überlebensrate der Altvögel, also $0,79$. Mit der Pfadmultiplikationsregel kannst du nun den gesuchten Anteil $p_3$ berechnen.
b)
$\blacktriangleright$  Verteilung des Vorjahres ermitteln
Zum Zeitpunkt $t$ gibt es $60$ Küken, $20$ Jungvögel und $100$ Altvögel. Du sollst nun berechnen, wie viele Vögel es in den einzelnen Entwicklungsstadien im Jahr davor, also zur Zeit $t-1$, gab. Diesmal hast du also $\overrightarrow{v}_t$ gegeben und suchst $\overrightarrow{v}_{t-1}$. Nutze die Formel aus a) (2), um eine Gleichung aufzustellen.
Mit $\overrightarrow{v}_{t-1} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}$ erhältst du ein lineares Gleichungssystem, das du entweder mit deinem CAS oder handschriftlich nach $x$, $y$ und $z$ lösen kannst.
$\overrightarrow{v}_t$ kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ bestimmen
Du sollst $x$ und $y$ so bestimmen, dass folgende Gleichung erfüllt ist:
$A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} = y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix}$
Du kannst $x$ und $y$ wie oben entweder mit dem CAS oder als Gleichungssystem handschriftlich lösen.
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt interpretieren
Um den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext zu interpretieren, betrachte die Gleichung genauer und überlege, was die Einträge der Vektoren im Sachzusammenhang bedeuten. Wichtig ist, dass beide Vektoren in der Gleichung identisch sind.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Matrizen im Sachzusammenhang vergleichen
Du sollst die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang vergleichen:
$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\quad$
$\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0& 0,7 \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,75 & 0,8 \end{pmatrix}$
Die Elemente, die schon in $A$ Null waren, sind auch in $B$ Null. Vergleiche also die von Null verschiedenen Einträge.
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Es soll einen Zeitpunkt geben, bei dem die Anzahlen der Küken, Jungvögel und Altvögel übereinstimmen. Für diesen Bestand sollst du dann die Entwicklung des Bestands drei Jahre später betrachten. Für den Bestand mit identischen Anzahlen, kannst du folgenden Verteilungsvektor verwenden:
$\overrightarrow{w}_0 = \begin{pmatrix}w\\w\\w\end{pmatrix}$
Berechne nun die Gesamtanzahl der Tiere nach drei Jahren und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. Dadurch kannst du eine Aussage über die prozentuale Zunahme treffen.
Du kannst hier die zweite Variante der Formel aus a) anwenden und dabei dein CAS nutzen.
e)
(1)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass es keine Verteilung gibt
Du sollst zeigen, dass es für die Modellierung durch die Matrix $B$ keine Verteilung gibt, die im nächsten Jahr wieder die gleiche Verteilung zur Folge hätte. Das heißt, du sollst zeigen, dass es keinen Vektor $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ gibt, der folgende Gleichung erfüllt:
$B \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B = \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Mit $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2\\s_3\end{pmatrix}$ erhältst du ein lineares Gleichungssystem. Zeige, dass dieses keine Lösung außer $s_1=s_2=s_3=0$ besitzt (Diese Lösung besitzt die Gleichung in jedem Fall).
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate untersuchen
Du sollst überprüfen, für welche Überlebensrate $u$ sich eine stabile Population einstellt. Gesucht ist also $u$, sodass es eine Verteilung $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ gibt, die folgende Gleichung erfüllt:
$B_u \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B_u \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle also für $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1 \\s_2\\s_3 \end{pmatrix}$ diese Gleichung auf. Daraus erhältst du wieder ein Gleichungssystem, bei dem eine Gleichung von $u$ abhängt. Aus dieser kannst du mit Hilfe der übrigen Gleichungen eine Aussage über $u$ gewinnen.
$ $
(3)
$\blacktriangleright$  Anzahlen bestimmen
Gegeben hast du die Matrix $B_{0,685}$. Dir sollte auffallen, dass dies genau die Matrix $B_u$ mit dem Wert $u$ ist, den du oben berechnet hast. Gesucht ist jetzt $\overrightarrow{s}$, wobei die Anzahl der Altvögel als $s_3 = 50$ in der Aufgabenstellung vorgegeben ist. Nutze das Gleichungssystem von oben, um daraus die Anzahlen $s_1$ und $s_2$ zu berechnen
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Lösungen TI
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Übergangsgraph zeichnen
Du sollst die vorgestellte Entwicklung der Bussardpopulation in einem Übergangsgraph darstellen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass es drei Entwicklungsstadien gibt: $k$, $j$ und $a$. Die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten kannst du der Matrix $A$ entnehmen. Dann erhältst du ein ähnliches Schaubild wie das folgende:
Aufgabe 4
Abb. 1: Übergangsgraph
Aufgabe 4
Abb. 1: Übergangsgraph
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Matrixeinträge interpretieren
Du sollst die Einträge $0,6$ und $0,79$ der Matrix $A$ im Sachzusammenhang interpretieren. Beachte dabei, dass der Eintrag $a_{ij}$ einer Übergangsmatrix die Übergangsrate vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ beschreibt.
In diesem Fall befindet sich der Eintrag $0,6$ in der ersten Zeile der dritten Spalte und beschreibt daher die durchschnittliche Anzahl an Küken, die jährlich von einem ausgewachsenen weiblichen Tier ausgebrütet werden.
Der Eintrag $0,79$ befindet sich in der dritten Zeile der dritten Spalte. Er beschreibt demnach die Übergangsrate von den ausgewachsenen Tieren zu den ausgewachsenen Tieren, also die Überlebensrate der fortpflanzungsfähigen ausgewachsenen weiblichen Tiere.
#übergangsmatrix
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Verteilungen für die Folgejahre berechnen
Du sollst die Verteilungen der Bussardpopulation der nächsten beiden Jahre berechnen. Den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_t$, der die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ beschreibt, kannst du mit Hilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $A$ wie folgt berechnen:
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^{t}\cdot \overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^t \overrightarrow{v}_0$
Gesucht sind hier $\overrightarrow{v}_1$ und $\overrightarrow{v}_2$. $\overrightarrow{v}_0$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen:
$\overrightarrow{v}_0 = \begin{pmatrix}30\\30\\30 \end{pmatrix} $
Du kannst nun die gesuchten Vektoren entweder handschriftlich oder mit deinem CAS berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS
Eine Matrix kannst du über folgende Befehlsfolge eingeben:
menu $\to$ 7 $\to $ 1
menu $\to$ 7 $\to $ 1
Aufgabe 4
Abb. 2: Verteilungsvektoren
Aufgabe 4
Abb. 2: Verteilungsvektoren
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich
Einsetzen in die Formel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_1&=&A\cdot \overrightarrow{v}_0 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}30\\30\\30\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\cdot 30 + 0\cdot 30 + 0,6\cdot 30 \\ 0,5\cdot 30 +0 \cdot 30 + 0\cdot 30\\ 0\cdot 30 +0,7\cdot 30 + 0,79 \cdot 30 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v}_1 = \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} $
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_2&=& A\cdot \overrightarrow{v}_1 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\cdot 18 + 0\cdot 15 + 0,6\cdot 44,7 \\ 0,5\cdot 18 +0 \cdot 15 + 0\cdot 44,7\\ 0\cdot 18 +0,7\cdot 15 + 0,79 \cdot 44,7 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 26,82 \\ 9\\ 45,813\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v}_2 =\begin{pmatrix} 26,82 \\ 9\\ 45,813\end{pmatrix} $
Im nächsten Jahr besteht die Population nach dem Modell aus $18$ Küken, $15$ Jungvögeln und ca. $45$ fortpflanzungsfähigen Altvögeln. Im darauffolgenden Jahr gibt es ca. $27$ Küken, $9$ Jungvögel und ca. $46$ Altvögel.
$ $
(3)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate der Küken berechnen
Gesucht ist der Anteil der Küken, die drei Jahre nach dem Schlüpfen noch leben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein geschlüpftes Küken im nächsten Jahr noch lebt ist gerade die Übergangsrate der Küken zu den Jungvögeln, also $0,5$. Da die Küken dann zu den Jungvögeln gehören, muss für das zweite Jahr die Überlebensrate dieser betrachtet werden, $0,7$. Für das dritte Jahr zählt die Überlebensrate der Altvögel, also $0,79$. Mit der Pfadmultiplikationsregel kannst du nun den gesuchten Anteil $p_3$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} p_3&=& 0,5\cdot 0,7\cdot 0,79 \\[5pt] &=&\dfrac{553}{2.000} \\[5pt] &=& 0,2765 \\[5pt] &=& 27,65\,\% \end{array}$
Drei Jahre nach dem Schlüpfen leben ca. $27,65\,\%$ der Küken noch.
#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$  Verteilung des Vorjahres ermitteln
Zum Zeitpunkt $t$ gibt es $60$ Küken, $20$ Jungvögel und $100$ Altvögel. Du sollst nun berechnen, wie viele Vögel es in den einzelnen Entwicklungsstadien im Jahr davor, also zur Zeit $t-1$, gab. Diesmal hast du also $\overrightarrow{v}_t$ gegeben und suchst $\overrightarrow{v}_{t-1}$. Nutze die Formel aus a) (2), um eine Gleichung aufzustellen.
Mit $\overrightarrow{v}_{t-1} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}$ erhältst du ein lineares Gleichungssystem, das du entweder mit deinem CAS oder handschriftlich nach $x$, $y$ und $z$ lösen kannst.
$\overrightarrow{v}_t$ kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen:
$\overrightarrow{v}_t = \begin{pmatrix}60 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix}$
Du erhältst folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}&=& \overrightarrow{v}_t \\[5pt] \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}60 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ … = \begin{pmatrix}60 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix} $
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS
Aufgabe 4
Abb. 3: Gleichung lösen
Aufgabe 4
Abb. 3: Gleichung lösen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&60&=& \quad 0,6z\\ \text{II}\quad&20&=& \quad 0,5x\\ \text{III}\quad&100&=& \quad 0,7y+0,79z\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ kannst du direkt eine Lösung für $z$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 60&=& 0,6z &\quad \scriptsize \mid\; :0,6 \\[5pt] 100&=& z \\[5pt] \end{array}$
Aus $\text{II}$ kannst du eine Lösung für $x$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 20&=& 0,5x &\quad \scriptsize \mid\; :0,5 \\[5pt] 40&=& x \\[5pt] \end{array}$
Die Lösung für $z$ kannst du nun in $\text{III}$ einsetzen und erhältst dann eine Lösung für $y$:
$\begin{array}[t]{rll} 100&=& 0,7y +0,79z &\quad \scriptsize \mid\; z = 100 \\[5pt] 100&=&0,7y+79 &\quad \scriptsize \mid\;-79 \\[5pt] 21&=&0,7y &\quad \scriptsize \mid\;: 0,7 \\[5pt] 30&=& y \\[5pt] \end{array}$
Im Jahr zuvor gab es nach der Modellierung durch die Matrix $A$ $40$ Küken, $30$ Jungvögel und $100$ Altvögel.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ bestimmen
Du sollst $x$ und $y$ so bestimmen, dass folgende Gleichung erfüllt ist:
$A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} = y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix}$
Du kannst $x$ und $y$ wie oben entweder mit dem CAS oder als Gleichungssystem handschriftlich lösen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS
Aufgabe 4
Abb. 4: Parameter berechnen
Aufgabe 4
Abb. 4: Parameter berechnen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich
$\begin{array}[t]{rll} A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix}&=& y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} &=& y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0,6\cdot 30 \\ 0,5x\\ 0,7\cdot 9 + 0,79\cdot 30\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}xy\\9y\\30y\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{pmatrix} 0,6\cdot 30 \\ 0,5x\\ 0,7\cdot 9 + 0,79\cdot 30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xy\\9y\\30y\end{pmatrix} $
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&18&=& xy\quad \\ \text{II}\quad&0,5x&=&9y\quad\\ \text{III}\quad&30&=&30y\quad\\ \end{array}$
Aus der dritten Gleichung erhältst du direkt:
$\begin{array}[t]{rll} 30&=& 30y&\quad \scriptsize \mid\;:30 \\[5pt] 1&=& y \end{array}$
Dies kannst du nun in $\text{I}$ einsetzen und erhältst:
$18 = x\cdot y =x\cdot 1 = x$
Zur Kontrolle kannst du nun deine Ergebnisse noch in $\text{II}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,5x&=& 9y \\[5pt] 0,5 \cdot 18&=&9\cdot 1 \\[5pt] 9&=&9\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 4
Für $x = 18$ und $y= 1$ ist die gegebene Gleichung erfüllt.
#lgs
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt interpretieren
Um den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext zu interpretieren, betrachte die Gleichung genauer und überlege, was die Einträge der Vektoren im Sachzusammenhang bedeuten. Wichtig ist, dass beide Vektoren in der Gleichung identisch sind.
Die Gleichung bedeutet, dass sich die Population mit $x$ Küken, $9$ Jungvögeln und $30$ Altvögeln im nächsten Jahr um den Faktor $y$ vervielfacht, wobei sich die Anzahl der einzelnen Entwicklungsstufen mit $y$ multipliziert und nicht nur die Gesamtanzahl.
Da diese Gleichung nur ein Lösungspaar besitzt, gibt es nur eine Anzahl von Küken, für die dies möglich ist. Insbesondere ist hier $y =1$, die Anzahl der Vögel in den einzelnen Entwicklungsstadien bleibt bei dieser Verteilung also über die Jahre gleich.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Matrizen im Sachzusammenhang vergleichen
Du sollst die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang vergleichen:
$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\quad$
$\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0& 0,7 \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,75 & 0,8 \end{pmatrix}$
Die Elemente, die schon in $A$ Null waren, sind auch in $B$ Null. Vergleiche also die von Null verschiedenen Einträge.
Alle von Null verschiedenen Einträge sind in der Matrix $B$ größer als in $A$. Diese Einträge beschreiben die Überlebensraten in den einzelnen Entwicklungsstadien, bzw. die Anzahl an Nachkommen pro fortpflanzungsfähigem Weibchen. Die Population im neuen Model wächst also stärker als im alten Modell.
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Es soll einen Zeitpunkt geben, bei dem die Anzahlen der Küken, Jungvögel und Altvögel übereinstimmen. Für diesen Bestand sollst du dann die Entwicklung des Bestands drei Jahre später betrachten. Für den Bestand mit identischen Anzahlen, kannst du folgenden Verteilungsvektor verwenden:
$\overrightarrow{w}_0 = \begin{pmatrix}w\\w\\w\end{pmatrix}$
Berechne nun die Gesamtanzahl der Tiere nach drei Jahren und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. Dadurch kannst du eine Aussage über die prozentuale Zunahme treffen.
Aufgabe 4
Abb. 5: Verteilung berechnen
Aufgabe 4
Abb. 5: Verteilung berechnen
Die Gesamtanzahl der Vögel der Population $w_t$ ergibt sich dann wie folgt:
$w_0 = 3\cdot w $
$w_3 = 1,183w+0,651w+1,667w = 3,501w$
$ w_0 = 3w $
$w_3 = 3,501w$
Es ergibt sich also:
$\dfrac{w_3}{w_0}= \dfrac{3,501w}{3w}= 1,167 $
Die Gesamtanzahl der Tiere nimmt nur um $16,7\,\%$ zu, also ist die Aussage der Forschungsgruppe falsch.
e)
(1)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass es keine Verteilung gibt
Du sollst zeigen, dass es für die Modellierung durch die Matrix $B$ keine Verteilung gibt, die im nächsten Jahr wieder die gleiche Verteilung zur Folge hätte. Das heißt, du sollst zeigen, dass es keinen Vektor $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ gibt, der folgende Gleichung erfüllt:
$B \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B = \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Mit $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2\\s_3\end{pmatrix}$ erhältst du ein lineares Gleichungssystem. Zeige, dass dieses keine Lösung außer $s_1=s_2=s_3=0$ besitzt (Diese Lösung besitzt die Gleichung in jedem Fall).
Du erhältst folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} B \cdot \overrightarrow{s}&=&\overrightarrow{s} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0&0&0,7 \\ 0,6&0&0\\0&0,75&0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2\\s_3\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2\\s_3\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0s_1+0s_2+0,7s_3 \\ 0,6s_1+0s_2+0s_3\\0s_1+0,75s_2+0,8s_3\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2\\s_3\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ B \cdot \overrightarrow{s}=\overrightarrow{s} $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=&\quad 0,7s_3\\ \text{II}\quad&s_2&=& \quad 0,6s_1\\ \text{III}\quad&s_3&=& 0,75s_2+0,8s_3\quad\\ \end{array}$
Setze zunächst $\text{I}$ in $\text{II}$ und dies dann wiederum in $\text{III}$ ein. Dadurch hängt $\text{III}$ nur noch von $s_3$ ab, sodass du diese lösen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad s_2&=& 0,6s_1 &\quad \scriptsize \mid\; s_1 =0,7s_3 \\[5pt] &=& 0,6\cdot 0,7s_3 \\[5pt] &=& 0,42s_3 \\[10pt] \text{III}\quad s_3 &=& 0,75s_2+0,8s_3 &\quad \scriptsize \mid\; s_2 = 0,42s_3\\[5pt] s_3&=& 0,75\cdot 0,42s_3+0,8s_3 \\[5pt] s_3&=& 1,115s_3 &\quad \scriptsize \mid\;-s_3 \\[5pt] 0&=& 0,115s_3 \\[5pt] \end{array}$
$s_2 = 0,42s_3\quad$ $0= 0,115s_3$
Diese Gleichung ist nach dem Satz vom Nullprodukt nur erfüllt, wenn $s_3 = 0$ gilt. Dann würde auch $s_1 =s_2 =0$ gelten, dann gäbe es aber keine Tiere, was im Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist.
Außer $\overrightarrow{0}$ gibt es keine Lösung für $B\cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$. Also gibt es keine Verteilung der Population auf die drei Entwicklungsstadien, die sich im nächsten Jahr wieder einstellt.
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate untersuchen
Du sollst überprüfen, für welche Überlebensrate $u$ sich eine stabile Population einstellt. Gesucht ist also $u$, sodass es eine Verteilung $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ gibt, die folgende Gleichung erfüllt:
$B_u \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B_u \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle also für $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1 \\s_2\\s_3 \end{pmatrix}$ diese Gleichung auf. Daraus erhältst du wieder ein Gleichungssystem, bei dem eine Gleichung von $u$ abhängt. Aus dieser kannst du mit Hilfe der übrigen Gleichungen eine Aussage über $u$ gewinnen.
$\begin{array}[t]{rll} B_u \cdot \overrightarrow{s}&=& \overrightarrow{s} \\[5pt] \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,7\\0,6 & 0 & 0\\0 & 0,75 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_1 \\s_2\\s_3 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}s_1 \\s_2\\s_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0\cdot s_1 + 0\cdot s_2 + 0,7s_3\\0,6s_1 + 0\cdot s_2 + 0\cdot s_3\\0\cdot s_1 + 0,75s_2 + us_3 \end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}s_1 \\s_2\\s_3 \end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
$ B_u \cdot \overrightarrow{s}= \overrightarrow{s} $
Du erhältst also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=& \quad 0,7s_3\\ \text{II}\quad&s_2&=& \quad 0,6s_1\\ \text{III}\quad&s_3&=&\quad 0,75s_2 + us_3\\ \end{array}$
Setze nun nacheinander erst $\text{I}$ in $\text{II}$ und dies dann wiederum in $\text{III}$ ein, damit $\text{III}$ nur noch von $s_3$ und $u$ abhängt:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad s_2 &=& 0,6s_1 &\quad \scriptsize \mid\; s_1 = 0,7s_3\\[5pt] &=& 0,6\cdot 0,7s_3 \\[5pt] &=& 0,42s_3\\[10pt] \text{III}\quad s_3&=&0,75s_2 + us_3 &\quad \scriptsize \mid\; s_2 = 0,42s_3 \\[5pt] s_3&=& 0,75\cdot 0,42s_3 +us_3 &\quad \scriptsize \mid\; -s_3 \\[5pt] 0&=&0,315s_3 +us_3 -s_3 \\[5pt] 0&=& (-0,685+u)s_3 \\[5pt] \end{array}$
$ s_2 = 0,42s_3 \quad $ $0=(-0,685+u)s_3 $
Diese Gleichung ist wegen des Satzes vom Nullprodukt erfüllt, wenn $s_3 =0$ oder $-0,685+u =0$ gilt. Wenn aber $s_3 = 0$ wäre, dann wären auch $s_1 =s_2 =0$, was in der Aufgabenstellung ausgeschlossen ist. Also muss $-0,685+u =0$ sein. Löse dies nun nach $u$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} -0,685+u&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +0,685 \\[5pt] u&=&0,685 \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Überlebensrate von $u = 0,685 = 68,5\,\%$ gibt es eine von Null verschiedene Verteilung, die sich im nächsten Jahr wieder ergibt.
$ $
(3)
$\blacktriangleright$  Anzahlen bestimmen
Gegeben hast du die Matrix $B_{0,685}$. Dir sollte auffallen, dass dies genau die Matrix $B_u$ mit dem Wert $u$ ist, den du oben berechnet hast. Gesucht ist jetzt $\overrightarrow{s}$, wobei die Anzahl der Altvögel als $s_3 = 50$ in der Aufgabenstellung vorgegeben ist. Nutze das Gleichungssystem von oben, um daraus die Anzahlen $s_1$ und $s_2$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} s_2&=& 0,42s_3 \\[5pt] &=&0,42\cdot 50 \\[5pt] &=& 21 \\[10pt] s_1&=&0,7s_3 \\[5pt] &=& 0,7\cdot 50 \\[5pt] &=& 35 \\[5pt] \end{array}$
In der Population, die jedes Jahr gleich bleibt, gibt es neben den $50$ Altvögeln $35$ Küken und $21$ Jungvögel.
Bildnachweise [nach oben]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Übergangsgraph zeichnen
Du sollst die vorgestellte Entwicklung der Bussardpopulation in einem Übergangsgraph darstellen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass es drei Entwicklungsstadien gibt: $k$, $j$ und $a$. Die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten kannst du der Matrix $A$ entnehmen. Dann erhältst du ein ähnliches Schaubild wie das folgende:
Aufgabe 4
Abb. 1: Übergangsgraph
Aufgabe 4
Abb. 1: Übergangsgraph
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Matrixeinträge interpretieren
Du sollst die Einträge $0,6$ und $0,79$ der Matrix $A$ im Sachzusammenhang interpretieren. Beachte dabei, dass der Eintrag $a_{ij}$ einer Übergangsmatrix die Übergangsrate vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ beschreibt.
In diesem Fall befindet sich der Eintrag $0,6$ in der ersten Zeile der dritten Spalte und beschreibt daher die durchschnittliche Anzahl an Küken, die jährlich von einem ausgewachsenen weiblichen Tier ausgebrütet werden.
Der Eintrag $0,79$ befindet sich in der dritten Zeile der dritten Spalte. Er beschreibt demnach die Übergangsrate von den ausgewachsenen Tieren zu den ausgewachsenen Tieren, also die Überlebensrate der fortpflanzungsfähigen ausgewachsenen weiblichen Tiere.
#übergangsmatrix
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Verteilungen für die Folgejahre berechnen
Du sollst die Verteilungen der Bussardpopulation der nächsten beiden Jahre berechnen. Den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_t$, der die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ beschreibt, kannst du mit Hilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $A$ wie folgt berechnen:
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^{t}\cdot \overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^t \overrightarrow{v}_0$
Gesucht sind hier $\overrightarrow{v}_1$ und $\overrightarrow{v}_2$. $\overrightarrow{v}_0$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen:
$\overrightarrow{v}_0 = \begin{pmatrix}30\\30\\30 \end{pmatrix} $
Du kannst nun die gesuchten Vektoren entweder handschriftlich oder mit deinem CAS berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS
Aufgabe 4
Abb. 2: Verteilungsvektoren
Aufgabe 4
Abb. 2: Verteilungsvektoren
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich
Einsetzen in die Formel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_1&=&A\cdot \overrightarrow{v}_0 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}30\\30\\30\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\cdot 30 + 0\cdot 30 + 0,6\cdot 30 \\ 0,5\cdot 30 +0 \cdot 30 + 0\cdot 30\\ 0\cdot 30 +0,7\cdot 30 + 0,79 \cdot 30 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v}_1 = \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} $
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_2&=& A\cdot \overrightarrow{v}_1 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\cdot 18 + 0\cdot 15 + 0,6\cdot 44,7 \\ 0,5\cdot 18 +0 \cdot 15 + 0\cdot 44,7\\ 0\cdot 18 +0,7\cdot 15 + 0,79 \cdot 44,7 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 26,82 \\ 9\\ 45,813\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v}_2 =\begin{pmatrix} 26,82 \\ 9\\ 45,813\end{pmatrix} $
Im nächsten Jahr besteht die Population nach dem Modell aus $18$ Küken, $15$ Jungvögeln und ca. $45$ fortpflanzungsfähigen Altvögeln. Im darauffolgenden Jahr gibt es ca. $27$ Küken, $9$ Jungvögel und ca. $46$ Altvögel.
$ $
(3)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate der Küken berechnen
Gesucht ist der Anteil der Küken, die drei Jahre nach dem Schlüpfen noch leben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein geschlüpftes Küken im nächsten Jahr noch lebt ist gerade die Übergangsrate der Küken zu den Jungvögeln, also $0,5$. Da die Küken dann zu den Jungvögeln gehören, muss für das zweite Jahr die Überlebensrate dieser betrachtet werden, $0,7$. Für das dritte Jahr zählt die Überlebensrate der Altvögel, also $0,79$. Mit der Pfadmultiplikationsregel kannst du nun den gesuchten Anteil $p_3$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} p_3&=& 0,5\cdot 0,7\cdot 0,79 \\[5pt] &=&\dfrac{553}{2.000} \\[5pt] &=& 0,2765 \\[5pt] &=& 27,65\,\% \end{array}$
Drei Jahre nach dem Schlüpfen leben ca. $27,65\,\%$ der Küken noch.
#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$  Verteilung des Vorjahres ermitteln
Zum Zeitpunkt $t$ gibt es $60$ Küken, $20$ Jungvögel und $100$ Altvögel. Du sollst nun berechnen, wie viele Vögel es in den einzelnen Entwicklungsstadien im Jahr davor, also zur Zeit $t-1$, gab. Diesmal hast du also $\overrightarrow{v}_t$ gegeben und suchst $\overrightarrow{v}_{t-1}$. Nutze die Formel aus a) (2), um eine Gleichung aufzustellen.
Mit $\overrightarrow{v}_{t-1} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}$ erhältst du ein lineares Gleichungssystem, das du entweder mit deinem CAS oder handschriftlich nach $x$, $y$ und $z$ lösen kannst.
$\overrightarrow{v}_t$ kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen:
$\overrightarrow{v}_t = \begin{pmatrix}60 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix}$
Du erhältst folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}&=& \overrightarrow{v}_t \\[5pt] \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}60 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ …= \begin{pmatrix}60 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix} $
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS
Aufgabe 4
Abb. 3: Gleichung lösen
Aufgabe 4
Abb. 3: Gleichung lösen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&60&=& \quad 0,6z\\ \text{II}\quad&20&=& \quad 0,5x\\ \text{III}\quad&100&=& \quad 0,7y+0,79z\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ kannst du direkt eine Lösung für $z$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 60&=& 0,6z &\quad \scriptsize \mid\; :0,6 \\[5pt] 100&=& z \\[5pt] \end{array}$
Aus $\text{II}$ kannst du eine Lösung für $x$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 20&=& 0,5x &\quad \scriptsize \mid\; :0,5 \\[5pt] 40&=& x \\[5pt] \end{array}$
Die Lösung für $z$ kannst du nun in $\text{III}$ einsetzen und erhältst dann eine Lösung für $y$:
$\begin{array}[t]{rll} 100&=& 0,7y +0,79z &\quad \scriptsize \mid\; z = 100 \\[5pt] 100&=&0,7y+79 &\quad \scriptsize \mid\;-79 \\[5pt] 21&=&0,7y &\quad \scriptsize \mid\;: 0,7 \\[5pt] 30&=& y \\[5pt] \end{array}$
Im Jahr zuvor gab es nach der Modellierung durch die Matrix $A$ $40$ Küken, $30$ Jungvögel und $100$ Altvögel.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ bestimmen
Du sollst $x$ und $y$ so bestimmen, dass folgende Gleichung erfüllt ist:
$A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} = y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix}$
Du kannst $x$ und $y$ wie oben entweder mit dem CAS oder als Gleichungssystem handschriftlich lösen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS
Aufgabe 4
Abb. 4: Parameter berechnen
Aufgabe 4
Abb. 4: Parameter berechnen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich
$\begin{array}[t]{rll} A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix}&=& y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} &=& y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0,6\cdot 30 \\ 0,5x\\ 0,7\cdot 9 + 0,79\cdot 30\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}xy\\9y\\30y\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{pmatrix} 0,6\cdot 30 \\ 0,5x\\ 0,7\cdot 9 + 0,79\cdot 30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xy\\9y\\30y\end{pmatrix} $
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&18&=& xy\quad \\ \text{II}\quad&0,5x&=&9y\quad\\ \text{III}\quad&30&=&30y\quad\\ \end{array}$
Aus der dritten Gleichung erhältst du direkt:
$\begin{array}[t]{rll} 30&=& 30y&\quad \scriptsize \mid\;:30 \\[5pt] 1&=& y \end{array}$
Dies kannst du nun in $\text{I}$ einsetzen und erhältst:
$18 = x\cdot y =x\cdot 1 = x$
Zur Kontrolle kannst du nun deine Ergebnisse noch in $\text{II}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,5x&=& 9y \\[5pt] 0,5 \cdot 18&=&9\cdot 1 \\[5pt] 9&=&9\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 4
Für $x = 18$ und $y= 1$ ist die gegebene Gleichung erfüllt.
#lgs
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt interpretieren
Um den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext zu interpretieren, betrachte die Gleichung genauer und überlege, was die Einträge der Vektoren im Sachzusammenhang bedeuten. Wichtig ist, dass beide Vektoren in der Gleichung identisch sind.
Die Gleichung bedeutet, dass sich die Population mit $x$ Küken, $9$ Jungvögeln und $30$ Altvögeln im nächsten Jahr um den Faktor $y$ vervielfacht, wobei sich die Anzahl der einzelnen Entwicklungsstufen mit $y$ multipliziert und nicht nur die Gesamtanzahl.
Da diese Gleichung nur ein Lösungspaar besitzt, gibt es nur eine Anzahl von Küken, für die dies möglich ist. Insbesondere ist hier $y =1$, die Anzahl der Vögel in den einzelnen Entwicklungsstadien bleibt bei dieser Verteilung also über die Jahre gleich.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Matrizen im Sachzusammenhang vergleichen
Du sollst die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang vergleichen:
$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\quad$
$\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0& 0,7 \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,75 & 0,8 \end{pmatrix}$
Die Elemente, die schon in $A$ Null waren, sind auch in $B$ Null. Vergleiche also die von Null verschiedenen Einträge.
Alle von Null verschiedenen Einträge sind in der Matrix $B$ größer als in $A$. Diese Einträge beschreiben die Überlebensraten in den einzelnen Entwicklungsstadien, bzw. die Anzahl an Nachkommen pro fortpflanzungsfähigem Weibchen. Die Population im neuen Model wächst also stärker als im alten Modell.
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Es soll einen Zeitpunkt geben, bei dem die Anzahlen der Küken, Jungvögel und Altvögel übereinstimmen. Für diesen Bestand sollst du dann die Entwicklung des Bestands drei Jahre später betrachten. Für den Bestand mit identischen Anzahlen, kannst du folgenden Verteilungsvektor verwenden:
$\overrightarrow{w}_0 = \begin{pmatrix}w\\w\\w\end{pmatrix}$
Berechne nun die Gesamtanzahl der Tiere nach drei Jahren und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. Dadurch kannst du eine Aussage über die prozentuale Zunahme treffen.
Aufgabe 4
Abb. 5: Verteilung berechnen
Aufgabe 4
Abb. 5: Verteilung berechnen
Die Gesamtanzahl der Vögel der Population $w_t$ ergibt sich dann wie folgt:
$w_0 = 3\cdot w $
$w_3 = 1,183w+0,651w+1,667w = 3,501w$
$ w_0 = 3w $
$w_3 = 3,501w$
Es ergibt sich also:
$\dfrac{w_3}{w_0}= \dfrac{3,501w}{3w}= 1,167 $
Die Gesamtanzahl der Tiere nimmt nur um $16,7\,\%$ zu, also ist die Aussage der Forschungsgruppe falsch.
e)
(1)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass es keine Verteilung gibt
Du sollst zeigen, dass es für die Modellierung durch die Matrix $B$ keine Verteilung gibt, die im nächsten Jahr wieder die gleiche Verteilung zur Folge hätte. Das heißt, du sollst zeigen, dass es keinen Vektor $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ gibt, der folgende Gleichung erfüllt:
$B \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B = \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Mit $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2\\s_3\end{pmatrix}$ erhältst du ein lineares Gleichungssystem. Zeige, dass dieses keine Lösung außer $s_1=s_2=s_3=0$ besitzt (Diese Lösung besitzt die Gleichung in jedem Fall).
Du erhältst folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} B \cdot \overrightarrow{s}&=&\overrightarrow{s} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0&0&0,7 \\ 0,6&0&0\\0&0,75&0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2\\s_3\end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2\\s_3\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0s_1+0s_2+0,7s_3 \\ 0,6s_1+0s_2+0s_3\\0s_1+0,75s_2+0,8s_3\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2\\s_3\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ B \cdot \overrightarrow{s}=\overrightarrow{s} $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=&\quad 0,7s_3\\ \text{II}\quad&s_2&=& \quad 0,6s_1\\ \text{III}\quad&s_3&=& 0,75s_2+0,8s_3\quad\\ \end{array}$
Setze zunächst $\text{I}$ in $\text{II}$ und dies dann wiederum in $\text{III}$ ein. Dadurch hängt $\text{III}$ nur noch von $s_3$ ab, sodass du diese lösen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad s_2&=& 0,6s_1 &\quad \scriptsize \mid\; s_1 =0,7s_3 \\[5pt] &=& 0,6\cdot 0,7s_3 \\[5pt] &=& 0,42s_3 \\[10pt] \text{III}\quad s_3 &=& 0,75s_2+0,8s_3 &\quad \scriptsize \mid\; s_2 = 0,42s_3\\[5pt] s_3&=& 0,75\cdot 0,42s_3+0,8s_3 \\[5pt] s_3&=& 1,115s_3 &\quad \scriptsize \mid\;-s_3 \\[5pt] 0&=& 0,115s_3 \\[5pt] \end{array}$
$s_2 = 0,42s_3\quad$ $0= 0,115s_3$
Diese Gleichung ist nach dem Satz vom Nullprodukt nur erfüllt, wenn $s_3 = 0$ gilt. Dann würde auch $s_1 =s_2 =0$ gelten, dann gäbe es aber keine Tiere, was im Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist.
Außer $\overrightarrow{0}$ gibt es keine Lösung für $B\cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$. Also gibt es keine Verteilung der Population auf die drei Entwicklungsstadien, die sich im nächsten Jahr wieder einstellt.
$ $
(2)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate untersuchen
Du sollst überprüfen, für welche Überlebensrate $u$ sich eine stabile Population einstellt. Gesucht ist also $u$, sodass es eine Verteilung $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ gibt, die folgende Gleichung erfüllt:
$B_u \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B_u \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle also für $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1 \\s_2\\s_3 \end{pmatrix}$ diese Gleichung auf. Daraus erhältst du wieder ein Gleichungssystem, bei dem eine Gleichung von $u$ abhängt. Aus dieser kannst du mit Hilfe der übrigen Gleichungen eine Aussage über $u$ gewinnen.
$\begin{array}[t]{rll} B_u \cdot \overrightarrow{s}&=& \overrightarrow{s} \\[5pt] \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,7\\0,6 & 0 & 0\\0 & 0,75 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_1 \\s_2\\s_3 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}s_1 \\s_2\\s_3 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0\cdot s_1 + 0\cdot s_2 + 0,7s_3\\0,6s_1 + 0\cdot s_2 + 0\cdot s_3\\0\cdot s_1 + 0,75s_2 + us_3 \end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}s_1 \\s_2\\s_3 \end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
$ B_u \cdot \overrightarrow{s}= \overrightarrow{s} $
Du erhältst also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=& \quad 0,7s_3\\ \text{II}\quad&s_2&=& \quad 0,6s_1\\ \text{III}\quad&s_3&=&\quad 0,75s_2 + us_3\\ \end{array}$
Setze nun nacheinander erst $\text{I}$ in $\text{II}$ und dies dann wiederum in $\text{III}$ ein, damit $\text{III}$ nur noch von $s_3$ und $u$ abhängt:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad s_2 &=& 0,6s_1 &\quad \scriptsize \mid\; s_1 = 0,7s_3\\[5pt] &=& 0,6\cdot 0,7s_3 \\[5pt] &=& 0,42s_3\\[10pt] \text{III}\quad s_3&=&0,75s_2 + us_3 &\quad \scriptsize \mid\; s_2 = 0,42s_3 \\[5pt] s_3&=& 0,75\cdot 0,42s_3 +us_3 &\quad \scriptsize \mid\; -s_3 \\[5pt] 0&=&0,315s_3 +us_3 -s_3 \\[5pt] 0&=& (-0,685+u)s_3 \\[5pt] \end{array}$
$ s_2 = 0,42s_3 \quad $ $0=(-0,685+u)s_3 $
Diese Gleichung ist wegen des Satzes vom Nullprodukt erfüllt, wenn $s_3 =0$ oder $-0,685+u =0$ gilt. Wenn aber $s_3 = 0$ wäre, dann wären auch $s_1 =s_2 =0$, was in der Aufgabenstellung ausgeschlossen ist. Also muss $-0,685+u =0$ sein. Löse dies nun nach $u$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} -0,685+u&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +0,685 \\[5pt] u&=&0,685 \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Überlebensrate von $u = 0,685 = 68,5\,\%$ gibt es eine von Null verschiedene Verteilung, die sich im nächsten Jahr wieder ergibt.
$ $
(3)
$\blacktriangleright$  Anzahlen bestimmen
Gegeben hast du die Matrix $B_{0,685}$. Dir sollte auffallen, dass dies genau die Matrix $B_u$ mit dem Wert $u$ ist, den du oben berechnet hast. Gesucht ist jetzt $\overrightarrow{s}$, wobei die Anzahl der Altvögel als $s_3 = 50$ in der Aufgabenstellung vorgegeben ist. Nutze das Gleichungssystem von oben, um daraus die Anzahlen $s_1$ und $s_2$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} s_2&=& 0,42s_3 \\[5pt] &=&0,42\cdot 50 \\[5pt] &=& 21 \\[10pt] s_1&=&0,7s_3 \\[5pt] &=& 0,7\cdot 50 \\[5pt] &=& 35 \\[5pt] \end{array}$
In der Population, die jedes Jahr gleich bleibt, gibt es neben den $50$ Altvögeln $35$ Küken und $21$ Jungvögel.
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