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Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f.$

Graph Gf Integral Sachsen Anhalt Mathe Abi 2024

Abb. 1

(1)

Bestimme grafisch den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-3}^{-1,5}f(x)\;\mathrm dx.$

(2)

Beschreibe, wie der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u$ mit $u(x)=-f(x)+2$ aus $G_f$ erzeugt werden kann.

Gib die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $u$ an.

(2 + 3 Punkte)

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g$ mit $g(x)=2 \cdot \mathrm e^x-2$ und $h$ mit $h(x)= \mathrm e^x+1.$

Abbildung 2 zeigt ihre Graphen.

Abb. 2

(1)

Die erste Ableitungsfunktion von $g$ wird mit $\(g$ bezeichnet.

Berechne $\(g$ und veranschauliche in der Abbildung, wie man diesen Wert grafisch ermitteln kann.

(2)

Beurteile die folgende Aussage:

$\,$

Es gibt eine Verschiebung in $y$ -Richtung, durch die der Graph von $h$ aus dem Graphen von $g$ erzeugt werden kann.

(3 + 2 Punkte)

Gegeben sind der Punkt $P(0\mid0\mid3)$ sowie die Geraden $g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{O P}+t \cdot\pmatrix{2\\1\\-2},$ $t \in \mathbb{R},$ und $h: \overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\2\\-1}+r \cdot\pmatrix{1\\0\\2},$ $r \in \mathbb{R}.$

(1)

Zeige, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden, und gib die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ an.

(2)

Der Punkt $R(2\mid1\mid 1)$ liegt auf der Gerade $g.$

Bestimme die Koordinaten eines Punktes $\(P$ der auf der Gerade $g$ liegt und den gleichen Abstand vom Punkt $R$ hat wie der Punkt $P.$

(3 + 2 Punkte)

Die Punkte $A(1\mid 1\mid0),$ $B(4\mid 1\mid 0),$ $E(1\mid 1\mid4)$ und $H(1\mid 7 \mid 4)$ sind Eckpunkte des in Abbildung 3 dargestellten Quaders $ABCDEFGH.$

Quader Eckpunkte Sachsen Anhalt Mathe Abi 2024

Abb. 3

(1)

Gib die Koordinaten des Punktes $G$ an.

Der Quader wird parallel zu einer Gerade so verschoben, dass sich der Schnittpunkt seiner Raumdiagonalen im Koordinatenursprung befindet. Dabei entsteht der Quader $\(A$

(2)

Ermittle die Koordinaten des Punkts $\(H$

(3)

Gib einen Eckpunkt des Quaders $\(A$ an, der nur positive Koordinaten hat.

(1 + 3 + 1 Punkte)

In einem Spielwarengeschäft erhält jedes Kind im Rahmen einer Werbeaktion einen kleinen, blickdicht verpackten Ball. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Ball eine Glitzerfärbung hat, beträgt $40\,\%.$

(1)

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von drei Kindern jedes Kind einen Ball mit Glitzerfärbung erhält, kleiner als $10\,\%$ ist.

(2)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $\left(\frac{3}{5}\right)^4+4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot\frac{2}{5}$ berechnet werden kann. Gib dieses Ereignis an.

(2 + 3 Punkte)

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p=\frac{1}{4}.$

(1)

Für die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ gilt: $\sigma=\sqrt{3}.$

Berechne $n.$

(2)

Die folgende Abbildung 4 zeigt die Werte $P_{n ; \frac{1}{4}}(X=k)$ der Zufallsgröße $X$ im Bereich von $k=3$ bis $k=5$ ; Abbildung 5 zeigt kumulierte Werte $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq k)$ der Zufallsgröße $X$ im Bereich von $k=3$ bis $k=5.$

In Abbildung 5 fehlt der Wert $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4).$

Abb. 4

Abb. 5

Ermittle näherungsweise $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)$ und vervollständige Abbildung 5.

(2 + 3 Punkte)