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Aufgabe 1

Aufgaben
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Die Zahl der Haushalte in Deutschland, die über einen Glasfaseranschluss erreichbar sind, wächst ständig. Aber nicht alle erreichbaren Haushalte nutzen auch ihre Anschlüsse.
Die Abbildung zeigt die Anzahl der Haushalte mit genutztem Glasfaseranschluss (im Folgenden Glasfaserhaushalte genannt) für die Jahre 2011 bis 2017. Dabei wird auf der $t$-Achse die Zeit in Jahren seit dem 01.01.2011 und auf der $y$-Achse die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend angegeben.
a)
Die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend wird durch eine Exponentialfunktion $f$ der Form $f(t)=a \cdot e^{b \cdot t}$ modelliert, deren Graph durch die Punkte $P_1(0 \mid 296)$ und $P_2(4 \mid 590)$ verläuft. Diese Funktion soll für Prognosen bis zum Jahr 2026 ($t=15$) genutzt werden.
(1)
Gib den Parameter $a$ an und bestimme $b$ auf drei Nachkommastellen genau.
Im Folgenden soll mit $f(t)=296 \cdot e^{0,17 \cdot t}$ weitergearbeitet werden.
(2)
Im Jahr 2017 wurden in einer Erhebung ca. $880.000$ Glasfaserhaushalte gezählt.
Bestimme die sinnvoll gerundete Anzahl der Glasfaserhaushalte, die sich bei der Modellierung mit der Funktion $f$ für den 01.01.2017 ergibt.
Ermittle die prozentuale Abweichung zu dem Wert aus der Erhebung.
(3)
Bestimme im Modell für $0 \leq t \leq 15$ den Zeitpunkt, zu dem die Anzahl der Glasfaserhaushalte am schnellsten wächst.
Bestimme die zugehörige Wachstumsgeschwindigkeit und gib die Einheit an.
(4+4+6 Punkte)
#exponentialfunktion
b)
(1)
Bestimme $\frac{f(4)}{g(4)}$ und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(2)
Bestimme rechnerisch den lokalen Hochpunkt der Funktion $d$ mit
$d(t)= g(t) -f(t),$ $0\leq t\leq 15.$
(3)
Interpretiere die Bedeutung des Hochpunktes der Funktion $d$ im Sachzusammenhang.
(4+7+2 BE)
#extrempunkt
Es wird prognostiziert, dass der Markt für Glasfaseranschlüsse im weiteren Verlauf in eine Sättigungsphase eintritt, da eine zunehmende Zahl von Haushalten bereits über einen Glasfaseranschluss verfügt. Im Folgenden wird die Funktion $f$ nur zur Prognose der Anzahl von Glasfaserhaushalten in Tausend bis zum 01.01.2026 ($t \leq 15$) genutzt. Der momentane Zuwachs der Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend pro Jahr ab dem 01.01.2026 ($t \geq 15$) wird durch die Änderungsrate $z$ mit der Funktionsgleichung
$z(t)=50,32 \cdot e^{6,99-0,296 \cdot t}$ modelliert.
c)
(1)
Bestimme im Modell die Anzahl der Glasfaserhaushalte am 01.01.2026.
Bestimme die Anzahl der Glasfaserhaushalte, die gemäß der Modellierung von 01.01.2026 bis zum 01.01.2036 hinzukommen.
(2)
Gib einen Ansatz für einen Funktionsterm einer Funktion $h$ an, der für $t\geq15$ die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend modelliert. Eine Vereinfachung oder Berechnung ist nicht erforderlich.
(3)
Es gilt die Aussage: $z(t)> 0$ und $z'(t)<0$ für alle $t\in\mathbb{R}$.
[Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]
Interpretiere diese Aussage für $t\geq 15$ im Sachzusammenhang.
(6+4+4 Punkte)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
© – SchulLV.
#gtr
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Lösungen
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Parameter angeben
Einsetzen der Koordinaten von $P_1$ in die Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& a\cdot \mathrm e^{b\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; P_1(0\mid 296) \\[5pt] 296 &=& a\cdot \mathrm e^{b\cdot 0} \\[5pt] 296 &=& a\cdot 1\\[5pt] 296 &=& a \\[5pt] \end{array}$
$ a=296 $
Einsetzen der Koordinaten von $P_2:$
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& a\cdot \mathrm e^{b\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; a= 296 \\[5pt] f(t) &=& 296 \cdot \mathrm e^{b\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; P_2(4\mid 590)\\[5pt] 590 &=& 296 \cdot \mathrm e^{b\cdot 4} &\quad \scriptsize \mid\;:296 \\[5pt] \frac{295}{148} &=& \mathrm e^{b\cdot 4} &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \ln \frac{295}{148} &=& b\cdot 4 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 0,172 &\approx& b \end{array}$
$ b\approx 0,172 $
(2)
$\blacktriangleright$  Anzahl aus der Modellierung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(6) &=& 296\cdot \mathrm e^{0,17\cdot 6} \\[5pt] &\approx& 820,866 \end{array}$
$ f(6)\approx 820,866 $
Für den 01.01.2017 ergibt sich mithilfe der Modellierung mit der Funktion $f$ eine Anzahl von ca. $820\,000$ Glasfaserhaushalten.
$\blacktriangleright$  Prozentuale Abweichung zur Erhebung ermitteln
Mit der Abbildung ergeben sich für den 01.01.2017 ca. $880\,000$ Glasfaserhaushalte aus der Erhebung.
$\dfrac{820\,000}{880\,000} \approx 0,932 $
Der Wert, der sich aus der Modellierung mit der Funktion $f$ ergibt, weicht um ca. $6,8\,\%$ von dem Wert aus der Erhebung ab.
(3)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem schnellsten Wachstum bestimmen
Gesucht ist das Maximum von $f'(t)$ für $0\leq t \leq 15.$
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 296\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[10pt] f'(t) &=& 296\cdot 0,17\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[5pt] &=& 50,32\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[10pt] \end{array}$
$ f'(t) = 50,32\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} $
2. Schritt: Maximum bestimmen
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Mit dem GTR erhältst du, dass der Graph von $f'$ keinen Extrempunkt besitzt. Überprüfe also die Intervallränder:
$f'(0) = 50,32 $ und $f'(15) \approx 644,45$
Die Anzahl der Glasfaserhaushalte wächst nach $15$ Jahren am schnellsten. Zu diesem Zeitpunkt wächst sie mit einer Geschwindigkeit von ca. $640\,000$ Haushalten pro Jahr.
#gtr
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen und im Sachzusammenhang interpretieren
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(4)}{g(4)} &=& \dfrac{296\cdot \mathrm e^{0,17\cdot 4}}{416,5\cdot 4+434} \\[5pt] &\approx & 0,28 \\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{f(4)}{g(4)} \approx 0,28 $
Zum Zeitpunkt $t=4,$ also am 01.01.2015 nutzen ca. $28\,\%$ der Haushalte, die über einen Glasfaseranschluss erreichbar sind, ihren Glasfaseranschluss.
(2)
$\blacktriangleright$  Lokalen Hochpunkt rechnerisch bestimmen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} d(t) &=& g(t) -f(t) \\[5pt] &=& 416,5t+434 - 296\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[10pt] d'(t) &=& 416,5- 296\cdot 0,17\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[5pt] &=& 416,5- 50,32\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[10pt] d''(t) &=& - 50,32\cdot 0,17\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[5pt] &=& - 8,5544\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d(t) &=&… \\[10pt] d'(t) &=& … \\[10pt] d''(t) &=& …\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} d'(t) &=& 0 \\[5pt] 416,5- 50,32\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-416,5 \\[5pt] - 50,32\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} &=& -416,5 &\quad \scriptsize \mid\;:(- 50,32) \\[5pt] \mathrm e^{0,17\cdot t} &=& \dfrac{1\,225}{148} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] 0,17\cdot t &=&\ln \dfrac{1\,225}{148} &\quad \scriptsize \mid\; :0,17 \\[5pt] t &\approx& 12,43 \end{array}$
$ t\approx 12,43 $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} d''(12,43)&=& - 8,5544\cdot \mathrm e^{0,17\cdot 12,43} \\[5pt] &\approx& -70,805 < 0 \end{array}$
$ d''(12,43) \approx -70,805 < 0 $
An der Stelle $t\approx 12,43$ besitzt $d$ also ein lokales Maximum.
4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} d(12,43)&=& 416,5\cdot 12,43+434 - 296\cdot \mathrm e^{0,17\cdot 12,43} \\[5pt] &\approx& 3\,162,04 \end{array}$
$ d(12,43) \approx 3\,162,04 $
Der lokale Hochpunkt der Funktion $d$ besitzt die Koordinaten $H(12,43\mid 3\,162,04).$
(3)
$\blacktriangleright$  Bedeutung des Hochpunkts im Sachzusammenhang interpretieren
Die Funktion $d$ beschreibt die Anzahl der Haushalte, die zum Zeitpunkt $t$ über einen Glasfaseranschluss erreichbar sind, diesen aber nicht nutzen. Im berechneten Hochpunkt ist diese Anzahl lokal betrachtet maximal.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Anzahl Glasfaserhaushalte bestimmen
$f(15)= 296\cdot \mathrm e^{0,17\cdot 15} \approx 3\,790,90$
Am 01.01.2026 gibt es laut Modell ca. $3,79$ Millionen Glasfaserhaushalte.
$\blacktriangleright$  Anzahl zusätzlicher Glasfaserhaushalte bestimmen
Integrale kannst du mithilfe deines GTRs berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
$\displaystyle\int_{15}^{25}z(t)\;\mathrm dt\approx 2\,064,39$
Vom 01.01.2016 bis zum 01.01.2036 kommen gemäß der Modellierung mit $z$ ca. $2\,060\,000$ Glasfaserhaushalte hinzu.
(2)
$\blacktriangleright$  Ansatz angeben
Mit $f(15)$ wird die Anzahl der Glasfaserhaushalte für $t=15$ beschrieben. Mit $\displaystyle\int_{15}^{t}z(x)\;\mathrm dx$ lässt sich in Abhängigkeit von $t\geq 15$ die Anzahl der hinzugekommenen Haushalte seit $t=15$ beschreiben.
$h(t) = f(15) + \displaystyle\int_{15}^{t}z(x)\;\mathrm dx$
$ h(t) =… $
(3)
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
$z$ beschreibt die Wachstumgsgeschwindigkeit der Anzahl der Glasfaserhaushalte, $z'$ beschreibt die Zu-/Abnahme der Wachstumsgeschwindigkeit.
Da $z(t)>0$ ist, wächst die Anzahl der Glasfaserhaushalte im Modell ab $t=15$ weiterhin. Wegen $z'(t) <0$ wächst die Anzahl der Glasfaserhaushalte in diesem Zeitraum aber immer langsamer.
#integral#gtr
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