(1)
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Temperaturen angeben
Da $t$ die seit Beginn vergangene Zeit in Minuten angibt, sind die gesuchten Werte:
$\begin{array}[t]{rll}
f(0)&=& 23+20\cdot 0\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 0} \\[5pt]
&=& 23 \\[10pt]
f(2)&=& 23+20\cdot 2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 2} \\[5pt]
&=& 23+ 40\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}} \\[5pt]
&\approx& 55,75
\end{array}$
Die Funktion $f$ liefert für den Beginn des Vorgangs eine Temperatur von $23^{\circ}C,$ zwei Minuten nach Beginn des Vorgangs ca. $55,75^{\circ}C.$
Die prozentuale Abweichung zu den gegebenen Messwerten beträgt zu Beginn des Vorgangs damit $0\,\%.$
$\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{54,0-55,75}{54,0}&\approx& -0,0324 \\[5pt]
&=& -3,24\,\%
\end{array}$
Der durch die Funktion $f$ erhaltene Wert zwei Stunden nach Beginn der Beobachtung ist um ca. $3,24\,\%$ höher als der angegebene Messwert.
(2)
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Extrempunkt nachweisen
1. Schritt: Ableitungen bilden
Mit der Kettenregel und der Produktregel ergeben sich folgende Ableitungen:
$\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=& 23+ 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[10pt]
f'(t)&=& 20\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} +20\cdot t\cdot \left(-\frac{1}{10} \right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt]
&=& \left(20-2\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[10pt]
f''(t) &=& -2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} +\left(20-2\cdot t \right)\cdot \left(-\frac{1}{10} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt]
&=& \left(-2 -2+\frac{1}{5}\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt]
&=& \left(-4+\frac{1}{5}\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=&… \\[10pt]
f'(t)&=&… \\[10pt]
f''(t) &=& …\\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=& 23+ 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[10pt]
f'(t)&=& 20\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} +20\cdot t\cdot \left(-\frac{1}{10} \right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt]
&=& \left(20-2\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[10pt]
f''(t) &=& -2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} +\left(20-2\cdot t \right)\cdot \left(-\frac{1}{10} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt]
&=& \left(-2 -2+\frac{1}{5}\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt]
&=& \left(-4+\frac{1}{5}\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt]
\end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Für jeden Extrempunkt des Graphen von $f$ muss das notwendige Kriterium $f'(t)=0$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll}
f'(t) &=& 0 \\[5pt]
\left(20-2\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}\\[5pt]
20-2\cdot t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2t \\[5pt]
20&=& 2t &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt]
10&=& t
\end{array}$
$ 10 = t $
$\begin{array}[t]{rll}
f'(t) &=& 0 \\[5pt]
\left(20-2\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}\\[5pt]
20-2\cdot t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2t \\[5pt]
20&=& 2t &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt]
10&=& t
\end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll}
f''(10)&=& \left(-4+\frac{1}{5}\cdot 10 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 10} \\[5pt]
&=& -2\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt]
&<& 0
\end{array}$
$ f''(10) < 0 $
$\begin{array}[t]{rll}
f''(10)&=& \left(-4+\frac{1}{5}\cdot 10 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 10} \\[5pt]
&=& -2\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt]
&<& 0
\end{array}$
Das hinreichende Kriterium ist also für $t=10$ ebenfalls erfüllt.
Da es nur ein $t$ gibt, für das das notwendige Kriterium erfüllt ist, kann es nur maximal einen Extrempunkt geben. Da das hinreichende Kriterium $f''(t)\neq 0$ ebenfalls für dieses $t$ erfüllt ist, besitzt der Graph von $f$ an dieser Stelle tatsächlich einen Extrempunkt. Er besitzt also genau einen Extrempunkt an der Stelle $t=10.$
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Temperaturen vergleichen
$\begin{array}[t]{rll}
f(10)&=& 23+ 20\cdot 10 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 10} \\[5pt]
&=& 23 + 300 \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt]
&\approx& 96,6 \\[5pt]
\end{array}$
$ f(10)\approx 96,6 $
$\begin{array}[t]{rll}
f(10)&=& 23+ 20\cdot 10 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 10} \\[5pt]
&=& 23 + 300 \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt]
&\approx& 96,6 \\[5pt]
\end{array}$
Im Vergleich zu der für $t=10$ angegebenen Temperatur von $76,8^{\circ}C$, ist der zum Hochpunkt gehörende Wert mit ca. $96,6^{\circ}C$ deutlich höher.
(3)
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Verlauf des Graphen beschreiben und interpretieren
Aufgrund des negativen Vorzeichens im Exponenten, gilt für den Funktionswert von $f:$
$f(t)= 23+ \underbrace{20\cdot t\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}}_{\to 0}}_{\to 0} \overset{t \to \infty}{\longrightarrow} 23 $
$ f(t) \overset{t \to \infty}{\longrightarrow} 23 $
$f(t)= 23+ \underbrace{20\cdot t\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}}_{\to 0}}_{\to 0} \overset{t \to \infty}{\longrightarrow} 23 $
Für große Werte von $t$ nähert sich der Graph also der Gerade $y=23$ an, die folglich eine Asymptote ist.
Auf lange Sicht stellt sich die Temperatur der Flüssigkeit nach dem Prozess also auf ca. $23^{\circ}C$ ein und bleibt so erhalten.
(4)
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Zeitpunkte bestimmen
Gesucht sind die Werte von $t,$ für die $f(t) = 77$ gilt.
Mithilfe des GTRs ergeben sich folgende Lösungen:
$t_1\approx 4,05\quad$ $t_2\approx 20,05$
Abb. 1: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F2: X-CAL
Abb. 1: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F2: X-CAL
Der Zeitabschnitt beginnt ca. $4$ Minuten nach Beginn des Vorgangs und endet ca. $20$ Minuten nach Beginn des Vorgangs.
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Temperaturverlauf darstellen
Abb. 2: Darstellung des Verlaufs
Abb. 2: Darstellung des Verlaufs
(5)
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Graphen zuordnen
Für größere Werte von $k$ wird die Potenz $\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ kleiner. Damit sind auch die Funktionswerte $f_k(t)$ für größere Werte von $k$ kleiner. Der Graph wird also mit größer werdendem $k$ immer weiter in $y$-Richtung gestaucht.
Mit dieser Schlussfolgerung erhält man, dass Graph $C$ zu $k=0,5,$ Graph $B$ zu $k= 2$ und Graph $A$ zu $k=5$ gehört.
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Aussage begründen
Die Graphen von $f_k$ können keine positive Nullstelle besitzen, da dazu $-23 = 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ gelten muss und weder der Faktor $20$ noch $\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ negativ werden können. Eine Nullstelle kann also nur negativ sein.
Der Graph $D$ besitzt aber eine Nullstelle bei $t\approx 54.$ Er kann also zu keiner der Funktionen $f_k$ gehören.
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