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Aufgabe 1

Aufgaben
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Die Funktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=(2-x)\cdot\mathrm e^{x}, x\in\mathbb{R}$.
Die Graphen der Funktion $f$ und ihrer Ableitungsfunktion $f'$ sind in der Abbildung dargestellt.
Aufgabe 1
Aufgabe 1
a)
  1. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen.
  2. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte des Graphen von $f$.
    [Zur Kontrolle: $f'(x)=(1-x)\cdot e^x$]
  3. Untersuchen Sie, ob sich die Graphen der Funktionen $f$ und $f'$ schneiden.
(5P + 16P + 4P)
b)
  1. Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ mit der Gleichung $F(x)=(3-x)\cdot\mathrm e^{x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
  2. Ermitteln Sie für $0\leq z\leq2$ den Inhalt $A(z)$ der zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse im Intervall [0;z] eingeschlossenen Fläche in Abhängigkeit von z.
    [Zur Kontrolle: $A(z)=(3-z)\cdot e^{z}-3$]
(4P + 6P)
c) Auf einem Erdölfeld wird Öl gefördert. Durch die Funktion $f$ wird nun für $0\leq x\leq2$ die Förderrate1 von Beginn des Jahres 2013 bis Ende des Jahres 2014 modelliert. Dabei wird $x$ als Maßzahl der Zeit zur Einheit 1 Jahr und $f(x)$ als Maßzahl der Förderrate zur Einheit 1 Million Tonnen pro Jahr aufgefasst.
  1. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von $f$ im Intervall [0;2] im Sachzusammenhang.
  2. Bestimmen Sie die für den gesamten Zeitraum von Beginn des Jahres 2013 bis Ende des Jahres 2014 zu erwartende Fördermenge.
  3. Am Endes des ersten Quartals 2014 erkennt der Betreiber, dass die Förderrate von diesem Zeitpunkt an - im Gegensatz zur Modellierung durch die Funktion $f$- bis zum Ende der Ölförderung linear abnehmen wird. Zur Darstellung der Förderrate für die verbleibende Dauer der Ölförderung wird daher eine lineare Funktion $g$ gesucht, deren Graph zum Zeitpunkt $x=\frac{5}{4}$ dieselbe Steigung hat wie der Graph der Funktion $f$.
    Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Funktion $g$.
    Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Ölförderung enden wird.\vspace{.2cm}
    [Zur Kontrolle: $g(x)=\frac{1}{16}\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot (17-4x)$]

1 Unter Förderrate ist stets die momentane Förderrate zu verstehen.

(3P + 4P + 8P)
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Tipps
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a) (1) $\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen
Deine Aufgabe ist es hier, die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Dabei gilt folgendes:
  • Der Schnittpunkt $S_x$ mit der $x$-Achse ergibt sich über die Nullstelle $x_N$ und hat folgende Koordinaten: $S_x(x_N\mid 0)$
  • Der Schnittpunkt $S_y$ mit der $y$-Achse hat die Koordinaten $S_y(0\mid f(0))$
Du kannst diese also wie folgt berechnen:
  • $S_x$: Setze den Funktionsterm von $f$ gleich Null und löse nach $x$ auf, so erhältst du $x_N$
  • $S_y$: Berechne $f(0)$ um die $y$-Koordinate des Schnittpunkts zu bestimmen
Dabei kannst du jeweils den GTR zu Hilfe nehmen oder auch handschriftlich rechnen.
(2) $\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte bestimmen
Das Wort rechnerisch bedeutet hier, dass du die Extrempunkte nicht mit deinem GTR berechnen sollst.
Für einen Extrempunkt $E(x_E\mid y_E)$ des Graphen einer Funktion $f$ gibt es zwei Bedingungen:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E) = 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_E)\neq 0$. Gilt $f''(x_E)< 0$, so liegt an der Stelle $x_E$ ein Hochpunkt. Gilt $f''(x_E)> 0$, so liegt an der Stelle $x_E$ ein Tiefpunkt.
Du kannst also sehen, dass du die erste und zweite Ableitungsfunktion von $f$ benötigst.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Bilde die Funktionsterme der ersten und zweiten Ableitung von $f$ mit Hilfe der Produktregel.
  2. Setze $f'(x_E) = 0$ und bestimme so mögliche Extremstellen.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die möglichen Extremstellen in $f''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne die $y$-Koordinaten der Extrempunkte
Um die erste Ableitungsfunktion zu bilden kannst du also die Produktregel verwenden. Diese lautet:
$f(x) = $$u(x)$ $\cdot$ $\boldsymbol{v(x)}$ $ \hspace{2cm} $f'(x) =$u'(x)$$\cdot \boldsymbol{v(x)} + $$u(x)$$\cdot \boldsymbol{v'(x)}$
$\blacktriangleright$Koordinaten der Wendepunkte bestimmen
Diese Aufgabe sollst du ebenfalls rechnerisch lösen. Für einen Wendepunkt $W(x_W\mid y_W)$ des Graphen einer Funktion $f$ gibt es ebenfalls zwei Kriterien, die den Kriterien für einen Extrempunkt sehr ähnlich sind:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W) = 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$
Gehe hier also ähnlich wie bei der Berechnung der Koordinaten der Extrempunkte vor:
  1. Bilden der dritten Ableitungsfunktion $f'''$.
  2. Notwendiges Kriterium anwenden durch Gleichsetzen von $f''(x_W) = 0$ und so mögliche Wendestellen ermitteln.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen durch Einsetzen von $x_W$ in $f'''(x)$.
  4. $y$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen
(3) $\blacktriangleright$ Graphen auf Schnittpunkte untersuchen
Du sollst nun untersuchen, ob sich die Graphen von $f$ und $f'$ schneiden. Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dann, wenn sie gemeinsame Punkte besitzen, wenn es also ein $x_0$ gibt, sodass gilt:
$f(x_0) = f'(x_0)$
Dabei kannst du also so vorgehen, dass du die Funktionsterme von $f$ und $f'$ gleichsetzt und versuchst nach $x$ zu lösen. Hat diese Gleichung Lösungen, so schneiden sich die beiden Graphen, hat sie keine Lösungen, so gibt es keinen Schnittpunkt.
b) (1) $\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{F}$ eine Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ ist
Du weißt, dass die Ableitung $F'$ einer Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ wieder die ursprüngliche Funktion $f$ ist. Du kannst hier also die Funktion $F$ ableiten. Ist $F' = f$, so ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dazu kannst du wieder die Produktregel verwenden.
(2) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Inhalt $A(z)$ der Fläche berechnen, die von dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $\left[0;z\right]$ eingeschlossen wird.
Solch einen Flächeninhalt kannst du mit einem Integral berechnen. Dabei musst du von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, damit sich nicht Flächenstücke unterhalb und oberhalb der $x$-Achse gegenseitig beim Integrieren aufheben können. In diesem Fall, liegt aber keine Nullstelle innerhalb des Intervalls, da du weißt, dass die Nullstelle von $f$ bei $x_N =2$ liegt. Das Intervall über welches du integrieren sollst, reicht maximal bis zur Nullstelle hin.
Deine Integrationsgrenzen sind demnach gegeben durch $\boldsymbol{a = 0}$ und $\boldsymbol{b = z}$.
Demnach ist hier der Wert des folgenden Integrals gesucht:
$A(z) = \displaystyle\int_{0}^{z}f(x)\mathrm dx$
c) (1) $\blacktriangleright$ Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang beschreiben
Hier ist es deine Aufgabe, den Verlauf des Graphen von $f$ im Intervall $\left[0;2\right]$ im Sachzusammenhang zu beschreiben. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  1. Beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$ allgemein
  2. Übertrage die Informationen aus dem 1. Schritt auf den Sachzusammenhang mit Hilfe der Information, dass $f$ die momentane Förderrate beschreibt.
Hierzu kannst du dir das Schaubild auf dem Aufgabenblatt zur Hilfe nehmen.
(2) $\blacktriangleright$ Zu erwartende Fördermenge berechnen
Deine Aufgabe ist es nun, die zu erwartende Fördermenge in den beiden Jahren 2013 und 2014 zu berechnen. Da $f$ die Förderungsrate beschreibt, wird die Menge des geförderten Öls vom Zeitpunkt $t =a$ bis zum Zeitpunkt $t =b$ durch folgendes Integral beschrieben, welches du bereits aus dem vorigen Aufgabenteil kennst:
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$
Deine Integrationsgrenzen sind in diesem Fall nun $\boldsymbol{a = 0}$ und $\boldsymbol{b = 2}$. Setzt du diese Grenzen ein, so sollte dir eine gewisse Ähnlichkeit zum Aufgabenteil b) (2) auffallen:
$\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\mathrm dx $
Dies entspricht nämlich genau $A(z)$ mit $ z =2$.
Gesucht ist hier also $A(2)$.
(3) $\blacktriangleright$Lineare Funktion bestimmen
Nun sollst du eine lineare Funktion $g$ bestimmen, die die Förderungsrate vom Zeitpunkt $x = \frac{5}{4}$ bis zum Ende der Ölförderung beschreibt. Das Ende der Ölförderung ist durch die neue Darstellung durch die Funktion $g$ nun nicht mehr $x =2$ sondern eine Nullstelle von $g$.
Du hast dabei folgende Informationen über $g$ gegeben:
  1. $g$ ist linear.
  2. $g$ soll an der Stelle $x = \frac{5}{4}$ den gleichen Funktionswert wie $f$ besitzen.
  3. $g$ soll an der Stelle $x = \frac{5}{4}$ die gleiche Steigung wie $f$ besitzen.
Die Steigung einer Funktion $f$ wird immer durch deren erste Ableitung $f'$ beschrieben. Bei einer linearen Funktion ist die Steigung konstant, also an jeder Stelle gleich, und wird genau durch den Wert $m$ beschrieben. Du kannst die Informationen wie folgt formulieren:
  1. $g$ hat die Form $g(x) = m\cdot x +b$
  2. $g\left(\frac{5}{4}\right) = f\left(\frac{5}{4}\right)$
  3. $g'\left(\frac{5}{4}\right) = m = f'\left(\frac{5}{4}\right)$
Du benötigst also die beiden Parameterwerte $\boldsymbol{m}$ und $\boldsymbol{b}$. Diese kannst du wie folgt berechnen:
  1. Berechne $m = f'\left(\frac{5}{4}\right)$ und setze dies bereits in die Funktionsgleichung von $g$ ein.
  2. Berechne $f\left(\frac{5}{4}\right)$ und führe eine Punktprobe mit dem Punkt $\left(\frac{5}{4}\mid f\left(\frac{5}{4}\right) \right)$ durch, um $b$ zu berechnen.
$\blacktriangleright$ Ende der Ölförderung berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem die Ölförderung enden wird. Die Ölförderung endet genau dann, wenn die Förderungsrate den Wert Null erreicht, denn dann werden Null Tonnen pro Jahr gefördert. Du suchst hier also die Nullstelle der Funktion $g$. Diese kannst du wieder handschriftlich oder aber mit dem GTR durch Gleichsetzen des Funktiosterms von $g$ mit Null bestimmen. Nutze hier in jedem Fall das Kontrollergebnis für die Funktionsgleichung von $g$, damit dein Wert so genau wie möglich ausfällt.
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Lösungen TI
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a) (1) $\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen
Deine Aufgabe ist es hier, die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Dabei gilt folgendes:
  • Der Schnittpunkt $S_x$ mit der $x$-Achse ergibt sich über die Nullstelle $x_N$ und hat folgende Koordinaten: $S_x(x_N\mid 0)$
  • Der Schnittpunkt $S_y$ mit der $y$-Achse hat die Koordinaten $S_y(0\mid f(0))$
Du kannst diese also wie folgt berechnen:
  • $S_x$: Setze den Funktionsterm von $f$ gleich Null und löse nach $x$ auf, so erhältst du $x_N$
  • $S_y$: Berechne $f(0)$ um die $y$-Koordinate des Schnittpunkts zu bestimmen
Dabei kannst du jeweils den GTR zu Hilfe nehmen oder auch handschriftlich rechnen.
$\boldsymbol{S_x}$
Du suchst hier die Nullstelle der Funktion $f$ mit $f(x) = (2-x)\cdot\mathrm e^x$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Durch Gleichsetzen des Funktionsterms mit Null erhältst du folgende Gleichung, die du nach $x_N$ lösen kannst:
$\begin{array}{rll} 0&=&f(x_N)\\ 0&=&(2-x_N)\cdot\mathrm e^{x_N}&\scriptsize{ \mid\; :\mathrm e^{x_N}\, \text{weil}\, \mathrm e^x\neq0\, \text{für alle}\; x}\\ 0&=&2-x_N&\scriptsize{ \mid\; + x_N}\\ x_N&=&2 \\ \end{array}$
Die einzige Nullstelle von $f$ liegt bei $x_N = 2$. Damit lautet der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse $S_x (2\mid0)$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse kannst du mit Hilfe des Graph-Menüs in deinem GTR berechnen. Gib dazu zunächst den Funktionsterm $f(x)$ im Y=-Menü ein und lass dir den zugehörigen Graphen anzeigen.
Anschließend kannst du unter folgendem Befehl die Nullstellen bestimmen:
2ND $\rightarrow$ TRACE(CALC) $\rightarrow$ 2: zero
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Du erhältst das Ergebnis: $x_N = 2$, $y_N = 0$
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse lauten $S_x(2\mid0)$.
$\boldsymbol{S_y}$
Auch hier kannst du sowohl handschriftlich, als auch mit dem GTR arbeiten um $f(0)$ zu berechnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Setze nun $x=0$ in den Funktionsterm von $f$ ein:
$\begin{array}{rll} f(0)&=&(2-0)\cdot\mathrm e^0 \\ &=&2\cdot1\\ &=&2\\ \end{array}$
Damit lauten die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse $S_y(0\mid2)$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Aufgabe 1
Aufgabe 1
$f(0)$ kannst du ebenfalls mit dem GTR berechnen, wenn du dir zuerst den Graphen von $f$ anzeigen lässt.
Anschließend kannst du folgendermaßen eine $x$-Koordinate, in diesem Fall $x=0$, eingeben:
2ND $\rightarrow$ TRACE(CALC) $\rightarrow$ 1: value
Dann erhältst du das Ergebnis:
$f(0) = 2$
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse lauten $S_y(0\mid2)$.
(2) $\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte bestimmen
Das Wort rechnerisch bedeutet hier, dass du die Extrempunkte nicht mit deinem GTR berechnen sollst.
Für einen Extrempunkt $E(x_E\mid y_E)$ des Graphen einer Funktion $f$ gibt es zwei Bedingungen:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E) = 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_E)\neq 0$. Gilt $f''(x_E)< 0$, so liegt an der Stelle $x_E$ ein Hochpunkt. Gilt $f''(x_E)> 0$, so liegt an der Stelle $x_E$ ein Tiefpunkt.
Du kannst also sehen, dass du die erste und zweite Ableitungsfunktion von $f$ benötigst.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Bilde die Funktionsterme der ersten und zweiten Ableitung von $f$ mit Hilfe der Produktregel.
  2. Setze $f'(x_E) = 0$ und bestimme so mögliche Extremstellen.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die möglichen Extremstellen in $f''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne die $y$-Koordinaten der Extrempunkte
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
Du kannst sehen, dass es sich bei dem Funktionsterm von $f$ um ein Produkt handelt. Um die erste Ableitungsfunktion zu bilden kannst du also die Produktregel verwenden. Diese lautet:
$f(x) = $$u(x)$ $\cdot$ $\boldsymbol{v(x)}$ $ \hspace{2cm} $f'(x) =$u'(x)$$\cdot \boldsymbol{v(x)} + $$u(x)$$\cdot \boldsymbol{v'(x)}$
Bildest du nun zuerst die erste Ableitung von $f$, so ergeben sich $u$ und $v$ wie folgt:
  • $u(x) = 2-x$
  • $\boldsymbol{v(x) = \mathrm e^x}$
  • $u'(x) = -1$
  • $\boldsymbol{v'(x) = \mathrm e^x}$
Damit kannst du nun die erste Ableitung von $f$ bilden:
$\begin{array}{rll} f'(x)&=&u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)&\scriptsize{ einsetzen }\\ &=&(-1)\cdot \mathrm e^x + (2-x)\cdot \mathrm e^x&\scriptsize{ ausklammern} \\ &=&\mathrm e^x\cdot(-1+2-x)&\scriptsize{ zusammenfassen }\\ &=&\mathrm e^x\cdot(1-x) \\ \end{array}$
Wie du sehen kannst, ist der Funktionsterm der ersten Ableitung von $f$ immernoch ein Produkt. Verwende also zum Bilden der zweiten Ableitungsfunktion wieder die Produktregel. Hierbei ergeben sich $u$ und $v$ wie folgt:
  • $u(x) = 1-x$
  • $\boldsymbol{v(x) = \mathrm e^x}$
  • $u'(x) = -1$
  • $\boldsymbol{v'(x) = \mathrm e^x}$
Damit kannst du nun die zweite Ableitungsfunktion von $f$ bilden:
$\begin{array}{rll} f''(x)&=& u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)&\scriptsize{ einsetzen }\\ &=&(-1)\cdot \mathrm e^x + (1-x)\cdot \mathrm e^x&\scriptsize{ ausklammern} \\ &=&\mathrm e^x\cdot(-1+1-x)&\scriptsize{ zusammenfassen} \\ &=&(-x)\cdot\mathrm e^x \\ \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Wende nun das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x_E) = 0$ setzt und die Gleichung nach $x_E$ löst:
$\begin{array}{rll} f'(x_E)&=&0\\ \mathrm e^{x_E}\cdot(1-x_E)&=&0&\scriptsize{ \mid\; : \mathrm e^{x_E}\, \text{weil}\, \mathrm e^x\neq0 \,\text{für alle x}}\\ 1-x_E&=&0&\scriptsize{ \mid\; + x_E }\\ 1&=&x_E \\ \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt also nur eine mögliche Extremstelle bei $x_E = 1$.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $x_E = 1$ in $f''(x)$ ein, um zu überprüfen, ob es sich bei $x_E$ tatsächlich um eine Extremstelle handelt:
$\begin{array}{rll} f''(x_E)&=&(-x_E)\cdot\mathrm e^{x_E}&\scriptsize{ x_E =1} \\ &=&(-1) \cdot \mathrm e^1&\scriptsize{ vereinfachen} \\ &=&-\mathrm e\\ &<&0\\ \end{array}$
An der Stelle $x_E = 1$ liegt also tatsächlich ein Extrempunkt vor, und zwar ein Hochpunkt.
4. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinate berechnen
Du kennst nun die $x$-Koordinate des einzigen Extrempunkts des Graphen von $f$. Setze diese nun in $f(x)$ ein, um die zugehörige $y$-Koordinate zu berechnen:
$\begin{array}{rll} y_E&=&f(x_E) \\ &=&f(1)\\ &=&(2-1)\cdot\mathrm e^1&\scriptsize{ zusammenfassen }\\ &=&1\cdot\mathrm e^1&\scriptsize{ vereinfachen} \\ &=&\mathrm e \\ \end{array}$
Die Koordinaten des einzigen Extrempunkts des Graphen von $f$ lauten $E(1\mid\mathrm e)$.
$\blacktriangleright$Koordinaten der Wendepunkte bestimmen
Diese Aufgabe sollst du ebenfalls rechnerisch lösen. Für einen Wendepunkt $W(x_W\mid y_W)$ des Graphen einer Funktion $f$ gibt es ebenfalls zwei Kriterien, die den Kriterien für einen Extrempunkt sehr ähnlich sind:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W) = 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$
Gehe hier also ähnlich wie bei der Berechnung der Koordinaten der Extrempunkte vor:
  1. Bilden der dritten Ableitungsfunktion $f'''$.
  2. Notwendiges Kriterium anwenden durch Gleichsetzen von $f''(x_W) = 0$ und so mögliche Wendestellen ermitteln.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen durch Einsetzen von $x_W$ in $f'''(x)$.
  4. $y$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen
1. Schritt: Bilden der dritten Ableitungsfunktion
Da du $f''$ bereits gebildet hast, musst du nun für die Berechnung der Wendestellen nur noch die dritte Ableitung bilden. Hier kannst du ebenfalls wieder mit der Produktregel arbeiten. In diesem Fall ergeben sich $u$ und $v$ mit:
  • $u(x) = -x$
  • $v(x) = \mathrm e^x$
  • $u'(x) = -1$
  • $v'(x) = \mathrm e^x$
Damit kannst du nun den Funktionsterm $f'''(x)$ bilden:
$\begin{array}{rll} f'''(x)&=&u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)&\scriptsize{ einsetzen}\\ &=&(-1)\cdot \mathrm e^x + (-x)\cdot \mathrm e^x&\scriptsize{ ausklammern }\\ &=&(-1-x)\cdot\mathrm e^x \\ \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Ermittle nun mögliche Wendestellen durch Gleichsetzen von $f''(x_W) = 0$:
$\begin{array}{rll} f''(x_W)&=&0 \\ -x_W\cdot\mathrm e^{x_W}&=&0&\scriptsize{ \mid\; : \mathrm e^{x_W}\, \text{weil}\, e^x\neq0 \,\text{für alle}\, x}\\ -x_W&=&0&\scriptsize{ \mid\; \cdot (-1)} \\ x_W&=&0\\ \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt also möglicherweise an der Stelle $x_W = 0$ einen Wendepunkt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun die mögliche Wendestelle in $f'''(x)$ ein um zu überprüfen, ob es sich dabei tatsächlich um eine Wendestelle handelt:
$\begin{array}{rll} f'''(x_W)&=&f'''(0) \\ &=&(-1-0)\cdot\mathrm e^0&\scriptsize{ zusammenfassen }\\ &=&(-1)\cdot1&\scriptsize{ vereinfachen }\\ &=&(-1) \\ \neq&0\\ \end{array}$
Das hinreichende Kriterium ist demnach an der Stelle $x_W=0$ ebenfalls erfüllt und es handelt sich dabei tatsächlich um eine Wendestelle.
4. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinate berechnen
Den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=0$ kennst du bereits aus der Berechnung der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen:
$f(0) = 2$
Die Koordinaten des einzigen Wendepunkts des Graphen von $f$ lauten $W(0\mid2)$.
(3) $\blacktriangleright$ Graphen auf Schnittpunkte untersuchen
Du sollst nun untersuchen, ob sich die Graphen von $f$ und $f'$ schneiden. Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dann, wenn sie gemeinsame Punkte besitzen, wenn es also ein $x_0$ gibt, sodass gilt:
$f(x_0) = f'(x_0)$
Dabei kannst du also so vorgehen, dass du die Funktionsterme von $f$ und $f'$ gleichsetzt und versuchst nach $x$ zu lösen. Hat diese Gleichung Lösungen, so schneiden sich die beiden Graphen, hat sie keine Lösungen, so gibt es keinen Schnittpunkt.
$\begin{array}{rll} f(x)&=&f'(x) \\ (2-x)\cdot\mathrm e^x&=&(1-x)\cdot\mathrm e^x&\scriptsize{ \mid\; : \mathrm e^x\, \text{weil}\, \mathrm e^x\neq0\, \text{für alle}\, x }\\ 2-x&=&1-x&\scriptsize{ \mid\; +x}\\ 2&=&1&\scriptsize{ \text{Widerspruch}} \\ \end{array}$
Es gibt also kein $x$, welches diese Gleichung erfüllt. Damit existiert kein Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f'$.
b) (1) $\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{F}$ eine Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ ist
Du weißt, dass die Ableitung $F'$ einer Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ wieder die ursprüngliche Funktion $f$ ist. Du kannst hier also die Funktion $F$ ableiten. Ist $F' = f$, so ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dazu kannst du wieder die Produktregel verwenden.
Dabei ergeben sich $u$ und $v$ hier wie folgt:
  • $u(x) = 3-x$
  • $v(x) = \mathrm e^x$
  • $u'(x) = -1$
  • $v'(x) = \mathrm e^x$
Die Ableitung $F'$ ergibt sich dann durch:
$\begin{array}{rll} F'(x)&=&u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)&\scriptsize{ einsetzen }\\ &=&(-1)\cdot \mathrm e^x + (3-x)\cdot \mathrm e^x&\scriptsize{ ausklammern} \\ &=&\mathrm e^x\cdot(-1+3-x)&\scriptsize{ zusammenfassen} \\ &=&(2-x)\cdot\mathrm e^x&\scriptsize{ vergleichen} \\ &=&f(x) \\ \end{array}$
Durch Ableiten von $F$ ergibt sich $F'(x) = (2-x)\cdot\mathrm e^x = f(x)$. Demnach ist $F(x) = (3-x) \cdot \mathrm e^x$ eine Stammfunktion von $f$.
(2) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Inhalt $A(z)$ der Fläche berechnen, die von dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $\left[0;z\right]$ eingeschlossen wird.
Solch einen Flächeninhalt kannst du mit einem Integral berechnen. Dabei musst du von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, damit sich nicht Flächenstücke unterhalb und oberhalb der $x$-Achse gegenseitig beim Integrieren aufheben können. In diesem Fall, liegt aber keine Nullstelle innerhalb des Intervalls, da du weißt, dass die Nullstelle von $f$ bei $x_N =2$ liegt. Das Intervall über welches du integrieren sollst, reicht maximal bis zur Nullstelle hin.
Deine Integrationsgrenzen sind demnach gegeben durch $\boldsymbol{a = 0}$ und $\boldsymbol{b = z}$.
Demnach ist hier der Wert des folgenden Integrals gesucht:
$A(z) = \displaystyle\int_{0}^{z}f(x)\mathrm dx$
Um dies zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion von $f$. Eine solche kennst du aus dem vorigen Aufgabenteil bereits. Dann ergibt sich:
$\begin{array}{rll} A(z)&=&\displaystyle\int_{0}^{z}f(x)\mathrm dx \\ &=&\left[F(x)\right]_0^z\\ &=&F(z)- F(0) \\ &=&(3-z)\cdot\mathrm e^z- (3-0)\cdot\mathrm e^0 \\ &=&(3-z)\cdot\mathrm e^z-3\cdot1 \\ &=&(3-z) \cdot \mathrm e^z-3 \\ \end{array}$
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $\left[0;z\right]$ist gegeben durch $A(z) =(3-z) \cdot \mathrm e^z-3 $.
c) (1) $\blacktriangleright$ Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang beschreiben
Hier ist es deine Aufgabe, den Verlauf des Graphen von $f$ im Intervall $\left[0;2\right]$ im Sachzusammenhang zu beschreiben. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  1. Beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$ allgemein
  2. Übertrage die Informationen aus dem 1. Schritt auf den Sachzusammenhang mit Hilfe der Information, dass $f$ die momentane Förderrate beschreibt.
1. Schritt: Allgemeine Beschreibung des Verlaufs
Hierzu kannst du dir das Schaubild auf dem Aufgabenblatt zur Hilfe nehmen. Daran kannst du erkennen, dass der Graph von $f$ zuerst stark ansteigt und dann im Punkt $E(1\mid\mathrm e)$ das Maximum erreicht. Anschließend fällt der Graph steil ab bis er an der Stelle $2$ den Wert Null erreicht.
2. Schritt: Übertragung auf den Sachzusammenhang
Da $f$ die momentane Förderungsrate beschreibt, also sozusagen die Geschwindigkeit der Förderung angibt, kannst du den Verlauf des Graphen wie folgt auf den Sachzusammenhang übertragen:
  • Im ersten Jahr nimmt die Förderungsrate des Öls stark zu, das heißt es wird immer schneller Öl gefördert.
  • Am schnellsten verläuft die Förderung nach genau einem Jahr, dort hat der Graph von $f$ sein Maximum erreicht.
  • Anschließend nimmt die Förderungsrate ab. Das bedeutet, die Förderung verläuft immer langsamer bis sie nach genau zwei Jahren still liegt, also kein Öl mehr gefördert wird.
(2) $\blacktriangleright$ Zu erwartende Fördermenge berechnen
Deine Aufgabe ist es nun, die zu erwartende Fördermenge in den beiden Jahren 2013 und 2014 zu berechnen. Da $f$ die Förderungsrate beschreibt, wird die Menge des geförderten Öls vom Zeitpunkt $t =a$ bis zum Zeitpunkt $t =b$ durch folgendes Integral beschrieben, welches du bereits aus dem vorigen Aufgabenteil kennst:
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$
Deine Integrationsgrenzen sind in diesem Fall nun $\boldsymbol{a = 0}$ und $\boldsymbol{b = 2}$. Setzt du diese Grenzen ein, so sollte dir eine gewisse Ähnlichkeit zum Aufgabenteil b) (2) auffallen:
$\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\mathrm dx $
Dies entspricht nämlich genau $A(z)$ mit $ z =2$.
Gesucht ist hier also $A(2)$. Dies kannst du durch einsetzen berechnen:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\mathrm dx &=&A(2) \\ &=&(3-2)\cdot\mathrm e^2-3 \\ &=&\mathrm e^2-3 \\ \end{array}$
Die zu erwartende Fördermenge von Beginn des Jahres 2013 bis zum Ende des Jahres 2014 beträgt $\mathrm e^2-3$ Tonnen.
(3) $\blacktriangleright$Lineare Funktion bestimmen
Nun sollst du eine lineare Funktion $g$ bestimmen, die die Förderungsrate vom Zeitpunkt $x = \frac{5}{4}$ bis zum Ende der Ölförderung beschreibt. Das Ende der Ölförderung ist durch die neue Darstellung durch die Funktion $g$ nun nicht mehr $x =2$ sondern eine Nullstelle von $g$.
Du hast dabei folgende Informationen über $g$ gegeben:
  1. $g$ ist linear.
  2. $g$ soll an der Stelle $x = \frac{5}{4}$ den gleichen Funktionswert wie $f$ besitzen.
  3. $g$ soll an der Stelle $x = \frac{5}{4}$ die gleiche Steigung wie $f$ besitzen.
Die Steigung einer Funktion $f$ wird immer durch deren erste Ableitung $f'$ beschrieben. Bei einer linearen Funktion ist die Steigung konstant, also an jeder Stelle gleich, und wird genau durch den Wert $m$ beschrieben. Du kannst die Informationen wie folgt formulieren:
  1. $g$ hat die Form $g(x) = m\cdot x +b$
  2. $g\left(\frac{5}{4}\right) = f\left(\frac{5}{4}\right)$
  3. $g'\left(\frac{5}{4}\right) = m = f'\left(\frac{5}{4}\right)$
Du benötigst also die beiden Parameterwerte $\boldsymbol{m}$ und $\boldsymbol{b}$. Diese kannst du wie folgt berechnen:
  1. Berechne $m = f'\left(\frac{5}{4}\right)$ und setze dies bereits in die Funktionsgleichung von $g$ ein.
  2. Berechne $f\left(\frac{5}{4}\right)$ und führe eine Punktprobe mit dem Punkt $\left(\frac{5}{4}\mid f\left(\frac{5}{4}\right) \right)$ durch, um $b$ zu berechnen.
1. Schritt: Steigung berechnen
Da du die erste Ableitungsfunktion von $f$ bereits kennst, kannst du nun $x = \frac{5}{4}$ dort einsetzen und so $m$ berechnen. Dies kannst du sowohl mit deinem GTR, als auch handschriftlich tun.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}{rll} m&=&f'\left(\frac{5}{4}\right) \\ &=&\left(1-\frac{5}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} \\ &=&\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} \\ \end{array}$
Damit kennst du nun die Steigung von $g$ mit $m = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}$. Setzt du dies in $g(x)$ ein, so erhältst du:
$g(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot x+ b$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Wie schon im ersten Aufgabenteil, kannst du nun $f'\left(\frac{5}{4}\right)$ im Graph-Modus deines GTR berechnen, indem du dir den Graphen von $f'$ anzeigen lässt und anschließend
2ND $\rightarrow$ TRACE(CALC) $\rightarrow$ 1: value
wählst und $x = \frac{5}{4}$ eingibst.
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Dann erhältst du das Ergebnis:
$m = f'\left(\frac{5}{4}\right) = -0,873$
Setzt du dies schon einmal in die Funktionsgleichung von $g$ ein, so erhältst du:
$g(x) = -0,873\cdot x +b$.
2. Schritt: Punktprobe
Berechne nun die Koordinaten des Punkts $\left(\frac{5}{4}\mid f\left(\frac{5}{4}\right) \right)$, indem du $x = \frac{5}{4}$ in $f(x)$ einsetzt und führe anschließend eine Punktprobe mit der Funktion $g$ durch. Dabei kannst du ebenfalls wieder mit dem GTR oder handschriftlich arbeiten.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}{rll} f\left(\frac{5}{4}\right)&=&\left(2-\frac{5}{4}\right)\cdot \mathrm e^{\frac{5}{4}} \\ &=&\frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} \\ \end{array}$
Damit weißt du nun, dass der Punkt des Graphen von $f$ mit den Koordinaten $\left(\frac{5}{4}\mid \frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\right)$ auf dem Graphen von $g$ liegen soll und kannst somit eine Punktprobe durchführen und nach $b$ lösen:
$\begin{array}{rll} \frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}&=&g\left(\frac{5}{4}\right) \\ \frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}&=&\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot\frac{5}{4} + b \\ \frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}&=&\left(-\frac{5}{16}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} + b&\scriptsize{ \mid\; + \left(\frac{5}{16}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}} \\ \frac{17}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}&=&b \\ \end{array}$
Setzt du diesen Wert nun in die Funktionsgleichung ein, so erhältst du:
$g(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot x + \frac{17}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} = \frac{1}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot(17-4\cdot x)$
Eine Funktionsgleichung der Funktion $g$ lautet $g(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot x + \frac{17}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Berechnest du $f\left(\frac{5}{4}\right)$ wie zuvor mit dem GTR, so erhältst du das Ergebnis:
$f\left(\frac{5}{4}\right) = 2,618$
Der Punkt $\left(\frac{5}{4}\mid 2,618\right)$ des Graphen von $f$ soll ebenfalls auf dem Graphen von $g$ liegen. Daher kannst du nun eine Punktprobe durchführen und so $b$ berechnen:
$\begin{array}{rll} 2,618 &=&g\left(\frac{5}{4}\right) \\ &=& -0,873\cdot \frac{5}{4} +b \\ &=&-1,09125+b&\scriptsize{ \mid\; +1,09125}\\ 3,70925&=&b \\ 3,709&\approx&b \\ \end{array}$
Setzt du dies nun in $g(x)$ ein, so erhältst du die folgende Funktionsgleichung:
$g(x) = -0,873\cdot x + 3,709$
Eine Funktionsgleichung von $g$ lautet $g(x) = -0,873\cdot x + 3,709$.
$\blacktriangleright$ Ende der Ölförderung berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem die Ölförderung enden wird. Die Ölförderung endet genau dann, wenn die Förderungsrate den Wert Null erreicht, denn dann werden Null Tonnen pro Jahr gefördert. Du suchst hier also die Nullstelle der Funktion $g$. Diese kannst du wieder handschriftlich oder aber mit dem GTR durch Gleichsetzen des Funktiosterms von $g$ mit Null bestimmen. Nutze hier in jedem Fall das Kontrollergebnis für die Funktionsgleichung von $g$, damit dein Wert so genau wie möglich ausfällt.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}{rll} 0&=&g(x) \\ 0&=&\frac{1}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot(17-4\cdot x)&\scriptsize{ \mid\; : \left(\frac{1}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\right)}\\ 0&=&17-4\cdot x&\scriptsize{ \mid\; +4\cdot x}\\ 4\cdot x&=&17&\scriptsize{ \mid\; :4} \\ x&=&\frac{17}{4} \\ x&=&4,25 \\ \end{array}$
Die Ölförderung endet nach $4,25$ Jahren, also am 31. März 2017.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Du kannst die Nullstelle von $g$ wieder mit Hilfe des Graph-Menüs deines GTR berechnen. Du erhältst dann das Ergebnis:
$x_N = 4,25$
Die Ölförderung endet nach $4,25$ Jahren, also am 31. März 2017.
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a) (1) $\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen
Deine Aufgabe ist es hier, die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Dabei gilt folgendes:
  • Der Schnittpunkt $S_x$ mit der $x$-Achse ergibt sich über die Nullstelle $x_N$ und hat folgende Koordinaten: $S_x(x_N\mid 0)$
  • Der Schnittpunkt $S_y$ mit der $y$-Achse hat die Koordinaten $S_y(0\mid f(0))$
Du kannst diese also wie folgt berechnen:
  • $S_x$: Setze den Funktionsterm von $f$ gleich Null und löse nach $x$ auf, so erhältst du $x_N$
  • $S_y$: Berechne $f(0)$ um die $y$-Koordinate des Schnittpunkts zu bestimmen
Dabei kannst du jeweils den GTR zu Hilfe nehmen oder auch handschriftlich rechnen.
$\boldsymbol{S_x}$
Du suchst hier die Nullstelle der Funktion $f$ mit $f(x) = (2-x)\cdot\mathrm e^x$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Durch Gleichsetzen des Funktionsterms mit Null erhältst du folgende Gleichung, die du nach $x_N$ lösen kannst:
$\begin{array}{rll} 0&=&f(x_N)\\ 0&=&(2-x_N)\cdot\mathrm e^{x_N}&\scriptsize{ \mid\; :\mathrm e^{x_N}\, \text{weil}\, \mathrm e^x\neq0\, \text{für alle}\; x}\\ 0&=&2-x_N&\scriptsize{ \mid\; + x_N}\\ x_N&=&2 \\ \end{array}$
Die einzige Nullstelle von $f$ liegt bei $x_N = 2$. Damit lautet der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse $S_x (2\mid0)$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse kannst du mit Hilfe des Graph-Menüs in deinem GTR berechnen. Gib dazu zunächst den Funktionsterm $f(x)$ dort ein und lass dir den zugehörigen Graphen anzeigen.
Anschließend kannst du unter folgendem Befehl die Nullstellen bestimmen:
F5(G-Solv) $\rightarrow$ F1: ROOT
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Du erhältst das Ergebnis: $x_N = 2$, $y_N = 0$
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse lauten $S_x(2\mid0)$.
$\boldsymbol{S_y}$
Auch hier kannst du sowohl handschriftlich, als auch mit dem GTR arbeiten um $f(0)$ zu berechnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Setze nun $x=0$ in den Funktionsterm von $f$ ein:
$\begin{array}{rll} f(0)&=&(2-0)\cdot\mathrm e^0 \\ &=&2\cdot1\\ &=&2\\ \end{array}$
Damit lauten die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse $S_y(0\mid2)$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Aufgabe 1
Aufgabe 1
$f(0)$ kannst du ebenfalls mit dem GTR berechnen, wenn du dir zuerst den Graphen von $f$ anzeigen lässt.
Anschließend kannst du folgendermaßen eine $x$-Koordinate, in diesem Fall $x=0$, eingeben:
F5(G-Solv) $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ F1: Y-CAL
Dann erhältst du das Ergebnis:
$f(0) = 2$
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse lauten $S_y(0\mid2)$.
(2) $\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte bestimmen
Das Wort rechnerisch bedeutet hier, dass du die Extrempunkte nicht mit deinem GTR berechnen sollst.
Für einen Extrempunkt $E(x_E\mid y_E)$ des Graphen einer Funktion $f$ gibt es zwei Bedingungen:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E) = 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_E)\neq 0$. Gilt $f''(x_E)< 0$, so liegt an der Stelle $x_E$ ein Hochpunkt. Gilt $f''(x_E)> 0$, so liegt an der Stelle $x_E$ ein Tiefpunkt.
Du kannst also sehen, dass du die erste und zweite Ableitungsfunktion von $f$ benötigst.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Bilde die Funktionsterme der ersten und zweiten Ableitung von $f$ mit Hilfe der Produktregel.
  2. Setze $f'(x_E) = 0$ und bestimme so mögliche Extremstellen.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die möglichen Extremstellen in $f''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne die $y$-Koordinaten der Extrempunkte
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
Du kannst sehen, dass es sich bei dem Funktionsterm von $f$ um ein Produkt handelt. Um die erste Ableitungsfunktion zu bilden kannst du also die Produktregel verwenden. Diese lautet:
$f(x) = $$u(x)$ $\cdot$ $\boldsymbol{v(x)}$ $ \hspace{2cm} $f'(x) =$u'(x)$$\cdot \boldsymbol{v(x)} + $$u(x)$$\cdot \boldsymbol{v'(x)}$
Bildest du nun zuerst die erste Ableitung von $f$, so ergeben sich $u$ und $v$ wie folgt:
  • $u(x) = 2-x$
  • $\boldsymbol{v(x) = \mathrm e^x}$
  • $u'(x) = -1$
  • $\boldsymbol{v'(x) = \mathrm e^x}$
Damit kannst du nun die erste Ableitung von $f$ bilden:
$\begin{array}{rll} f'(x)&=&u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)&\scriptsize{ einsetzen }\\ &=&(-1)\cdot \mathrm e^x + (2-x)\cdot \mathrm e^x&\scriptsize{ ausklammern} \\ &=&\mathrm e^x\cdot(-1+2-x)&\scriptsize{ zusammenfassen }\\ &=&\mathrm e^x\cdot(1-x) \\ \end{array}$
Wie du sehen kannst, ist der Funktionsterm der ersten Ableitung von $f$ immernoch ein Produkt. Verwende also zum Bilden der zweiten Ableitungsfunktion wieder die Produktregel. Hierbei ergeben sich $u$ und $v$ wie folgt:
  • $u(x) = 1-x$
  • $\boldsymbol{v(x) = \mathrm e^x}$
  • $u'(x) = -1$
  • $\boldsymbol{v'(x) = \mathrm e^x}$
Damit kannst du nun die zweite Ableitungsfunktion von $f$ bilden:
$\begin{array}{rll} f''(x)&=& u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)&\scriptsize{ einsetzen }\\ &=&(-1)\cdot \mathrm e^x + (1-x)\cdot \mathrm e^x&\scriptsize{ ausklammern} \\ &=&\mathrm e^x\cdot(-1+1-x)&\scriptsize{ zusammenfassen} \\ &=&(-x)\cdot\mathrm e^x \\ \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Wende nun das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x_E) = 0$ setzt und die Gleichung nach $x_E$ löst:
$\begin{array}{rll} f'(x_E)&=&0\\ \mathrm e^{x_E}\cdot(1-x_E)&=&0&\scriptsize{ \mid\; : \mathrm e^{x_E}\, \text{weil}\, \mathrm e^x\neq0 \,\text{für alle x}}\\ 1-x_E&=&0&\scriptsize{ \mid\; + x_E }\\ 1&=&x_E \\ \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt also nur eine mögliche Extremstelle bei $x_E = 1$.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $x_E = 1$ in $f''(x)$ ein, um zu überprüfen, ob es sich bei $x_E$ tatsächlich um eine Extremstelle handelt:
$\begin{array}{rll} f''(x_E)&=&(-x_E)\cdot\mathrm e^{x_E}&\scriptsize{ x_E =1} \\ &=&(-1) \cdot \mathrm e^1&\scriptsize{ vereinfachen} \\ &=&-\mathrm e\\ &<&0\\ \end{array}$
An der Stelle $x_E = 1$ liegt also tatsächlich ein Extrempunkt vor, und zwar ein Hochpunkt.
4. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinate berechnen
Du kennst nun die $x$-Koordinate des einzigen Extrempunkts des Graphen von $f$. Setze diese nun in $f(x)$ ein, um die zugehörige $y$-Koordinate zu berechnen:
$\begin{array}{rll} y_E&=&f(x_E) \\ &=&f(1)\\ &=&(2-1)\cdot\mathrm e^1&\scriptsize{ zusammenfassen }\\ &=&1\cdot\mathrm e^1&\scriptsize{ vereinfachen} \\ &=&\mathrm e \\ \end{array}$
Die Koordinaten des einzigen Extrempunkts des Graphen von $f$ lauten $E(1\mid\mathrm e)$.
$\blacktriangleright$Koordinaten der Wendepunkte bestimmen
Diese Aufgabe sollst du ebenfalls rechnerisch lösen. Für einen Wendepunkt $W(x_W\mid y_W)$ des Graphen einer Funktion $f$ gibt es ebenfalls zwei Kriterien, die den Kriterien für einen Extrempunkt sehr ähnlich sind:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W) = 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$
Gehe hier also ähnlich wie bei der Berechnung der Koordinaten der Extrempunkte vor:
  1. Bilden der dritten Ableitungsfunktion $f'''$.
  2. Notwendiges Kriterium anwenden durch Gleichsetzen von $f''(x_W) = 0$ und so mögliche Wendestellen ermitteln.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen durch Einsetzen von $x_W$ in $f'''(x)$.
  4. $y$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen
1. Schritt: Bilden der dritten Ableitungsfunktion
Da du $f''$ bereits gebildet hast, musst du nun für die Berechnung der Wendestellen nur noch die dritte Ableitung bilden. Hier kannst du ebenfalls wieder mit der Produktregel arbeiten. In diesem Fall ergeben sich $u$ und $v$ mit:
  • $u(x) = -x$
  • $v(x) = \mathrm e^x$
  • $u'(x) = -1$
  • $v'(x) = \mathrm e^x$
Damit kannst du nun den Funktionsterm $f'''(x)$ bilden:
$\begin{array}{rll} f'''(x)&=&u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)&\scriptsize{ einsetzen}\\ &=&(-1)\cdot \mathrm e^x + (-x)\cdot \mathrm e^x&\scriptsize{ ausklammern }\\ &=&(-1-x)\cdot\mathrm e^x \\ \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Ermittle nun mögliche Wendestellen durch Gleichsetzen von $f''(x_W) = 0$:
$\begin{array}{rll} f''(x_W)&=&0 \\ -x_W\cdot\mathrm e^{x_W}&=&0&\scriptsize{ \mid\; : \mathrm e^{x_W}\, \text{weil}\, e^x\neq0 \,\text{für alle}\, x}\\ -x_W&=&0&\scriptsize{ \mid\; \cdot (-1)} \\ x_W&=&0\\ \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt also möglicherweise an der Stelle $x_W = 0$ einen Wendepunkt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun die mögliche Wendestelle in $f'''(x)$ ein um zu überprüfen, ob es sich dabei tatsächlich um eine Wendestelle handelt:
$\begin{array}{rll} f'''(x_W)&=&f'''(0) \\ &=&(-1-0)\cdot\mathrm e^0&\scriptsize{ zusammenfassen }\\ &=&(-1)\cdot1&\scriptsize{ vereinfachen }\\ &=&(-1) \\ \neq&0\\ \end{array}$
Das hinreichende Kriterium ist demnach an der Stelle $x_W=0$ ebenfalls erfüllt und es handelt sich dabei tatsächlich um eine Wendestelle.
4. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinate berechnen
Den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=0$ kennst du bereits aus der Berechnung der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen:
$f(0) = 2$
Die Koordinaten des einzigen Wendepunkts des Graphen von $f$ lauten $W(0\mid2)$.
(3) $\blacktriangleright$ Graphen auf Schnittpunkte untersuchen
Du sollst nun untersuchen, ob sich die Graphen von $f$ und $f'$ schneiden. Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dann, wenn sie gemeinsame Punkte besitzen, wenn es also ein $x_0$ gibt, sodass gilt:
$f(x_0) = f'(x_0)$
Dabei kannst du also so vorgehen, dass du die Funktionsterme von $f$ und $f'$ gleichsetzt und versuchst nach $x$ zu lösen. Hat diese Gleichung Lösungen, so schneiden sich die beiden Graphen, hat sie keine Lösungen, so gibt es keinen Schnittpunkt.
$\begin{array}{rll} f(x)&=&f'(x) \\ (2-x)\cdot\mathrm e^x&=&(1-x)\cdot\mathrm e^x&\scriptsize{ \mid\; : \mathrm e^x\, \text{weil}\, \mathrm e^x\neq0\, \text{für alle}\, x }\\ 2-x&=&1-x&\scriptsize{ \mid\; +x}\\ 2&=&1&\scriptsize{ \text{Widerspruch}} \\ \end{array}$
Es gibt also kein $x$, welches diese Gleichung erfüllt. Damit existiert kein Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f'$.
b) (1) $\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{F}$ eine Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ ist
Du weißt, dass die Ableitung $F'$ einer Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ wieder die ursprüngliche Funktion $f$ ist. Du kannst hier also die Funktion $F$ ableiten. Ist $F' = f$, so ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dazu kannst du wieder die Produktregel verwenden.
Dabei ergeben sich $u$ und $v$ hier wie folgt:
  • $u(x) = 3-x$
  • $v(x) = \mathrm e^x$
  • $u'(x) = -1$
  • $v'(x) = \mathrm e^x$
Die Ableitung $F'$ ergibt sich dann durch:
$\begin{array}{rll} F'(x)&=&u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)&\scriptsize{ einsetzen }\\ &=&(-1)\cdot \mathrm e^x + (3-x)\cdot \mathrm e^x&\scriptsize{ ausklammern} \\ &=&\mathrm e^x\cdot(-1+3-x)&\scriptsize{ zusammenfassen} \\ &=&(2-x)\cdot\mathrm e^x&\scriptsize{ vergleichen} \\ &=&f(x) \\ \end{array}$
Durch Ableiten von $F$ ergibt sich $F'(x) = (2-x)\cdot\mathrm e^x = f(x)$. Demnach ist $F(x) = (3-x) \cdot \mathrm e^x$ eine Stammfunktion von $f$.
(2) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Inhalt $A(z)$ der Fläche berechnen, die von dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $\left[0;z\right]$ eingeschlossen wird.
Solch einen Flächeninhalt kannst du mit einem Integral berechnen. Dabei musst du von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, damit sich nicht Flächenstücke unterhalb und oberhalb der $x$-Achse gegenseitig beim Integrieren aufheben können. In diesem Fall, liegt aber keine Nullstelle innerhalb des Intervalls, da du weißt, dass die Nullstelle von $f$ bei $x_N =2$ liegt. Das Intervall über welches du integrieren sollst, reicht maximal bis zur Nullstelle hin.
Deine Integrationsgrenzen sind demnach gegeben durch $\boldsymbol{a = 0}$ und $\boldsymbol{b = z}$.
Demnach ist hier der Wert des folgenden Integrals gesucht:
$A(z) = \displaystyle\int_{0}^{z}f(x)\mathrm dx$
Um dies zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion von $f$. Eine solche kennst du aus dem vorigen Aufgabenteil bereits. Dann ergibt sich:
$\begin{array}{rll} A(z)&=&\displaystyle\int_{0}^{z}f(x)\mathrm dx \\ &=&\left[F(x)\right]_0^z\\ &=&F(z)- F(0) \\ &=&(3-z)\cdot\mathrm e^z- (3-0)\cdot\mathrm e^0 \\ &=&(3-z)\cdot\mathrm e^z-3\cdot1 \\ &=&(3-z) \cdot \mathrm e^z-3 \\ \end{array}$
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $\left[0;z\right]$ist gegeben durch $A(z) =(3-z) \cdot \mathrm e^z-3 $.
c) (1) $\blacktriangleright$ Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang beschreiben
Hier ist es deine Aufgabe, den Verlauf des Graphen von $f$ im Intervall $\left[0;2\right]$ im Sachzusammenhang zu beschreiben. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  1. Beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$ allgemein
  2. Übertrage die Informationen aus dem 1. Schritt auf den Sachzusammenhang mit Hilfe der Information, dass $f$ die momentane Förderrate beschreibt.
1. Schritt: Allgemeine Beschreibung des Verlaufs
Hierzu kannst du dir das Schaubild auf dem Aufgabenblatt zur Hilfe nehmen. Daran kannst du erkennen, dass der Graph von $f$ zuerst stark ansteigt und dann im Punkt $E(1\mid\mathrm e)$ das Maximum erreicht. Anschließend fällt der Graph steil ab bis er an der Stelle $2$ den Wert Null erreicht.
2. Schritt: Übertragung auf den Sachzusammenhang
Da $f$ die momentane Förderungsrate beschreibt, also sozusagen die Geschwindigkeit der Förderung angibt, kannst du den Verlauf des Graphen wie folgt auf den Sachzusammenhang übertragen:
  • Im ersten Jahr nimmt die Förderungsrate des Öls stark zu, das heißt es wird immer schneller Öl gefördert.
  • Am schnellsten verläuft die Förderung nach genau einem Jahr, dort hat der Graph von $f$ sein Maximum erreicht.
  • Anschließend nimmt die Förderungsrate ab. Das bedeutet, die Förderung verläuft immer langsamer bis sie nach genau zwei Jahren still liegt, also kein Öl mehr gefördert wird.
(2) $\blacktriangleright$ Zu erwartende Fördermenge berechnen
Deine Aufgabe ist es nun, die zu erwartende Fördermenge in den beiden Jahren 2013 und 2014 zu berechnen. Da $f$ die Förderungsrate beschreibt, wird die Menge des geförderten Öls vom Zeitpunkt $t =a$ bis zum Zeitpunkt $t =b$ durch folgendes Integral beschrieben, welches du bereits aus dem vorigen Aufgabenteil kennst:
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$
Deine Integrationsgrenzen sind in diesem Fall nun $\boldsymbol{a = 0}$ und $\boldsymbol{b = 2}$. Setzt du diese Grenzen ein, so sollte dir eine gewisse Ähnlichkeit zum Aufgabenteil b) (2) auffallen:
$\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\mathrm dx $
Dies entspricht nämlich genau $A(z)$ mit $ z =2$.
Gesucht ist hier also $A(2)$. Dies kannst du durch einsetzen berechnen:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\mathrm dx &=&A(2) \\ &=&(3-2)\cdot\mathrm e^2-3 \\ &=&\mathrm e^2-3 \\ \end{array}$
Die zu erwartende Fördermenge von Beginn des Jahres 2013 bis zum Ende des Jahres 2014 beträgt $\mathrm e^2-3$ Tonnen.
(3) $\blacktriangleright$Lineare Funktion bestimmen
Nun sollst du eine lineare Funktion $g$ bestimmen, die die Förderungsrate vom Zeitpunkt $x = \frac{5}{4}$ bis zum Ende der Ölförderung beschreibt. Das Ende der Ölförderung ist durch die neue Darstellung durch die Funktion $g$ nun nicht mehr $x =2$ sondern eine Nullstelle von $g$.
Du hast dabei folgende Informationen über $g$ gegeben:
  1. $g$ ist linear.
  2. $g$ soll an der Stelle $x = \frac{5}{4}$ den gleichen Funktionswert wie $f$ besitzen.
  3. $g$ soll an der Stelle $x = \frac{5}{4}$ die gleiche Steigung wie $f$ besitzen.
Die Steigung einer Funktion $f$ wird immer durch deren erste Ableitung $f'$ beschrieben. Bei einer linearen Funktion ist die Steigung konstant, also an jeder Stelle gleich, und wird genau durch den Wert $m$ beschrieben. Du kannst die Informationen wie folgt formulieren:
  1. $g$ hat die Form $g(x) = m\cdot x +b$
  2. $g\left(\frac{5}{4}\right) = f\left(\frac{5}{4}\right)$
  3. $g'\left(\frac{5}{4}\right) = m = f'\left(\frac{5}{4}\right)$
Du benötigst also die beiden Parameterwerte $\boldsymbol{m}$ und $\boldsymbol{b}$. Diese kannst du wie folgt berechnen:
  1. Berechne $m = f'\left(\frac{5}{4}\right)$ und setze dies bereits in die Funktionsgleichung von $g$ ein.
  2. Berechne $f\left(\frac{5}{4}\right)$ und führe eine Punktprobe mit dem Punkt $\left(\frac{5}{4}\mid f\left(\frac{5}{4}\right) \right)$ durch, um $b$ zu berechnen.
1. Schritt: Steigung berechnen
Da du die erste Ableitungsfunktion von $f$ bereits kennst, kannst du nun $x = \frac{5}{4}$ dort einsetzen und so $m$ berechnen. Dies kannst du sowohl mit deinem GTR, als auch handschriftlich tun.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}{rll} m&=&f'\left(\frac{5}{4}\right) \\ &=&\left(1-\frac{5}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} \\ &=&\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} \\ \end{array}$
Damit kennst du nun die Steigung von $g$ mit $m = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}$. Setzt du dies in $g(x)$ ein, so erhältst du:
$g(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot x+ b$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Wie schon im ersten Aufgabenteil, kannst du nun $f'\left(\frac{5}{4}\right)$ im Graph-Modus deines GTR berechnen, indem du dir den Graphen von $f'$ anzeigen lässt und anschließend
F5(G-Solv) $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ F1: Y-CAL
wählst und $x = \frac{5}{4}$ eingibst.
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Dann erhältst du das Ergebnis:
$m = f'\left(\frac{5}{4}\right) = -0,873$
Setzt du dies schon einmal in die Funktionsgleichung von $g$ ein, so erhältst du:
$g(x) = -0,873\cdot x +b$.
2. Schritt: Punktprobe
Berechne nun die Koordinaten des Punkts $\left(\frac{5}{4}\mid f\left(\frac{5}{4}\right) \right)$, indem du $x = \frac{5}{4}$ in $f(x)$ einsetzt und führe anschließend eine Punktprobe mit der Funktion $g$ durch. Dabei kannst du ebenfalls wieder mit dem GTR oder handschriftlich arbeiten.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}{rll} f\left(\frac{5}{4}\right)&=&\left(2-\frac{5}{4}\right)\cdot \mathrm e^{\frac{5}{4}} \\ &=&\frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} \\ \end{array}$
Damit weißt du nun, dass der Punkt des Graphen von $f$ mit den Koordinaten $\left(\frac{5}{4}\mid \frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\right)$ auf dem Graphen von $g$ liegen soll und kannst somit eine Punktprobe durchführen und nach $b$ lösen:
$\begin{array}{rll} \frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}&=&g\left(\frac{5}{4}\right) \\ \frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}&=&\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot\frac{5}{4} + b \\ \frac{3}{4}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}&=&\left(-\frac{5}{16}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} + b&\scriptsize{ \mid\; + \left(\frac{5}{16}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}} \\ \frac{17}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}&=&b \\ \end{array}$
Setzt du diesen Wert nun in die Funktionsgleichung ein, so erhältst du:
$g(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot x + \frac{17}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}} = \frac{1}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot(17-4\cdot x)$
Eine Funktionsgleichung der Funktion $g$ lautet $g(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot x + \frac{17}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Berechnest du $f\left(\frac{5}{4}\right)$ wie zuvor mit dem GTR, so erhältst du das Ergebnis:
$f\left(\frac{5}{4}\right) = 2,618$
Der Punkt $\left(\frac{5}{4}\mid 2,618\right)$ des Graphen von $f$ soll ebenfalls auf dem Graphen von $g$ liegen. Daher kannst du nun eine Punktprobe durchführen und so $b$ berechnen:
$\begin{array}{rll} 2,618 &=&g\left(\frac{5}{4}\right) \\ &=& -0,873\cdot \frac{5}{4} +b \\ &=&-1,09125+b&\scriptsize{ \mid\; +1,09125}\\ 3,70925&=&b \\ 3,709&\approx&b \\ \end{array}$
Setzt du dies nun in $g(x)$ ein, so erhältst du die folgende Funktionsgleichung:
$g(x) = -0,873\cdot x + 3,709$
Eine Funktionsgleichung von $g$ lautet $g(x) = -0,873\cdot x + 3,709$.
$\blacktriangleright$ Ende der Ölförderung berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem die Ölförderung enden wird. Die Ölförderung endet genau dann, wenn die Förderungsrate den Wert Null erreicht, denn dann werden Null Tonnen pro Jahr gefördert. Du suchst hier also die Nullstelle der Funktion $g$. Diese kannst du wieder handschriftlich oder aber mit dem GTR durch Gleichsetzen des Funktiosterms von $g$ mit Null bestimmen. Nutze hier in jedem Fall das Kontrollergebnis für die Funktionsgleichung von $g$, damit dein Wert so genau wie möglich ausfällt.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}{rll} 0&=&g(x) \\ 0&=&\frac{1}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\cdot(17-4\cdot x)&\scriptsize{ \mid\; : \left(\frac{1}{16}\cdot\mathrm e^{\frac{5}{4}}\right)}\\ 0&=&17-4\cdot x&\scriptsize{ \mid\; +4\cdot x}\\ 4\cdot x&=&17&\scriptsize{ \mid\; :4} \\ x&=&\frac{17}{4} \\ x&=&4,25 \\ \end{array}$
Die Ölförderung endet nach $4,25$ Jahren, also am 31. März 2017.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Du kannst die Nullstelle von $g$ wieder mit Hilfe des Graph-Menüs deines GTR berechnen. Du erhältst dann das Ergebnis:
$x_N = 4,25$
Die Ölförderung endet nach $4,25$ Jahren, also am 31. März 2017.
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