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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.
Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(t)=t^{4}-24t^{3}+144t^{2}+400$,   $t\in\mathbb{R}$,
und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion $g$ mit der Gleichung
$g(t)=-t^{4}+26t^{3}-167,5t^{2}-12,5t+2.053$,    $t\in\mathbb{R}$,
modelliert, und zwar für das Zeitintervall $[0;12]$, das dem Kalenderjahr entspricht.
Dabei fasst man $t$ als Maßzahl zur Einheit $1$ Monat und $f(t)$ sowie $g(t)$ als Maßzahlen zur Einheit $1$ Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat $30$ Tage.) Der Zeitpunkt $t=0$ entspricht dem Beginn des Kalenderjahres.
Die Graphen von $f$ und $g$ sind in der Abbildung unten dargestellt.
a) (1)  Vergleiche die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang.
(5P)
(2)  Berechne $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.
(5P)
(3)  Zeige, dass die Leistung der Solaranlage zu den Zeitpunkten $t_{1}=3$ und $t_{2}=9,5$ dem Leistungsbedarf der Familie entspricht.
(4P)
b) (1)  Bestimme den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechne den Maximalwert.
(8P)
(2)  Ermittle den Zeitpunkt im Intervall $[0; 12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
(10P)
Durch das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}f(t)\mathrm dt$ ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeitintervall $[a; b]$ abrufbare Energie und durch das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}g(t)\, \mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a; b]$ für $0\leq a< b \leq 12$ in Kilowattstunden [kWh] gegeben.
c) (1)  Gib eine Gleichung einer Stammfunktion $G$ von $g$ an und berechne den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
(6P)
(2)  Im Intervall $[3; 9,5]$ wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden.
Ermittle die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall $[3; 9,5]$ zur Verfügung steht.
(6P)
(3)  Skizziere in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler des folgenden Bruches bestimmt wird, und interpretiere das Ergebnis der folgenden Berechnung im Sachzusammenhang.
$\dfrac{\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{12}f(t)\,\mathrm dt-\mathop{\displaystyle\int}\limits_{3}^{9,5}\left(f(t)-g(t)\right)\,\mathrm dt}{\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{12}g(t)\,\mathrm dt}\approx0,539$
(6P)
Aufgabe 2 Abbildung
Aufgabe 2 Abbildung
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Vergleich von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang
Hier sollst du die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang vergleichen. Die Funktion $f$ modelliert die Leistung der Solaranlage, die Funktion $g$ den Leistungsbedarf der Familie. Du erkennst, dass in den Intervallen $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ der Graph der Funktion $f$ oberhalb des Graphen von $g$ liegt, im Intervall $\left[3;9,5\right]$ ist es gerade andersrum und der Graph von $g$ liegt über dem Graphen von $f$. Die Graphen von $f$ und $g$ verhalten sich gegenläufig um einen Mittelwert von ca. 1.000.
(2)
$\blacktriangleright$  $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen und im Sachzusammenhang interpretieren
Zuerst sollst du den Wert $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen. Um die Werte $f(0)$ bzw. $g(0)$ zu berechnen setze jeweils $t=0$ in die Funktionsgleichungen von $f$ bzw. $g$ ein. Nun sollst du noch diesen Wert interpretieren. $f(0)$ repräsentiert hier die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn des Jahres, $g(0)$ den Leistungsbedarf zu Beginn des Jahres.
(3)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass Leistung der Solaranlage dem Leistungsbedarf entspricht
Hier ist nun deine Aufgabe zu zeigen, dass die Leistung der Solaranlage und der Leistungsbedarf der Familie zu den Zeitpunkten $t_1=3$ und $t_2=9,5$ gleich sind. Berechne hierzu die beiden Funktionswerte $f(3)$ und $g(3)$ bzw. $f(9,5)$ und $g(9,5)$ und überprüfe diese auf Gleichheit.
b) (1)
$\blacktriangleright$  Maximale Leistung der Solaranlage und deren Zeitpunkt bestimmen
Deine Aufgabe ist es den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und den dazugehörigen Maximalwert zu bestimmen. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ beschrieben, also suchst du die Maximalstelle und den Maximalwert der Funktion $f$. Diese kannst du per Hand oder mit deinem GTR bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Maximalstelle und den Maximalwert kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste und zweite Ableitung von $f$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $x_M$ gilt:
    $f'(x_M)=0$
    Setze also $f'(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $f''(x_M) > 0$ für eine potenzielle Extremstelle $x_M$, so handelt es sich bei $x_M$ um eine Maximalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Den Maximalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Maximalstelle in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Speichere den Funktionsterm von $f$ und bestimme den gesuchten Zeitpunkt, sowie den gesuchten Maximalwert.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der maximalen Abnahme des Leistungsbedarfs bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Dies kannst du auch folgendermaßen interpretieren:
Die Änderungsrate $g'$ beschreibt die Zu- oder Abnahme des Leistungsbedarf der Familie. Da der Zeitpunkt der stärksten Abnahme gesucht ist, erhältst du diesen durch das Bestimmen des Minimums der Änderungsrate $g'$. Leite also $g$ ab und bestimme anschließend die Minimalstelle der Ableitung. Dieses kannst du per Hand oder mit deinem GTR bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Minimalstelle von $g'$ kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste, zweite und dritte Ableitung von $g$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $x_M$ der Funktion $g'$ gilt:
    $g''(x_M)=0$
    Setze also $g''(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $g'''(x_M) < 0$ für eine potenzielle Extremstelle $x_M$, so handelt es sich bei $x_M$ um eine Minimalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die dritte Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Überprüfe nun noch die Randwerte.
    Berechne dazu die Funktionswerte $g'(0)$ und $g'(12)$ und vergleiche sie mit dem vorher berechneten Minimawert.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Berechne also wie im Lösungsweg A die erste Ableitung $g'$. Speichere anschließend den Funktionsterm von $g'$ und berechne das Minimum von $g'$ im Intervall $\left[0;12\right]$. Dies ist der Zeitpunkt der stärksten Abnahme.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion $G$ von $g$ bestimmen
Hier ist es deine Aufgabe eine Stammfunktion $G$ von $g$ zu bestimmen. Integriere dazu die Funktion $g$.
$\blacktriangleright$  Berechnen des Energiebedarfs der Familie
Nach Aufgabenstellung ist durch das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a;b]$ gegeben. Das Zeitintervall $[0;12]$ beschreibt hier das Kalenderjahr. Somit musst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt$ berechnen. Dieses kannst du per Hand oder mit deinem GTR berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Benutze hierzu den Hauptsatz der Integralrechnung und die zuvor berechnete Stammfunktion $G$:
$\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt=G(b)-G(a)$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Speichere den Funktionsterm von $g$ und berechne das gesuchte Integral.
(2)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Energie, die zum Heizen des Pools zur Verfügung steht
Der Pool wird mit der Energie geheizt, welche den Bedarf der Familie übersteigt. Dieser Leistungsüberschuss ist gerade die Differenz zwischen der von der Solaranlage erzeugten Leistung und dem Leistungsbedarf der Familie. Zum Zeitpunkt $t$ ist der Leistungsüberschuss somit durch $f(t)-g(t)$ gegeben.
Die überschüssige Energie im Intervall $\left[3;9,5\right]$ kannst du durch das Integral über den Leistungsüberschuss auf dem Intervall $\left[3;9,5\right]$ berechnen. Gesucht ist somit das Integral:
$$\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$$
Berechne also zuerst $f(t)-g(t)$. Danach kannst du das Integral per Hand oder mit deinem GTR bestimmen.
1. Schritt: $f(t)-g(t)$ berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Bestimme eine Stammfunktion $(F-G)(t)$ und berechne damit das Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left( f(t) - g(t) \right) \;\mathrm dt$.
2. Schritt: Stammfunktion $(F-G)(t)$ bestimmen
3. Schritt: Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5}\left(f(t)-g(t)\right)\;\mathrm dt$ berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Speichere den Funktionsterm von $f-g$ und berechne das gesuchte Integral.
(3)
$\blacktriangleright$  Fläche skizzieren
Deine Aufgabe ist es die Fläche zu skizzieren, welche durch den Zähler des Bruches bestimmt wird. Der Zähler lautet:
$\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt-\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$
Betrachte zuerst die einzelnen Teile des Zählers:
  1. Das erste Integral $\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt$ bestimmt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;12]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
  2. Das zweite Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ bestimmt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und dem Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[3;9,5]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
Die Differenz dieser beiden Integrale ist auch die Differenz der beiden Flächeninhalte.
$\blacktriangleright$  Interpretation der Berechnung im Sachzusammenhang
Mache dir hier zuerst klar, was die drei Integrale beschreiben. Dabei helfen dir der Aufgabentext und die Aufgabe c)(2).
  1. $\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt$ ist die über das gesamte Jahr von der Solaranlage erzeugte Energie.
  2. $\displaystyle\int_{0}^{12} g(t) \;\mathrm dt$ ist der Energiebedarf der Familie über das gesamte Jahr.
  3. $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ ist die im Sommer erzeugte überschüssige Energie.
Der Bruch lässt sich also folgendermaßen umschreiben:
$\dfrac{\text{Gesamte erzeugte Energie}-\text{Überschüssige Energie}}{\text{Gesamtbedarf}} \approx 0,539=53,9 \%$
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Vergleich von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ im Sachzusammenhang
Hier sollst du die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang vergleichen. Die Funktion $f$ modelliert die Leistung der Solaranlage, die Funktion $g$ den Leistungsbedarf der Familie. Du erkennst, dass in den Intervallen $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ der Graph der Funktion $g$ oberhalb des Graphen von $f$ liegt, im Intervall $\left[3;9,5\right]$ ist es gerade andersrum und der Graph von $f$ liegt über dem Graphen von $g$. Die Graphen von $f$ und $g$ verhalten sich gegenläufig um einen Mittelwert von ca. $1.000$.
Im Sachzusammenhang lässt sich dies so deuten, dass im Winter (Intervalle $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$) ein hoher Bedarf an Energie besteht und die Solaranlage wenig Energie generiert. Es wird somit weniger Energie generiert als verbraucht. Im Sommer (Intervall $\left[3;9,5\right]$) hingegen ist die Leistung der Solaranlage groß und der Bedarf an Energie niedrig. Hier wird nun mehr Energie generiert als verbraucht.
Um den Juni ($t=6$) ist die Leistung der Solaranlage maximal und der Leistungsbedarf minimal. Um den Jahreswechsel ($t=0$ bzw. $t=12$) ist die Leistung der Solaranlage minimal und der Leistungsbedarf maximal.
(2)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{\dfrac{f(0)}{g(0)}}$ berechnen und im Sachzusammenhang interpretieren
Zuerst sollst du den Wert $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen. Um die Werte $f(0)$ bzw. $g(0)$ zu berechnen, setze jeweils $t=0$ in die Funktionsgleichungen von $f$ bzw. $g$ ein:
$\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{400}{2.053}\approx 0,1948$
Nun sollst du noch diesen Wert interpretieren. $f(0)$ repräsentiert hier die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn des Jahres, $g(0)$ den Leistungsbedarf zu Beginn des Jahres. Der Quotient dieser beiden Werte ist der Anteil an Leistungsbedarf, der von der Solaranlage gedeckt wird. Es wird also zu Beginn des Jahres $19,48\,\%$ des Leistungsbedarf von der Solaranlage gedeckt.
(3)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass Leistung der Solaranlage dem Leistungsbedarf entspricht
Hier ist nun deine Aufgabe zu zeigen, dass die Leistung der Solaranlage und der Leistungsbedarf der Familie zu den Zeitpunkten $t_1=3$ und $t_2=9,5$ gleich sind. Berechne hierzu die beiden Funktionswerte $f(3)$ und $g(3)$ bzw. $f(9,5)$ und $g(9,5)$ und überprüfe diese auf Gleichheit.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_1=3$:
$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=3^4-24\cdot 3^3 + 144\cdot 3^2 + 400 \\[5pt] &=81-648+1.296+400=1.129\\[5pt] g(3)&=-3^4 +26\cdot 3^3 -167,5 \cdot 3^2 -12,5 \cdot 3 +2.053 \\[5pt] &=-81 + 702 - 1.507,5 - 37,5 + 2.053 =1.129 \end{array}$
Somit gilt $f(3)=1.129=g(3)$, also sind Leistung der Solaranlage und der Leistungsbedarf gleich.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_2=9,5$:
$\begin{array}[t]{rll} f(9,5)&={9,5}^4-24\cdot {9,5}^3 + 144\cdot {9,5}^2 + 400 \\[5pt] &=8.145,0625 - 20.577 + 12.996 + 400 = 964,0625\\[5pt] g(9,5)&=-{9,5}^4 +26\cdot {9,5}^3 -167,5 \cdot {9,5}^2 -12,5 \cdot 9,5 +2.053 \\[5pt] &=-8.145,0625 + 22.291,75 - 15.116,875 - 118,75 + 2.053 = 964,0625 \end{array}$
Somit gilt $f(9,5)=964,0625=g(9,5)$, also sind Leistung der Solaranlage und der Leistungsbedarf gleich.
b) (1)
$\blacktriangleright$  Maximale Leistung der Solaranlage und deren Zeitpunkt bestimmen
Deine Aufgabe ist es, den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und den dazugehörigen Maximalwert zu bestimmen. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ beschrieben, also suchst du die Maximalstelle und den Maximalwert der Funktion $f$. Diese kannst du per Hand oder mit deinem GTR bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Maximalstelle und den Maximalwert kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste und zweite Ableitung von $f$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $x_M$ gilt:
    $f'(x_M)=0$
    Setze also $f'(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $f''(x_M) < 0$ für eine potenzielle Extremstelle $x_M$, so handelt es sich bei $x_M$ um eine Maximalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Den Maximalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Maximalstelle in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.
1. Schritt: Erste und zweite Ableitung von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\\[10pt] f'(t)&=4\cdot t^3 - 24 \cdot \left(3 \cdot t^2\right) + 144 \cdot \left(2 \cdot t\right) \\[5pt] &=4\cdot t^3 - 72\cdot t^2 + 288 \cdot t \\[10pt] f''(t)&=4\cdot \left(3\cdot t^2\right) - 72\cdot \left(2\cdot t\right) + 288 \\[5pt] &=12 \cdot t^2 - 144 \cdot t +288 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Setze hier die erste Ableitungsfunktion von $f$ gleich Null und ermittle die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} 0\stackrel{!}{=}&f'(t) \\[5pt] 0=&4\cdot t^3 - 72\cdot t^2 + 288 \cdot t \\[5pt] 0=&t \cdot \left(4\cdot t^2 - 72\cdot t + 288 \right) \end{array}$
Nach dem Satz über das Nullprodukt kann ein Produkt nur Null sein, falls einer der Faktoren gleich Null ist. Somit sind hier die Möglichkeiten, dass $t=0$ ist oder $4\cdot t^2 - 72\cdot t + 288=0$ ist. Somit ist $t_1=0$ die erste mögliche Nullstelle. Betrachte nun den Term $4\cdot t^2 - 72\cdot t + 288$ und ermittle die $t$, für die er gleich Null ist. Dies kannst du entweder mit der Mitternachtsformel oder mit der PQ-Formel.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A1: PQ-Formel
Bringe dazu den Term auf die passende Form:
$\begin{array}{rll} 0=&4\cdot t^2 - 72\cdot t + 288&\quad\mid\; :4 \\[5pt] 0=&t^2-18t+72 \end{array}$
Hier ist nun $p=-18$ und $q=72$:
$\begin{array}{rll} t_{2,3} =& - \dfrac{-18}{2} \pm \sqrt{\left( {\frac{-18}{2}} \right)^2 - 72} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm \sqrt {81 - 72}\\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm \sqrt {9}\\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm 3 \end{array}$
Die Extremstellen der Funktion $f$ sind somit $t_1=0$, $t_2=9+3=12$ und $t_3=9-3=6$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A2: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=4$, $b=-72$ und $c=288$:
$\begin{array}[t]{rll} t_{2,3} =& \dfrac{{ - (-72) \pm \sqrt {(-72)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 288} }}{{2\cdot 4}}\\[5pt] t_{2,3} =&\dfrac{{ 72 \pm \sqrt {5.184 - 4.608} }}{{8}}\\[5pt] t_{2,3} =&9 \pm \dfrac{\sqrt{576}}{8} \\[5pt] t_{2,3} =&9 \pm \dfrac{24}{8} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm 3 \end{array}$
Die Extremstellen der Funktion $f$ sind somit $t_1=0$, $t_2=9+3=12$ und $t_3=9-3=6$.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $t_1$, $t_2$ und $t_3$ in $f''(t)$ ein:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_1=0$:
$f''(0)=288 > 0$, also ist $t_1$ Tiefstelle der Funktion $f$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_2=12$:
$f''(12)=12 \cdot 12^2 -144 \cdot 12 + 288 = 1.728 - 1.728 + 288 = 288 > 0$, also ist $t_2$ Tiefstelle der Funktion $f$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_3=6$:
$f''(6)=12 \cdot 6^2 -144 \cdot 6 + 288 = 432 - 864 + 288 = -144 < 0$, also ist $t_3$ die gesuchte Maximalstelle der Funktion $f$.
4. Schritt: Maximalwert berechnen
Nun musst du noch den Maximalwert an der Stelle $t_3=6$ berechnen. Setze dazu $t_3$ in die Funktionsgleichung $f(t)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f(6)&=6^4-24 \cdot 6^3 +144 \cdot 6^2 +400 \\[5pt] &=1.296 -5.184 + 5.184 +400= 1.696 \end{array}$
Damit ist die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=6$ maximal und hat einen Maximalwert von $1.696 \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort eingegeben, dann passe das Fenster so an, dass du den gewünschten Bereich sehen kannst.
Wähle dann unter
6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum
den Befehl zum Bestimmen des Maximums aus und bestätige mit Enter. Gib anschließend deine Intervallgrenzen $t=0$ und $t=12$ ein.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Damit ist die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=6$ maximal und hat einen Maximalwert von $1.700 \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der maximalen Abnahme des Leistungsbedarfs bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Dies kannst du auch folgendermaßen interpretieren:
Die Änderungsrate $g'$ beschreibt die Zu- oder Abnahme des Leistungsbedarf der Familie. Da der Zeitpunkt der stärksten Abnahme gesucht ist, erhältst du diesen durch das Bestimmen des Minimums der Änderungsrate $g'$. Leite also $g$ ab und bestimme anschließend die Minimalstelle der Ableitung. Dieses kannst du per Hand oder mit deinem GTR bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Minimalstelle von $g'$ kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste, zweite und dritte Ableitung von $g$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $x_M$ der Funktion $g'$ gilt:
    $g''(x_M)=0$
    Setze also $g''(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $g'''(x_M) > 0$ für eine potenzielle Extremstelle $x_M$, so handelt es sich bei $x_M$ um eine Minimalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die dritte Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Überprüfe nun noch die Randwerte.
    Berechne dazu die Funktionswerte $g'(0)$ und $g'(12)$ und vergleiche sie mit dem vorher berechneten Minimawert.
1. Schritt: Erste, zweite und dritte Ableitung von $g$ bilden
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=-t^4 + 26 \cdot t^3 - 167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t + 2.053\\[10pt] g'(t)&=-\left(4\cdot t^3\right) + 26 \cdot \left(3 \cdot t^2\right) -167,5 \cdot \left(2 \cdot t\right) - 12,5\\[5pt] &=-4\cdot t^3 + 78\cdot t^2 -335 \cdot t -12,5 \\[10pt] g''(t)&=-4\cdot \left(3\cdot t^2\right) + 78 \cdot \left(2\cdot t\right) - 335 \\[5pt] &=-12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335 \\[10pt] g'''(t)&=-12\cdot \left(2\cdot t\right) + 156 \\[5pt] &=-24 \cdot t + 156 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriteriumn anwenden
Setze hier die erste Ableitungsfunktion von $g'$, also $g''$, gleich Null und ermittle die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} 0\stackrel{!}{=}&g''(t) \\[5pt] 0=&-12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335 \end{array}$
Hier kannst du entweder die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden, um die Nullstellen zu bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A1: PQ-Formel
Bringe dazu den Term auf die passende Form:
$\begin{array}{rll} 0=&-12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335 &\quad\mid\; :\left(-12\right) \\[5pt] 0=&t^2-13t+\dfrac{335}{12} \end{array}$
Hier ist nun $p=-13$ und $q=\dfrac{335}{12}$:
$\begin{array}{rll} t_{1,2} =& - \dfrac{-13}{2} \pm \sqrt{\left( {\frac{-13}{2}} \right)^2 - \frac{335}{12}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt {\frac{169}{4} - \frac{335}{12}}\\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt {\frac{43}{3}}\\[5pt] t_{1,2} =& 6,5 \pm 3,79 \end{array}$
Die Minimalstellen der ersten Ableitung $g'$ sind somit $t_1=6,5 + 3,79 =10,29$ und $t_2=6,5 - 3,79 = 2,71$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A2: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=-12$, $b=156$ und $c=-335$:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1,2} =& \dfrac{{ - 156 \pm \sqrt {156^2 - 4 \cdot (-12) \cdot (-335)} }}{{2\cdot (-12)}}\\[5pt] t_{1,2} =&\dfrac{{ 156 \pm \sqrt {24.336 - 16.080} }}{{24}}\\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \dfrac{\sqrt{8.256}}{24} \\[5pt] t_{1,2} =& 6,5 \pm 3,79 \end{array}$
Die Minimalstellen der ersten Ableitung $g'$ sind somit $t_1=6,5 + 3,79 =10,29$ und $t_2=6,5 - 3,79 = 2,71$.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Setze nun $t_1$ und $t_2$ in $g'''(t)$ ein:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_1=10,29$:
$g'''(10,29)= -24 \cdot 10,29 + 156 = -90,96 < 0$, also ist $t_1$ Maximalstelle der ersten Ableitung $g'$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_2=2,71$:
$g'''(2,71)= -24 \cdot 2,71 + 156 = 90,96 > 0$, also ist $t_2$ Minimalstelle der ersten Ableitung $g'$.
4. Schritt: Überprüfen der Randwerte
Berechne hier die Randwerte der ersten Ableitung $g'$ im Intervall $\left[0;12\right]$ und vergleiche diese mit dem Minimalwert. Setze dazu $t=2,71$, $t=0$ und $t=12$ in $g'(t)$ ein:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t=2,71$:
$g'(2,71)=-4\cdot 2,71^3 + 78\cdot 2,71^2 -335 \cdot 2,71 -12,5 \approx -427,12 $ ist der Minimalwert der oben berechneten Minimalstelle der ersten Ableitung $g'$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t=0$:
$g'(0)=-4\cdot 0^3 + 78\cdot 0^2 -335 \cdot 0 -12,5 = -12,5 > -427,12$, also ist der Randwert $t=0$ nicht Zeitpunkt maximaler Abnahme.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t=12$:
$g'(12)=-4\cdot 12^3 + 78\cdot 12^2 -335 \cdot 12 -12,5 = 287,5 > -427,12$, also ist der Randwert $t=12$ nicht Zeitpunkt maximaler Abnahme.
Der Leistungsbedarf nimmt somit zum Zeitpunkt $t=2,71$ am stärksten ab.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Berechne wie im Lösungsweg A die erste Ableitung $g'$. Wechsle anschließend mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $g'$. Hast du diesen dort eingegeben, dann wähle das Fenster so, dass du den gewünschten Bereich sehen kannst.
Wähle dann unter
6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum
den Befehl zum Bestimmen des Minimums aus und bestätige mit Enter. Gib anschließend deine Intervallgrenzen $t=0$ und $t=12$ ein.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Also besitzt die Funktion $g'$ an der Stelle $t_1=2,71$ ein Minimum. Somit ist $t_1=2,71$ der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, an dem der Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion $\boldsymbol{G}$ von $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Hier ist es deine Aufgabe eine Stammfunktion $G$ von $g$ zu bestimmen. Integriere dazu die Funktion $g$:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{}^{}g(t)\;\mathrm dt&=\displaystyle\int_{}^{}-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2.053\;\mathrm dt \\[5pt] &=-\dfrac{1}{5}t^5+\dfrac{1}{4}\cdot 26t^4- \dfrac{1}{3}\cdot 167,5t^3-\dfrac{1}{2}\cdot12,5t^2+2.053 t +c\\[5pt] &=-\dfrac{1}{5}t^5+\dfrac{13}{2}t^4- \dfrac{335}{6}t^3-\dfrac{25}{4}t^2+2.053 t +c \end{array}$
Für $c=0$ ist $G(t)=-\dfrac{1}{5}t^5+\dfrac{13}{2}t^4- \dfrac{335}{6}t^3-\dfrac{25}{4}t^2+2.053 t$ eine Stammfunktion von $g$.
$\blacktriangleright$  Berechnen des Energiebedarfs der Familie
Nach Aufgabenstellung ist durch das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a;b]$ gegeben. Das Zeitintervall $[0;12]$ beschreibt hier das Kalenderjahr. Somit musst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt$ berechnen. Dieses kannst du per Hand oder mit deinem GTR berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Benutze hierzu den Hauptsatz der Integralrechnung und die zuvor berechnete Stammfunktion $G$:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt&=G(12)-G(0)\\[5pt] &= \left(-\dfrac{1}{5}\cdot 12^5+\dfrac{13}{2}\cdot 12^4- \dfrac{335}{6}\cdot 12^3-\dfrac{25}{4}\cdot 12^2+2.053\cdot 12\right) - 0 \\[5pt] &=-49.766,4 + 134.784 - 96.480 - 900 + 24.636 \\[5pt] &=12.273,6 \end{array}$
Der Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr beträgt 12.273,6 kWh.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $g$. Hast du diesen dort eingeben, dann wähle das Fenster so, dass du den gewünschten Bereich sehen kannst.
Bestimme dann über
6: Graph analysieren $\to$ 6: Integral $\to$ Untere Schranke 0 $\to$ Obere Schranke 12
das Integral über $g$ in den Grenzen des Intervalls $\left[0;12\right]$.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr beträgt 12.300 kWh.
(2)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Energie, die zum Heizen des Pools zur Verfügung steht
Der Pool wird mit der Energie geheizt, welche den Bedarf der Familie übersteigt. Dieser Leistungsüberschuss ist gerade die Differenz zwischen der von der Solaranlage erzeugten Leistung und dem Leistungsbedarf der Familie. Zum Zeitpunkt $t$ ist der Leistungsüberschuss somit durch $f(t)-g(t)$ gegeben.
Die überschüssige Energie im Intervall $\left[3;9,5\right]$ kannst du durch das Integral über den Leistungsüberschuss auf dem Intervall $\left[3;9,5\right]$ berechnen. Gesucht ist somit das Integral:
$$\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$$
Berechne also zuerst $f(t)-g(t)$. Danach kannst du das Integral per Hand oder mit deinem GTR bestimmen.
1. Schritt: $\boldsymbol{f(t)-g(t)}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(t)-g(t)&= \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right)-\left(-t^4 + 26 \cdot t^3 - 167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t + 2.053\right) \\[5pt] &=2\cdot t^4 - 50 \cdot t^3 + 311,5 \cdot t^2 +12,5 \cdot t -1.653 \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Bestimme nun eine Stammfunktion $(F-G)(t)$ und berechne damit das Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left( f(t) - g(t) \right) \;\mathrm dt$.
2. Schritt: Stammfunktion $\boldsymbol{(F-G)(t)}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{}^{} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt&=\displaystyle\int_{}^{}2\cdot t^4 - 50 \cdot t^3 + 311,5 \cdot t^2 +12,5 \cdot t -1.653 \;\mathrm dt\\[5pt] &=\dfrac{1}{5}\cdot 2t^5-\dfrac{1}{4}\cdot 50t^4+ \dfrac{1}{3}\cdot 311,5t^3+\dfrac{1}{2}\cdot12,5t^2-1.653 t +c\\[5pt] &=\dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{25}{2}t^4+ \dfrac{623}{6}t^3 +\dfrac{25}{4}t^2-1.653 t +c \end{array}$
Wähle $c=0$ und damit ist $(F-G)(t)=\dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{25}{2}t^4+ \dfrac{623}{6}t^3+\dfrac{25}{4}t^2-1.653 t$ eine Stammfunktion von $f-g$.
3. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{3}^{9,5}\left(f(t)-g(t)\right)\;\mathrm dt}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt&= (F-G)(9,5)-(F-G)(3)\\[5pt] &=\left(\dfrac{2}{5}\cdot 9,5^5-\dfrac{25}{2}\cdot 9,5^4+ \dfrac{623}{6}\cdot 9,5^3+\dfrac{25}{4}\cdot 9,5^2-1.653 \cdot 9,5\right) \\[5pt] &- \left(\dfrac{2}{5}\cdot 3^5-\dfrac{25}{2}\cdot 3^4+ \dfrac{623}{6}\cdot 3^3+\dfrac{25}{4}\cdot 3^2-1.653 \cdot 3\right)\\[5pt] &= 3.022,62 - \left(-3014,55\right)\\[5pt] &= 3.022,62 + 3014,55\\[5pt] &= 6.037,17 \end{array}$
Der Familie stehen somit $6.037,17$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f-g$. Hast du diesen dort eingegeben, dann wähle das Fenster so, dass du den gewünschten Bereich sehen kannst.
Bestimme dann über
6: Graph analysieren $\to$ 6: Integral $\to$ Untere Schranke 3 $\to$ Obere Schranke 9.5
das Integral über $f-g$ in den Grenzen des Intervalls $\left[3;9,5\right]$.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Familie stehen somit $6.040$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.
(3)
$\blacktriangleright$  Fläche skizzieren
Deine Aufgabe ist es, die Fläche zu skizzieren, welche durch den Zähler des Bruches bestimmt wird. Der Zähler lautet:
$\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt-\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$
Betrachte zuerst die einzelnen Terme des Zählers:
  1. Das erste Integral $\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt$ entspricht dem Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;12]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
  2. Das zweite Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ bestimmt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und dem Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[3;9,5]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
Die Differenz dieser beiden Integrale ist auch die Differenz der beiden Flächeninhalte. In den Intervallen $[0;3]$ und $[9,5;12]$ bleibt die erste Fläche unverändert. Im Intervall $[3;9,5]$ wird von der Fläche unter dem Graphen von $f$ die Fläche zwischen den Graphen von $f$ und $g$ abgezogen. Du erhältst die Fläche unter dem Graphen von $g$. Insgesamt ergibt sich die unten eingezeichnete Fläche:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
$\blacktriangleright$  Interpretation der Berechnung im Sachzusammenhang
Mache dir hier zuerst klar, was die drei Integrale beschreiben. Dabei helfen dir der Aufgabentext und die Aufgabe c)(2).
  1. $\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt$ ist die über das gesamte Jahr von der Solaranlage erzeugte Energie.
  2. $\displaystyle\int_{0}^{12} g(t) \;\mathrm dt$ ist der Energiebedarf der Familie über das gesamte Jahr.
  3. $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ ist die im Sommer erzeugte überschüssige Energie.
Der Bruch lässt sich also folgendermaßen umschreiben:
$\dfrac{\text{Gesamte erzeugte Energie}-\text{Überschüssige Energie}}{\text{Gesamtbedarf}} \approx 0,539=53,9 \%$
Dies bedeutet, dass die Solaranlage über das ganze Jahr ca. $53,9\,\%$ des Gesamtbedarfs der Familie deckt.
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Vergleich von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ im Sachzusammenhang
Hier sollst du die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang vergleichen. Die Funktion $f$ modelliert die Leistung der Solaranlage, die Funktion $g$ den Leistungsbedarf der Familie. Du erkennst, dass in den Intervallen $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ der Graph der Funktion $g$ oberhalb des Graphen von $f$ liegt, im Intervall $\left[3;9,5\right]$ ist es gerade andersrum und der Graph von $f$ liegt über dem Graphen von $g$. Die Graphen von $f$ und $g$ verhalten sich gegenläufig um einen Mittelwert von ca. $1.000$.
Im Sachzusammenhang lässt sich dies so deuten, dass im Winter (Intervalle $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$) ein hoher Bedarf an Energie besteht und die Solaranlage wenig Energie generiert. Es wird somit weniger Energie generiert als verbraucht. Im Sommer (Intervall $\left[3;9,5\right]$) hingegen ist die Leistung der Solaranlage groß und der Bedarf an Energie niedrig. Hier wird nun mehr Energie generiert als verbraucht.
Um den Juni ($t=6$) ist die Leistung der Solaranlage maximal und der Leistungsbedarf minimal. Um den Jahreswechsel ($t=0$ bzw. $t=12$) ist die Leistung der Solaranlage minimal und der Leistungsbedarf maximal.
(2)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{\dfrac{f(0)}{g(0)}}$ berechnen und im Sachzusammenhang interpretieren
Zuerst sollst du den Wert $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen. Um die Werte $f(0)$ bzw. $g(0)$ zu berechnen, setze jeweils $t=0$ in die Funktionsgleichungen von $f$ bzw. $g$ ein:
$\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{400}{2.053}\approx 0,1948$
Nun sollst du noch diesen Wert interpretieren. $f(0)$ repräsentiert hier die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn des Jahres, $g(0)$ den Leistungsbedarf zu Beginn des Jahres. Der Quotient dieser beiden Werte ist der Anteil an Leistungsbedarf, der von der Solaranlage gedeckt wird. Es wird also zu Beginn des Jahres $19,48\,\%$ des Leistungsbedarf von der Solaranlage gedeckt.
(3)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass Leistung der Solaranlage dem Leistungsbedarf entspricht
Hier ist nun deine Aufgabe zu zeigen, dass die Leistung der Solaranlage und der Leistungsbedarf der Familie zu den Zeitpunkten $t_1=3$ und $t_2=9,5$ gleich sind. Berechne hierzu die beiden Funktionswerte $f(3)$ und $g(3)$ bzw. $f(9,5)$ und $g(9,5)$ und überprüfe diese auf Gleichheit.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_1=3$:
$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=3^4-24\cdot 3^3 + 144\cdot 3^2 + 400 \\[5pt] &=81-648+1.296+400=1.129\\[5pt] g(3)&=-3^4 +26\cdot 3^3 -167,5 \cdot 3^2 -12,5 \cdot 3 +2.053 \\[5pt] &=-81 + 702 - 1.507,5 - 37,5 + 2.053 =1.129 \end{array}$
Somit gilt $f(3)=1.129=g(3)$, also sind Leistung der Solaranlage und der Leistungsbedarf gleich.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_2=9,5$:
$\begin{array}[t]{rll} f(9,5)&={9,5}^4-24\cdot {9,5}^3 + 144\cdot {9,5}^2 + 400 \\[5pt] &=8.145,0625 - 20.577 + 12.996 + 400 = 964,0625\\[5pt] g(9,5)&=-{9,5}^4 +26\cdot {9,5}^3 -167,5 \cdot {9,5}^2 -12,5 \cdot 9,5 +2.053 \\[5pt] &=-8.145,0625 + 22.291,75 - 15.116,875 - 118,75 + 2.053 = 964,0625 \end{array}$
Somit gilt $f(9,5)=964,0625=g(9,5)$, also sind Leistung der Solaranlage und der Leistungsbedarf gleich.
b) (1)
$\blacktriangleright$  Maximale Leistung der Solaranlage und deren Zeitpunkt bestimmen
Deine Aufgabe ist es den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und den dazugehörigen Maximalwert zu bestimmen. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ beschrieben, also suchst du die Maximalstelle und den Maximalwert der Funktion $f$. Diese kannst du per Hand oder mit deinem GTR bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Maximalstelle und den Maximalwert kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste und zweite Ableitung von $f$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $x_M$ gilt:
    $f'(x_M)=0$
    Setze also $f'(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $f''(x_M) > 0$ für eine potenzielle Extremstelle $x_M$, so handelt es sich bei $x_M$ um eine Maximalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Den Maximalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Maximalstelle in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.
1. Schritt: Erste und zweite Ableitung von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\\[10pt] f'(t)&=4\cdot t^3 - 24 \cdot \left(3 \cdot t^2\right) + 144 \cdot \left(2 \cdot t\right) \\[5pt] &=4\cdot t^3 - 72\cdot t^2 + 288 \cdot t \\[10pt] f''(t)&=4\cdot \left(3\cdot t^2\right) - 72\cdot \left(2\cdot t\right) + 288 \\[5pt] &=12 \cdot t^2 - 144 \cdot t +288 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Setze hier die erste Ableitungsfunktion von $f$ gleich Null und ermittle die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} 0\stackrel{!}{=}&f'(t) \\[5pt] 0=&4\cdot t^3 - 72\cdot t^2 + 288 \cdot t \\[5pt] 0=&t \cdot \left(4\cdot t^2 - 72\cdot t + 288 \right) \end{array}$
Nach dem Satz über das Nullprodukt kann ein Produkt nur Null sein, falls einer der Faktoren gleich Null ist. Somit sind hier die Möglichkeiten, dass $t=0$ ist oder $4\cdot t^2 - 72\cdot t + 288=0$ ist. Somit ist $t_1=0$ die erste mögliche Nullstelle. Betrachte nun den Term $4\cdot t^2 - 72\cdot t + 288$ und ermittle die $t$, für die er gleich Null ist. Dies kannst du entweder mit der Mitternachtsformel oder mit der PQ-Formel.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A1: PQ-Formel
Bringe dazu den Term auf die passende Form:
$\begin{array}{rll} 0=&4\cdot t^2 - 72\cdot t + 288&\quad\mid\; :4 \\[5pt] 0=&t^2-18t+72 \end{array}$
Hier ist nun $p=-18$ und $q=72$:
$\begin{array}{rll} t_{2,3} =& - \dfrac{-18}{2} \pm \sqrt{\left( {\frac{-18}{2}} \right)^2 - 72} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm \sqrt {81 - 72}\\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm \sqrt {9}\\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm 3 \end{array}$
Die Extremstellen der Funktion $f$ sind somit $t_1=0$, $t_2=9+3=12$ und $t_3=9-3=6$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A2: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=4$, $b=-72$ und $c=288$:
$\begin{array}[t]{rll} t_{2,3} =& \dfrac{{ - (-72) \pm \sqrt {(-72)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 288} }}{{2\cdot 4}}\\[5pt] t_{2,3} =&\dfrac{{ 72 \pm \sqrt {5.184 - 4.608} }}{{8}}\\[5pt] t_{2,3} =&9 \pm \dfrac{\sqrt{576}}{8} \\[5pt] t_{2,3} =&9 \pm \dfrac{24}{8} \\[5pt] t_{2,3} =& 9 \pm 3 \end{array}$
Die Extremstellen der Funktion $f$ sind somit $t_1=0$, $t_2=9+3=12$ und $t_3=9-3=6$.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $t_1$, $t_2$ und $t_3$ in $f''(t)$ ein:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_1=0$:
$f''(0)=288 > 0$, also ist $t_1$ Tiefstelle der Funktion $f$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_2=12$:
$f''(12)=12 \cdot 12^2 -144 \cdot 12 + 288 = 1.728 - 1.728 + 288 = 288 > 0$, also ist $t_2$ Tiefstelle der Funktion $f$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_3=6$:
$f''(6)=12 \cdot 6^2 -144 \cdot 6 + 288 = 432 - 864 + 288 = -144 < 0$, also ist $t_3$ die gesuchte Maximalstelle der Funktion $f$.
4. Schritt: Maximalwert berechnen
Nun musst du noch den Maximalwert an der Stelle $t_3=6$ berechnen. Setze dazu $t_3$ in die Funktionsgleichung $f(t)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f(6)&=6^4-24 \cdot 6^3 +144 \cdot 6^2 +400 \\[5pt] &=1.296 -5.184 + 5.184 +400= 1.696 \end{array}$
Damit ist die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=6$ maximal und hat einen Maximalwert von $1.696 \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Graph-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, gib unter
SHIFT $\to$ F3 (V-Window)
die Intervallgrenzen $t=0$ und $t=12$ ein. Wechsle wieder in das Y=-Menü und lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F2 (MAX)
den Befehl zum Bestimmen des Maximums aus.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Damit ist die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=6$ maximal und hat einen Maximalwert von $1.696 \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der maximalen Abnahme des Leistungsbedarfs bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Dies kannst du auch folgendermaßen interpretieren:
Die Änderungsrate $g'$ beschreibt die Zu- oder Abnahme des Leistungsbedarf der Familie. Da der Zeitpunkt der stärksten Abnahme gesucht ist, erhältst du diesen durch das Bestimmen des Minimums der Änderungsrate $g'$. Leite also $g$ ab und bestimme anschließend die Minimalstelle der Ableitung. Dieses kannst du per Hand oder mit deinem GTR bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Minimalstelle von $g'$ kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste, zweite und dritte Ableitung von $g$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $x_M$ der Funktion $g'$ gilt:
    $g''(x_M)=0$
    Setze also $g''(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $g'''(x_M) < 0$ für eine potenzielle Extremstelle $x_M$, so handelt es sich bei $x_M$ um eine Minimalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die dritte Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Überprüfe nun noch die Randwerte.
    Berechne dazu die Funktionswerte $g'(0)$ und $g'(12)$ und vergleiche sie mit dem vorher berechneten Minimawert.
1. Schritt: Erste, zweite und dritte Ableitung von $\boldsymbol{g}$ bilden
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=-t^4 + 26 \cdot t^3 - 167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t + 2.053\\[10pt] g'(t)&=-\left(4\cdot t^3\right) + 26 \cdot \left(3 \cdot t^2\right) -167,5 \cdot \left(2 \cdot t\right) - 12,5\\[5pt] &=-4\cdot t^3 + 78\cdot t^2 -335 \cdot t -12,5 \\[10pt] g''(t)&=-4\cdot \left(3\cdot t^2\right) + 78 \cdot \left(2\cdot t\right) - 335 \\[5pt] &=-12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335 \\[10pt] g'''(t)&=-12\cdot \left(2\cdot t\right) + 156 \\[5pt] &=-24 \cdot t + 156 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriteriumn anwenden
Setze hier die erste Ableitungsfunktion von $g'$, also $g''$, gleich Null und ermittle die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} 0\stackrel{!}{=}&g''(t) \\[5pt] 0=&-12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335 \end{array}$
Hier kannst du entweder die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden, um die Nullstellen zu bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A1: PQ-Formel
Bringe dazu den Term auf die passende Form:
$\begin{array}{rll} 0=&-12 \cdot t^2 + 156 \cdot t -335 &\quad\mid\; :\left(-12\right) \\[5pt] 0=&t^2-13t+\dfrac{335}{12} \end{array}$
Hier ist nun $p=-13$ und $q=\dfrac{335}{12}$:
$\begin{array}{rll} t_{1,2} =& - \dfrac{-13}{2} \pm \sqrt{\left( {\frac{-13}{2}} \right)^2 - \frac{335}{12}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt {\frac{169}{4} - \frac{335}{12}}\\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \sqrt {\frac{43}{3}}\\[5pt] t_{1,2} =& 6,5 \pm 3,79 \end{array}$
Die Minimalstellen der ersten Ableitung $g'$ sind somit $t_1=6,5 + 3,79 =10,29$ und $t_2=6,5 - 3,79 = 2,71$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A2: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=-12$, $b=156$ und $c=-335$:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1,2} =& \dfrac{{ - 156 \pm \sqrt {156^2 - 4 \cdot (-12) \cdot (-335)} }}{{2\cdot (-12)}}\\[5pt] t_{1,2} =&\dfrac{{ 156 \pm \sqrt {24.336 - 16.080} }}{{24}}\\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{13}{2} \pm \dfrac{\sqrt{8.256}}{24} \\[5pt] t_{1,2} =& 6,5 \pm 3,79 \end{array}$
Die Minimalstellen der ersten Ableitung $g'$ sind somit $t_1=6,5 + 3,79 =10,29$ und $t_2=6,5 - 3,79 = 2,71$.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Setze nun $t_1$ und $t_2$ in $g'''(t)$ ein:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_1=10,29$:
$g'''(10,29)= -24 \cdot 10,29 + 156 = -90,96 < 0$, also ist $t_1$ Maximalstelle der ersten Ableitung $g'$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t_2=2,71$:
$g'''(2,71)= -24 \cdot 2,71 + 156 = 90,96 > 0$, also ist $t_2$ Minimalstelle der ersten Ableitung $g'$.
4. Schritt: Überprüfen der Randwerte
Berechne hier die Randwerte der ersten Ableitung $g'$ im Intervall $\left[0;12\right]$ und vergleiche diese mit dem Minimalwert. Setze dazu $t=2,71$, $t=0$ und $t=12$ in $g'(t)$ ein:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t=2,71$:
$g'(2,71)=-4\cdot 2,71^3 + 78\cdot 2,71^2 -335 \cdot 2,71 -12,5 \approx -427,12 $ ist der Minimalwert der oben berechneten Minimalstelle der ersten Ableitung $g'$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t=0$:
$g'(0)=-4\cdot 0^3 + 78\cdot 0^2 -335 \cdot 0 -12,5 = -12,5 > -427,12$, also ist der Randwert $t=0$ nicht Zeitpunkt maximaler Abnahme.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zeitpunkt $t=12$:
$g'(12)=-4\cdot 12^3 + 78\cdot 12^2 -335 \cdot 12 -12,5 = 287,5 > -427,12$, also ist der Randwert $t=12$ nicht Zeitpunkt maximaler Abnahme.
Der Leistungsbedarf nimmt somit zum Zeitpunkt $t=2,71$ am stärksten ab.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Berechne wie im Lösungsweg A die erste Ableitung $g'$. Wechsle anschließend mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $g'$. Hast du diesen dort gespeichert, gib unter
SHIFT $\to$ F3 (V-Window)
die Intervallgrenzen $t=0$ und $t=12$ ein. Wechsle wieder in das Y=-Menü und lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F3 (MIN)
den Befehl zum Bestimmen des Minimums aus.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Also besitzt die Funktion $g'$ an der Stelle $t_1=2,71$ ein Minimum. Somit ist $t_1=2,71$ der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, an dem der Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion $\boldsymbol{G}$ von $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Hier ist es deine Aufgabe eine Stammfunktion $G$ von $g$ zu bestimmen. Integriere dazu die Funktion $g$:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{}^{}g(t)\;\mathrm dt&=\displaystyle\int_{}^{}-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2.053\;\mathrm dt \\[5pt] &=-\dfrac{1}{5}t^5+\dfrac{1}{4}\cdot 26t^4- \dfrac{1}{3}\cdot 167,5t^3-\dfrac{1}{2}\cdot12,5t^2+2.053 t +c\\[5pt] &=-\dfrac{1}{5}t^5+\dfrac{13}{2}t^4- \dfrac{335}{6}t^3-\dfrac{25}{4}t^2+2.053 t +c \end{array}$
Für $c=0$ ist $G(t)=-\dfrac{1}{5}t^5+\dfrac{13}{2}t^4- \dfrac{335}{6}t^3-\dfrac{25}{4}t^2+2.053 t$ eine Stammfunktion von $g$.
$\blacktriangleright$  Berechnen des Energiebedarfs der Familie
Nach Aufgabenstellung ist durch das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a;b]$ gegeben. Das Zeitintervall $[0;12]$ beschreibt hier das Kalenderjahr. Somit musst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt$ berechnen. Dieses kannst du per Hand oder mit deinem GTR berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Benutze hierzu den Hauptsatz der Integralrechnung und die zuvor berechnete Stammfunktion $G$:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt&=G(12)-G(0)\\[5pt] &= \left(-\dfrac{1}{5}\cdot 12^5+\dfrac{13}{2}\cdot 12^4- \dfrac{335}{6}\cdot 12^3-\dfrac{25}{4}\cdot 12^2+2.053\cdot 12\right) - 0 \\[5pt] &=-49.766,4 + 134.784 - 96.480 - 900 + 24.636 \\[5pt] &=12.273,6 \end{array}$
Der Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr beträgt $12.273,6$ kWh.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $g$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Bestimme dann über
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3 ($\displaystyle\int$dx) $\to$ F1 ($\displaystyle\int$dx)
das Integral über $g$ in den Grenzen des Intervalls $\left[0;12\right]$.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr beträgt $12.273,6$ kWh.
(2)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Energie, die zum Heizen des Pools zur Verfügung steht
Der Pool wird mit der Energie geheizt, welche den Bedarf der Familie übersteigt. Dieser Leistungsüberschuss ist gerade die Differenz zwischen der von der Solaranlage erzeugten Leistung und dem Leistungsbedarf der Familie. Zum Zeitpunkt $t$ ist der Leistungsüberschuss somit durch $f(t)-g(t)$ gegeben.
Die überschüssige Energie im Intervall $\left[3;9,5\right]$ kannst du durch das Integral über den Leistungsüberschuss auf dem Intervall $\left[3;9,5\right]$ berechnen. Gesucht ist somit das Integral:
$$\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$$
Berechne also zuerst $f(t)-g(t)$. Danach kannst du das Integral per Hand oder mit deinem GTR bestimmen.
1. Schritt: $\boldsymbol{f(t)-g(t)}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(t)-g(t)&= \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right)-\left(-t^4 + 26 \cdot t^3 - 167,5 \cdot t^2 -12,5 \cdot t + 2.053\right) \\[5pt] &=2\cdot t^4 - 50 \cdot t^3 + 311,5 \cdot t^2 +12,5 \cdot t -1.653 \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Per Hand
Bestimme nun eine Stammfunktion $(F-G)(t)$ und berechne damit das Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left( f(t) - g(t) \right) \;\mathrm dt$.
2. Schritt: Stammfunktion $\boldsymbol{(F-G)(t)}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{}^{} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt&=\displaystyle\int_{}^{}2\cdot t^4 - 50 \cdot t^3 + 311,5 \cdot t^2 +12,5 \cdot t -1.653 \;\mathrm dt\\[5pt] &=\dfrac{1}{5}\cdot 2t^5-\dfrac{1}{4}\cdot 50t^4+ \dfrac{1}{3}\cdot 311,5t^3+\dfrac{1}{2}\cdot12,5t^2-1.653 t +c\\[5pt] &=\dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{25}{2}t^4+ \dfrac{623}{6}t^3 +\dfrac{25}{4}t^2-1.653 t +c \end{array}$
Wähle $c=0$ und damit ist $(F-G)(t)=\dfrac{2}{5}t^5-\dfrac{25}{2}t^4+ \dfrac{623}{6}t^3+\dfrac{25}{4}t^2-1.653 t$ eine Stammfunktion von $f-g$.
3. Schritt: Integral $\boldsymbol{\displaystyle\int_{3}^{9,5}\left(f(t)-g(t)\right)\;\mathrm dt}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt&= (F-G)(9,5)-(F-G)(3)\\[5pt] &=\left(\dfrac{2}{5}\cdot 9,5^5-\dfrac{25}{2}\cdot 9,5^4+ \dfrac{623}{6}\cdot 9,5^3+\dfrac{25}{4}\cdot 9,5^2-1.653 \cdot 9,5\right) \\[5pt] &- \left(\dfrac{2}{5}\cdot 3^5-\dfrac{25}{2}\cdot 3^4+ \dfrac{623}{6}\cdot 3^3+\dfrac{25}{4}\cdot 3^2-1.653 \cdot 3\right)\\[5pt] &= 3.022,62 - \left(-3014,55\right)\\[5pt] &= 3.022,62 + 3014,55\\[5pt] &= 6.037,17 \end{array}$
Der Familie stehen somit $6.037,17$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f-g$. Hast du die Funktionen $f$ und $g$ bereits gespeichert, so kannst du die Differenz auch über
VARS $\to$ F4 (GRAPH) $\to$
und die entsprechenden Bezeichnungen berechnen. Lass dir dann den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Bestimme dann über
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3 ($\displaystyle\int$dx) $\to$ F1 ($\displaystyle\int$dx)
das Integral über $f-g$ in den Grenzen des Intervalls $\left[3;9,5\right]$.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Familie stehen somit $6.037,17$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.
(3)
$\blacktriangleright$  Fläche skizzieren
Deine Aufgabe ist es, die Fläche zu skizzieren, welche durch den Zähler des Bruches bestimmt wird. Der Zähler lautet:
$\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt-\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$
Betrachte zuerst die einzelnen Terme des Zählers:
  1. Das erste Integral $\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt$ entspricht dem Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;12]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
  2. Das zweite Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ bestimmt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und dem Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[3;9,5]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
Die Differenz dieser beiden Integrale ist auch die Differenz der beiden Flächeninhalte. In den Intervallen $[0;3]$ und $[9,5;12]$ bleibt die erste Fläche unverändert. Im Intervall $[3;9,5]$ wird von der Fläche unter dem Graphen von $f$ die Fläche zwischen den Graphen von $f$ und $g$ abgezogen. Du erhältst die Fläche unter dem Graphen von $g$. Insgesamt ergibt sich die unten eingezeichnete Fläche:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
$\blacktriangleright$  Interpretation der Berechnung im Sachzusammenhang
Mache dir hier zuerst klar, was die drei Integrale beschreiben. Dabei helfen dir der Aufgabentext und die Aufgabe c)(2).
  1. $\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt$ ist die über das gesamte Jahr von der Solaranlage erzeugte Energie.
  2. $\displaystyle\int_{0}^{12} g(t) \;\mathrm dt$ ist der Energiebedarf der Familie über das gesamte Jahr.
  3. $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ ist die im Sommer erzeugte überschüssige Energie.
Der Bruch lässt sich also folgendermaßen umschreiben:
$\dfrac{\text{Gesamte erzeugte Energie}-\text{Überschüssige Energie}}{\text{Gesamtbedarf}} \approx 0,539=53,9 \%$
Dies bedeutet, dass die Solaranlage über das ganze Jahr ca. $53,9\,\%$ des Gesamtbedarfs der Familie deckt.
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