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Aufgabe 2

Aufgaben
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In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließt ein Bach. Die momentane1 Zuflussrate aus dem Bach kann an einem Tag mit starken Regenfällen durch die Funktion $f$ mit der Gleichung
$$ f(t)=\frac{1}{4}t^{3}-12t^{2}+144t+250, \quad t\in\mathbb{R},$$
für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Dabei fasst man $t$ als Maßzahl zur Einheit 1h und $f(t)$ als Maßzahl zur Einheit $1\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt $t=0$ und endet zum Zeitpunkt $t=24$.
Aufgabe 2
Aufgabe 2

1 Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit nur der Begriff Zuflussrate verwendet; darunter ist stets die momentane Zuflussrate zu verstehen.

a)
  1. Berechnen Sie die Zuflussrate zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums.
  2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt $t_{m}\in[0;24]$, zu dem die Zuflussrate ihr Maximum annimmt, und berechnen Sie dieses Maximum.
(3P + 9P)
b)
  1. Bestimmen Sie die Wendestelle des Graphen der Funktion $f$.
  2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt des Beobachtungszeitraums, zu dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert.
  3. Geben Sie nun die Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Sachzusammenhang an.
  4. Geben Sie einen Zeitraum an, in dem die Funktion $f$ die Zuflussrate nicht sinvoll beschreiben könnte, und begründen Sie dies.
(6P + 6P + 3P +4P)
c) Zum Zeitpunkt $t=0$ kann das Staubecken noch $4.500\,\text{m}^3$ aufnehmen.
  1. Entscheiden Sie, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus dem Bach während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
  2. Die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{a}\mathrm f(t)dt=4.500$ hat die (positive) Lösung $a\approx7,6$.
    Geben Sie die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang an.
Um ein Überlaufen des Staubeckens zu verhindern, wird zum Zeitpunkt $t=6$ ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet. Durch diesen fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von $600 \frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Staubecken ab. Der Notablauf bleibt bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet. Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass die Zuflussrate für $6\leq t<14$ größer und für $14$ $<$ $t$ $\leq$ $24$ kleiner als $600\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ist (vgl. Abbildung auf Seite 3).
  1. Interpretieren Sie den Ausdruck $\displaystyle\int_{0}^{6} \mathrm f(t)dt + \int_{6}^{14}\mathrm (f(t)-600)dt$ im Sachzusammenhang.
    Geben Sie insbesondere die Bedeutung des Zeitpunktes $t=14$ an.
  2. Entscheiden Sie nun, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft.
(5P + 3P + 6P +5P)
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a) (1) $\blacktriangleright$ Berechnen der Zuflussrate zu Beginn und am Ende der Beobachtung
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass in ein Staubecken ein Bach hineinfließt. Nach Regenfällen kann die momentane Zuflussrate aus dem Bach durch die Funktion $f$ für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden.
Die Funktion $f$ ist für $t \in \mathbb R$ wie folgt angegeben:
  • $f(t) = \frac{1}{4} \cdot t^3 - 12 \cdot t^2 + 144 \cdot t + 250$
$t$ ist dabei in Stunden (h) angegeben. Die Funktionswerte $f(t)$ beschreiben die Zuflussrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt $t = 0$ und endet zum Zeitpunkt $t = 24$.
Deine Aufgabe ist es nun, die Zuflussrate zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums zu bestimmen. Von oben weißt du, dass die Beobachtung zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ startet und zum Zeitpunkt $t_2 = 24$ endet.
Willst du diese Aufgabe lösen, so berechnest du die Funktionswerte von $f$ an diesen Zeitpunkten.
(2) $\blacktriangleright$ Bestimmen des Zeitpunkts, an dem die Zuflussrate maximal ist
Nun sollst du hier jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum bestimmen, bei dem die Zuflussrate ihr Maximum annimmt.
Du weißt, an einer bestimmten Stelle $t_M$ liegt genau dann ein Maximum vor, wenn folgende Bedingungen an dieser erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $f'(t_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(t_M) < 0$
Bilde also zunächst die ersten beiden Ableitungen von $f$ und ermittle über Auswerten der oben gegebenen Bedingungen die gesuchte Maximalstelle im Intervall.
Da hier aber ein abgeschlossenes Intervall angegeben ist, musst du hier die Randstellen von $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$ untersuchen, um das globale Maximum im gegebenen Intervall zu ermitteln. Vergleiche dazu die Funktionswerte von $f$ an den Randstellen und beim ermittelten Maximum.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  1. Bestimme die benötigten Ableitungsfunktionen $f$ und $f''$.
  2. Bestimme über die notwendige und hinreichende Bedingung die Maximalstellen von $f$.
  3. Untersuche die Funktionswerte an den Rand- und Maximalstellen.
b) (1) $\blacktriangleright$ Bestimmen der Wendestelle von $\boldsymbol{f}$
Hier ist es deine Aufgabe die Wendestelle der Funktion $f$ zu bestimmen. Da eine Wendestelle einem Extremum der ersten Ableitung der betrachteten Funktion entspricht, müssen hier die ersten drei Ableitungen von $f$ betrachtet werden.
Beachte dabei, dass du die ersten beiden Ableitungen $f'$ und $f''$ bereits im vorhergegangenen Aufgabenteil bestimmt hast. Liegt dann an einer bestimmten Stelle $t_W$ von $f$ eine Wendestelle vor, so sind an dieser Stelle folgende Bedingungen erfüllt:
  • Notwendige Bedingung: $f''(t_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(t_W) \neq 0$
Bestimme hier also zunächst die benötigten Ableitungsfunktionen, um dann mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingung die Wendestelle von $f$ zu bestimmen.
(2) + (3) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt an dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert
Nun sollst du jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraums bestimmen, zu dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert. Der Zeitpunkt, an dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert ist ein Punkt mit extremaler Steigung.
Rein intuitiv würde man sagen, dieser Punkt ist schon gefunden und entspricht dem Wendepunkt der Funktion $f$. Da $f$ hier jedoch auf einem abgeschlossenen Intervall untersucht wird, müssen hier, wie auch schon zuvor, die Randstellen des Intervalls untersucht werden.
Willst du also die den Zeitpunkt bestimmen, an dem sich die Zuflussrate im Zeitraum am stärksten ändert, so gehe hier so vor:
  1. Bestimme die Steigung im Wendepunkt
  2. Bestimme die Steigung an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$
  3. Vergleiche die Steigungen und bestimme das globale Extremum der Steigung. Dies liegt dann in dem Punkt, mit dem betragsmäßig größten Steigung
(4) $\blacktriangleright$ Zeitraum angeben, in dem Funktion $\boldsymbol{f}$ Zuflussrate nicht sinnvoll beschreibt
Hier sollst du nun einen Zeitraum angeben, in dem die Funktion $f$ die Zuflussrate aus dem Bach nicht sinnvoll beschreiben könnte. Nun betrachtest du also Funktion $f$ auch außerhalb des gegebenen Beobachtungszeitraums.
Bevor du diese Aufgabe lösen kannst, musst du zunächst wissen, was eine nicht sinnvolle Beschreibung der Zuflussrate hier bedeuten könnte. Nimmt die Funktion $f$ nämlich für eine Stelle einen Wert kleiner Null an, so würde das bedeuten, dass Wasser durch den Bach ablaufen würde, was in diesem Zusammenhang alles andere als sinnvoll wäre.
Du suchst also einen Bereich, indem der Graph von $f$ unterhalb der $t$-Achse verläuft. Willst du einen solchen Bereich bestimmen, so musst du zunächst die Nullstellen von $f$ bestimmen. Verwende dazu deinen GTR.
Hast du die Nullstellen von $f$ bestimmt, so musst du das Verhalten des Graphen von $f$ im Bereich dieser Nullstellen betrachten. Hast du eine Nullstelle gefunden, bei welcher der Graph von $f$ entweder davor oder danach unterhalb der $t$-Achse verläuft, so hast du hier einen Bereich gefunden, in welchem $f$ die Zuflussrate nicht sinnvoll beschreiben könnte.
Gehe also so vor:
  1. Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$
  2. Untersuche das Verhalten von $f$ im Bereich der Nullstellen
c) (1) $\blacktriangleright$ Entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aufnehmen kann
Du weißt, dass das Staubecken zum Zeitpunkt $t = 0$ noch $4.500\,\text{m}^3$ Wasser aufnehmen kann. Deine Aufgabe ist es nun, zu entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus dem Bach während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
Da Funktion $f$ die Zuflussrate beschreibt, repräsentiert das Integral über diese Funktion, das Volumen des Wassers, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt. Willst du hier bestimmen, welches Volumen das Wasser besitzt, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt, so musst du hier über $f$ über den gesamten Beobachtungszeitraum $\left(t \in \left[0;24\right]\right)$ integrieren.
Dabei gibt es zwei Lösungswege. Die Lösung von Hand und die Lösung mit deinem GTR. Beachte beim Lösen von Hand, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser in das Staubecken geflossen ist und die berechnete Stammfunktion dementsprechend anpassen musst.
(2) $\blacktriangleright$ Angeben der Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang
In dieser Teilaufgabe hast du die die Gleichung
$\displaystyle\int_{0}^{a}\left(f(t)\right)\mathrm dt = 4.500$
mit der positiven Lösung $a \approx 7,6$ gegeben. Deine Aufgabe ist es dabei, die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang anzugeben.
Mach dir dazu zunächst klar, was die Gleichung ausdrückt:
  • Es wird wieder über die Funktion $f$ integriert.
  • Die untere Grenze entspricht dem Anfang des Beobachtungszeitraums.
  • Als obere Grenze des Integrals ergibt sich $a \approx 7,6$.
  • Die rechte Seite der Gleichung repräsentiert das Volumen, dass das Staubecken noch aufnehmen kann.
(3) $\blacktriangleright$ Interpretierung des Ausdrucks im Sachzusammenhang
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass zum Zeitpunkt $t = 6$ ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet wird. Durch diesen Notablauf fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Becken ab. Der Notablauf bleibt dabei bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet.
Ohne Nachweis darf dabei verwendet werden, dass die Zuflussrate für $6 \leq t \leq 14$ größer und für $14 < t \leq 24$ kleiner als $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ist.
Deine Aufgabe ist es nun, den Ausdruck
$$\displaystyle\int_{0}^{6} f(t) \mathrm dt + \displaystyle\int_{6}^{14} \left(f(t) - 600\right) \mathrm dt$$
im Sachzusammenhang zu interpretieren und dabei besonders auf den Zeitpunkt $t = 14$ einzugehen. Führe dir bei der Interpretation folgendes vor Augen:
  • Es wird im Zeitraum $0 \leq t \leq 6$ und $6 \leq t \leq 14$ über $f$ integriert.
  • Ab dem Zeitpunkt $t = 6$ ist der Notablauf geöffnet. Dann fließt Wasser mit einer konstanten Rate von $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Staubecken ab.
  • Ab dem Zeitpunkt $t = 14$ ist die Zuflussrate kleiner als $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.
(4) $\blacktriangleright$ Entscheiden, ob das Staubecken überläuft
Nun sollst du entscheiden, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft. Willst du dies entscheiden, so musst du herausfinden, wie viel Wasser maximal im Beobachtungszeitraum in das Staubecken hineinfließen. Liegt diese Zahl dann unter $4.500\,\text{m}^3$, so läuft das Staubecken nicht über.
Da du weißt, dass $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ Wasser nach dem Zeitpunkt $t = 6$ aus dem Staubecken abfließen, repräsentiert ab diesem Zeitpunkt die Funktion $f^{\ast}$ mit
$$f^{\ast}(t) = f(t) - 600$$
die Zuflussrate in den Bach. Über diese Funktion $f$ weißt du, dass diese vor dem Zeitpunkt $t = 14$ Werte größer $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ und nach dem Zeitpunkt $t = 14$ Werte kleiner $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ annimmt. Für die Funktion $f^{\ast}$ bedeutet dies, dass diese am Zeitpunkt $t = 14$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von $+$ zu $-$ besitzt.
Betrachtest du dazu nun eine Stammfunktion $F^{\ast}$ von $f^{\ast}$, die das Wasservolumen zwischen $t = 6$ und $t = 14$ angibt, besitzt diese zum Zeitpunkt $t = 14$ eine Maximalstelle. Nach dieser Maximalstelle nimmt das Wasservolumen ab und bis zu dieser Maximalstelle nimmt das Wasservolumen zu.
Willst du also entscheiden, ob das Staubecken überläuft, berechnest du also das maximale Volumen im Staubecken. Berechne dazu den im Aufgabenteil zuvor gegeben Ausdruck. Verwende dabei entweder deinen GTR oder berechne von Hand.
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a) (1) $\blacktriangleright$ Berechnen der Zuflussrate zu Beginn und am Ende der Beobachtung
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass in ein Staubecken ein Bach hineinfließt. Nach Regenfällen kann die momentane Zuflussrate aus dem Bach durch die Funktion $f$ für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden.
Die Funktion $f$ ist für $t \in \mathbb R$ wie folgt angegeben:
  • $f(t) = \frac{1}{4} \cdot t^3 - 12 \cdot t^2 + 144 \cdot t + 250$
$t$ ist dabei in Stunden (h) angegeben. Die Funktionswerte $f(t)$ beschreiben die Zuflussrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt $t = 0$ und endet zum Zeitpunkt $t = 24$.
Deine Aufgabe ist es nun, die Zuflussrate zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums zu bestimmen. Von oben weißt du, dass die Beobachtung zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ startet und zum Zeitpunkt $t_2 = 24$ endet.
Willst du diese Aufgabe lösen, so berechnest du die Funktionswerte von $f$ an diesen Zeitpunkten.
Zuflussrate am Beobachtungsbeginn $t_1 = 0$:
$f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^3 - 12 \cdot 0^2 + 144 \cdot 0 + 250 = 250$.
Zuflussrate am Beobachtungsende $t_2 = 24$:
$\begin{array}{rll} f(0)&=&\frac{1}{4} \cdot 24^3 - 12 \cdot 24^2 + 144 \cdot 24 + 250 = 3.456 - 6.912 + 3.456 + 250\\ &=&250\\ \end{array}$
Die Zuflussrate ist zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums $250\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.
(2) $\blacktriangleright$ Bestimmen des Zeitpunkts, an dem die Zuflussrate maximal ist
Nun sollst du hier jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum bestimmen, bei dem die Zuflussrate ihr Maximum annimmt.
Du weißt, an einer bestimmten Stelle $t_M$ liegt genau dann ein Maximum vor, wenn folgende Bedingungen an dieser erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $f'(t_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(t_M) < 0$
Bilde also zunächst die ersten beiden Ableitungen von $f$ und ermittle über Auswerten der oben gegebenen Bedingungen die gesuchte Maximalstelle im Intervall.
Da hier aber ein abgeschlossenes Intervall angegeben ist, musst du hier die Randstellen von $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$ untersuchen, um das globale Maximum im gegebenen Intervall zu ermitteln. Vergleiche dazu die Funktionswerte von $f$ an den Randstellen und beim ermittelten Maximum.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  1. Bestimme die benötigten Ableitungsfunktionen $f$ und $f''$.
  2. Bestimme über die notwendige und hinreichende Bedingung die Maximalstellen von $f$.
  3. Untersuche die Funktionswerte an den Rand- und Maximalstellen.
1. Schritt: Bestimmen der Ableitungsfunktionen
Für $f'$ und $f''$ ergibt sich hier:
$f'(t) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot t^2 - 2 \cdot 12 \cdot t + 144 = \frac{3}{4} \cdot t^2 - 24\cdot t +144$
$f''(t) =2 \cdot \frac{3}{4} \cdot t - 24 = \frac{3}{2} \cdot t - 24$
2. Schritt: Maximalstellen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Bestimme zunächst die Nullstellen von $f'$, um die potentiellen Extremstellen von $f$ zu bestimmen:
$\begin{array}{rll} f'(t)&=&0\\ 0&=&\frac{3}{4} \cdot t^2 - 24\cdot t +144\\ \end{array}$
Hier liegt eine quadratische Gleichung vor, löse diese mit Hilfe der $p$-$q$- oder der Mitternachtsformel.
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel:
$\begin{array}{rll} 0&=&\frac{3}{4} \cdot t^2 - 24\cdot t +144&\scriptsize{ \mid\; \cdot \frac{4}{3}}\\ 0&=&t^2 - 32 \cdot t +192\\ t_{1,2}&=&-\left(-\frac{32}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{32}{2}\right)^2 - 192}\\ &=&16 \pm \sqrt{256 - 192}\\ &=&16 \pm \sqrt{64}\\ t_1&=&16 - 8 = 8\\ t_2&=&16 + 8 = 24\\ \end{array}$
Mitternachtsformel:
$\begin{array}{rll} 0&=&\frac{3}{4} \cdot t^2 - 24\cdot t +144\\ t_{1,2}&=&\dfrac{-\left(-24\right) \pm \sqrt{\left(24\right)^2 - 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot 144}}{2 \cdot \frac{3}{4}}\\ &=&\dfrac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{\frac{3}{2}}\\ &=&\dfrac{2 \cdot \left(24 \pm \sqrt{144}\right)}{3}\\ t_1&=&\dfrac{2 \cdot 12}{3}=8\\ t_2&=&\dfrac{2 \cdot 36}{3}=24\\ \end{array}$
Als potentielle Extremstellen ergeben sich also $t_1 = 8$ und $t_2 = 24$.
Überprüfe nun die hinreichende Bedingung bei $t_1$ und $t_2$, um festzustellen, an welcher dieser Stellen eine Maximalstelle vorliegt.
$\begin{array}{rll} f''(t_1)&=&\frac{3}{2} \cdot 8 - 24 = -12 \\ f''(t_2)&=&\frac{3}{2} \cdot 24 - 24 = 12 \\ \end{array}$
Bei $t_1 = 8$ liegt also eine Maximalstelle der Funktion $f$ vor.
3. Schritt: Überprüfen der Randstellen des Intervalls
Im ersten Aufgabenteil dieser Teilaufgabe hast du bestimmt, dass für die Funktionswerte von $f$ an den Randstellen folgendes gilt:
$f(0) = f(24) = 250$.
Berechne nun den Funktionswert bei $t_1 = 8$, um zu überprüfen, ob an dieser Stelle auch ein globales Maximum vorliegt:
$\begin{array}{rll} f(t_1)&=&\frac{1}{4} \cdot 8^3 - 12 \cdot 8^2 + 144 \cdot 8 + 250 = 128 -768 + 1.152 + 250 = 762\\ \end{array}$
Da $f(t_1) > f(0)$ und $f(t_1) > f(24)$ gilt, liegt bei $t_2$ ein globales Maximum vor.
Die hier gesuchte Maximalstelle liegt also bei $t_1 = 8$ mit einem Funktionswert von $f(t_1) = 762$. Weiterhin wurde gezeigt, dass dieses Maximum ein globales ist.
b) (1) $\blacktriangleright$ Bestimmen der Wendestelle von $\boldsymbol{f}$
Hier ist es deine Aufgabe die Wendestelle der Funktion $f$ zu bestimmen. Da eine Wendestelle einem Extremum der ersten Ableitung der betrachteten Funktion entspricht, müssen hier die ersten drei Ableitungen von $f$ betrachtet werden.
Beachte dabei, dass du die ersten beiden Ableitungen $f'$ und $f''$ bereits im vorhergegangenen Aufgabenteil bestimmt hast. Liegt dann an einer bestimmten Stelle $t_W$ von $f$ eine Wendestelle vor, so sind an dieser Stelle folgende Bedingungen erfüllt:
  • Notwendige Bedingung: $f''(t_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(t_W) \neq 0$
Bestimme hier also zunächst die benötigten Ableitungsfunktionen, um dann mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingung die Wendestelle von $f$ zu bestimmen.
1. Schritt: Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion von $\boldsymbol{f}$
Mit Hilfe der zweiten Ableitungsfunktion von $f$, welche du im vorherigen Aufgabenteil bestimmt hast, ergibt sich $f'''$ zu:
$\begin{array}{rll} f''(t)&=&\frac{3}{2} \cdot t - 24 \\ f'''(t)&=&\frac{3}{2}\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Wendestelle von $\boldsymbol{f}$
Bestimme nun die Wendestelle von $f$, indem du zunächst die Nullstellen (notwendige Bedingung) von $f''$ bestimmst:
$\begin{array}{rll} f''(t)&=&0\\ 0&=&\frac{3}{2} \cdot t - 24&\scriptsize{\mid + 24}\\ 24&=&\frac{3}{2} \cdot t&\scriptsize {\mid \cdot \frac{2}{3}}\\ t_W&=& 16\\ \end{array}$
Da für $f'''$:
$f'''(t) = \frac{3}{2} \neq 0$
für alle $t \in \mathbb R$ gilt, liegt eine Wendestelle der Funktion $f$ bei $t_W = 16$ vor.
(2) + (3) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt an dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert
Nun sollst du jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraums bestimmen, zu dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert. Der Zeitpunkt, an dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert ist ein Punkt mit extremaler Steigung.
Rein intuitiv würde man sagen, dieser Punkt ist schon gefunden und entspricht dem Wendepunkt der Funktion $f$. Da $f$ hier jedoch auf einem abgeschlossenen Intervall untersucht wird, müssen hier, wie auch schon zuvor, die Randstellen des Intervalls untersucht werden.
Willst du also die den Zeitpunkt bestimmen, an dem sich die Zuflussrate im Zeitraum am stärksten ändert, so gehe hier so vor:
  1. Bestimme die Steigung im Wendepunkt
  2. Bestimme die Steigung an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$
  3. Vergleiche die Steigungen und bestimme das globale Extremum der Steigung. Dies liegt dann in dem Punkt, mit dem betragsmäßig größten Steigung
1. Schritt: Bestimmen der Steigung an der Wende- und den Randstellen
Setze nun $t_1 = 0$, $t_2 = 24$ und $t_W = 16$ in $f'$ ein, um die Steigung der Zuflussrate in diesen Zeitpunkten zu bestimmen:
$\begin{array}{rll} f'(0)&=&\frac{3}{4} \cdot 0^2 - 24\cdot 0 +144 = 144\\ f'(24)&=&\frac{3}{4} \cdot 24^2 - 24 \cdot 24 + 144 = 0\\ f'(16)&=&\frac{3}{4} \cdot 16^2 - 24 \cdot 16 + 144 = -48\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Stelle mit betragsmäßig größter Steigung
Um nun die Stelle mit der betragsmäßig größten Steigung zu berechnen, musst du dir die oben berechneten Steigungen noch einmal etwas genauer ansehen. Du siehst, dass die Steigung an der Wendestelle $t_W$ betragsmäßig kleiner ist wie die Steigungen bei $t_1$. Die Steigung bei $t_2 = 24$ ist sogar betragsmäßig kleiner als bei $t_1$ und $t_W$.
Es folgt also, dass der Zeitpunkt an dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert bei $t = 0$ liegt.
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Zusammenhang angeben
Der Zeitpunkt an dem sich die Zuflussrate lokal am stärksten ändert ist der Wendepunkt. Das heißt dieser Zeitpunkt liegt bei $t_W = 16$ vor. Die Wendestelle entspricht also jener Stelle, an dem sich die Zuflussrate lokal am stärksten innerhalb des Betrachtungszeitraums $0 < t < 24$ ändert.
(4) $\blacktriangleright$ Zeitraum angeben, in dem Funktion $\boldsymbol{f}$ Zuflussrate nicht sinnvoll beschreibt
Hier sollst du nun einen Zeitraum angeben, in dem die Funktion $f$ die Zuflussrate aus dem Bach nicht sinnvoll beschreiben könnte. Nun betrachtest du also Funktion $f$ auch außerhalb des gegebenen Beobachtungszeitraums.
Bevor du diese Aufgabe lösen kannst, musst du zunächst wissen, was eine nicht sinnvolle Beschreibung der Zuflussrate hier bedeuten könnte. Nimmt die Funktion $f$ nämlich für eine Stelle einen Wert kleiner Null an, so würde das bedeuten, dass Wasser durch den Bach ablaufen würde, was in diesem Zusammenhang alles andere als sinnvoll wäre.
Du suchst also einen Bereich, indem der Graph von $f$ unterhalb der $t$-Achse verläuft. Willst du einen solchen Bereich bestimmen, so musst du zunächst die Nullstellen von $f$ bestimmen. Verwende dazu deinen GTR.
Hast du die Nullstellen von $f$ bestimmt, so musst du das Verhalten des Graphen von $f$ im Bereich dieser Nullstellen betrachten. Hast du eine Nullstelle gefunden, bei welcher der Graph von $f$ entweder davor oder danach unterhalb der $t$-Achse verläuft, so hast du hier einen Bereich gefunden, in welchem $f$ die Zuflussrate nicht sinnvoll beschreiben könnte.
Gehe also so vor:
  1. Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$
  2. Untersuche das Verhalten von $f$ im Bereich der Nullstellen
1. Schritt: Bestimmen der Nullstellen von $\boldsymbol{f}$
Willst du die Nullstellen von $f$ bestimmen, so überträgst du zunächst den Funktionsterm von $f$ in das Y=-Menü deines GTR. Lasse dir anschließend mit GRAPH den Graphen der Funktion $f$ anzeigen und bestimme dann über
2nd $\to$ TRACE (CALC) $\to$ 2: zero
die Nullstellen.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Funktion $f$ besitzt also eine Nullstelle bei $t_N = -1,534$.
2. Schritt: Untersuchen des Verhalten von $\boldsymbol{f}$ im Bereich der Nullstellen
Berechnest du nun beispielsweise den Funktionswert von $t = -2$ so ergibt sich hier ein negativer Funktionswert von $f$:
$f(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^3 - 12 \cdot (-2)^2 + 144 \cdot (-2) + 250 = -2 - 48 - 288 + 250 = -88$
Das heißt zum Zeitpunkt $t = -2$ (22 Uhr am Vortag) würde Wasser aus dem Staubecken in den Bach abfließen. Da dies im Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist, bedeutet das, dass $f$ die Zuflussrate aus dem Bach für $t < -1,534$ nicht sinnvoll beschreiben könnte.
c) (1) $\blacktriangleright$ Entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aufnehmen kann
Du weißt, dass das Staubecken zum Zeitpunkt $t = 0$ noch $4.500\,\text{m}^3$ Wasser aufnehmen kann. Deine Aufgabe ist es nun, zu entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus dem Bach während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
Da Funktion $f$ die Zuflussrate beschreibt, repräsentiert das Integral über diese Funktion, das Volumen des Wassers, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt. Willst du hier bestimmen, welches Volumen das Wasser besitzt, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt, so musst du hier über $f$ über den gesamten Beobachtungszeitraum $\left(t \in \left[0;24\right]\right)$ integrieren.
Dabei gibt es zwei Lösungswege. Die Lösung von Hand und die Lösung mit deinem GTR. Beachte beim Lösen von Hand, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser in das Staubecken geflossen ist und die berechnete Stammfunktion dementsprechend anpassen musst.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösen von Hand
Bestimme das unbestimmte Integral über $f$, um eine Stammfunktion $F$ zu ermitteln:
$\begin{array}{rll} F(t)&=&\displaystyle\int\left(f(t)\right)\mathrm dt = \displaystyle\int\left( \frac{1}{4} \cdot t^3 - 12 \cdot t^2 + 144 \cdot t + 250\right)\mathrm dt\\ &=&\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot t^4 - \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot t^3 + \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot t^2 + 250 \cdot t + C\\ &=&\frac{1}{16} \cdot t^4 - 4 \cdot t^3 + 72 \cdot t^2 + 250 \cdot t + C\\ \end{array}$
Bestimme nun die Integrationskonstante $C$ so, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser ins Staubecken geflossen ist. Setze also $F(0) = 0$:
$\begin{array}{rll} F(0)&=&0\\ 0&=&\frac{1}{16} \cdot 0^4 - 4 \cdot 0^3 + 72 \cdot 0^2 + 250 \cdot 0 + C\\ 0&=&C\\ \end{array}$
Die hier zu betrachtende Stammfunktion von $f$ ist also:
$F(t) = \frac{1}{16} \cdot t^4 - 4 \cdot t^3 + 72 \cdot t^2 + 250 \cdot t$.
Integriere nun über den Beobachtungszeitraum, um entscheiden zu können, ob das Staubecken das Wasser aufnehmen kann. Setze dazu die Grenzen der Integration auf $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$:
$\begin{array}{rll} I&=&\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \left(f(t)\right)\mathrm dt = \left[F(t)\right]_0^{24} = F(24) - F(0)\\ &=&\frac{1}{16} \cdot 24^4 - 4 \cdot 24^3 + 72 \cdot 24^2 + 250 \cdot 24 - \left(\frac{1}{16} \cdot 0^4 - 4 \cdot 0^3 + 72 \cdot 0^2 + 250 \cdot 0\right)\\ &=&20.736 - 55.296 + 41.472 + 6.000 - 0\\ &=&12.912\\ \end{array}$
Innerhalb des Beobachtungszeitraums fließen $12.912\,\text{m}^3$ Wasser in das Staubecken. Das Staubecken kann als das nach fließende Wasser nicht aufnehmen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über GRAPH anzeigen.
Bestimme dann über
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 7:$\displaystyle\int$f(x)dx
das Integral über $f$ in den Grenzen des Beobachtungsintervalls.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Innerhalb des Beobachtungszeitraums fließen $12.912\,\text{m}^3$ Wasser in das Staubecken. Das Staubecken kann als das nach fließende Wasser nicht aufnehmen.
(2) $\blacktriangleright$ Angeben der Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang
In dieser Teilaufgabe hast du die die Gleichung
$\displaystyle\int_{0}^{a}\left(f(t)\right)\mathrm dt = 4.500$
mit der positiven Lösung $a \approx 7,6$ gegeben. Deine Aufgabe ist es dabei, die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang anzugeben.
Mach dir dazu zunächst klar, was die Gleichung ausdrückt:
  • Es wird wieder über die Funktion $f$ integriert.
  • Die untere Grenze entspricht dem Anfang des Beobachtungszeitraums.
  • Als obere Grenze des Integrals ergibt sich $a \approx 7,6$.
  • Die rechte Seite der Gleichung repräsentiert das Volumen, dass das Staubecken noch aufnehmen kann.
Mit dieser Gleichung wird jener Zeitpunkt bestimmt, an welchem das Wasser, welches in das Staubecken geflossen ist, ein Volumen von $4.500\,\text{m}^3$ erreicht. Das heißt, ab dem Zeitpunkt $t \approx 7,6$ ist das Staubecken am überlaufen.
(3) $\blacktriangleright$ Interpretierung des Ausdrucks im Sachzusammenhang
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass zum Zeitpunkt $t = 6$ ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet wird. Durch diesen Notablauf fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Becken ab. Der Notablauf bleibt dabei bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet.
Ohne Nachweis darf dabei verwendet werden, dass die Zuflussrate für $6 \leq t \leq 14$ größer und für $14 < t \leq 24$ kleiner als $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ist.
Deine Aufgabe ist es nun, den Ausdruck
$$\displaystyle\int_{0}^{6} f(t) \mathrm dt + \displaystyle\int_{6}^{14} \left(f(t) - 600\right) \mathrm dt$$
im Sachzusammenhang zu interpretieren und dabei besonders auf den Zeitpunkt $t = 14$ einzugehen. Führe dir bei der Interpretation folgendes vor Augen:
  • Es wird im Zeitraum $0 \leq t \leq 6$ und $6 \leq t \leq 14$ über $f$ integriert.
  • Ab dem Zeitpunkt $t = 6$ ist der Notablauf geöffnet. Dann fließt Wasser mit einer konstanten Rate von $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Staubecken ab.
  • Ab dem Zeitpunkt $t = 14$ ist die Zuflussrate kleiner als $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.
Das erste Integral beschreibt den Zufluss aus dem Bach vor dem Öffnen des Notablaufs. Es fließt also bis zum Zeitpunkt $t = 6$ nach $f$ Wasser in das Staubecken. Nach dem Zeitpunkt $t = 6$ läuft Wasser aus dem Staubecken ab. Dies repräsentiert der Ausdruck $f(t) - 600$. Hier wird bis zum Zeitpunkt $t = 14$ integriert. Diese Grenze ist so gewählt, da man weiß, dass die Zuflussrate ab dem Zeitpunkt $t = 14$ kleiner als $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Das heißt, nach dem Zeitpunkt würde das Integral negative Werte annehmen, was bedeutet, dass nach dem Zeitpunkt $t = 14$ Wasser aus dem Becken abfließt.
Die Summe beschreibt hier also den gesamten Zufluss in das Staubecken, bis das Wasser ab dem Zeitpunkt $t = 14$ abfließt.
(4) $\blacktriangleright$ Entscheiden, ob das Staubecken überläuft
Nun sollst du entscheiden, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft. Willst du dies entscheiden, so musst du herausfinden, wie viel Wasser maximal im Beobachtungszeitraum in das Staubecken hineinfließen. Liegt diese Zahl dann unter $4.500\,\text{m}^3$, so läuft das Staubecken nicht über.
Da du weißt, dass $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ Wasser nach dem Zeitpunkt $t = 6$ aus dem Staubecken abfließen, repräsentiert ab diesem Zeitpunkt die Funktion $f^{\ast}$ mit
$$f^{\ast}(t) = f(t) - 600$$
die Zuflussrate in den Bach. Über diese Funktion $f$ weißt du, dass diese vor dem Zeitpunkt $t = 14$ Werte größer $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ und nach dem Zeitpunkt $t = 14$ Werte kleiner $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ annimmt. Für die Funktion $f^{\ast}$ bedeutet dies, dass diese am Zeitpunkt $t = 14$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von $+$ zu $-$ besitzt.
Betrachtest du dazu nun eine Stammfunktion $F^{\ast}$ von $f^{\ast}$, die das Wasservolumen zwischen $t = 6$ und $t = 14$ angibt, besitzt diese zum Zeitpunkt $t = 14$ eine Maximalstelle. Nach dieser Maximalstelle nimmt das Wasservolumen ab und bis zu dieser Maximalstelle nimmt das Wasservolumen zu.
Willst du also entscheiden, ob das Staubecken überläuft, berechnest du also das maximale Volumen im Staubecken. Berechne dazu den im Aufgabenteil zuvor gegeben Ausdruck. Verwende dabei entweder deinen GTR oder berechne von Hand.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Berechnen von Hand
Berechne die Summanden der oben gegebenen Summe separat. Für den ersten Summanden kannst du die oben bestimmte Stammfunktion $F$ von $f$ verwenden:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{6}f(t)\mathrm dt&=&\left[F(t)\right]_0^6 = F(6) - F(0)\\ &=&\frac{1}{16} \cdot 6^4 - 4 \cdot 6^3 + 72 \cdot 6^2 + 250 \cdot 6 - \left(\frac{1}{16} \cdot 0^4 - 4 \cdot 0^3 + 72 \cdot 0^2 + 250 \cdot 0\right)\\ &=&3.309 \end{array}$
Für den zweiten Summanden zu berechnen, musst du über $f(t)- 600$ integrieren:
$\begin{array}{rrl@{\hspace{1cm}}l} \displaystyle\int_{6}^{14}\left(f(t)- 600\right)\mathrm dt&=&\left[F(t) - 600 \cdot t\right]_6^{14} = F(14) - F(6)\\ &=&\frac{1}{16} \cdot 14^4 - 4 \cdot 14^3 + 72 \cdot 14^2 + 250 \cdot 14 - 600 \cdot 14\\ &+&\frac{1}{16} \cdot 6^4 - 4 \cdot 6^3 + 72 \cdot 6^2 + 250 \cdot 6 - 600 \cdot 6\\ &=&637 + 291 = 928\\ \end{array}$
Nach dem Öffnen des Notablaufs befinden sich also maximal
$$3.309 + 928 = 4.237\,\text{m}^3$$
Wasser im Staubecken, weswegen dieses nicht überläuft.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Berechnen mit dem GTR
Speichere $f$ und $f^{\ast}$ im Y=-Menü deines GTR ab und berechne wie oben die hier gesuchten Integrale.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Nach dem Öffnen des Notablaufs befinden sich also maximal
$$3.309 + 928 = 4.237\,\text{m}^3$$
Wasser im Staubecken, weswegen dieses nicht überläuft.
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a) (1) $\blacktriangleright$ Berechnen der Zuflussrate zu Beginn und am Ende der Beobachtung
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass in ein Staubecken ein Bach hineinfließt. Nach Regenfällen kann die momentane Zuflussrate aus dem Bach durch die Funktion $f$ für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden.
Die Funktion $f$ ist für $t \in \mathbb R$ wie folgt angegeben:
  • $f(t) = \frac{1}{4} \cdot t^3 - 12 \cdot t^2 + 144 \cdot t + 250$
$t$ ist dabei in Stunden (h) angegeben. Die Funktionswerte $f(t)$ beschreiben die Zuflussrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt $t = 0$ und endet zum Zeitpunkt $t = 24$.
Deine Aufgabe ist es nun, die Zuflussrate zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums zu bestimmen. Von oben weißt du, dass die Beobachtung zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ startet und zum Zeitpunkt $t_2 = 24$ endet.
Willst du diese Aufgabe lösen, so berechnest du die Funktionswerte von $f$ an diesen Zeitpunkten.
Zuflussrate am Beobachtungsbeginn $t_1 = 0$:
$f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^3 - 12 \cdot 0^2 + 144 \cdot 0 + 250 = 250$.
Zuflussrate am Beobachtungsende $t_2 = 24$:
$\begin{array}{rll} f(0)&=&\frac{1}{4} \cdot 24^3 - 12 \cdot 24^2 + 144 \cdot 24 + 250 = 3.456 - 6.912 + 3.456 + 250\\ &=&250\\ \end{array}$
Die Zuflussrate ist zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums $250\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.
(2) $\blacktriangleright$ Bestimmen des Zeitpunkts, an dem die Zuflussrate maximal ist
Nun sollst du hier jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum bestimmen, bei dem die Zuflussrate ihr Maximum annimmt.
Du weißt, an einer bestimmten Stelle $t_M$ liegt genau dann ein Maximum vor, wenn folgende Bedingungen an dieser erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $f'(t_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(t_M) < 0$
Bilde also zunächst die ersten beiden Ableitungen von $f$ und ermittle über Auswerten der oben gegebenen Bedingungen die gesuchte Maximalstelle im Intervall.
Da hier aber ein abgeschlossenes Intervall angegeben ist, musst du hier die Randstellen von $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$ untersuchen, um das globale Maximum im gegebenen Intervall zu ermitteln. Vergleiche dazu die Funktionswerte von $f$ an den Randstellen und beim ermittelten Maximum.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  1. Bestimme die benötigten Ableitungsfunktionen $f$ und $f''$.
  2. Bestimme über die notwendige und hinreichende Bedingung die Maximalstellen von $f$.
  3. Untersuche die Funktionswerte an den Rand- und Maximalstellen.
1. Schritt: Bestimmen der Ableitungsfunktionen
Für $f'$ und $f''$ ergibt sich hier:
$f'(t) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot t^2 - 2 \cdot 12 \cdot t + 144 = \frac{3}{4} \cdot t^2 - 24\cdot t +144$
$f''(t) =2 \cdot \frac{3}{4} \cdot t - 24 = \frac{3}{2} \cdot t - 24$
2. Schritt: Maximalstellen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Bestimme zunächst die Nullstellen von $f'$, um die potentiellen Extremstellen von $f$ zu bestimmen:
$\begin{array}{rll} f'(t)&=&0\\ 0&=&\frac{3}{4} \cdot t^2 - 24\cdot t +144\\ \end{array}$
Hier liegt eine quadratische Gleichung vor, löse diese mit Hilfe der $p$-$q$- oder der Mitternachtsformel.
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel:
$\begin{array}{rll} 0&=&\frac{3}{4} \cdot t^2 - 24\cdot t +144&\scriptsize{ \mid\; \cdot \frac{4}{3}}\\ 0&=&t^2 - 32 \cdot t +192\\ t_{1,2}&=&-\left(-\frac{32}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{32}{2}\right)^2 - 192}\\ &=&16 \pm \sqrt{256 - 192}\\ &=&16 \pm \sqrt{64}\\ t_1&=&16 - 8 = 8\\ t_2&=&16 + 8 = 24\\ \end{array}$
Mitternachtsformel:
$\begin{array}{rll} 0&=&\frac{3}{4} \cdot t^2 - 24\cdot t +144\\ t_{1,2}&=&\dfrac{-\left(-24\right) \pm \sqrt{\left(24\right)^2 - 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot 144}}{2 \cdot \frac{3}{4}}\\ &=&\dfrac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{\frac{3}{2}}\\ &=&\dfrac{2 \cdot \left(24 \pm \sqrt{144}\right)}{3}\\ t_1&=&\dfrac{2 \cdot 12}{3}=8\\ t_2&=&\dfrac{2 \cdot 36}{3}=24\\ \end{array}$
Als potentielle Extremstellen ergeben sich also $t_1 = 8$ und $t_2 = 24$.
Überprüfe nun die hinreichende Bedingung bei $t_1$ und $t_2$, um festzustellen, an welcher dieser Stellen eine Maximalstelle vorliegt.
$\begin{array}{rll} f''(t_1)&=&\frac{3}{2} \cdot 8 - 24 = -12 \\ f''(t_2)&=&\frac{3}{2} \cdot 24 - 24 = 12 \\ \end{array}$
Bei $t_1 = 8$ liegt also eine Maximalstelle der Funktion $f$ vor.
3. Schritt: Überprüfen der Randstellen des Intervalls
Im ersten Aufgabenteil dieser Teilaufgabe hast du bestimmt, dass für die Funktionswerte von $f$ an den Randstellen folgendes gilt:
$f(0) = f(24) = 250$.
Berechne nun den Funktionswert bei $t_1 = 8$, um zu überprüfen, ob an dieser Stelle auch ein globales Maximum vorliegt:
$\begin{array}{rll} f(t_1)&=&\frac{1}{4} \cdot 8^3 - 12 \cdot 8^2 + 144 \cdot 8 + 250 = 128 -768 + 1.152 + 250 = 762\\ \end{array}$
Da $f(t_1) > f(0)$ und $f(t_1) > f(24)$ gilt, liegt bei $t_2$ ein globales Maximum vor.
Die hier gesuchte Maximalstelle liegt also bei $t_1 = 8$ mit einem Funktionswert von $f(t_1) = 762$. Weiterhin wurde gezeigt, dass dieses Maximum ein globales ist.
b) (1) $\blacktriangleright$ Bestimmen der Wendestelle von $\boldsymbol{f}$
Hier ist es deine Aufgabe die Wendestelle der Funktion $f$ zu bestimmen. Da eine Wendestelle einem Extremum der ersten Ableitung der betrachteten Funktion entspricht, müssen hier die ersten drei Ableitungen von $f$ betrachtet werden.
Beachte dabei, dass du die ersten beiden Ableitungen $f'$ und $f''$ bereits im vorhergegangenen Aufgabenteil bestimmt hast. Liegt dann an einer bestimmten Stelle $t_W$ von $f$ eine Wendestelle vor, so sind an dieser Stelle folgende Bedingungen erfüllt:
  • Notwendige Bedingung: $f''(t_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(t_W) \neq 0$
Bestimme hier also zunächst die benötigten Ableitungsfunktionen, um dann mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingung die Wendestelle von $f$ zu bestimmen.
1. Schritt: Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion von $\boldsymbol{f}$
Mit Hilfe der zweiten Ableitungsfunktion von $f$, welche du im vorherigen Aufgabenteil bestimmt hast, ergibt sich $f'''$ zu:
$\begin{array}{rll} f''(t)&=&\frac{3}{2} \cdot t - 24 \\ f'''(t)&=&\frac{3}{2}\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Wendestelle von $\boldsymbol{f}$
Bestimme nun die Wendestelle von $f$, indem du zunächst die Nullstellen (notwendige Bedingung) von $f''$ bestimmst:
$\begin{array}{rll} f''(t)&=&0\\ 0&=&\frac{3}{2} \cdot t - 24&\scriptsize{\mid + 24}\\ 24&=&\frac{3}{2} \cdot t&\scriptsize {\mid \cdot \frac{2}{3}}\\ t_W&=& 16\\ \end{array}$
Da für $f'''$:
$f'''(t) = \frac{3}{2} \neq 0$
für alle $t \in \mathbb R$ gilt, liegt eine Wendestelle der Funktion $f$ bei $t_W = 16$ vor.
(2) + (3) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt an dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert
Nun sollst du jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraums bestimmen, zu dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert. Der Zeitpunkt, an dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert ist ein Punkt mit extremaler Steigung.
Rein intuitiv würde man sagen, dieser Punkt ist schon gefunden und entspricht dem Wendepunkt der Funktion $f$. Da $f$ hier jedoch auf einem abgeschlossenen Intervall untersucht wird, müssen hier, wie auch schon zuvor, die Randstellen des Intervalls untersucht werden.
Willst du also die den Zeitpunkt bestimmen, an dem sich die Zuflussrate im Zeitraum am stärksten ändert, so gehe hier so vor:
  1. Bestimme die Steigung im Wendepunkt
  2. Bestimme die Steigung an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$
  3. Vergleiche die Steigungen und bestimme das globale Extremum der Steigung. Dies liegt dann in dem Punkt, mit dem betragsmäßig größten Steigung
1. Schritt: Bestimmen der Steigung an der Wende- und den Randstellen
Setze nun $t_1 = 0$, $t_2 = 24$ und $t_W = 16$ in $f'$ ein, um die Steigung der Zuflussrate in diesen Zeitpunkten zu bestimmen:
$\begin{array}{rll} f'(0)&=&\frac{3}{4} \cdot 0^2 - 24\cdot 0 +144 = 144\\ f'(24)&=&\frac{3}{4} \cdot 24^2 - 24 \cdot 24 + 144 = 0\\ f'(16)&=&\frac{3}{4} \cdot 16^2 - 24 \cdot 16 + 144 = -48\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Stelle mit betragsmäßig größter Steigung
Um nun die Stelle mit der betragsmäßig größten Steigung zu berechnen, musst du dir die oben berechneten Steigungen noch einmal etwas genauer ansehen. Du siehst, dass die Steigung an der Wendestelle $t_W$ betragsmäßig kleiner ist wie die Steigungen bei $t_1$. Die Steigung bei $t_2 = 24$ ist sogar betragsmäßig kleiner als bei $t_1$ und $t_W$.
Es folgt also, dass der Zeitpunkt an dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert bei $t = 0$ liegt.
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Zusammenhang angeben
Der Zeitpunkt an dem sich die Zuflussrate lokal am stärksten ändert ist der Wendepunkt. Das heißt dieser Zeitpunkt liegt bei $t_W = 16$ vor. Die Wendestelle entspricht also jener Stelle, an dem sich die Zuflussrate lokal am stärksten innerhalb des Betrachtungszeitraums $0 < t < 24$ ändert.
(4) $\blacktriangleright$ Zeitraum angeben, in dem Funktion $\boldsymbol{f}$ Zuflussrate nicht sinnvoll beschreibt
Hier sollst du nun einen Zeitraum angeben, in dem die Funktion $f$ die Zuflussrate aus dem Bach nicht sinnvoll beschreiben könnte. Nun betrachtest du also Funktion $f$ auch außerhalb des gegebenen Beobachtungszeitraums.
Bevor du diese Aufgabe lösen kannst, musst du zunächst wissen, was eine nicht sinnvolle Beschreibung der Zuflussrate hier bedeuten könnte. Nimmt die Funktion $f$ nämlich für eine Stelle einen Wert kleiner Null an, so würde das bedeuten, dass Wasser durch den Bach ablaufen würde, was in diesem Zusammenhang alles andere als sinnvoll wäre.
Du suchst also einen Bereich, indem der Graph von $f$ unterhalb der $t$-Achse verläuft. Willst du einen solchen Bereich bestimmen, so musst du zunächst die Nullstellen von $f$ bestimmen. Verwende dazu deinen GTR.
Hast du die Nullstellen von $f$ bestimmt, so musst du das Verhalten des Graphen von $f$ im Bereich dieser Nullstellen betrachten. Hast du eine Nullstelle gefunden, bei welcher der Graph von $f$ entweder davor oder danach unterhalb der $t$-Achse verläuft, so hast du hier einen Bereich gefunden, in welchem $f$ die Zuflussrate nicht sinnvoll beschreiben könnte.
Gehe also so vor:
  1. Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$
  2. Untersuche das Verhalten von $f$ im Bereich der Nullstellen
1. Schritt: Bestimmen der Nullstellen von $\boldsymbol{f}$
Willst du die Nullstellen von $f$ bestimmen, so überträgst du zunächst den Funktionsterm von $f$ in das Graphs-Menü deines GTR. Lasse dir anschließend mit DRAW den Graphen der Funktion $f$ anzeigen und bestimme dann über
Shift $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ ROOT
die Nullstellen.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Funktion $f$ besitzt also eine Nullstelle bei $t_N = -1,534$.
2. Schritt: Untersuchen des Verhalten von $\boldsymbol{f}$ im Bereich der Nullstellen
Berechnest du nun beispielsweise den Funktionswert von $t = -2$ so ergibt sich hier ein negativer Funktionswert von $f$:
$f(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^3 - 12 \cdot (-2)^2 + 144 \cdot (-2) + 250 = -2 - 48 - 288 + 250 = -88$
Das heißt zum Zeitpunkt $t = -2$ (22 Uhr am Vortag) würde Wasser aus dem Staubecken in den Bach abfließen. Da dies im Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist, bedeutet das, dass $f$ die Zuflussrate aus dem Bach für $t < -1,534$ nicht sinnvoll beschreiben könnte.
c) (1) $\blacktriangleright$ Entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aufnehmen kann
Du weißt, dass das Staubecken zum Zeitpunkt $t = 0$ noch $4.500\,\text{m}^3$ Wasser aufnehmen kann. Deine Aufgabe ist es nun, zu entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus dem Bach während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
Da Funktion $f$ die Zuflussrate beschreibt, repräsentiert das Integral über diese Funktion, das Volumen des Wassers, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt. Willst du hier bestimmen, welches Volumen das Wasser besitzt, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt, so musst du hier über $f$ über den gesamten Beobachtungszeitraum $\left(t \in \left[0;24\right]\right)$ integrieren.
Dabei gibt es zwei Lösungswege. Die Lösung von Hand und die Lösung mit deinem GTR. Beachte beim Lösen von Hand, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser in das Staubecken geflossen ist und die berechnete Stammfunktion dementsprechend anpassen musst.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösen von Hand
Bestimme das unbestimmte Integral über $f$, um eine Stammfunktion $F$ zu ermitteln:
$\begin{array}{rll} F(t)&=&\displaystyle\int\left(f(t)\right)\mathrm dt = \displaystyle\int\left( \frac{1}{4} \cdot t^3 - 12 \cdot t^2 + 144 \cdot t + 250\right)\mathrm dt\\ &=&\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot t^4 - \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot t^3 + \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot t^2 + 250 \cdot t + C\\ &=&\frac{1}{16} \cdot t^4 - 4 \cdot t^3 + 72 \cdot t^2 + 250 \cdot t + C\\ \end{array}$
Bestimme nun die Integrationskonstante $C$ so, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser ins Staubecken geflossen ist. Setze also $F(0) = 0$:
$\begin{array}{rll} F(0)&=&0\\ 0&=&\frac{1}{16} \cdot 0^4 - 4 \cdot 0^3 + 72 \cdot 0^2 + 250 \cdot 0 + C\\ 0&=&C\\ \end{array}$
Die hier zu betrachtende Stammfunktion von $f$ ist also:
$F(t) = \frac{1}{16} \cdot t^4 - 4 \cdot t^3 + 72 \cdot t^2 + 250 \cdot t$.
Integriere nun über den Beobachtungszeitraum, um entscheiden zu können, ob das Staubecken das Wasser aufnehmen kann. Setze dazu die Grenzen der Integration auf $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$:
$\begin{array}{rll} I&=&\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \left(f(t)\right)\mathrm dt = \left[F(t)\right]_0^{24} = F(24) - F(0)\\ &=&\frac{1}{16} \cdot 24^4 - 4 \cdot 24^3 + 72 \cdot 24^2 + 250 \cdot 24 - \left(\frac{1}{16} \cdot 0^4 - 4 \cdot 0^3 + 72 \cdot 0^2 + 250 \cdot 0\right)\\ &=&20.736 - 55.296 + 41.472 + 6.000 - 0\\ &=&12.912\\ \end{array}$
Innerhalb des Beobachtungszeitraums fließen $12.912\,\text{m}^3$ Wasser in das Staubecken. Das Staubecken kann als das nach fließende Wasser nicht aufnehmen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Graphs-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Bestimme dann über
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ 7:$\displaystyle\int$dx
das Integral über $f$ in den Grenzen des Beobachtungsintervalls.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Innerhalb des Beobachtungszeitraums fließen $12.912\,\text{m}^3$ Wasser in das Staubecken. Das Staubecken kann als das nach fließende Wasser nicht aufnehmen.
(2) $\blacktriangleright$ Angeben der Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang
In dieser Teilaufgabe hast du die die Gleichung
$\displaystyle\int_{0}^{a}\left(f(t)\right)\mathrm dt = 4.500$
mit der positiven Lösung $a \approx 7,6$ gegeben. Deine Aufgabe ist es dabei, die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang anzugeben.
Mach dir dazu zunächst klar, was die Gleichung ausdrückt:
  • Es wird wieder über die Funktion $f$ integriert.
  • Die untere Grenze entspricht dem Anfang des Beobachtungszeitraums.
  • Als obere Grenze des Integrals ergibt sich $a \approx 7,6$.
  • Die rechte Seite der Gleichung repräsentiert das Volumen, dass das Staubecken noch aufnehmen kann.
Mit dieser Gleichung wird jener Zeitpunkt bestimmt, an welchem das Wasser, welches in das Staubecken geflossen ist, ein Volumen von $4.500\,\text{m}^3$ erreicht. Das heißt, ab dem Zeitpunkt $t \approx 7,6$ ist das Staubecken am überlaufen.
(3) $\blacktriangleright$ Interpretierung des Ausdrucks im Sachzusammenhang
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass zum Zeitpunkt $t = 6$ ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet wird. Durch diesen Notablauf fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Becken ab. Der Notablauf bleibt dabei bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet.
Ohne Nachweis darf dabei verwendet werden, dass die Zuflussrate für $6 \leq t \leq 14$ größer und für $14 < t \leq 24$ kleiner als $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ist.
Deine Aufgabe ist es nun, den Ausdruck
$$\displaystyle\int_{0}^{6} f(t) \mathrm dt + \displaystyle\int_{6}^{14} \left(f(t) - 600\right) \mathrm dt$$
im Sachzusammenhang zu interpretieren und dabei besonders auf den Zeitpunkt $t = 14$ einzugehen. Führe dir bei der Interpretation folgendes vor Augen:
  • Es wird im Zeitraum $0 \leq t \leq 6$ und $6 \leq t \leq 14$ über $f$ integriert.
  • Ab dem Zeitpunkt $t = 6$ ist der Notablauf geöffnet. Dann fließt Wasser mit einer konstanten Rate von $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Staubecken ab.
  • Ab dem Zeitpunkt $t = 14$ ist die Zuflussrate kleiner als $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.
Das erste Integral beschreibt den Zufluss aus dem Bach vor dem Öffnen des Notablaufs. Es fließt also bis zum Zeitpunkt $t = 6$ nach $f$ Wasser in das Staubecken. Nach dem Zeitpunkt $t = 6$ läuft Wasser aus dem Staubecken ab. Dies repräsentiert der Ausdruck $f(t) - 600$. Hier wird bis zum Zeitpunkt $t = 14$ integriert. Diese Grenze ist so gewählt, da man weiß, dass die Zuflussrate ab dem Zeitpunkt $t = 14$ kleiner als $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Das heißt, nach dem Zeitpunkt würde das Integral negative Werte annehmen, was bedeutet, dass nach dem Zeitpunkt $t = 14$ Wasser aus dem Becken abfließt.
Die Summe beschreibt hier also den gesamten Zufluss in das Staubecken, bis das Wasser ab dem Zeitpunkt $t = 14$ abfließt.
(4) $\blacktriangleright$ Entscheiden, ob das Staubecken überläuft
Nun sollst du entscheiden, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft. Willst du dies entscheiden, so musst du herausfinden, wie viel Wasser maximal im Beobachtungszeitraum in das Staubecken hineinfließen. Liegt diese Zahl dann unter $4.500\,\text{m}^3$, so läuft das Staubecken nicht über.
Da du weißt, dass $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ Wasser nach dem Zeitpunkt $t = 6$ aus dem Staubecken abfließen, repräsentiert ab diesem Zeitpunkt die Funktion $f^{\ast}$ mit
$$f^{\ast}(t) = f(t) - 600$$
die Zuflussrate in den Bach. Über diese Funktion $f$ weißt du, dass diese vor dem Zeitpunkt $t = 14$ Werte größer $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ und nach dem Zeitpunkt $t = 14$ Werte kleiner $600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ annimmt. Für die Funktion $f^{\ast}$ bedeutet dies, dass diese am Zeitpunkt $t = 14$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von $+$ zu $-$ besitzt.
Betrachtest du dazu nun eine Stammfunktion $F^{\ast}$ von $f^{\ast}$, die das Wasservolumen zwischen $t = 6$ und $t = 14$ angibt, besitzt diese zum Zeitpunkt $t = 14$ eine Maximalstelle. Nach dieser Maximalstelle nimmt das Wasservolumen ab und bis zu dieser Maximalstelle nimmt das Wasservolumen zu.
Willst du also entscheiden, ob das Staubecken überläuft, berechnest du also das maximale Volumen im Staubecken. Berechne dazu den im Aufgabenteil zuvor gegeben Ausdruck. Verwende dabei entweder deinen GTR oder berechne von Hand.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Berechnen von Hand
Berechne die Summanden der oben gegebenen Summe separat. Für den ersten Summanden kannst du die oben bestimmte Stammfunktion $F$ von $f$ verwenden:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{6}f(t)\mathrm dt&=&\left[F(t)\right]_0^6 = F(6) - F(0)\\ &=&\frac{1}{16} \cdot 6^4 - 4 \cdot 6^3 + 72 \cdot 6^2 + 250 \cdot 6 - \left(\frac{1}{16} \cdot 0^4 - 4 \cdot 0^3 + 72 \cdot 0^2 + 250 \cdot 0\right)\\ &=&3.309 \end{array}$
Für den zweiten Summanden zu berechnen, musst du über $f(t)- 600$ integrieren:
$\begin{array}{rrl@{\hspace{1cm}}l} \displaystyle\int_{6}^{14}\left(f(t)- 600\right)\mathrm dt&=&\left[F(t) - 600 \cdot t\right]_6^{14} = F(14) - F(6)\\ &=&\frac{1}{16} \cdot 14^4 - 4 \cdot 14^3 + 72 \cdot 14^2 + 250 \cdot 14 - 600 \cdot 14\\ &+&\frac{1}{16} \cdot 6^4 - 4 \cdot 6^3 + 72 \cdot 6^2 + 250 \cdot 6 - 600 \cdot 6\\ &=&637 + 291 = 928\\ \end{array}$
Nach dem Öffnen des Notablaufs befinden sich also maximal
$$3.309 + 928 = 4.237\,\text{m}^3$$
Wasser im Staubecken, weswegen dieses nicht überläuft.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Berechnen mit dem GTR
Speichere $f$ und $f^{\ast}$ im GRAPH-Menü deines GTR ab und berechne wie oben die hier gesuchten Integrale.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Nach dem Öffnen des Notablaufs befinden sich also maximal
$$3.309 + 928 = 4.237\,\text{m}^3$$
Wasser im Staubecken, weswegen dieses nicht überläuft.
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