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Aufgabe 2

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit
$f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140$
$ f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+… $
mit Definitionsbereich $\mathbb{R}.$
a)
(1)
Begründe, dass der Graph von $f$ maximal drei Extremstellen besitzt.
(2 BE)
#extrempunkt
$\,$
(2)
Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f$ und bestimme die Art der Extrempunkte.
[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $20,$ $100$ und $200.$]
(8 BE)
#extrempunkt
$\,$
(3)
Ermittle das absolute Maximum des Graphen von $f.$
(3 BE)
Die Funktion $f$ besitzt genau zwei Nullstellen.
b)
Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ und gib die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse an.
[Zur Kontrolle: Für die eine Nullstelle gilt $x< 0$ und für die andere gilt $x> 240.$]
(4 BE)
#nullstelle
c)
Der Graph der Funktion $f$ soll um $p$ Einheiten $(p\in\mathbb{R})$ nach unten verschoben werden.
Gib alle Werte vo $p$ an, für die der verschobene Graph genau drei Nullstellen besitzt.
(4 BE)
d)
Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen und der zur $y$-Achse parallelen Geraden mit der Gleichung $x=240$ ein Flächenstück ein.
$\,$
(1)
Stelle das Flächenstück in der nachfolgenden Abbildung graphisch dar.
(2 BE)
$\,$
(2)
Bestimme den Flächeninhalt des Flächenstücks.
(3 BE)
$\,$
(3)
Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.
(4 BE)
Graph
Abb. 1: Graph von $f$
Graph
Abb. 1: Graph von $f$
Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mit Hilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d.h. die Konzentration der Glukose im Blut , ständig zu messen.
Die gegebene Funktion $f$ beschreibt für $0\leq x \leq 240$ modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts eines Patienten. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter $\left(\frac{\text{mg}}{\text{dl}} \right).$
e)
Bestimme für den betrachteten Zeitraum $(0\leq x\leq 240)$ denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt.
(6 BE)
f)
Es gibt Zeitpunkte, an denen sich der Glukosewert um $-0,5\,\dfrac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute verändert.
Bestimme alle Zeitpunkte im betrachteten Zeitraum, an denen eine solche Veränderung auftritt.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Maximale Anzahl der Extremstellen begründen
$f$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Das bedeutet, dass die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist. Eine ganzrationale Funktion kann maximal so viele Nullstellen besitzen, wie ihr Grad angibt. $f'$ kann also maximal drei Nullstellen besitzen.
Das notwendige Kriterium für eine Extremstelle von $f$ ist, dass $f'$ an dieser Stelle eine Nullstelle besitzt. Ist dies nicht der Fall, kann es sich nicht um eine Extremstelle handeln.
Da $f'$ maximal drei Nullstellen besitzt, besitzt auch $f$ maximal drei Extremstellen.
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrempunkte berechnen
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140 \\[5pt] f'(x) &=& -\frac{4}{10^6}x^3+\frac{4}{3.125}x^2-\frac{13}{125}x+\frac{8}{5} \\[5pt] f''(x) &=& -\frac{12}{10^6}x^2+\frac{8}{3.125}x-\frac{13}{125} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& … \\[5pt] f'(x) &=& … \\[5pt] f''(x) &=& … \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Die Gleichung $f'(x)=0$ kannst du nun mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen von $f'$ anzeigen lässt und die Nullstellen bestimmst:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT
F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] -\frac{4}{10^6}x^3+\frac{4}{3.125}x^2-\frac{13}{125}x+\frac{8}{5} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] x_1 &=& 20\\[5pt] x_2 &=& 100 \\[5pt] x_3 &=& 200\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& 20\\[5pt] x_2 &=& 100 \\[5pt] x_3 &=& 200\\[5pt] \end{array}$
Mögliche Extremstellen besitzt $f$ also bei $x_1=20,$ $x_2=100$ und $x_3=200.$ Weitere kann es wegen Teilaufgabe a) (1) nicht geben.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(20)&=& -\frac{12}{10^6}\cdot 20^2+\frac{8}{3.125}\cdot 20 - \frac{13}{125} \\[5pt] &=& -0,0576 < 0 \\[10pt] f''(100)&=& -\frac{12}{10^6}\cdot 100^2+\frac{8}{3.125}\cdot 100 - \frac{13}{125} \\[5pt] &=& 0,032 > 0 \\[10pt] f''(200)&=& -\frac{12}{10^6}\cdot 200^2+\frac{8}{3.125}\cdot 200 - \frac{13}{125} \\[5pt] &=& -0,072 < 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(20)&=& -0,0576 < 0 \\[10pt] f''(100)&=& 0,032 > 0 \\[10pt] f''(200)&=& -0,072 < 0 \\[10pt] \end{array}$
An den Stellen $x_1=20$ und $x_2=200$ besitzt der Graph von $f$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x_2=100$ einen Tiefpunkt.
4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(20)&=& -\frac{1}{10^6}\cdot 20^4+\frac{4}{9.375}\cdot 20^3-\frac{13}{250}\cdot 20^2+\frac{8}{5}\cdot 20+140 \\[5pt] &=& \frac{11.584}{75} \\[5pt] &\approx& 154,45 \\[10pt] f(100)&=& -\frac{1}{10^6}\cdot 100^4+\frac{4}{9.375}\cdot 100^3-\frac{13}{250}\cdot 100^2+\frac{8}{5}\cdot 100+140 \\[5pt] &=& \frac{320}{3} \\[5pt] &\approx& 106,67 \\[10pt] f(200)&=& -\frac{1}{10^6}\cdot 200^4+\frac{4}{9.375}\cdot 200^3-\frac{13}{250}\cdot 200^2+\frac{8}{5}\cdot 200+140 \\[5pt] &=& \frac{580}{3} \\[5pt] &\approx& 193,33 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(20)&\approx& 154,45 \\[10pt] f(100)&\approx& 106,67 \\[10pt] f(200)&\approx& 193,33 \\[10pt] \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt zwei Hochpunkte $H_1(20\mid \frac{11.584}{75})$ und $H_2(200\mid \frac{580}{3})$ sowie einen Tiefpunkt $T(100\mid \frac{320}{3}).$
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Absolutes Maximum ermitteln
Wie oben bestimmt, besitzt der Graph von $f$ zwei lokale Maxima. Für $x\to -\infty $ gilt $f(x)\to -\infty$ und für $x\to \infty$ gilt analog $f(x)\to -\infty.$ Das absolute Maximum muss also in einem der beiden Hochpunkte liegen. Der Funktionswert in $H_2$ ist größer als der in $H_1.$
Das globale Maximum des Graphen von $f$ liegt also bei $x = 200$ und beträgt $\frac{580}{3}\approx 193,33.$
b)
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Wie oben kannst du die Gleichung $f(x)=0$ mit dem GTR lösen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] -\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt] x_5 &\approx& -35,07 \\[5pt] x_6 &\approx& 256,61 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] x_5 &\approx& -35,07 \\[5pt] x_6 &\approx& 256,61 \\[5pt] \end{array}$
Weitere Nullstellen gibt es laut Aufgabenstellung nicht. Die Nullstellen von $f$ sind $x_5 \approx -35,07$ und $x_6 \approx 256,61.$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$-Achse bestimmen
$f(0)= 140.$ Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\mid 140).$
c)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte angeben
Der verschobene Graph hat genau dann drei Nullstellen, wenn der Graph von $f$ so verchoben wird, dass entweder der Hochpunkt $H_1$ oder der Tiefpunkt $T$ auf der $x$-Achse liegen.
Der verschobene Graph besitzt also für $p=f(20) = \frac{11.584}{75}$ und $p=f(200)=\frac{320}{3}$ genau drei Nullstellen.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Flächenstück graphisch darstellen
Flächenstück
Abb. 1: Flächenstück
Flächenstück
Abb. 1: Flächenstück
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Der Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals bestimmt werden. Zur Berechnung des Integrals kannst du deinen GTR verwenden:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{240}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{240}\left(-\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140 \right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& 34.705,92 \\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 34.705,92$
Der Flächeninhalt des beschriebenen Flächenstücks beträgt ca. $34.705,92\,\text{FE}.$
#integral
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $x=b$ mit:
$\frac{1}{2} \cdot 34.705,92 = \displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx$
$ \frac{1}{2} \cdot 34.705,92 = … $
Forme das Integral mithilfe einer Stammfunktion um, bis du deinen GTR zum Lösen verwenden kannst:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{2} \cdot 34.705,92&=&\displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] 17.352,96&=& \displaystyle\int_{0}^{b}\left(-\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] 17.352,96&=&\left[-\frac{1}{10^6\cdot 5}x^5+\frac{1}{9.375}x^4-\frac{13}{750}x^3+\frac{4}{5}x^2+140x \right]_0^b \\[5pt] &=& -\frac{1}{10^6\cdot 5}b^5+\frac{1}{9.375}b^4-\frac{13}{750}b^3+\frac{4}{5}b^2+140\cdot b \\[5pt] && - \left(-\frac{1}{10^6\cdot 5}\cdot 0^5+\frac{1}{9.375}\cdot 0^4-\frac{13}{750}\cdot 0^3+\frac{4}{5}\cdot 0^2+140\cdot 0 \right) \\[5pt] 17.352,96&=& -\frac{1}{10^6\cdot 5}b^5+\frac{1}{9.375}b^4-\frac{13}{750}b^3+\frac{4}{5}b^2+140\cdot b \\[5pt] \end{array}$
$ 17.352,96= …$
Löse die Gleichung, indem du die rechte Seite als Funktion auffasst und dir den zugehörigen Graphen anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Bestimme den $x$-Wert zum $y$-Wert $17.352,96$ mit dem X-CAL-Befehl.
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
Du erhältst dann $b \approx 135,46.$ Eine Gleichung der Geraden, die das Flächenstück halbiert lautet $x =135,46. $
#integral
e)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg bestimmen
Der Anstieg des Glukosewerts wird durch die erste Ableitung $f'$ von $f$ beschrieben. Gesucht ist also das absolute Maximum von $f'$ im Bereich $0\leq x\leq 240.$
Die lokalen Maxima von $f'$ kannst du mit deinem GTR bestimmen, indem du dir den Graphen von
$f'(x)= -\frac{4}{10^6}x^3+\frac{4}{3.125}x^2-\frac{13}{125}x+\frac{8}{5} $
$ f'(x)=… $
anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Du erhältst folgenden Hochpunkt des Graphen von $f':\,$ $H(158,74 \mid 1,35).$
Für die Intervallränder gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(0)&=& 1,6 \\[5pt] f'(240)&\approx& -4,928 \end{array}$
An der Stelle $x=240$ fällt der Glukosewert, da $f'(240)$ negativ ist.
Der Glukosewert steigt also zu Beginn des betrachteten Zeitraums, $x=0,$ am stärksten an.
f)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte bestimmen
Da die Änderungsrate des Glukosewerts durch die erste Ableitung $f'$ von $f$ beschrieben wird, sind die Zeitpunkte $x$ gesucht mit $f'(x)= -0,5.$ Diese Gleichung kannst du wie zuvor mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen von $f'$ anzeigen lässt.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -0,5 \\[5pt] -\frac{4}{10^6}x^3+\frac{4}{3.125}x^2-\frac{13}{125}x+\frac{8}{5}&=& -0,5 &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] x_1&\approx& 30,64 \\[5pt] x_2&\approx& 83,05 \\[5pt] x_3&\approx& 206,31 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -0,5 \\[5pt] x_1&\approx& 30,64 \\[5pt] x_2&\approx& 83,05 \\[5pt] x_3&\approx& 206,31 \end{array}$
Die beschriebene Änderung des Glukosewerts findet jeweils ca. $31$ Minuten, $83$ Minuten und $206$ Minuten nach Beobachtungsbeginn statt.
#änderungsrate
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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