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Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für $0\leq t \leq 3$ die Funktion $N_1$ mit der Gleichung
$N_{1}(t)=500\cdot\mathrm{e}^{0,6\cdot t}$,   $t\in\mathbb{R}$.
Dabei wird $t$ als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und $N_{1}(t)$ als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ aufgefasst.
Der Graph von $N_1$ ist in der Abbildung dargestellt.
Aufgabe 1 Abbildung
Aufgabe 1 Abbildung
a) (1)  Berechne den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(3P)
(2)  Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind.
(4P)
(3)  Berechne, um wie viele Tiere pro Tag die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung während der ersten drei Tage durchschnittlich wächst.
(3P)
(4)  Begründe, warum eine Funktion mit dem Funktionsterm $500\cdot\mathrm e^{0,6\cdot t}$ nur für einen begrenzten Zeitraum zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen geeignet ist.
(4P)
Während der ersten drei Tage (für $0\leq t\leq 3$) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion $r_1$ mit der Gleichung
$r_{1}(t)=300\cdot\mathrm{e}^{0,6\cdot t}$,   $t\in\mathbb{R}$,
beschrieben.
Dabei wird $r_{1}(t)$ als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst.
b)  Für die Funktion $r_1$ und die zugehörige Ableitungsfunktion $r_{1}'$ gilt für alle $t\in\mathbb{R}$ die Aussage:
$r_{1}(t)>0$ und $r_{1}'(t)>0.$
[Die Gültigkeit dieser Aussage musst du nicht nachweisen.]
Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
(6P)
c)  Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für $3\leq t\leq 6$) verwendet der Schüler die Funktion $r_2$ mit der Gleichung
$r_{2}(t)=300\cdot\mathrm e^{3,6-0,6\cdot t}$,   $t\in\mathbb{R}$.
Dabei wird $r_2(t)$ als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst.
(1)  Zeige, dass für die Funktionen $r_1$ und $r_2$ für alle $a\in\mathbb{R}$ die Gleichung $r_{2}(3+a)=r_{1}(3-a)$ gilt.
(5P)
(2)  Interpretiere die Bedeutung der Gleichung $r_{2}(3+a)=r_{1}(3-a)$ für $0\leq a\leq 3$ im Sachzusammenhang.
(4P)
(3)  Zeige, dass die Funktion $F$ mit der Gleichung $F(x)=-\frac{5}{3}\cdot\mathrm{e}^{3,6-0,6\cdot x}$ eine Stammfunktion der Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\mathrm e^{3,6-0,6\cdot x}$ ist.
(4P)
(4)  Bestimme, wie viele Pantoffeltierchen in der Nährlösung im Laufe des vierten Tages (d. h. im Intervall $[3;4]$) hinzukommen, wenn die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen für $3\leq t\leq 6$ durch die Funktion $r_2$ beschrieben wird.
(6P)
(5)  Ermittle ausgehend von den Funktionen $N_1$ und $r_2$ eine Gleichung der Funktion $N_2$, durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung beschrieben werden kann.
[Zur Kontrolle: $N_{2}(t)=1.000\cdot\mathrm e^{1,8}-500\cdot\mathrm e^{3,6-0,6\cdot t}$]
(7P)
(6)  Der Schüler verwendet die Funktion $N_2$ auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für $t\geq 6$.
Begründe, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als $6.050$ wird.
(4P)
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Tipps
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Funktionswert berechnen und Interpretation im Sachzusammenhang
Deine Aufgabe ist es hier, den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ zu berechnen. Setze dazu $t=3$ in die Funktionsgleichung $N_1(t)$ ein.
Nun ist noch danach gefragt, den Funktionswert zu interpretieren. $N_1(t)$ wird als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ aufgefasst, wobei $t$ als Maßzahl zur Einheit 1 Tag aufgefasst wird.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt, zu dem 2.000 Pantoffeltierchen vorhanden sind, berechnen
Hier ist nach dem Zeitpunkt gefragt, zu dem 2.000 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. Also ist nach dem $t$ gesucht für das $N_1(t)=2.000$ gilt. Setze dazu den Funktionsterm mit 2.000 gleich und löse nach $t$ auf.
(3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliches Wachstum der Anzahl der Pantoffeltierchen
Das durchschnittliche Wachstum an den ersten drei Tagen berechnest du, indem du die Anzahl an neu dazugekommenen Pantoffeltierchen durch die Anzahl an vergangenen Tagen teilst. Die Anzahl der neu dazugekommenen Pantoffeltierchen ist die Differenz von Pantoffeltierchen zu Beginn und der Pantoffeltierchen nach 3 Tagen, also $N_1(3) - N_1(0)$.
$\text{Durchschnittliches Wachstum}=\dfrac{\text{Anzahl neu dazugekommener Pantoffeltierchen}}{\text{Anzahl vergangener Tagen}}$
(4)
$\blacktriangleright$  Begründen, warum die Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum geeignet ist
Eine Funktion mit dem Funktionsterm $500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}$ beschreibt exponentielles Wachstum. Betrachte den Grenzwert einer solchen Funktion und begründe warum dies nicht im Sachzusammenhang nur in einem begrenztem Zeitraum zutrifft.
b)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Der erste Teil der Aussage lautet $r_1(t) > 0$. Dies bedeutet, dass die momentane Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt echt größer 0 ist. Überlege welche Auswirkung dies im Sachzusammenhang hat.
Der zweite Teil der Aussage lautet $r'_1(t) > 0$. Die Ableitung von $r_1$, also $r'_1$, beschreibt die Änderungsrate von $r_1$. Überlege dir hier welche Bedeutung die Änderungsrate von $r_1$ im Sachzusammenhang besitzt und welche Auswirkung die Eigenschaft auf die Pantoffeltierchenpopulation hat.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Gleichheit zeigen
Berechne jeweils die beiden Funktionswerte, um die Gleichheit zu zeigen. Setze dazu $t=3+a$ in die Funktionsgleichung von $r_2$ ein bzw. $t=3-a$ in die Funktionsgleichung von $r_1$ ein.
(2)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Die Gleichung $r_2\left(3+a\right)=r_1\left(3-a\right)$ bedeutet, dass die Änderungsraten der Anzahl der Pantoffeltierchen zu den Zeitpunkten $t=3+a$ und $t=3-a$ gleich sind. Überlege welcher Zusammenhang zwischen diesen beiden Zeitpunkten herrscht und was dies für die Änderungsraten $r_1$ und $r_2$ bedeutet.
(3)
$\blacktriangleright$  Zeige, dass $F$ Stammfunktion von $f$ ist
$F$ ist eine Stammfunktion von $f$, wenn die Ableitung von $F$ gerade $f$ ist, also $F'(x)=f(x)$ gilt. Leite dazu $F$ ab, beachte dabei die Kettenregel zu verwenden.
(4)
$\blacktriangleright$  Anstieg im Laufe des vierten Tages berechnen
Hier sollst du den Anstieg der Anzahl der Pantoffeltierchen im Laufe des vierten Tages berechnen. Diesen kannst du mit der momentanen Änderungsrate bestimmen. Die momentane Änderungsrate beschreibt hier das Wachstum der Pantoffeltierchen, damit beschreibt das Integral über die Änderungsrate innerhalb eines Zeitintervalls den insgesamten Anstieg der Pantoffeltierchen innerhalb dieses Zeitraums.
Die Anzahl an Pantoffeltierchen, die im Laufe des Tages hinzugekommen sind, ist hier also gerade das Integral über die momentane Änderungsrate $r_2$ von den Zeitpunkten $t=3$ bis $t=4$. Somit beschreibt das Integral $\displaystyle\int_{3}^{4} r_2 (t)\; \mathrm dt$ die Anzahl an Tierchen, die im Laufe des vierten Tages dazugekommen sind. Dieses kannst du direkt per Hand oder mit deinem GTR berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
Hierbei benötigst du den Hauptsatz der Integralrechnung, auch Aufgabenteil c) (3) ist dir hier hilfreich. Für eine Funktion $f$ mit einer Stammfunktion $F$ gilt:
$\displaystyle\int_{a}^{b}\; f(x) \mathrm dx = F(b) - F(a)$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Speichere den Funktionsterm von $r_2$ und berechne das gesuchte Integral.
(5)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $N_2(t)$ für $3\leq t \leq 6$ bestimmen
Hier sollst du eine Funktionsgleichung $N_2(t)$ aufstellen, welche die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag beschreibt. Du hast hierzu $N_1(t)$ und $r_2$ gegeben. Die Funktion muss nun folgende Form haben:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&=& \left( \text{Anzahl der Tierchen am dritten Tag}\right) \\[5pt] &&+ \left( \text{Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt } t \text{ dazugekommen sind}\right) \end{array}$
1. Schritt: Anzahl der Tierchen am dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen am dritten Tag hast du bereits mit $N_1(3)$ in Teilaufgabe a) berechnet.
2. Schritt: Anzahl der Tierchen nach dem dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt $t$ dazukommen, kannst du nun mit Hilfe der Änderungsrate $r_2$ bestimmen. Diese Anzahl ist gerade das Integral über $r_2$ von 3 bis $t$:
3. Schritt: Funktionsgleichung $N_2(t)$ aufstellen
Setze nun die Ergebnisse aus dem ersten und zweiten Schritt in die obige Gleichung ein:
$N_2(t)= N_1(3) + \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx$
(6)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen nicht größer als 6.050 wird
Um zu begründen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als 6.050 wird, benötigst du eine Eigenschaft der Exponentialfunktion. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $\mathrm e^x > 0$, somit gilt auch $\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit gilt auch die Gleichung $500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$. Mit dieser Eigenschaft kannst du nun die Funktionsgleichung $N_2(t)$ abschätzen und damit zeigen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als 6.050 wird.
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Funktionswert berechnen und Interpretation im Sachzusammenhang
Deine Aufgabe ist es hier, den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ zu berechnen. Setze dazu $t=3$ in die Funktionsgleichung $N_1(t)$ ein:
$N_1(3)=500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 3}=500 \cdot \mathrm e^{1,8} \approx 3.024,82$
Nun ist noch danach gefragt, den Funktionswert zu interpretieren. $N_1(t)$ wird als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ aufgefasst, wobei $t$ als Maßzahl zur Einheit $1$ Tag aufgefasst wird. Somit beschreibt $N_1(3)$ die Anzahl der Pantoffeltierchen nach $3$ Tagen.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt, zu dem $\boldsymbol{2.000}$ Pantoffeltierchen vorhanden sind, berechnen
Hier ist nach dem Zeitpunkt gefragt, zu dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. Also ist nach dem $t$ gesucht, für das $N_1(t)=2.000$ gilt. Setze dazu den Funktionsterm mit $2.000$ gleich und löse nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} N_1(t)&=2.000 & \quad \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}&=2.000 & \quad \mid\; :500 \\[5pt] \mathrm e^{0,6 \cdot t}&=4 & \quad \mid\; \ln \\[5pt] 0,6 \cdot t &= \ln(4) &\quad \mid\; :0,6 \\[5pt] t&=\dfrac{\ln(4)}{0,6} \\[5pt] &\approx 2,31 \end{array}$
Also sind nach ca. $2,31$ Tagen $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden.
(3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliches Wachstum der Anzahl der Pantoffeltierchen
Das durchschnittliche Wachstum an den ersten drei Tagen berechnest du, indem du die Anzahl an neu dazugekommenen Pantoffeltierchen durch die Anzahl an vergangenen Tagen teilst. Die Anzahl der neu dazugekommenen Pantoffeltierchen ist die Differenz von Pantoffeltierchen zu Beginn und der Pantoffeltierchen nach 3 Tagen, also $N_1(3) - N_1(0)$. Damit erhältst du:
$\dfrac{N_1(3)-N_1(0)}{3}=\dfrac{3.024,82-500}{3}=\dfrac{2.525,82}{3}\approx 841,61$
Das durchschnittliche Wachstum der Pantoffeltierchen an den ersten drei Tagen beträgt 841,61 Tierchen pro Tag.
(4)
$\blacktriangleright$  Begründen, warum die Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum geeignet ist
Eine Funktion mit dem Funktionsterm $500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}$ beschreibt exponentielles Wachstum. Der Grenzwert einer solchen Funktion ist "$\infty$". Nach einem begrenzten Zeitraum wird die Anzahl der Pantoffeltierchen wegen des beschränkten Platz- und Nahrungsangebot in der Nährlösung jedoch nicht weiter unbeschränkt wachsen. Das unbeschränkte Wachstum steht somit im Widerspruch zu dem beschränkten Platz- und Nahrungsangebot. Damit ist eine solche Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum für das Experiment geeignet.
b)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Der erste Teil der Aussage lautet $r_1(t) > 0$. Dies bedeutet, dass die momentane Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt echt größer 0 ist. Also steigt die Anzahl der Tierchen immer weiter an.
Der zweite Teil der Aussage lautet $r'_1(t) > 0$. Die Ableitung von $r_1$, also $r'_1$, beschreibt die Änderungsrate von $r_1$. Diese ist positiv, daher nimmt $r_1$ mit der Zeit größer werdende Werte an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass der Anstieg der Anzahl der Tierchen immer größer wird.
Insgesamt lässt sich sagen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu jeder Zeit steigt und dieser Anstieg immer größer wird.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Gleichheit zeigen
Berechne jeweils die beiden Funktionswerte, um die Gleichheit zu zeigen. Setze dazu $t=3+a$ in die Funktionsgleichung von $r_2$ ein bzw. $t=3-a$ in die Funktionsgleichung von $r_1$ ein:
$r_1\left(3-a\right)=300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot \left(3-a\right)}=300 \cdot \mathrm e^{1,8-0,6 \cdot a}$
$r_2\left(3+a\right)=300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot \left(3+a\right)}=300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 1,8 - 0,6 \cdot a}=300 \cdot \mathrm e^{1,8 - 0,6 \cdot a}$
Damit ist gezeigt, dass für alle $a \in \mathbb{R}$ die Gleichung gilt.
(2)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Die Gleichung $r_2\left(3+a\right)=r_1\left(3-a\right)$ bedeutet, dass die Änderungsraten der Anzahl der Pantoffeltierchen zu den Zeitpunkten $t=3+a$ und $t=3-a$ gleich sind. Diese beiden Zeitpunkte sind "gleich weit" vom Zeitpunkt $t=3$ entfernt. Beispielsweise bedeutet dies, dass die Änderunsrate am zweiten Tag gleich der Änderungsrate am vierten Tag ist (hier ist also $a=1$). Also kann man sagen, dass die Änderungsraten symmetrisch um den dritten Tag verteilt sind.
(3)
$\blacktriangleright$  Zeige, dass $\boldsymbol{F}$ Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ ist
$F$ ist eine Stammfunktion von $f$, wenn die Ableitung von $F$ gerade $f$ ist, also $F'(x)=f(x)$ gilt. Leite dazu $F$ ab, beachte dabei die Kettenregel zu verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=&-\dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} & \quad \scriptsize \\[10pt] F'(x)&=&\left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot x} \cdot \left(-0,6\right)\\[5pt] &=&\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot x}\\[5pt] &=&f(x) \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
(4)
$\blacktriangleright$  Anstieg im Laufe des vierten Tages berechnen
Hier sollst du den Anstieg der Anzahl der Pantoffeltierchen im Laufe des vierten Tages berechnen. Diesen kannst du mit der momentanen Änderungsrate bestimmen. Die momentane Änderungsrate beschreibt hier das Wachstum der Pantoffeltierchen, damit beschreibt das Integral über die Änderungsrate innerhalb eines Zeitintervalls den insgesamten Anstieg der Pantoffeltierchen innerhalb dieses Zeitraums.
Die Anzahl an Pantoffeltierchen, die im Laufe des Tages hinzugekommen sind, ist hier also gerade das Integral über die momentane Änderungsrate $r_2$ von den Zeitpunkten $t=3$ bis $t=4$. Somit beschreibt das Integral $\displaystyle\int_{3}^{4} r_2 (t)\; \mathrm dt$ die Anzahl an Tierchen, die im Laufe des vierten Tages dazugekommen sind. Dieses kannst du direkt per Hand oder mit deinem GTR berechnen:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
$ \displaystyle\int_{3}^{4} r_2 (t)\; \mathrm dt = \displaystyle\int_{3}^{4} 300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \; \mathrm dt = 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{4} \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\; \mathrm dt = 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{4} f(t)\; \mathrm dt $
In Aufgabenteil (3) hast du bereits gezeigt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Somit kannst du hier den Hauptsatz der Integralrechnung anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{4} f(t)\; \mathrm dt &= 300 \cdot \left(F(4) - F(3)\right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left( \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot 4} - \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot 3}\right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left( \dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{1,8} -\dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{1,2} \right) \\[5pt] &= 300 \cdot \dfrac{5}{3} \cdot \left( \mathrm e^{1,8} - \mathrm e^{1,2}\right)\\[5pt] &= 500 \cdot \left( \mathrm e^{1,8} - \mathrm e^{1,2}\right) \\[5pt] &\approx 1.364,77 \end{array}$
Der Anstieg im Laufe des vierten Tages beträgt also ca. $1.365$ Pantoffeltierchen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $r_2$. Hast du diesen dort eingegeben, dann passe das Fenster so an, dass du den gewünschten Bereich sehen kannst.
Bestimme dann über
6: Graph analysieren $\to$ 6:Integral $\to$ Untere Schranke 3 $\to$ Obere Schranke 4
das Integral über $r_2$ in den Grenzen des Intervalls $\left[3,4\right]$.
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Der Anstieg im Laufe des vierten Tages ist also ca. 1.360 Pantoffeltierchen.
(5)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $\boldsymbol{N_2(t)}$ für $\boldsymbol{3\leq t \leq 6}$ bestimmen
Hier sollst du eine Funktionsgleichung $N_2(t)$ aufstellen, welche die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag beschreibt. Du hast hierzu $N_1(t)$ und $r_2$ gegeben. Die Funktion muss nun folgende Form haben:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&=& \left( \text{Anzahl der Tierchen am dritten Tag}\right) \\[5pt] &&\scriptsize{+ \left( \text{Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt } t \text{ dazugekommen sind}\right)} \end{array}$
1. Schritt: Anzahl der Tierchen am dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen am dritten Tag hast du bereits mit $N_1(3)$ in Teilaufgabe a) berechnet.
Diese lautet: $N_1(3)=500 \cdot \mathrm e^{1,8}$.
2. Schritt: Anzahl der Tierchen nach dem dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt $t$ dazukommen, kannst du nun mit Hilfe der Änderungsrate $r_2$ bestimmen. Diese Anzahl ist gerade das Integral über $r_2$ von 3 bis $t$:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx &= \displaystyle\int_{3}^{t} 300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot x} \;\mathrm dx \\[5pt] &= 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{t} f(x) \;\mathrm dx & \quad \mid\; \scriptsize{F \small{\text{ Stammfunktion von }} f} \\[5pt] &= 300 \cdot \left(F\left(t\right) - F\left(3\right) \right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left( \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} - \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot 3}\right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left(\dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{1,8} - \dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\right) \\[5pt] &= 500 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \end{array}$
3. Schritt: Funktionsgleichung $\boldsymbol{N_2(t)}$ aufstellen
Setze nun die Ergebnisse aus dem ersten und zweiten Schritt in die obige Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&= N_1(3) + \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx \\[5pt] &= \left(500 \cdot \mathrm e^{1,8}\right) + \left(500 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\right) \\[5pt] &= 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \end{array}$
(6)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen nicht größer als $\boldsymbol{6.050}$ wird
Um zu begründen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als 6.050 wird, benötigst du eine Eigenschaft der Exponentialfunktion. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $\mathrm e^x > 0$, somit gilt auch $\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit gilt auch die Gleichung $500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$. Also kannst du die Funktionsgleichung folgendermaßen abschätzen:
$N_2(t)=1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} < 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} = 6.049,65 < 6.050$
Damit hast du gezeigt, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu keinem Zeitpunkt größer als $6.050$ wird.
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Funktionswert berechnen und Interpretation im Sachzusammenhang
Deine Aufgabe ist es hier, den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ zu berechnen. Setze dazu $t=3$ in die Funktionsgleichung $N_1(t)$ ein:
$N_1(3)=500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 3}=500 \cdot \mathrm e^{1,8} \approx 3.024,82$
Nun ist noch danach gefragt, den Funktionswert zu interpretieren. $N_1(t)$ wird als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ aufgefasst, wobei $t$ als Maßzahl zur Einheit $1$ Tag aufgefasst wird. Somit beschreibt $N_1(3)$ die Anzahl der Pantoffeltierchen nach $3$ Tagen.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt, zu dem $\boldsymbol{2.000}$ Pantoffeltierchen vorhanden sind, berechnen
Hier ist nach dem Zeitpunkt gefragt, zu dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. Also ist nach dem $t$ gesucht, für das $N_1(t)=2.000$ gilt. Setze dazu den Funktionsterm mit $2.000$ gleich und löse nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} N_1(t)&=2.000 & \quad \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}&=2.000 & \quad \mid\; :500 \\[5pt] \mathrm e^{0,6 \cdot t}&=4 & \quad \mid\; \ln \\[5pt] 0,6 \cdot t &= \ln(4) &\quad \mid\; :0,6 \\[5pt] t&=\dfrac{\ln(4)}{0,6} \\[5pt] &\approx 2,31 \end{array}$
Also sind nach ca. $2,31$ Tagen $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden.
(3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliches Wachstum der Anzahl der Pantoffeltierchen
Das durchschnittliche Wachstum an den ersten drei Tagen berechnest du, indem du die Anzahl an neu dazugekommenen Pantoffeltierchen durch die Anzahl an vergangenen Tagen teilst. Die Anzahl der neu dazugekommenen Pantoffeltierchen ist die Differenz von Pantoffeltierchen zu Beginn und der Pantoffeltierchen nach 3 Tagen, also $N_1(3) - N_1(0)$. Damit erhältst du:
$\dfrac{N_1(3)-N_1(0)}{3}=\dfrac{3.024,82-500}{3}=\dfrac{2.525,82}{3}\approx 841,61$
Das durchschnittliche Wachstum der Pantoffeltierchen an den ersten drei Tagen beträgt $841,61$ Tierchen pro Tag.
(4)
$\blacktriangleright$  Begründen, warum die Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum geeignet ist
Eine Funktion mit dem Funktionsterm $500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}$ beschreibt exponentielles Wachstum. Der Grenzwert einer solchen Funktion ist "$\infty$". Nach einem begrenzten Zeitraum wird die Anzahl der Pantoffeltierchen wegen des beschränkten Platz- und Nahrungsangebot in der Nährlösung jedoch nicht weiter unbeschränkt wachsen. Das unbeschränkte Wachstum steht somit im Widerspruch zu dem beschränkten Platz- und Nahrungsangebot. Damit ist eine solche Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum für das Experiment geeignet.
b)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Der erste Teil der Aussage lautet $r_1(t) > 0$. Dies bedeutet, dass die momentane Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt echt größer 0 ist. Also steigt die Anzahl der Tierchen immer weiter an.
Der zweite Teil der Aussage lautet $r'_1(t) > 0$. Die Ableitung von $r_1$, also $r'_1$, beschreibt die Änderungsrate von $r_1$. Diese ist positiv, daher nimmt $r_1$ mit der Zeit größer werdende Werte an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass der Anstieg der Anzahl der Tierchen immer größer wird.
Insgesamt lässt sich sagen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu jeder Zeit steigt und dieser Anstieg immer größer wird.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Gleichheit zeigen
Berechne jeweils die beiden Funktionswerte, um die Gleichheit zu zeigen. Setze dazu $t=3+a$ in die Funktionsgleichung von $r_2$ ein bzw. $t=3-a$ in die Funktionsgleichung von $r_1$ ein:
$r_1\left(3-a\right)=300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot \left(3-a\right)}=300 \cdot \mathrm e^{1,8-0,6 \cdot a}$
$r_2\left(3+a\right)=300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot \left(3+a\right)}=300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 1,8 - 0,6 \cdot a}=300 \cdot \mathrm e^{1,8 - 0,6 \cdot a}$
Damit ist gezeigt, dass für alle $a \in \mathbb{R}$ die Gleichung gilt.
(2)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Die Gleichung $r_2\left(3+a\right)=r_1\left(3-a\right)$ bedeutet, dass die Änderungsraten der Anzahl der Pantoffeltierchen zu den Zeitpunkten $t=3+a$ und $t=3-a$ gleich sind. Diese beiden Zeitpunkte sind "gleich weit" vom Zeitpunkt $t=3$ entfernt. Beispielsweise bedeutet dies, dass die Änderunsrate am zweiten Tag gleich der Änderungsrate am vierten Tag ist (hier ist also $a=1$). Also kann man sagen, dass die Änderungsraten symmetrisch um den dritten Tag verteilt sind.
(3)
$\blacktriangleright$  Zeige, dass $F$ Stammfunktion von $f$ ist
$F$ ist eine Stammfunktion von $f$, wenn die Ableitung von $F$ gerade $f$ ist, also $F'(x)=f(x)$ gilt. Leite dazu $F$ ab, beachte dabei die Kettenregel zu verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=&-\dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} & \quad \scriptsize \\[10pt] F'(x)&=&\left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot x} \cdot \left(-0,6\right)\\[5pt] &=&\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot x}\\[5pt] &=&f(x) \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
(4)
$\blacktriangleright$  Anstieg im Laufe des vierten Tages berechnen
Hier sollst du den Anstieg der Anzahl der Pantoffeltierchen im Laufe des vierten Tages berechnen. Diesen kannst du mit der momentanen Änderungsrate bestimmen. Die momentane Änderungsrate beschreibt hier das Wachstum der Pantoffeltierchen, damit beschreibt das Integral über die Änderungsrate innerhalb eines Zeitintervalls den insgesamten Anstieg der Pantoffeltierchen innerhalb dieses Zeitraums.
Die Anzahl an Pantoffeltierchen, die im Laufe des Tages hinzugekommen sind, ist hier also gerade das Integral über die momentane Änderungsrate $r_2$ von den Zeitpunkten $t=3$ bis $t=4$. Somit beschreibt das Integral $\displaystyle\int_{3}^{4} r_2 (t)\; \mathrm dt$ die Anzahl an Tierchen, die im Laufe des vierten Tages dazugekommen sind. Dieses kannst du direkt per Hand oder mit deinem GTR berechnen:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Lösen per Hand
$ \displaystyle\int_{3}^{4} r_2 (t)\; \mathrm dt = \displaystyle\int_{3}^{4} 300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \; \mathrm dt = 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{4} \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\; \mathrm dt = 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{4} f(t)\; \mathrm dt $
In Aufgabenteil (3) hast du bereits gezeigt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Somit kannst du hier den Hauptsatz der Integralrechnung anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{4} f(t)\; \mathrm dt &= 300 \cdot \left(F(4) - F(3)\right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left( \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot 4} - \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot 3}\right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left( \dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{1,8} -\dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{1,2} \right) \\[5pt] &= 300 \cdot \dfrac{5}{3} \cdot \left( \mathrm e^{1,8} - \mathrm e^{1,2}\right)\\[5pt] &= 500 \cdot \left( \mathrm e^{1,8} - \mathrm e^{1,2}\right) \\[5pt] &\approx 1.364,77 \end{array}$
Der Anstieg im Laufe des vierten Tages ist also ca. $1.365$ Pantoffeltierchen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $r_2$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Bestimme dann über
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3 ($\displaystyle\int$dx) $\to$ F1 ($\displaystyle\int$dx)
das Integral über $r_2$ in den Grenzen des Intervalls $\left[3,4\right]$.
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Der Anstieg im Laufe des vierten Tages ist also ca. $1.365$ Pantoffeltierchen.
(5)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $\boldsymbol{N_2(t)}$ für $\boldsymbol{3\leq t \leq 6}$ bestimmen
Hier sollst du eine Funktionsgleichung $N_2(t)$ aufstellen, welche die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag beschreibt. Du hast hierzu $N_1(t)$ und $r_2$ gegeben. Die Funktion muss nun folgende Form haben:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&=& \left( \text{Anzahl der Tierchen am dritten Tag}\right) \\[5pt] &&\scriptsize{+ \left( \text{Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt } t \text{ dazugekommen sind}\right)} \end{array}$
1. Schritt: Anzahl der Tierchen am dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen am dritten Tag hast du bereits mit $N_1(3)$ in Teilaufgabe a) berechnet.
Diese lautet: $N_1(3)=500 \cdot \mathrm e^{1,8}$.
2. Schritt: Anzahl der Tierchen nach dem dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt $t$ dazukommen, kannst du nun mit Hilfe der Änderungsrate $r_2$ bestimmen. Diese Anzahl ist gerade das Integral über $r_2$ von 3 bis $t$:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx &= \displaystyle\int_{3}^{t} 300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot x} \;\mathrm dx \\[5pt] &= 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{t} f(x) \;\mathrm dx & \quad \mid\;\scriptsize{F \small{\text{ Stammfunktion von }} f} \\[5pt] &= 300 \cdot \left(F\left(t\right) - F\left(3\right) \right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left( \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} - \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot 3}\right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left(\dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{1,8} - \dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\right) \\[5pt] &= 500 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \end{array}$
3. Schritt: Funktionsgleichung $\boldsymbol{N_2(t)}$ aufstellen
Setze nun die Ergebnisse aus dem ersten und zweiten Schritt in die obige Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&= N_1(3) + \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx \\[5pt] &= \left(500 \cdot \mathrm e^{1,8}\right) + \left(500 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\right) \\[5pt] &= 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \end{array}$
(6)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen nicht größer als $\boldsymbol{6.050}$ wird
Um zu begründen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als 6.050 wird, benötigst du eine Eigenschaft der Exponentialfunktion. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $\mathrm e^x > 0$, somit gilt auch $\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit gilt auch die Gleichung $500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$. Also kannst du die Funktionsgleichung folgendermaßen abschätzen:
$N_2(t)=1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} < 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} = 6.049,65 < 6.050$
Damit hast du gezeigt, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu keinem Zeitpunkt größer als $6.050$ wird.
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