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Aufgabe 5

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Eine Firma stellt Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet.
Eine Fliese ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0,2$ „2. Wahl“ (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von 0,8 „1. Wahl“), unabhängig von allen anderen Fliesen.
Jede Packung enthält 20 Fliesen.
a) (1)  Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind.
(2P)
(2)  Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mindestens $90\,$% der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben.
(3P)
(3)  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um 2 von der erwarteten Anzahl abweicht.
(4P)
b)  Die 20 Fliesen einer Packung wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt.
(1)  Bestimme die Wahrscheinlichkeit $\tilde{p}$ dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. [Kontrollergebnis $\tilde{p}=0,32768$]
(2P)
(2)  Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.
(5P)
(3)  In einer Reihe wurden sogar genau zwei Fliesen der Qualität „2. Wahl“ verlegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fliesen direkt nebeneinander liegen.
(6P)
c)  Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.
Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert:
Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert.
(1)  Stelle die Situation graphisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten).
Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert).
(8P)
(2)  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist.
(4P)
d)  Die Maschine, mit der die Fliesen hergestellt werden, wird neu eingestellt, da die „2. Wahl“-Wahrscheinlichkeit von $p = 0,2$ zu groß ist. Der Produktionsleiter möchte mit einem Test überprüfen, ob die neue Einstellung tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Er entnimmt daher der Tagesproduktion der neu eingestellten Maschine zufällig 100 Fliesen und lässt die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe bestimmen.
(1)  Ermittle einen geeigneten Hypothesentest (gib geeignete Hypothesen an, begründe die Wahl von $H_0$ und ermittle eine Entscheidungsregel) für die genannte Stichprobe von 100 Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens $5\,$%.
(11P)
(2)  Die Wahrscheinlichkeit für „2. Wahl“-Fliesen wurde durch die neue Einstellung tatsächlich auf $p = 0,15$ gesenkt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass deine Entscheidungsregel aus (1) zu einer Fehlentscheidung führt.
(5P)
Tabelle 1: $\sigma$- Regeln für Binomialverteilungen
Eine mit den Parametern $n$ und $p$ binomialverteilte Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$.
Wenn die LAPLACE-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$-Regeln:
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$, gilt: $F(n;p;k)=1-$abgelesener Wert
Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=100
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$, gilt: $F(n;p;k)=1-$abgelesener Wert
Tabelle 4: Normalverteilung
$\phi(z)=0,…$
$\phi(-z)=1-\phi(z)$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Beispiele für den Gebrauch:
$\phi(2,32)=0,9898$
$\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51$
$\phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841$
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Tipps
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung, die aus 20 Fliesen besteht, genau vier „2.Wahl“-Fliesen enthalten sind.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer zufällig ausgewählten Packung beschreibt. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit
$P(X =4)$
Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass die Produktion stochastisch unabhängig ist und man davon ausgehen kann, dass jede Fliese die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt „2. Wahl“ oder „1. Wahl“ zu sein, kannst du davon ausgehen, dass $X$ binomialverteilt ist. Die Parameter lauten hier $n =20$ und $p = 0,2$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du dann entweder mit der Formel für die Binomialverteilung oder deinem GTR berechnen.
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:
$P(X = k)= \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k} $
Setze dort nun die entsprechenden Werte ein.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung mindestens $90\,\%$ der Fliesen „1.Wahl“-Fliesen sind. Berechne dazu zunächst wie viele Fliesen es demnach mindestens sein müssen, um die $90\,\%$-Grenze zu erreichen und forme diese Aussage in eine Aussage über die „2. Wahl“-Fliesen um. Betrachtest du dann wieder die Zufallsvariable $X$, so hat die gesuchte Wahrscheinlichkeit die Form $P(X\leq k)$. Du kannst nun die kumulierte Binomialverteilung verwenden.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweicht. Bestimme dazu zuerst die erwartete Anzahl an „2. Wahl“-Fliesen, mit der du den gesuchten Bereich an Fliesen bestimmen kannst. Betrachtest du dann wieder die Zufallsvariable $X$, so kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit in Wahrscheinlichkeiten der Form $P(X\leq k)$ umformen. Du kannst nun die kumulierte Binomialverteilung oder wie in (2) deinen GTR verwenden.
b) (1)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass alle Fliesen in einer zufällig ausgewählten Reihe, die aus $5$ Fliesen besteht, „1. Wahl“-Fliesen sind. Betrachte dazu die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der „1. Wahl“-Fliesen in einer Reihe beschreibt. Diese ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt, allerdings mit den Parametern $ n = 5$ und $p = 0,8$.
Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit $P(Y =5)$. Diese lässt sich wieder mit der Formel für die Binomialverteilung oder dem Binompdf-Befehl deines GTR berechnen.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass es unter den $4$ Reihen mindestens eine gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. Betrachte dazu die Zufallsvariable $R$, die die zufällige Anzahl der Reihen beschreibt, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen bestehen. Dann ist $R$ binomialverteilt mit den Parametern $n =4$ und $p = \widetilde{p}= 0, 32768$, da jede Reihe die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt nur aus „1. Wahl“-Fliesen zu bestehen und die Besetzung einer Reihe nicht von der Besetzung der übrigen Reihen abhängt.
Gesucht ist demnach nun die Wahrscheinlichkeit $P(R \geq 1)$, welche du wieder wie oben berechnen kannst.
(3)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass in einer Reihe mit $2$ Fliesen „2. Wahl“ diese Fliesen direkt nebeneinander liegen. Nenne dieses Ereignis $A$. Jede Reihenfolge tritt mit derselben Wahrscheinlichkeit auf, also kannst du die Wahrscheinlichkeit folgendermaßen nach Laplace berechnen:
$P(A)=\dfrac{\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen so anzuordnen, dass } A \text{ gilt}} {\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen anzuordnen}}$
c) (1)
$\blacktriangleright$ Graphische Darstellung
Du sollst hier die neue Situation, die sich durch die Einführung der Testmaschine ergeben hat, graphisch darstellen. Für eine übersichtlichere Darstellung kannst du zunächst folgende oder ähnliche Bezeichnungen einführen:
  • $W_1$: Die vorliegende Fliese ist 1. Wahl
  • $W_2$: Die vorliegende Fliese ist 2. Wahl
  • $T_1$: Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 1. Wahl bezeichnet
  • $T_2$: Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 2. Wahl bezeichnet
Die Sortierung der Testmaschine hängt davon ab, ob eine Fliese 1. Wahl oder 2. Wahl ist. Aus diesem Grund handelt es sich hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Der Aufgabenstellung kannst du bereits folgende Wahrscheinlichkeiten entnehmen:
  • $P(W_1) = 0,8$
  • $P(W_2) = 0,2$
  • $P(T_2\mid W_2 ) = w = 0,9$
  • $P(T_2\mid W_1) = 0,05$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Baumdiagramm
Um die Situation mit Hilfe eines Baumdiagramms darzustellen, überlege dir zunächst, wie viele Stufen hier vorliegen und gehe dann in jeder Stufe jede Möglichkeit durch.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Vierfeldertafel
Beginne bei der Vierfeldertafel damit die Wahrscheinlichkeiten einzutragen, die du direkt der Aufgabenstellung entnehmen kannst. Fülle anschließend die Vierfeldertafel auf, indem du aus den bekannten Wahrscheinlichkeiten die übrigen Wahrscheinlichkeiten bestimmst. Beachte dabei, dass sich der Eintrag einer Vierfeldertafel in der Spalte zu Ereignis $B$ und in der Zeile zu Ereignis $A$ aus $P(A\cap B)$ ergibt. Es gilt
$P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B) = P(B\mid A)\cdot P(A)$
Es geht hier also um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Daraus kannst du folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen:
$P(T_1\mid W_2) = 1-w = 0,1\quad$ und $\quad P(T_1\mid W_1) = 1- P(T_2\mid W_1) = 0,95$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Fliese als 1. Wahl eingestuft wird. Gesucht ist also $P(T_1)$. Je nachdem welchen Lösungsweg du im letzten Aufgabenteil gewählt hast, unterscheidet sich auch hier der Lösungsweg.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Baumdiagramm
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich hier mit den Pfadregeln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Vierfeldertafel
Mit Hilfe der Vierfeldertafel, kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt ablesen.
(2)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine Fliese eine „2. Wahl“-Fliese ist unter der Bedingung, dass sie von der Maschine nicht aussortiert wurde, also als 1. Wahl eingestuft wurde. Gesucht ist also $P(W_2\mid T_1)$. Du kannst hier den Satz von Bayes verwenden:
$P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$
d) (1)
$\blacktriangleright$ Hypothesentest aufstellen
Hier soll getestet werden, ob die neu eingestellte Maschine tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Dazu ist es deine Aufgabe einen geeigneten Hypothesentest für die genannte Stichprobe von $100$ Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ zu formulieren.
Gehe dazu schrittweise vor:
  1. Gib geeignete Hypothesen an und begründe deine Wahl.
  2. Ermittle eine geeignete Entscheidungsregel auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$.
In diesem Aufgabenteil wird die Zufallsvariable $X$ betrachtet, die die zufällige Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer Stichprobe mit $100$ Fliesen aus einer Palette beschreibt. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden mit Parametern $n=100$ und einer unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit $p$.
1. Schritt: Hypothese formulieren
Hier soll gezeigt werden, dass die neue Ausschusswahrscheinlichkeit niedriger als die $20\,\%$ der alten Maschine sind. Die Nullhypothese soll abgelehnt werden.
2. Schritt: Hypothese begründen
Begründe nun die Wahl der Nullhypothese $H_0$.
Überlege dir dazu zunächst für welche Werte die Hypothese abgelehnt werden soll und welche Folgen die Bestätigung bzw. die Ablehnung der Nullhypothese für den Produktionsleiter hätte.
3. Schritt: Entscheidungsregel formulieren
Hier sollst du nun eine Entscheidungsregel für den beschriebenen Hypothesentest auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha = 5\,\%$ formulieren. Gesucht ist also die größte Anzahl $k$ von Fliesen zweiter Wahl, für die die Nullhypothese gerade noch verworfen wird.
Betrachte hier die in der Aufgabenstellung eingeführte Zufallsvariable $X$, die binomialverteilt ist mit den Parametern $n =100$ und $p$.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit gibt an, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen höchstens $5\,\%$ betragen soll. Daraus ergibt sich folgende Ungleichung, aus der du den Wert $k$ berechnen kannst, für den die Nullhypothese gerade noch verworfen werden soll:
$P(X \leq k ) \leq 0,05$ für alle $p\geq 0,2$
Da im vorliegenden Fall nur $p = 0,2$ gelten kann, kannst du die Ungleichung unter der Annahme betrachten, dass laut Nullhypothese $p = 0,2$ gilt. Du erhältst dann einen Wert für $k$, indem du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung „rückwärts“ anwendest. Suche in der Tabelle zu $n =100$ in der Spalte zu $p = 0,2$ nach dem größten $k $, bei dem der Tabelleneintrag gerade noch $\leq 0,05$ ist.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Nichtablehnen berechnen
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl eigentlich die Wahrscheinlichkeit $p =0,15$ gilt, der Anteil sich also tatsächlich verringert hat. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
Betrachte hier also die Zufallsvariable $X$ von eben, allerdings unter der Voraussetzung, dass tatsächlich $p= 0,15$ gilt. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p=0,15}(X > 13)$, die du wieder wie zuvor mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder deinem GTR berechnen kannst, nachdem du den Term mit Hilfe des Gegenereignisses umgeformt hast.
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Lösungen TI
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung, die aus $20$ Fliesen besteht, genau vier „2.Wahl“-Fliesen enthalten sind.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer zufällig ausgewählten Packung beschreibt. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit
$P(X =4)$
Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass die Produktion stochastisch unabhängig ist und man davon ausgehen kann, dass jede Fliese die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt „2. Wahl“ oder „1. Wahl“ zu sein, kannst du annehmen, dass $X$ binomialverteilt ist. Die Parameter lauten hier $n =20$ und $p = 0,2$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du dann entweder mit der Formel für die Binomialverteilung oder deinem GTR berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: GTR
Du kannst den Binomial pdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du unter
6: Statistik $\to$ 5: Verteilungen $\to$ D: Binomial Pdf
Du musst dann die entsprechenden Parameter $n =20$, $p =0,2$ und $k = 4$ eingeben. Du erhältst dann das Ergebnis $P(X =4) \approx 0,2182 = 21,82\,\%$.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $21,82\,\%$ sind in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Handschriftlich
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:
$P(X = k)= \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k} $
Setze dort nun die entsprechenden Werte ein und erhalte so folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=4)&=&\binom{20}{4}\cdot 0,2^4\cdot (1-0,2)^{20-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \binom{20}{4}\cdot 0,2^4 \cdot 0,8^{16}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,2182 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&21,82\,\% &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $21,82\,\%$ sind in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung mindestens $90\,\%$ der Fliesen „1.Wahl“-Fliesen sind. Berechne dazu zunächst, wie viele Fliesen es demnach mindestens sein müssen, um die $90\,\%$-Grenze zu erreichen und forme diese Aussage in eine Aussage über die „2. Wahl“-Fliesen um. Betrachtest du dann wieder die Zufallsvariable $X$, so hat die gesuchte Wahrscheinlichkeit die Form $P(X\leq k)$. Du kannst nun die kumulierte Binomialverteilung verwenden.
1. Schritt: Minimale Anzahl an „1. Wahl“-Fliesen berechnen
Mindestens $90\,\%$ der Fliesen sollen „1. Wahl“-Fliesen sein:
$90\,\% \cdot 20 = 18$
Es sollen mindestens $18$ Fliesen aus der Packung mit 20 Fliesen „1. Wahl“-Fliesen sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich höchstens $2$ „2. Wahl“-Fliesen in der Packung befinden. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 2)$.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
Um eine Wahrscheinlichkeit der Form $P(X \leq k)$ zu bestimmen, kannst du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder den binomcdf-Befehl deines GTR verwenden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: GTR
Den binomcdf-Befehl deines GTR findest du unter
6: Statistik $\to$ 5: Verteilungen $\to$ E: Binomial Cdf
Dort musst du nun wie oben die entsprechenden Parameter eingeben und erhältst dann das folgende Ergebnis
$P(X\leq 2) \approx 0,2061 = 20,61\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $20,61\,\%$ befinden sich in einer Packung mindestens $90\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Tabelle
Lies aus der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n =20$ den Wert aus der Spalte für $p = 0,2$ und der Zeile für $k =2$ ab. So erhältst du folgendes Ergebnis:
$P(X\leq 2) \approx 0,2061 = 20,61\,\%$.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $20,61\,\%$ befinden sich in einer Packung mindestens $90\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.
(3)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweicht. Bestimme dazu zuerst die erwartete Anzahl an „2. Wahl“-Fliesen, mit der du den gesuchten Bereich an Fliesen bestimmen kannst. Betrachtest du dann wieder die Zufallsvariable $X$, so kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit in Wahrscheinlichkeiten der Form $P(X\leq k)$ umformen. Du kannst nun die kumulierte Binomialverteilung oder wie in (2) deinen GTR verwenden.
1. Schritt: Erwartete Anzahl bestimmen
In einer Packung sind $20$ Fliesen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,2$ ist eine Fliese „2. Wahl“. Dementsprechend ist die erwartete Anzahl an Fliesen:
$20 \cdot 0,2=4$
Die Anzahl an „2. Wahl“-Fliesen soll höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweichen, also befindet sich $X$ zwischen $2$ und $6$, d.h. $2 \leq X \leq 6$.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
Berechne demnach die Wahrscheinlichkeit $P\left(2 \leq X \leq 6\right)$. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich folgendermaßen umschreiben:
$P\left(2 \leq X \leq 6\right)= P(X \leq 6) - P(X \leq 1)$
Diese beiden Werte kannst du aus der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung für $n=20$, $\,p=0,2$ und $ k=6$ bzw. $k=1$ ablesen oder mit dem Binomcdf-Befehl deines GTR bestimmen. Du erhältst:
$P\left(2 \leq X \leq 6\right)= P(X \leq 6) - P(X \leq 1) \approx 0,9133 - 0,0692 = 0,8441 = 84,41 \,\%$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweicht, liegt bei ca. $84,41\,\%$.
b) (1)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass alle Fliesen in einer zufällig ausgewählten Reihe, die aus $5$ Fliesen besteht, „1. Wahl“-Fliesen sind. Betrachte dazu die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der „1. Wahl“-Fliesen in einer Reihe beschreibt. Diese ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt, allerdings mit den Parametern $ n = 5$ und $p = 0,8$.
Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit $P(Y =5)$. Diese lässt sich wieder mit der Formel für die Binomialverteilung oder dem Binompdf-Befehl deines GTR berechnen. In beiden Fällen erhältst du folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y=5)&=&\binom{5}{5}\cdot 0,8^5\cdot 0,2^0 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,8 ^5 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,32768 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 32,768\,\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $\widetilde{p} = 0,32768 = 32,768\,\%$ besteht eine zufällig ausgewählte Reihe nur aus „1. Wahl“-Fliesen .
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass es unter den $4$ Reihen mindestens eine gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. Betrachte dazu die Zufallsvariable $R$, die die zufällige Anzahl der Reihen beschreibt, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen bestehen. Dann ist $R$ binomialverteilt mit den Parametern $n =4$ und $p = \widetilde{p}= 0, 32768$, da jede der $4$ Reihen die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt nur aus „1. Wahl“-Fliesen zu bestehen und die Besetzung einer Reihe nicht von der Besetzung der übrigen Reihen abhängt.
Gesucht ist demnach nun die Wahrscheinlichkeit $P(R \geq 1)$, welche du wieder wie oben berechnen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} P(R \geq 1)&=&1- P(R \leq 0) &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 1-P(R =0)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1- \binom{4}{0}\cdot 0, 32768^0\cdot (1-0, 32768)^4 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,7957 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&79,57\,\% &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $79,57\,\%$ gibt es unter den $4$ Reihen mindestens eine Reihe, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.
(3)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass in einer Reihe mit $2$ Fliesen „2. Wahl“ diese Fliesen direkt nebeneinander liegen. Nenne dieses Ereignis $A$. Jede Reihenfolge tritt mit derselben Wahrscheinlichkeit auf, also kannst du die Wahrscheinlichkeit folgendermaßen nach Laplace berechnen:
$P(A)=\dfrac{\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen so anzuordnen, dass } A \text{ gilt}} {\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen anzuordnen}}$
1. Schritt: Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen anzuordnen
Du verteilst $2$ „2. Wahl“-Fliesen auf $5$ Plätze, der Rest wird mit „1. Wahl“-Fliesen aufgefüllt. Es handelt sich hierbei also um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen. Damit gibt es also $\begin{pmatrix}5\\ 2\end{pmatrix}=10$ Möglichkeiten die Fliesen anzuordnen.
2. Schritt: Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen so anzuordnen, dass A gilt
Nummeriere hierzu die $5$ Plätze der Reihe mit den Zahlen $1$ bis $5$ durch. Nun hast du folgende Möglichkeiten, dass die beiden Fliesen nebeneinander liegen: $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,4)$ und $(4,5)$. Dies sind also $4$ Möglichkeiten.
3. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun kannst du die im 1. und 2. Schritt erhaltenen Ergebnisse einsetzen:
$P(A)=\dfrac{4}{10}=40\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe mit $2$ Fliesen „2. Wahl“ diese Fliesen direkt nebeneinander liegen, liegt bei $40\,\%$.
c) (1)
$\blacktriangleright$ Graphische Darstellung
Du sollst hier die neue Situation, die sich durch die Einführung der Testmaschine ergeben hat, graphisch darstellen. Für eine übersichtlichere Darstellung kannst du zunächst folgende oder ähnliche Bezeichnungen einführen:
  • $W_1$: Die vorliegende Fliese ist 1. Wahl
  • $W_2$: Die vorliegende Fliese ist 2. Wahl
  • $T_1$: Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 1. Wahl bezeichnet
  • $T_2$: Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 2. Wahl bezeichnet
Die Sortierung der Testmaschine hängt davon ab, ob eine Fliese 1. Wahl oder 2. Wahl ist. Aus diesem Grund handelt es sich hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Der Aufgabenstellung kannst du bereits folgende Wahrscheinlichkeiten entnehmen:
  • $P(W_1) = 0,8$
  • $P(W_2) = 0,2$
  • $P(T_2\mid W_2 ) = w = 0,9$
  • $P(T_2\mid W_1) = 0,05$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Baumdiagramm
Um die Situation mit Hilfe eines Baumdiagramms darzustellen, überlege dir zunächst, wie viele Stufen hier vorliegen und gehe dann in jeder Stufe jede Möglichkeit durch.
Die erste Stufe ist die Produktion der Fliesen. Hier wird jede Fliese zur „1. Wahl“-Fliese oder „2. Wahl“-Fliese. Die Wahrscheinlichkeiten sind dementsprechend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine „1. Wahl“- bzw. „2. Wahl“-Fliese produziert wird.
Die nächste Stufe ist dann die Sortierung der Testmaschine. Diese hängt von der ersten Stufe ab. Die Wahrscheinlichkeiten in dieser Stufe kannst du der Aufgabenstellung entnehmen bzw. mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen. Insgesamt besteht das Zufallsexperiment hier also aus 2 Stufen und das Baumdiagramm ergibt sich nun wie folgt:
Aufgabe 5
Aufgabe 5
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Vierfeldertafel
Beginne bei der Vierfeldertafel damit die Wahrscheinlichkeiten einzutragen, die du direkt der Aufgabenstellung entnehmen kannst. Fülle anschließend die Vierfeldertafel auf, indem du aus den bekannten Wahrscheinlichkeiten die übrigen Wahrscheinlichkeiten bestimmst. Beachte dabei, dass sich der Eintrag einer Vierfeldertafel in der Spalte zu Ereignis $B$ und in der Zeile zu Ereignis $A$ aus $P(A\cap B)$ ergibt. Es gilt
$P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B) = P(B\mid A)\cdot P(A)$
Es geht hier also um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Daraus kannst du folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen:
$P(T_1\mid W_2) = 1-w = 0,1\quad$ und $\quad P(T_1\mid W_1) = 1- P(T_2\mid W_1) = 0,95$
Damit ergibt sich nun folgendes:
$T_1$$T_2$Summe
$W_1$$P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,95\cdot 0,8 = \boldsymbol{0,76}$$P(T_2\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,05\cdot 0,8= \boldsymbol{0,04}$$\boldsymbol{0,8}$
$W_2$$P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,2\cdot 0,1 = \boldsymbol{0,02}$$P(T_2\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,9\cdot0,2=\boldsymbol{0,18}$$\boldsymbol{0,2}$
Summe$P(T_1) = 0,76 +0,02 = \boldsymbol{0,78}$$P(T_2)= 0,04+0,18 =\boldsymbol{ 0,22}$$1$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Fliese als 1. Wahl eingestuft wird. Gesucht ist also $P(T_1)$. Je nachdem welchen Lösungsweg du im letzten Aufgabenteil gewählt hast, unterscheidet sich auch hier der Lösungsweg.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Baumdiagramm
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich hier mit den Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(T_1)&=&P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) + P(T_1\mid W_2)\cdot W_2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,8\cdot 0,95+ 0,2\cdot 0,1 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,78 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,78 = 78\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Vierfeldertafel
Mit Hilfe der Vierfeldertafel, kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt ablesen:
$P(T_1) = 0,78 = 78\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,78 = 78\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.
(2)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine Fliese eine „2. Wahl“-Fliese ist unter der Bedingung, dass sie von der Maschine nicht aussortiert wurde, also als 1. Wahl eingestuft wurde. Gesucht ist also $P(W_2\mid T_1)$. Du kannst hier den Satz von Bayes verwenden:
$P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$
Damit ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(W_2 \mid T_1) &=& \dfrac{P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2)}{P(T_1)} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,1\cdot 0,2}{0,78}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,0256 \\[5pt] &=&2,56\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,56\,\%$ ist eine nicht aussortierte Fliese eine „2. Wahl“-Fliese.
d) (1)
$\blacktriangleright$ Hypothesentest aufstellen
Hier soll getestet werden, ob die neu eingestellte Maschine tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Dazu ist es deine Aufgabe, einen geeigneten Hypothesentest für die genannte Stichprobe von $100$ Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ zu formulieren.
Gehe dazu schrittweise vor:
  1. Gib geeignete Hypothesen an und begründe deine Wahl.
  2. Ermittle eine geeignete Entscheidungsregel auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$.
In diesem Aufgabenteil wird die Zufallsvariable $X$ betrachtet, die die zufällige Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer Stichprobe mit $100$ Fliesen aus einer Palette beschreibt. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden mit Parametern $n=100$ und einer unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit $p$.
1. Schritt: Hypothese formulieren
Hier soll gezeigt werden, dass die neue Ausschusswahrscheinlichkeit niedriger als die $20\,\%$ der alten Maschine sind. Die Nullhypothese soll abgelehnt werden, dementsprechend ist die Nullhypothese wie folgt zu wählen:
$H_0: p \geq 0,2$.
Die Alternative ist dann dementsprechend:
$H_1: p < 0,2$.
2. Schritt: Hypothese begründen
Begründe nun die Wahl der Nullhypothese $H_0$.
Überlege dir dazu zunächst, für welche Werte die Hypothese abgelehnt werden soll und welche Folgen die Bestätigung bzw. die Ablehnung der Nullhypothese für den Produktionsleiter hätte.
Wenn in der Stichprobe signifikant wenige „2. Wahl“-Fliesen gefunden werden, soll die Nullhypothese abgelehnt werden. In einem solchen Fall kann der Produktionsleiter davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Fliese „2. Wahl“ kleiner als $0,2$ ist und sich der Ausschussanteil verringert hat.
Der Produktionsleiter möchte also sicher gehen, dass sich der Ausschussanteil verringert hat und signifikant kleiner als $20\,\%$ ist. In jedem anderen Fall nimmt er an, dass sich der Anteil nicht verringert hat. Damit soll ausgeschlossen werden, dass fälschlicherweise ein zu niedriger Anteil angenommen wird.
3. Schritt: Entscheidungsregel formulieren
Hier sollst du nun eine Entscheidungsregel für den beschriebenen Hypothesentest auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha = 5\,\%$ formulieren. Gesucht ist also die größte Anzahl $k$ von Fliesen zweiter Wahl, für die die Nullhypothese gerade noch verworfen wird.
Betrachte hier die in der Aufgabenstellung eingeführte Zufallsvariable $X$, die binomialverteilt ist mit den Parametern $n =100$ und $p$.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit gibt an, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen, höchstens $5\,\%$ betragen soll. Daraus ergibt sich folgende Ungleichung, aus der du den Wert $k$ berechnen kannst, für den die Nullhypothese gerade noch verworfen werden soll:
$P(X \leq k ) \leq 0,05$ für alle $p\geq 0,2$
Da im vorliegenden Fall nur $p = 0,2$ gelten kann, kannst du die Ungleichung unter der Annahme betrachten, dass laut Nullhypothese $p = 0,2$ gilt. Du erhältst dann einen Wert für $k$, indem du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung „rückwärts“ anwendest. Suche in der Tabelle zu $n =100$ in der Spalte zu $p = 0,2$ nach dem größten $k $, bei dem der Tabelleneintrag gerade noch $\leq 0,05$ ist. Dann findest du folgendes:
  • $P(X\leq 12) \approx 0,0253$
  • $P(X\leq 13) \approx 0,0469$
  • $P(X\leq 14) \approx 0,0804$
Damit ist das gesuchte $k =13$.
Die Entscheidungsregel lautet demach wie folgt:
Werden in der Stichprobe von $100$ Fliesen höchstens $13$ Fliesen 2. Wahl gefunden, wird die Nullhypothese auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ verworfen und der Produktionsleiter nimmt an, dass der Ausschussanteil unter $20\,\%$ liegt. Werden mehr als $13$ Fliesen 2. Wahl gefunden, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden und es kann nicht angenommen werden, dass der Ausschussanteil kleiner als $20\,\%$ ist.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Nichtablehnen berechnen
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl eigentlich die Wahrscheinlichkeit $p =0,15$ gilt, der Anteil sich also tatsächlich verringert hat. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
Betrachte hier also die Zufallsvariable $X$ von eben, allerdings unter der Voraussetzung, dass tatsächlich $p= 0,15$ gilt. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p=0,15}(X > 13)$, die du wieder wie zuvor mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder deinem GTR berechnen kannst, nachdem du den Term mit Hilfe des Gegenereignisses umgeformt hast:
$\begin{array}[t]{rll} P_{p=0,15}(X > 13)&=& 1- P_{p=0,15}(X\leq 13) &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&1- 0,3474&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,6526&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&65,26\,\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese irrtümlich beizubehalten, obwohl eigentlich die alternative Wahrscheinlichkeit $p=0,15$ gilt, beträgt ca. $65,26\,\%$.
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung, die aus $20$ Fliesen besteht, genau vier „2.Wahl“-Fliesen enthalten sind.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer zufällig ausgewählten Packung beschreibt. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit
$P(X =4)$
Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass die Produktion stochastisch unabhängig ist und man davon ausgehen kann, dass jede Fliese die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt „2. Wahl“ oder „1. Wahl“ zu sein, kannst du annehmen, dass $X$ binomialverteilt ist. Die Parameter lauten hier $n =20$ und $p = 0,2$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du dann entweder mit der Formel für die Binomialverteilung oder deinem GTR berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: GTR
Du kannst den binompdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du im STAT-Menü unter
F5: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F1: Bpd $\to$ F2: Var
Du musst dann die entsprechenden Parameter $x=2$, $n = 20$ und $p =0,1$ eingeben. Du erhältst dann das Ergebnis $P(X =4) \approx 0,2182 = 21,82\,\%$.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $21,82\,\%$ sind in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Handschriftlich
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:
$P(X = k)= \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k} $
Setze dort nun die entsprechenden Werte ein und erhalte so folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=4)&=&\binom{20}{4}\cdot 0,2^4\cdot (1-0,2)^{20-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \binom{20}{4}\cdot 0,2^4 \cdot 0,8^{16}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,2182 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&21,82\,\% &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $21,82\,\%$ sind in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung mindestens $90\,\%$ der Fliesen „1.Wahl“-Fliesen sind. Berechne dazu zunächst, wie viele Fliesen es demnach mindestens sein müssen, um die $90\,\%$-Grenze zu erreichen und forme diese Aussage in eine Aussage über die „2. Wahl“-Fliesen um. Betrachtest du dann wieder die Zufallsvariable $X$, so hat die gesuchte Wahrscheinlichkeit die Form $P(X\leq k)$. Du kannst nun die kumulierte Binomialverteilung verwenden.
1. Schritt: Minimale Anzahl an „1. Wahl“-Fliesen berechnen
Mindestens $90\,\%$ der Fliesen sollen „1. Wahl“-Fliesen sein:
$90\,\% \cdot 20 = 18$
Es sollen mindestens $18$ Fliesen aus der Packung mit 20 Fliesen „1. Wahl“-Fliesen sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich höchstens $2$ „2. Wahl“-Fliesen in der Packung befinden. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 2)$.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
Um eine Wahrscheinlichkeit der Form $P(X \leq k)$ zu bestimmen, kannst du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder den binomcdf-Befehl deines GTR verwenden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: GTR
Du kannst den binomcdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du im STAT-Menü unter
F5: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F2: Bcd $\to$ F2: Var
Dort musst du nun wie oben die entsprechenden Parameter eingeben und erhältst dann das folgende Ergebnis
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $20,61\,\%$ befinden sich in einer Packung mindestens $90\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Tabelle
Lies aus der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n =20$ den Wert aus der Spalte für $p = 0,2$ und der Zeile für $k =2$ ab. So erhältst du folgendes Ergebnis:
$P(X\leq 2) \approx 0,2061 = 20,61\,\%$.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $20,61\,\%$ befinden sich in einer Packung mindestens $90\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.
(3)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweicht. Bestimme dazu zuerst die erwartete Anzahl an „2. Wahl“-Fliesen, mit der du den gesuchten Bereich an Fliesen bestimmen kannst. Betrachtest du dann wieder die Zufallsvariable $X$, so kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit in Wahrscheinlichkeiten der Form $P(X\leq k)$ umformen. Du kannst nun die kumulierte Binomialverteilung oder wie in (2) deinen GTR verwenden.
1. Schritt: Erwartete Anzahl bestimmen
In einer Packung sind $20$ Fliesen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,2$ ist eine Fliese „2. Wahl“. Dementsprechend ist die erwartete Anzahl an Fliesen:
$20 \cdot 0,2=4$
Die Anzahl an „2. Wahl“-Fliesen soll höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweichen, also befindet sich $X$ zwischen $2$ und $6$, d.h. $2 \leq X \leq 6$.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
Berechne demnach die Wahrscheinlichkeit $P\left(2 \leq X \leq 6\right)$. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich folgendermaßen umschreiben:
$P\left(2 \leq X \leq 6\right)= P(X \leq 6) - P(X \leq 1)$
Diese beiden Werte kannst du aus der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung für $n=20$, $\,p=0,2$ und $ k=6$ bzw. $k=1$ ablesen oder mit dem Binomcdf-Befehl deines GTR bestimmen. Du erhältst:
$P\left(2 \leq X \leq 6\right)= P(X \leq 6) - P(X \leq 1) \approx 0,9133 - 0,0692 = 0,8441 = 84,41 \,\%$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um $2$ von der erwarteten Anzahl abweicht, liegt bei ca. $84,41\,\%$.
b) (1)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass alle Fliesen in einer zufällig ausgewählten Reihe, die aus $5$ Fliesen besteht, „1. Wahl“-Fliesen sind. Betrachte dazu die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der „1. Wahl“-Fliesen in einer Reihe beschreibt. Diese ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt, allerdings mit den Parametern $ n = 5$ und $p = 0,8$.
Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit $P(Y =5)$. Diese lässt sich wieder mit der Formel für die Binomialverteilung oder dem Binompdf-Befehl deines GTR berechnen. In beiden Fällen erhältst du folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y=5)&=&\binom{5}{5}\cdot 0,8^5\cdot 0,2^0 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,8 ^5 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,32768 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 32,768\,\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $\widetilde{p} = 0,32768 = 32,768\,\%$ besteht eine zufällig ausgewählte Reihe nur aus „1. Wahl“-Fliesen .
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass es unter den $4$ Reihen mindestens eine gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. Betrachte dazu die Zufallsvariable $R$, die die zufällige Anzahl der Reihen beschreibt, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen bestehen. Dann ist $R$ binomialverteilt mit den Parametern $n =4$ und $p = \widetilde{p}= 0, 32768$, da jede der $4$ Reihen die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt nur aus „1. Wahl“-Fliesen zu bestehen und die Besetzung einer Reihe nicht von der Besetzung der übrigen Reihen abhängt.
Gesucht ist demnach nun die Wahrscheinlichkeit $P(R \geq 1)$, welche du wieder wie oben berechnen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} P(R \geq 1)&=&1- P(R \leq 0) &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 1-P(R =0)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1- \binom{4}{0}\cdot 0, 32768^0\cdot (1-0, 32768)^4 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,7957 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&79,57\,\% &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $79,57\,\%$ gibt es unter den $4$ Reihen mindestens eine Reihe, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.
(3)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass in einer Reihe mit $2$ Fliesen „2. Wahl“ diese Fliesen direkt nebeneinander liegen. Nenne dieses Ereignis $A$. Jede Reihenfolge tritt mit derselben Wahrscheinlichkeit auf, also kannst du die Wahrscheinlichkeit folgendermaßen nach Laplace berechnen:
$P(A)=\dfrac{\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen so anzuordnen, dass } A \text{ gilt}} {\text{Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen anzuordnen}}$
1. Schritt: Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen anzuordnen
Du verteilst $2$ „2. Wahl“-Fliesen auf $5$ Plätze, der Rest wird mit „1. Wahl“-Fliesen aufgefüllt. Es handelt sich hierbei also um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen. Damit gibt es also $\begin{pmatrix}5\\ 2\end{pmatrix}=10$ Möglichkeiten die Fliesen anzuordnen.
2. Schritt: Anzahl der Reihenfolgen die Fliesen so anzuordnen, dass A gilt
Nummeriere hierzu die $5$ Plätze der Reihe mit den Zahlen $1$ bis $5$ durch. Nun hast du folgende Möglichkeiten, dass die beiden Fliesen nebeneinander liegen: $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,4)$ und $(4,5)$. Dies sind also $4$ Möglichkeiten.
3. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun kannst du die im 1. und 2. Schritt erhaltenen Ergebnisse einsetzen:
$P(A)=\dfrac{4}{10}=40\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe mit $2$ Fliesen „2. Wahl“ diese Fliesen direkt nebeneinander liegen, liegt bei $40\,\%$.
c) (1)
$\blacktriangleright$ Graphische Darstellung
Du sollst hier die neue Situation, die sich durch die Einführung der Testmaschine ergeben hat, graphisch darstellen. Für eine übersichtlichere Darstellung kannst du zunächst folgende oder ähnliche Bezeichnungen einführen:
  • $W_1$: Die vorliegende Fliese ist 1. Wahl
  • $W_2$: Die vorliegende Fliese ist 2. Wahl
  • $T_1$: Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 1. Wahl bezeichnet
  • $T_2$: Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 2. Wahl bezeichnet
Die Sortierung der Testmaschine hängt davon ab, ob eine Fliese 1. Wahl oder 2. Wahl ist. Aus diesem Grund handelt es sich hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Der Aufgabenstellung kannst du bereits folgende Wahrscheinlichkeiten entnehmen:
  • $P(W_1) = 0,8$
  • $P(W_2) = 0,2$
  • $P(T_2\mid W_2 ) = w = 0,9$
  • $P(T_2\mid W_1) = 0,05$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Baumdiagramm
Um die Situation mit Hilfe eines Baumdiagramms darzustellen, überlege dir zunächst, wie viele Stufen hier vorliegen und gehe dann in jeder Stufe jede Möglichkeit durch.
Die erste Stufe ist die Produktion der Fliesen. Hier wird jede Fliese zur „1. Wahl“-Fliese oder „2. Wahl“-Fliese. Die Wahrscheinlichkeiten sind dementsprechend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine „1. Wahl“- bzw. „2. Wahl“-Fliese produziert wird.
Die nächste Stufe ist dann die Sortierung der Testmaschine. Diese hängt von der ersten Stufe ab. Die Wahrscheinlichkeiten in dieser Stufe kannst du der Aufgabenstellung entnehmen bzw. mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen. Insgesamt besteht das Zufallsexperiment hier also aus 2 Stufen und das Baumdiagramm ergibt sich nun wie folgt:
Aufgabe 5
Aufgabe 5
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Vierfeldertafel
Beginne bei der Vierfeldertafel damit die Wahrscheinlichkeiten einzutragen, die du direkt der Aufgabenstellung entnehmen kannst. Fülle anschließend die Vierfeldertafel auf, indem du aus den bekannten Wahrscheinlichkeiten die übrigen Wahrscheinlichkeiten bestimmst. Beachte dabei, dass sich der Eintrag einer Vierfeldertafel in der Spalte zu Ereignis $B$ und in der Zeile zu Ereignis $A$ aus $P(A\cap B)$ ergibt. Es gilt
$P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B) = P(B\mid A)\cdot P(A)$
Es geht hier also um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Daraus kannst du folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen:
$P(T_1\mid W_2) = 1-w = 0,1\quad$ und $\quad P(T_1\mid W_1) = 1- P(T_2\mid W_1) = 0,95$
Damit ergibt sich nun folgendes:
$T_1$$T_2$Summe
$W_1$$P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,95\cdot 0,8 = \boldsymbol{0,76}$$P(T_2\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,05\cdot 0,8= \boldsymbol{0,04}$$\boldsymbol{0,8}$
$W_2$$P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,2\cdot 0,1 = \boldsymbol{0,02}$$P(T_2\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,9\cdot0,2=\boldsymbol{0,18}$$\boldsymbol{0,2}$
Summe$P(T_1) = 0,76 +0,02 = \boldsymbol{0,78}$$P(T_2)= 0,04+0,18 =\boldsymbol{ 0,22}$$1$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Fliese als 1. Wahl eingestuft wird. Gesucht ist also $P(T_1)$. Je nachdem welchen Lösungsweg du im letzten Aufgabenteil gewählt hast, unterscheidet sich auch hier der Lösungsweg.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Baumdiagramm
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich hier mit den Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(T_1)&=&P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) + P(T_1\mid W_2)\cdot W_2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,8\cdot 0,95+ 0,2\cdot 0,1 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,78 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,78 = 78\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Vierfeldertafel
Mit Hilfe der Vierfeldertafel, kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt ablesen:
$P(T_1) = 0,78 = 78\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,78 = 78\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.
(2)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine Fliese eine „2. Wahl“-Fliese ist unter der Bedingung, dass sie von der Maschine nicht aussortiert wurde, also als 1. Wahl eingestuft wurde. Gesucht ist also $P(W_2\mid T_1)$. Du kannst hier den Satz von Bayes verwenden:
$P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$
Damit ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(W_2 \mid T_1) &=& \dfrac{P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2)}{P(T_1)} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,1\cdot 0,2}{0,78}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,0256 \\[5pt] &=&2,56\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,56\,\%$ ist eine nicht aussortierte Fliese eine „2. Wahl“-Fliese.
d) (1)
$\blacktriangleright$ Hypothesentest aufstellen
Hier soll getestet werden, ob die neu eingestellte Maschine tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Dazu ist es deine Aufgabe, einen geeigneten Hypothesentest für die genannte Stichprobe von $100$ Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ zu formulieren.
Gehe dazu schrittweise vor:
  1. Gib geeignete Hypothesen an und begründe deine Wahl.
  2. Ermittle eine geeignete Entscheidungsregel auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$.
In diesem Aufgabenteil wird die Zufallsvariable $X$ betrachtet, die die zufällige Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer Stichprobe mit $100$ Fliesen aus einer Palette beschreibt. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden mit Parametern $n=100$ und einer unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit $p$.
1. Schritt: Hypothese formulieren
Hier soll gezeigt werden, dass die neue Ausschusswahrscheinlichkeit niedriger als die $20\,\%$ der alten Maschine sind. Die Nullhypothese soll abgelehnt werden, dementsprechend ist die Nullhypothese wie folgt zu wählen:
$H_0: p \geq 0,2$.
Die Alternative ist dann dementsprechend:
$H_1: p < 0,2$.
2. Schritt: Hypothese begründen
Begründe nun die Wahl der Nullhypothese $H_0$.
Überlege dir dazu zunächst, für welche Werte die Hypothese abgelehnt werden soll und welche Folgen die Bestätigung bzw. die Ablehnung der Nullhypothese für den Produktionsleiter hätte.
Wenn in der Stichprobe signifikant wenige „2. Wahl“-Fliesen gefunden werden, soll die Nullhypothese abgelehnt werden. In einem solchen Fall kann der Produktionsleiter davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Fliese „2. Wahl“ kleiner als $0,2$ ist und sich der Ausschussanteil verringert hat.
Der Produktionsleiter möchte also sicher gehen, dass sich der Ausschussanteil verringert hat und signifikant kleiner als $20\,\%$ ist. In jedem anderen Fall nimmt er an, dass sich der Anteil nicht verringert hat. Damit soll ausgeschlossen werden, dass fälschlicherweise ein zu niedriger Anteil angenommen wird.
3. Schritt: Entscheidungsregel formulieren
Hier sollst du nun eine Entscheidungsregel für den beschriebenen Hypothesentest auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha = 5\,\%$ formulieren. Gesucht ist also die größte Anzahl $k$ von Fliesen zweiter Wahl, für die die Nullhypothese gerade noch verworfen wird.
Betrachte hier die in der Aufgabenstellung eingeführte Zufallsvariable $X$, die binomialverteilt ist mit den Parametern $n =100$ und $p$.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit gibt an, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen, höchstens $5\,\%$ betragen soll. Daraus ergibt sich folgende Ungleichung, aus der du den Wert $k$ berechnen kannst, für den die Nullhypothese gerade noch verworfen werden soll:
$P(X \leq k ) \leq 0,05$ für alle $p\geq 0,2$
Da im vorliegenden Fall nur $p = 0,2$ gelten kann, kannst du die Ungleichung unter der Annahme betrachten, dass laut Nullhypothese $p = 0,2$ gilt. Du erhältst dann einen Wert für $k$, indem du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung „rückwärts“ anwendest. Suche in der Tabelle zu $n =100$ in der Spalte zu $p = 0,2$ nach dem größten $k $, bei dem der Tabelleneintrag gerade noch $\leq 0,05$ ist. Dann findest du folgendes:
  • $P(X\leq 12) \approx 0,0253$
  • $P(X\leq 13) \approx 0,0469$
  • $P(X\leq 14) \approx 0,0804$
Damit ist das gesuchte $k =13$.
Die Entscheidungsregel lautet demach wie folgt:
Werden in der Stichprobe von $100$ Fliesen höchstens $13$ Fliesen 2. Wahl gefunden, wird die Nullhypothese auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ verworfen und der Produktionsleiter nimmt an, dass der Ausschussanteil unter $20\,\%$ liegt. Werden mehr als $13$ Fliesen 2. Wahl gefunden, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden und es kann nicht angenommen werden, dass der Ausschussanteil kleiner als $20\,\%$ ist.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Nichtablehnen berechnen
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl eigentlich die Wahrscheinlichkeit $p =0,15$ gilt, der Anteil sich also tatsächlich verringert hat. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
Betrachte hier also die Zufallsvariable $X$ von eben, allerdings unter der Voraussetzung, dass tatsächlich $p= 0,15$ gilt. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p=0,15}(X > 13)$, die du wieder wie zuvor mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder deinem GTR berechnen kannst, nachdem du den Term mit Hilfe des Gegenereignisses umgeformt hast:
$\begin{array}[t]{rll} P_{p=0,15}(X > 13)&=& 1- P_{p=0,15}(X\leq 13) &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&1- 0,3474&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,6526&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&65,26\,\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese irrtümlich beizubehalten, obwohl eigentlich die alternative Wahrscheinlichkeit $p=0,15$ gilt, beträgt ca. $65,26\,\%$.
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