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Aufgabe 5

Aufgaben
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a)
Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Zufallsvariable $X:$ „Anzahl fehlerhafter Teile“ unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.
$800$ Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt.
#binomialverteilung
$\,$
(1)
Bestimme für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
„Genau $30$ der Teile sind fehlerhaft.“
„Mindestens $25$ der Teile sind fehlerhaft.“
(5 BE)
$\,$
(2)
Bestimme die zu erwartende Anzahl fehlerhafter Teile und die Standardabweichung von $X.$
(4 BE)
#erwartungswert#standardabweichung
$\,$
(3)
Ermittle, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein Teil fehlerhaft ist.
(5 BE)
Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um die Vermutung zu überprüfen, werden in einer Stichprobe wiederum $800$ Teile ausgewählt.
Sind in der Stichprobe höchstens $22$ Teile fehlerhaft, so möchte der Produktionsleiter das neue Granulat weiter verwenden.
$\,$
(4)
Zeige, dass unter der Annahme $p=0,04$ die Wahrscheinlichkeit für höchstens $22$ fehlerhafte Teile unter $5\,\%$ liegt.
(2 BE)
$\,$
Pro Kunststoffteil möchte das Unternehmen einen durchschnittlichen Gewinn von $1\,€$ machen. Dabei belaufen sich die Herstellungskosten auf $0,50\,€$ pro Kunststoffteil. Der Verkaufspreis $v$ wird vom Unternehmen festgesetzt, wobei fehlerhafte Teile nicht verkauft werden.
$\,$
(5)
Begründe, dass mit Hilfe der Gleichung
$0,04\cdot (-0,5) + 0,96 \cdot (v-0,5) = 1$
$ 0,04\cdot (-0,5) + 0,96… $
der Verkaufspreis bestimmt werden.
(4 BE)
$\,$
(6)
Das neue Granulat wird nun verwendet und verursacht in Wirklichkeit nur noch $2\,\%$ fehlerhafte Teile. Die Herstellungskosten wurden durch den Wechsel des Granulats nicht beeinflusst.
Ermittle den prozentualen Preisnachlass, den das Unternehmen beim Verkaufspreis nun gewähren kann.
(5 BE)
b)
Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.
FarbeBlauRotGrün
Mittelpunktswinkel$180^{\circ}$$120^{\circ}$$60^{\circ}$
FarbeMittelpunktswinkel
Blau$180^{\circ}$
Rot$120^{\circ}$
Grün$60^{\circ}$
Ein Spieler muss das Glücksrad in jedem Spiel dreimal drehen. Er gewinnt das Spiel, wenn er dreimal die gleiche Farbe erzielt.
$\,$
(1)
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dreimal die gleiche Farbe zu erzielen, $\frac{1}{6}$ beträgt.
(4 BE)
$\,$
Es werden $10$ Spiele absolviert. Die Zufallsvariable $Y:$ „Anzahl der Spiele, in denen dreimal die gleiche Farbe erzielt wird“ ist binomialverteilt.
#binomialverteilung
$\,$
(2)
Entscheide, welcher der folgenden Ansätze zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E:$ „In genau $3$ der $10$ Spiele wird jeweils dreimal die gleiche Farbe erzielt“ genutzt werden kann, und erläutere die einzelnen Bestandteile dieses ausgewählten Ansatzes.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&P(E)&=& \left(\frac{1}{2}\right)^3 +\left(\frac{1}{3}\right)^3+ \left(\frac{1}{6}\right)^3 \\[10pt] \text{II}\quad&P(E)&=& 3\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^7 \\[10pt] \text{III}\quad&P(E)&=& \binom{10}{3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^7 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&P(E)&… \\[10pt] \text{II}\quad&P(E)&… \\[10pt] \text{III}\quad&P(E)&… \\[10pt] \end{array}$
(5 BE)
$\,$
(3)
Es werden die Ereignisse
„In allen $10$ Spielen wird jeweils dreimal die gleiche Farbe erzielt“ und
„In $30$ Drehungen wird immer die gleiche Farbe erzielt“
betrachtet.
Beurteile die Aussage: „Ob Ereignis $E_1$ oder Ereignis $E_2$ untersucht wird, ist egal, da sie das Gleiche aussagen und mit derselben Wahrscheinlichkeit eintreten.“
(6 BE)
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Lösungen
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Teile in einer zufälligen Stichprobe von $800$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=800$ und $p=0,04$ angenommen werden.
Mithilfe des CAS kann dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem binomPdf- bzw. binomCdf-Befehl bestimmt werden.
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial PDf / binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial PDf / binomial CDf
Für Ereignis $A$ ergibt sich mit dem Binomial Pdf-Befehl:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=30) &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] &\approx& 0,0693 \\[5pt] &=& 6,93\,\% \end{array}$
$ P(A)\approx 6,93\,\%$
Mit dem Binomial Cdf-Befehl folgt für Ereignis $B:$
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X\geq 25) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 0,9163 \\[5pt] &=& 91,63\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 91,63\,\% $
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen
Da $X$ binomialverteilt ist mit $n=800$ und $p=0,04$ können die Werte mit Hilfe der entsprechenden Formeln berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \mu_X &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 800 \cdot 0,04 \\[5pt] &=& 32\\[10pt] \sigma_X &=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{800 \cdot 0,04 \cdot 0,96} \\[5pt] &\approx& 5,54 \\[10pt] \end{array}$
Die zu erwartende Anzahl fehlerhafter Teile beträgt $32,$ die Standardabweichung von $X$ ist $\sigma_X \approx 5,54.$
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die Anzahl der fehlerhaften Teile in einer zufälligen Stichprobe von $n$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,04$ angenommen werden.
Gesucht ist dann das kleinste $n,$ sodass gerade noch $P(X_n \geq 1) \geq 0,95$ gilt.
Mit dem Gegenereignis und der Formel für die Binomialverteilung erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_n \geq 1)&\geq& 0,95 \\[5pt] 1-P(X_n =0 )&\geq& 0,95 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(X_n =0 )&\geq& -0,05 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P(X_n = 0)&\leq& 0,05 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,04^0 \cdot 0,96^n &\leq& 0,05 \\[5pt] 0,96^n &\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] n\cdot \ln 0,95&\leq & \ln 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; :\ln 0,95 < 0 \\[5pt] n&\geq& 59 \end{array}$
$ n\geq 59 $
Es müssen also mindestens $59$ Kunststoffteile ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein fehlerhaftes Teil zu erhalten.
$\,$
(4)
$\blacktriangleright$  Höchstgrenze für die Wahrscheinlichkeit zeigen
Mit dem CAS ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit:
$P(X \leq 22)\approx 0,0377 =3,77\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens $22$ fehlerhafte Teile beträgt unter der Annahme $p=0,04$ also weniger als $5\,\%.$
$\,$
(5)
$\blacktriangleright$  Gleichung begründen
$0,04$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teil fehlerhaft ist. In diesem Fall zahlt das Unternehmen die Produktionskosten, verkauft das Teil aber nicht, sodass es $0,5\,€$ Verlust macht.
Die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Teil ist $0,96.$ In dem Fall ist der Gewinn des Unternehmens der Verkaufspreis abzüglich der Produktionskosten, also $v-0,5.$
Der Erwartungswert des Gewinns pro Kunststoffteil kann also durch folgenden Term beschrieben werden:
$E(v) = 0,04\cdot (-0,5) + 0,96\cdot (v-0,5)$
$ E(v)=… $
Da das Unternehmen mit jedem Kunststoffteil durchschnittlich einen Gewinn von $1\,€$ machen will, muss $E(v)=1$ gesetzt werden. Dies entspricht der angegebenen Gleichung, sodass mit dieser der Verkaufspreis $v$ berechnet werden kann.
#erwartungswert
$\,$
(6)
$\blacktriangleright$  Prozentualen Preisnachlass ermitteln
1. Schritt: Ursprünglichen Verkaufspreis berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0,04\cdot (-0,5) + 0,96\cdot (v-0,5) &=& 1 \\[5pt] -0,02 + 0,96v - 0,48 &=& 1 \\[5pt] -0,5 +0,96v &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; +0,5 \\[5pt] 0,96v&=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; :0,96\\[5pt] v&=& 1,5625 \end{array}$
$ v=1,5625 $
Das Unternehmen müsste die Kunststoffteile bei einer Fehlerquote von $4\,\%$ für ca. $1,56\,€$ verkaufen, um einen durchschnittlichen Gewinn von $1\,€$ zu machen.
2. Schritt: Neuen Verkaufspreis berechnen
Dieser berechnet sich analog zum vorherigen Verkaufspreis.
$\begin{array}[t]{rll} 0,02 \cdot (-0,5) + 0,98 \cdot (v_2 - 0,5)&=&1 \\[5pt] -0,5 +0,98v_2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; +0,5\\[5pt] 0,98v_2&=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\;:0,98 \\[5pt] v_2&\approx& 1,53 \end{array}$
$ v_2\approx 1,53 $
3. Schritt: Prozentualen Preisnachlass berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1,56-1,53}{1,56}&\approx& 0,0192 \\[5pt] &=& 1,92\,\% \end{array}$
Das Unternehmen kann nun einen Preisnachlass von ca. $1,92\,\%$ gewähren.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Farben nachweisen
Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben sind:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Blau})&=& \dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[10pt] P(\text{Rot})&=& \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[10pt] P(\text{Grün})&=& \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \\[10pt] \end{array}$
Jede Farbe soll genau einmal gedreht werden. Das Experiment kann mit dem Ziehen mit Zurücklegen verglichen werden. Verwende die Pfadregeln. Die Anzahl der Pfade entspricht der Anzahl der möglichen Permutationen von drei Elementen, kann also mithilfe der Fakultät berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{drei verschiedene Farben})&=& 3! \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{6}\\[5pt] \end{array}$
$ … = \frac{1}{6} $
#pfadregeln
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Ansatz auswählen
Die in der Aufgabenstellung angegebene Zufallsvariable $Y$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p= \frac{1}{6}.$
Für Ereignis $E$ gilt:
$P(E)= P(Y = 3).$
Mit der entsprechenden Formel zur Binomialverteilung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P(Y=3) \\[5pt] &=& \binom{10}{3} \cdot \left(\frac{1}{6} \right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6} \right)^7 \end{array}$
Der richtige Ansatz ist also $\text{III}.$
$\blacktriangleright$  Bestandteile erläutern
  • $\binom{10}{3}$ ist der Binomialkoeffizient und entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, die es gibt in $10$ Spielen $3$ Gewinne zu verteilen. Dies ist die Anzahl der Pfade deren Wahrscheinlichkeit addiert werden muss.
  • Im übrigen Term entspricht $\left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6} \right)^7$ der Wahrscheinlichkeit eines solchen Pfades. $\frac{1}{6}$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Spiel dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, $\frac{5}{6}$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht dreimal die gleiche Farbe erzielt wird. Aufgrund der Pfadmultiplikationsregel entsteht so der zweite Teil des Terms.
#pfadregeln#binomialverteilung
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Die beiden Ereignisse $E_1$ und $E_2$ sagen nicht dasselbe aus und haben auch nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit. Bei Ereignis $E_1$ kann beispielsweise im ersten Spiel nur die Farbe blau erzielt werden, im zweiten Spiel nur die Farbe grün und so weiter, da lediglich vorausgesetzt wird, dass innerhalb eines Spiels die gleiche Farbe erzielt wird, aber nicht in allen Spielen dieselbe.
Bei $E_2$ muss aber in allen $10$ Spielen und damit in allen $30$ Drehungen ein und dieselbe Farbe erzielt werden. Zu diesem Ereignis führen nur genau drei Pfade:
  • Es wird nur rot erzielt.
  • Es wird nur grün erzielt.
  • Es wird nur blau erzielt.
Wohingegen zu Ereignis $E_1$ sowohl diese drei Pfade, wie auch noch weitere Pfade führen. Die Wahrscheinlichkeit von $E_1$ ist also deutlich größer als die von $E_2.$
Die Aussage ist falsch.
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