Inhalt
Better Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
NRW, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
Zentrale Klausur zum Ende...
Zentrale Klausur zum Ende...
Zentrale Prüfung 10 E-Kur...
Zentrale Prüfung 10 G-Kur...
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur LK (WTR) bis 2016
Abitur GK (WTR) bis 2016
ZK zum Ende der EF (WTR) ...
Abitur GK (CAS...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
Zentrale Klausur zum Ende der EF (GTR)
Zentrale Klausur zum Ende der EF (CAS)
Zentrale Prüfung 10 E-Kurs
Zentrale Prüfung 10 G-Kurs
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Abitur LK (WTR) bis 2016
Abitur GK (WTR) bis 2016
ZK zum Ende der EF (WTR) bis 2014
Better Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe 1

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.
a)
Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.
Zeit in Minuten$0 $$2 $$4 $$ 10$$15 $$20 $$40 $$60 $$80 $
Temperatur in $^{\circ}C$ $ 23,0$$54,0 $$76,9 $$ 76,8$$ 77,3 $$ 76,8$$ 37,9$$ 26,0$$23,2$
Zeit in MinutenTemperatur in $^{\circ}C
$0 $$ 23,0 $
$2 $$54,0 $
$4$$76,9 $
$10$$ 76,8 $
$15$$ 77,3 $
$20$$76,8 $
$40$$37,9 $
$60$$26,0 $
$80$$23,2 $
Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit
$f( t )= 23 + 20\cdot t \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}$
modellhaft beschrieben werden. Dabei ist die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur in $^{\circ}C.$
(1)
Gib an, welche Temperaturen die Funktion $f$ für den Beginn des Vorgangs und für den Zeitpunkt zwei Minuten nach diesem Beginn liefert.
Bestimme jeweils die prozentuale Abweichung von den angegebenen Messwerten.
(4 BE)
(2)
Zeige rechnerisch, dass der Graph von $f$ genau einen Extrempunkt hat.
Vergleiche die zu diesem Punkt gehörende Temperatur mit den angegebenen Messwerten.
[Zur Kontrolle: $f'(t)= \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \cdot (20-2\cdot t)$]
(9 BE)
(3)
Bestimme den Wendepunkt des Graphen von $f$ und erläutere die Bedeutung der $t$-Koordinate („$x$-Wert“) des Wendepunkts im Sachzusammenhang.
(4 BE)
(4)
Beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$ für große Werte von $t$ und interpretiere diesen Verlauf im Sachzusammenhang.
(3 BE)
Der Zeitabschnitt, in dem die Flüssigkeit im Produktionsprozess konstant bei $77^{\circ}C$ gehalten wird, entspricht im Modell dem Intervall, in dem die Funktion $f$ mindestens diese Temperatur liefert.
(5)
Bestimme die Zeitpunkte, zu denen dieser Zeitabschnitt beginnt und endet.
Stelle den konstanten Temperaturverlauf in diesem Zeitabschnitt in Abbildung 1 dar.
(5 BE)
Die Steuerung des Prozesses kann so variiert werden, dass sich der Temperaturverlauf während des gesamten Vorgangs für $t \geq 0$ durch eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(t)= 23+20t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ mit $k>0$ beschreiben lässt. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f_k(t)$ die Temperatur in $^{\circ}C.$
(6)
Die in der Abbildung 2 dargestellten Graphen $A,$ $B$ und $C$ gehören jeweils zu einem der Werte $k = 0,5 ,$ $k = 2$ und $k = 5.$ Entscheide, welcher dieser Werte welchem Graphen zugeordnet werden kann.
(3 BE)
(7)
Begründe, dass der in der Abbildung dargestellte Graph $D$ nicht zu einer der Funktionen $f_k$ gehören kann.
(2 BE)
#funktionenschar#extrempunkt#exponentialfunktion#wendepunkt
b)
Betrachtet wird nun ein Vorgang, bei dem die Steuerung des Temperaturverlaufs zwanzig Minuten nach Beginn des Vorgangs abgeschaltet wird. Das anschließende Abkühlen der Flüssigkeit lässt sich für $t \geq 20$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit
$h(t)=23+c\cdot \mathrm e^{d\cdot t}$ und $c,$ $d \in\mathbb{R}$ beschreiben.
Zu Beginn des Abkühlens soll die Temperatur $77^{\circ}C$ und die momentane Änderungsrate der Temperatur $–3,5^{\circ}C$ pro Minute betragen.
(1)
Bestimme passende Werte von $c$ und $d.$
(5 BE)
(2)
Ermittle für diese Phase des Abkühlens im Intervall $ [20; 80] $ denjenigen Zeitpunkt, für den die Werte der Funktion $f$ und der Funktion $h$ mit $c=197,4$ und $d = -0,065$ am stärksten voneinander abweichen.
Gib die zugehörige Abweichung an.
(5 BE)
#änderungsrate
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Temperaturen angeben
Da $t$ die seit Beginn vergangene Zeit in Minuten angibt, sind die gesuchten Werte:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 23+20\cdot 0\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 0} \\[5pt] &=& 23 \\[10pt] f(2)&=& 23+20\cdot 2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 2} \\[5pt] &=& 23+ 40\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}} \\[5pt] &\approx& 55,75 \end{array}$
Die Funktion $f$ liefert für den Beginn des Vorgangs eine Temperatur von $23^{\circ}C,$ zwei Minuten nach Beginn des Vorgangs ca. $55,75^{\circ}C.$ Die prozentuale Abweichung zu den gegebenen Messwerten beträgt zu Beginn des Vorgangs damit $0\,\%.$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{54,0-55,75}{54,0}&\approx& -0,0324 \\[5pt] &=& -3,24\,\% \end{array}$
Der durch die Funktion $f$ erhaltene Wert zwei Stunden nach Beginn der Beobachtung ist um ca. $3,24\,\%$ höher als der angegebene Messwert.
(2)
$\blacktriangleright$  Extrempunkt nachweisen
1. Schritt: Ableitungen bilden
Mit der Kettenregel und der Produktregel ergeben sich folgende Ableitungen:
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 23+ 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[10pt] f'(t)&=& 20\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} +20\cdot t\cdot \left(-\frac{1}{10} \right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt] &=& \left(20-2\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[10pt] f''(t) &=& -2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} +\left(20-2\cdot t \right)\cdot \left(-\frac{1}{10} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt] &=& \left(-2 -2+\frac{1}{5}\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt] &=& \left(-4+\frac{1}{5}\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&… \\[10pt] f'(t)&=&… \\[10pt] f''(t) &=& …\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Für jeden Extrempunkt des Graphen von $f$ muss das notwendige Kriterium $f'(t)=0$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll} f'(t) &=& 0 \\[5pt] \left(20-2\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}\\[5pt] 20-2\cdot t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2t \\[5pt] 20&=& 2t &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 10&=& t \end{array}$
$ 10 = t $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(10)&=& \left(-4+\frac{1}{5}\cdot 10 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 10} \\[5pt] &=& -2\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &<& 0 \end{array}$
$ f''(10) < 0 $
Das hinreichende Kriterium ist also für $t=10$ ebenfalls erfüllt. Da es nur ein $t$ gibt, für das das notwendige Kriterium erfüllt ist, kann es nur maximal einen Extrempunkt geben. Da das hinreichende Kriterium $f''(t)\neq 0$ ebenfalls für dieses $t$ erfüllt ist, besitzt der Graph von $f$ an dieser Stelle tatsächlich einen Extrempunkt. Er besitzt also genau einen Extrempunkt an der Stelle $t=10.$
$\blacktriangleright$  Temperaturen vergleichen
$\begin{array}[t]{rll} f(10)&=& 23+ 20\cdot 10 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 10} \\[5pt] &=& 23 + 300 \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &\approx& 96,6 \\[5pt] \end{array}$
$ f(10)\approx 96,6 $
Im Vergleich zu der für $t=10$ angegebenen Temperatur von $76,8^{\circ}C$, ist der zum Hochpunkt gehörende Wert mit ca. $96,6^{\circ}C$ deutlich höher.
(3)
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen
Aufgabe 1
Abb. 1: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Aufgabe 1
Abb. 1: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
3. Schritt: Koordinaten vervollständigen
$f(20)= 23+400\cdot\mathrm e^{-2} \approx 77,13$
Die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$ lauten $W(20\mid 23+400\cdot\mathrm e^{-2}).$
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang beschreiben
Die Stelle $t=20$ steht für den Zeitpunkt $20$ Minuten nach Beginn des gesamten Vorgangs. Der Wendepunkt gibt an, dass die Änderungsrate der Temperatur an dieser Stelle ein Extremum aufweist. Da der Graph hier fällt, handelt es sich um ein Minimum der Änderungsrate. Die Temperatur fällt an dieser Stelle am stärksten.
$20$ Minuten nach Beginn des gesamten Vorgangs sinkt die Temperatur am stärksten, anschließend beginnt die Abnahme der Temperatur langsamer zu werden.
(4)
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen beschreiben und interpretieren
Aufgrund des negativen Vorzeichens im Exponenten, gilt für den Funktionswert von $f:$
$f(t)= 23+ \underbrace{20\cdot t\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}}_{\to 0}}_{\to 0} \overset{t \to \infty}{\longrightarrow} 23 $
$ f(t) \overset{t \to \infty}{\longrightarrow} 23 $
Für große Werte von $t$ nähert sich der Graph also der Gerade $y=23$ an, die folglich eine Asymptote ist.
Auf lange Sicht stellt sich die Temperatur der Flüssigkeit nach dem Prozess also auf ca. $23^{\circ}C$ ein und bleibt so erhalten.
(5)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte bestimmen
$\blacktriangleright$  Temperaturverlauf darstellen
Aufgabe 1
Abb. 4: Darstellung des Verlaufs
Aufgabe 1
Abb. 4: Darstellung des Verlaufs
(6)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Für größere Werte von $k$ wird die Potenz $\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ kleiner. Damit sind auch die Funktionswerte $f_k(t)$ für größere Werte von $k$ kleiner. Der Graph wird also mit größer werdendem $k$ immer weiter in $y$-Richtung gestaucht.
Mit dieser Schlussfolgerung erhält man, dass Graph $C$ zu $k=0,5,$ Graph $B$ zu $k= 2$ und Graph $A$ zu $k=5$ gehört.
(7)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Die Graphen von $f_k$ können keine positive Nullstelle besitzen, da dazu $-23 = 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ gelten muss und weder der Faktor $20$ noch $\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ negativ werden können. Eine Nullstelle kann also nur negativ sein.
Der Graph $D$ besitzt aber eine Nullstelle bei $t\approx 54.$ Er kann also zu keiner der Funktionen $f_k$ gehören.
#asymptote
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Passende Werte berechnen
Durch die beiden Bedingungen aus der Aufgabenstellung ergeben sich folgende Informationen:
Aufgabe 1
Abb. 5: menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1
Aufgabe 1
Abb. 5: menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der größten Abweichung angeben
Gesucht ist die Stelle $t_E,$ an der die Differenzenfunktion $d(t)= f(t)-h(t)$ den betragsmäßig größten Funktionswert im Intervall $[20;80]$ besitzt.
1. Schritt: Differenzenfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} d(t)&=& f(t)-h(t) \\[5pt] &=& 23+20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} - 23-197,4\cdot \mathrm e^{-0,065\cdot t}\\[5pt] &=& 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} -197,4\cdot \mathrm e^{-0,065\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$ d(t)= … $
2. Schritt: Extremstellen bestimmen
Mit dem notwendigen Kriterium ergeben sich mögliche Extremstellen mithilfe des CAS zu:
$t_1\approx 25,86$ und $t_2\approx 56,74$
Für das hinreichende Kriterium folgt:
$\begin{array}[t]{rll} d''(25,86)&\approx& -0,07\\[5pt] &<& 0 \\[10pt] d''(56,74)&\approx& 0,004 \\[5pt] &>& 0 \end{array}$
An der Stelle $t_1\approx 25,86$ besitzt der Graph von $d$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $t_2\approx 56,74$ einen Tiefpunkt.
3. Schritt: Abweichungen vergleichen
Die Funktionswerte von $d$ ergeben sich für die Extremstellen und die Intervallränder zu:
  • $d(25,86)\approx 2,20$
  • $d(56,74)\approx -1,04$
  • $d(20)\approx 0,34$
  • $d(80)\approx -0,55$
Am stärksten weichen die Werte der beiden Funktionen im Intervall $[20;80]$ zum Zeitpunkt $t\approx 25,86,$ also ca. 26 Minuten nach Beginn des Vorgangs voneinander ab.
Die Funktion $f$ weicht zu diesem Zeitpunkt um ca. $2,2^{\circ}C$ nach oben zu dem Wert von $h$ ab.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[5]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Temperaturen angeben
Da $t$ die seit Beginn vergangene Zeit in Minuten angibt, sind die gesuchten Werte:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 23+20\cdot 0\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 0} \\[5pt] &=& 23 \\[10pt] f(2)&=& 23+20\cdot 2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 2} \\[5pt] &=& 23+ 40\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}} \\[5pt] &\approx& 55,75 \end{array}$
Die Funktion $f$ liefert für den Beginn des Vorgangs eine Temperatur von $23^{\circ}C,$ zwei Minuten nach Beginn des Vorgangs ca. $55,75^{\circ}C.$ Die prozentuale Abweichung zu den gegebenen Messwerten beträgt zu Beginn des Vorgangs damit $0\,\%.$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{54,0-55,75}{54,0}&\approx& -0,0324 \\[5pt] &=& -3,24\,\% \end{array}$
Der durch die Funktion $f$ erhaltene Wert zwei Stunden nach Beginn der Beobachtung ist um ca. $3,24\,\%$ höher als der angegebene Messwert.
(2)
$\blacktriangleright$  Extrempunkt nachweisen
1. Schritt: Ableitungen bilden
Mit der Kettenregel und der Produktregel ergeben sich folgende Ableitungen:
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 23+ 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[10pt] f'(t)&=& 20\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} +20\cdot t\cdot \left(-\frac{1}{10} \right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt] &=& \left(20-2\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[10pt] f''(t) &=& -2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} +\left(20-2\cdot t \right)\cdot \left(-\frac{1}{10} \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt] &=& \left(-2 -2+\frac{1}{5}\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt] &=& \left(-4+\frac{1}{5}\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&… \\[10pt] f'(t)&=&… \\[10pt] f''(t) &=& …\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Für jeden Extrempunkt des Graphen von $f$ muss das notwendige Kriterium $f'(t)=0$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll} f'(t) &=& 0 \\[5pt] \left(20-2\cdot t \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}\\[5pt] 20-2\cdot t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2t \\[5pt] 20&=& 2t &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 10&=& t \end{array}$
$ 10 = t $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(10)&=& \left(-4+\frac{1}{5}\cdot 10 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 10} \\[5pt] &=& -2\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &<& 0 \end{array}$
$ f''(10) < 0 $
Das hinreichende Kriterium ist also für $t=10$ ebenfalls erfüllt. Da es nur ein $t$ gibt, für das das notwendige Kriterium erfüllt ist, kann es nur maximal einen Extrempunkt geben. Da das hinreichende Kriterium $f''(t)\neq 0$ ebenfalls für dieses $t$ erfüllt ist, besitzt der Graph von $f$ an dieser Stelle tatsächlich einen Extrempunkt. Er besitzt also genau einen Extrempunkt an der Stelle $t=10.$
$\blacktriangleright$  Temperaturen vergleichen
$\begin{array}[t]{rll} f(10)&=& 23+ 20\cdot 10 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 10} \\[5pt] &=& 23 + 300 \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &\approx& 96,6 \\[5pt] \end{array}$
$ f(10)\approx 96,6 $
Im Vergleich zu der für $t=10$ angegebenen Temperatur von $76,8^{\circ}C$, ist der zum Hochpunkt gehörende Wert mit ca. $96,6^{\circ}C$ deutlich höher.
(3)
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen
Aufgabe 1
Abb. 1: Keyboard $\to$ Math2
Aufgabe 1
Abb. 1: Keyboard $\to$ Math2
Aufgabe 1
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Aufgabe 1
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
3. Schritt: Koordinaten vervollständigen
$f(20)= 23+400\cdot\mathrm e^{-2} \approx 77,13$
Die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$ lauten $W(20\mid 23+400\cdot\mathrm e^{-2}).$
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang beschreiben
Die Stelle $t=20$ steht für den Zeitpunkt $20$ Minuten nach Beginn des gesamten Vorgangs. Der Wendepunkt gibt an, dass die Änderungsrate der Temperatur an dieser Stelle ein Extremum aufweist. Da der Graph hier fällt, handelt es sich um ein Minimum der Änderungsrate. Die Temperatur fällt an dieser Stelle am stärksten.
$20$ Minuten nach Beginn des gesamten Vorgangs sinkt die Temperatur am stärksten, anschließend beginnt die Abnahme der Temperatur langsamer zu werden.
(4)
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen beschreiben und interpretieren
Aufgrund des negativen Vorzeichens im Exponenten, gilt für den Funktionswert von $f:$
$f(t)= 23+ \underbrace{20\cdot t\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}}_{\to 0}}_{\to 0} \overset{t \to \infty}{\longrightarrow} 23 $
$ f(t) \overset{t \to \infty}{\longrightarrow} 23 $
Für große Werte von $t$ nähert sich der Graph also der Gerade $y=23$ an, die folglich eine Asymptote ist.
Auf lange Sicht stellt sich die Temperatur der Flüssigkeit nach dem Prozess also auf ca. $23^{\circ}C$ ein und bleibt so erhalten.
(5)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte bestimmen
Aufgabe 1
Abb. 3: Gleichung lösen
Aufgabe 1
Abb. 3: Gleichung lösen
Der Zeitabschnitt beginnt ca. $4$ Minuten nach Beginn des Vorgangs und endet ca. $20$ Minuten nach Beginn des Vorgangs.
$\blacktriangleright$  Temperaturverlauf darstellen
Aufgabe 1
Abb. 4: Darstellung des Verlaufs
Aufgabe 1
Abb. 4: Darstellung des Verlaufs
(6)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Für größere Werte von $k$ wird die Potenz $\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ kleiner. Damit sind auch die Funktionswerte $f_k(t)$ für größere Werte von $k$ kleiner. Der Graph wird also mit größer werdendem $k$ immer weiter in $y$-Richtung gestaucht.
Mit dieser Schlussfolgerung erhält man, dass Graph $C$ zu $k=0,5,$ Graph $B$ zu $k= 2$ und Graph $A$ zu $k=5$ gehört.
(7)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Die Graphen von $f_k$ können keine positive Nullstelle besitzen, da dazu $-23 = 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ gelten muss und weder der Faktor $20$ noch $\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ negativ werden können. Eine Nullstelle kann also nur negativ sein.
Der Graph $D$ besitzt aber eine Nullstelle bei $t\approx 54.$ Er kann also zu keiner der Funktionen $f_k$ gehören.
#asymptote
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Passende Werte berechnen
Durch die beiden Bedingungen aus der Aufgabenstellung ergeben sich folgende Informationen:
  • Zu Beginn des Abkühlens soll die Temperatur $77^{\circ}C$ betragen: $h(20) = 77$
  • Zu Beginn des Abkühlens soll die momentane Änderungsrate der Temperatur $-3,5^{\circ}C$ betragen: $h'(20)=-3,5$
Aufgabe 1
Abb. 5: Keyboard $\to$ Math1
Aufgabe 1
Abb. 5: Keyboard $\to$ Math1
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der größten Abweichung angeben
Gesucht ist die Stelle $t_E,$ an der die Differenzenfunktion $d(t)= f(t)-h(t)$ den betragsmäßig größten Funktionswert im Intervall $[20;80]$ besitzt.
1. Schritt: Differenzenfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} d(t)&=& f(t)-h(t) \\[5pt] &=& 23+20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} - 23-197,4\cdot \mathrm e^{-0,065\cdot t}\\[5pt] &=& 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} -197,4\cdot \mathrm e^{-0,065\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$ d(t)= … $
2. Schritt: Extremstellen bestimmen
Aufgabe 1
Abb. 6: Bestimmung mit dem CAS
Aufgabe 1
Abb. 6: Bestimmung mit dem CAS
An der Stelle $t_1\approx 25,86$ besitzt der Graph von $d$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $t_2\approx 56,74$ einen Tiefpunkt.
3. Schritt: Abweichungen vergleichen
Die Funktionswerte von $d$ ergeben sich für die Extremstellen und die Intervallränder zu:
  • $d(25,86)\approx 2,20$
  • $d(56,74)\approx -1,04$
  • $d(20)\approx 0,34$
  • $d(80)\approx -0,55$
Am stärksten weichen die Werte der beiden Funktionen im Intervall $[20;80]$ zum Zeitpunkt $t\approx 25,86,$ also ca. 26 Minuten nach Beginn des Vorgangs voneinander ab.
Die Funktion $f$ weicht zu diesem Zeitpunkt um ca. $2,2^{\circ}C$ nach oben zu dem Wert von $h$ ab.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[6]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App