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Aufgabe 3

Aufgaben
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $O (0 \mid 0 \mid 0),$ $A (6 \mid 4 \mid- 2) ,$ $B (0\mid 16\mid - 8) ,$ $C ( -6\mid 4\mid - 2)$ und $D (0 \mid 8 \mid 11)$ Eckpunkte eines schiefen Prismas[1] $OABCDEFG$ mit viereckiger Grundfläche $OABC$ (siehe Abbildung).

[1] Ein Prisma besitzt eine Grundfläche und eine dazu parallele deckungsgleiche Deckfläche. Die Seitenflächen sind Parallelogramme. Bei einem schiefen Prisma stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche. Das Volumen ist das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe, die senkrecht auf der Grundfläche steht.
#prisma
a)
(1)
Stelle eine Parameterform der Geraden $g$ auf, die die Punkte $O$ und $D$ enthält.
(2 BE)
(2)
Bestimme die Koordinaten der Punkte $F$ und $G.$
(4 BE)
#parameterform
b)
(1)
Stelle eine Parametergleichung der Ebene $H$ auf, die die Punkte $O,$ $A$ und $B$ enthält.
[Mögliche Parametergleichung: $H: \overrightarrow{x}= \pmatrix{0\\6\\-3} +r\cdot \pmatrix{3\\4\\-2} +s\cdot \pmatrix{0\\-2\\1}$]
[Mögliche Parametergleichung: $H: \overrightarrow{x}= $ $\pmatrix{0\\6\\-3} +r\cdot \pmatrix{3\\4\\-2} +s\cdot \pmatrix{0\\-2\\1}$]
(3 BE)
(2)
Zeige, dass der Punkt $D$ auf der Geraden $h: \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\6\\7}+ t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2},$ $t\in \mathbb{R},$ liegt.
(3 BE)
Die Gerade $h$ schneidet die Ebene $H$ senkrecht.
(3)
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $h$ und der Ebene $H$ und die Länge der Strecke $\overline{DS}.$
[Zur Kontrolle: $\overline{DS} =\sqrt{180}$]
(6 BE)
#ebenengleichung#parameterform
c)
(1)
Zeige, dass die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{OB}$ des Vierecks $OABC$ zueinander senkrecht sind und sich im Mittelpunkt $T$ von $\overline{AC}$ schneiden.
[Zur Kontrolle: $T (0 \mid 4 \mid - 2)$ ]
(7 BE)
Nach Aufgabe c) (1) ist das Viereck $OABC$ ein Drachenviereck.
(2)
Bestimme das Volumen des Prismas $OABCDEFG.$
(4 BE)
d)
Die Punkte $O,$ $B,$ $F$ und $D$ liegen in der Ebene $K.$
Begründe, dass diese Ebene das Prisma in zwei volumengleiche Teile zerlegt.
(4 BE)
e)
Der Punkt $B$ wird auf der Strecke $\overline{BO}$ zum Punkt $B' \neq O$ so verschoben, dass alle Seiten des Vierecks $OAB'C$ gleich lang sind.
(1)
Ermittle die Koordinaten von $B'.$
(4 BE)
(2)
Begründe, dass das Viereck $OAB'C$ kein Quadrat ist.
(3 BE)
#quadrat
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen TI
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Parameterform der Geraden aufstellen
Mit $O$ als Stützpunkt und dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{OD}$ als Richtungsvektor ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OO}+t\cdot \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] &=& t\cdot \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] \end{array}$
(2)
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Die Strecken $\overline{BF}$ und $\overline{CG}$ müssen parallel zu $\overline{OD}$ sein, da es sich bei dem betrachteten Körper um ein schiefes Prisma handelt und diese drei Strecken Seitenkanten bilden.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=& \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\16\\-8} + \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\24\\3}\\[10pt] \overrightarrow{OG}&=& \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\4\\-2} + \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\12\\9} \end{array}$
Die Koordinaten lauten $F(0\mid 24\mid 3)$ und $G(-6\mid 12\mid 9).$
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Parametergleichung aufstellen
Verwendet man als Stützpunkt den Punkt $O$ und als Spannvektoren die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OB},$ so erhält man folgende Ebenengleichung:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OO}+s\cdot \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}\\[5pt] &=& s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}\\[5pt] \end{array}$
$ H:\quad \overrightarrow{x} = … $
(2)
$\blacktriangleright$  Punktprobe durchführen
Die Koordinaten von $D$ müssen die Geradengleichung erfüllen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=& \pmatrix{0\\6\\7}+ t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} \\[5pt] \pmatrix{0\\8\\11}&=& \pmatrix{0\\6\\7}+ t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2}&\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{0\\6\\7} \\[5pt] \pmatrix{0\\2\\4}&=& t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2}\\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{0\\2\\4}= t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} $
Daraus entsteht folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& 0\cdot t \\ \text{II}\quad&2&=& t\cdot(-1) \\ \text{III}\quad&4&=& t\cdot (-2) \\ \end{array}$
Die erste Gleichung ist für jedes $t$ erfüllt. Aus der zweiten und dritten Gleichung folgt jeweils $t= -2.$ Für $t=-2$ erfüllen die Koordinaten von $D$ also die Geradengleichung von $h.$ Er liegt also auf der Geraden.
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Durch Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen von $H$ und $h$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\6\\7}+ t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2}&=& s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8} &\quad \scriptsize \mid\;-t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} \\[5pt] \pmatrix{0\\6\\7}&=& s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}-t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} \end{array}$
$ \pmatrix{0\\6\\7} = …$
Aufgabe 3
Abb. 1: menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1
Aufgabe 3
Abb. 1: menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1
Einsetzen von $t$ in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts:
$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{0\\6\\7} + 4\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} = \pmatrix{0\\2\\-1}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{0\\2\\-1} $
Die Koordinaten des Schnittpunkts lauten $S(0\mid 2\mid -1).$
$\blacktriangleright$  Streckenlänge berechnen
Mit dem Vektorbetrag des zugehörigen Verbindungsvektors folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overline{DS}\right| &=& \left|\overrightarrow{DS} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\-6\\-12} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{0^2 +(-6)^2 +(-12)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{180} \\[5pt] \end{array}$
$ \left| \overline{DS}\right| = \sqrt{180} $
Die Länge der Strecke $\overline{DS}$ beträgt $\sqrt{180}.$
#vektorbetrag
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Senkrechte Lage nachweisen
Die beiden Diagonalen sind senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt der zugehörigen Verbindungsvektoren null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{OB}&=& \pmatrix{-12\\0\\0}\circ\pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=& -12\cdot 0 +0\cdot 16 +0\cdot (-8) \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{OB} = 0$
Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $ \overrightarrow{OB},$ und damit auch die zugehörigen Strecken, stehen also senkrecht zueinander.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt nachweisen
Die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AC}$ können mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{6\\4\\-2}+\pmatrix{-6\\4\\-2} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\4\\-2} \end{array}$
$\overrightarrow{OT} = \pmatrix{0\\4\\-2} $
Die Koordinaten des Mittelpunkts lauten also $T(0\mid 4\mid -2).$
Damit dies der Schnittpunkt von $\overline{AC}$ und $\overline{OB}$ ist, muss $T$ auch auf der Strecke $\overrightarrow{OB}$ liegen. Das ist der Fall wenn $\overrightarrow{OT}$ und $\overrightarrow{OB}$ linear abhängig sind:
$ \pmatrix{0\\16\\-8} = 4\cdot \pmatrix{0\\4\\-2} $
Es gilt also $ \overrightarrow{OB} = 4\cdot\overrightarrow{OT}.$ Da der Faktor $4$ positiv und größer als $1$ ist, liegt der Punkt $T$ zwischen $O$ und $B$ und liegt damit ebenfalls auf der Strecke $\overline{OB}.$
$T$ ist demnach der Schnittpunkt von $\overline{AC}$ und $\overline{OB}.$
(2)
$\blacktriangleright$  Volumen bestimmen
1. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Der Flächeninhalt der Grundfläche $OABC$ ergibt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu:
$\begin{array}[t]{rll} G&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{AC} \right|\cdot \left|\overrightarrow{OB} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-12\\0\\0} \right| \cdot \left| \pmatrix{0\\16\\-8}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{(-12)^2+0^2+0^2} \right| \cdot \left| \sqrt{0^2+16^2+(-8)^2}\right| \\[5pt] &=& 48\sqrt{5}\\[5pt] \end{array}$
$ G= 48\sqrt{5}$
2. Schritt: Höhe berechnen
Da Grund- und Deckfläche parallel sind und die Grundfläche in der Ebene $H$ liegt, entspricht die Höhe des schiefen Prismas beispielsweise dem Abstand des Punkts $D$ zur Ebene $H.$ Mithilfe der bereits bestimmten Koordinatengleichung von $H$ kann die Hessesche Normalform bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad x_2+2x_3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \sqrt{0^2+1^2+2^2} \\[5pt] \dfrac{x_2+2x_2}{\sqrt{5}}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{x_2+2x_2}{\sqrt{5}}= 0 $
Mit dieser kann nun der Abstand zum Punkt $D$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&d(H,D)\\[5pt] &=& \dfrac{8+2\cdot11}{\sqrt{5}} \\[5pt] &=& \dfrac{30}{\sqrt{5}} \\[5pt] \end{array}$
$ h = \dfrac{30}{\sqrt{5}} $
3. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& 48\sqrt{5}\cdot \dfrac{30}{\sqrt{5}}\\[5pt] &=& 1.440 \end{array}$
$ V = 1.440 $
Das Volumen des Prismas $OABCDEFG$ beträgt $1.440\,\text{VE}.$
#drachenviereck
d)
$\blacktriangleright$  Volumengleichheit begründen
Da es sich bei der Grundfläche und damit auch bei der Deckfläche um Drachenvierecke handelt, deren Symmetrieachse die Diagonale $\overline{OB}$ bzw. $\overline{DF}$ ist, werden die Grundfläche und die Deckfläche durch diese Ebene in zwei gleichgroße Dreiecke geteilt, die wiederum Grund- und Deckfläche der entstehenden Teilkörper bilden. Bei diesen Teilkörpern handelt es sich wieder um schiefe Prismen, deren Grundflächen gleich groß sind.
Die Höhe wird durch diesen Schnitt nicht verändert, beide Teilprismen besitzen also die gleiche Größe der Grundfläche und die gleiche Höhe und damit auch das gleiche Volumen. Es entstehen durch den Schnitt also zwei Teilkörper mit gleichem Volumen.
e)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Da der Punkt $B'$ auf der Strecke $\overline{OB}$ liegen muss, liegt er auf der Geraden mit der folgenden Gleichung:
$h:\quad \overrightarrow{OB'} = t\cdot \overrightarrow{OB} = t\cdot \pmatrix{0\\16\\-8}$
Der Parameter $t$ muss so gewählt werden, dass alle vier Seiten gleich lang sind, dass also insbesondere $\left|\overrightarrow{B'C}\right| =\left|\overrightarrow{OC}\right| $ gilt. Mit dem solve-Befehl und dem norm-Befehl des CAS folgt:
Aufgabe 3
Abb. 2: menu $\to$ 7: Matrix und Vektor $\to$ 1: Erstellen
Aufgabe 3
Abb. 2: menu $\to$ 7: Matrix und Vektor $\to$ 1: Erstellen
Für $t=0$ wäre $B'=O,$ was zum einen in der Aufgabenstellung ausgeschlossen ist, zum anderen dazu führen würde, dass es sich nicht mehr um ein Viereck handeln würde. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB'}&=& \frac{1}{2}\cdot \pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\8\\-4} \end{array}$
$ \overrightarrow{OB'} = \pmatrix{0\\8\\-4} $
Die Koordinaten von $B'$ lauten $B'(0\mid 8\mid -4).$
(2)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es sich nicht um ein Quadrat handelt
Damit es sich um ein Quadrat handelt, müssen jeweils zwei benachbarte Seiten senkrecht aufeinander stehen. Für $\overline{OA}$ und $\overline{OC}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OA}\circ\overrightarrow{OC}&=& \pmatrix{6\\4\\-2}\circ\pmatrix{-6\\4\\-2} \\[5pt] &=& 6\cdot (-6) +4\cdot 4 +(-2)\cdot (-2) \\[5pt] &=& -16 \neq 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{OA}\circ\overrightarrow{OC} \neq 0 $
Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren nicht null ist, stehen die beiden Vektoren und damit auch die beiden Seiten des Vierecks nicht senkrecht aufeinander. Es kann sich bei $OAB'C$ also nicht um ein Quadrat handeln.
#skalarprodukt#vektorbetrag
Bildnachweise [nach oben]
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(1)
$\blacktriangleright$  Parameterform der Geraden aufstellen
Mit $O$ als Stützpunkt und dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{OD}$ als Richtungsvektor ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OO}+t\cdot \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] &=& t\cdot \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] \end{array}$
(2)
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Die Strecken $\overline{BF}$ und $\overline{CG}$ müssen parallel zu $\overline{OD}$ sein, da es sich bei dem betrachteten Körper um ein schiefes Prisma handelt und diese drei Strecken Seitenkanten bilden.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=& \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\16\\-8} + \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\24\\3}\\[10pt] \overrightarrow{OG}&=& \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\4\\-2} + \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\12\\9} \end{array}$
Die Koordinaten lauten $F(0\mid 24\mid 3)$ und $G(-6\mid 12\mid 9).$
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Parametergleichung aufstellen
Verwendet man als Stützpunkt den Punkt $O$ und als Spannvektoren die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OB},$ so erhält man folgende Ebenengleichung:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OO}+s\cdot \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}\\[5pt] &=& s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}\\[5pt] \end{array}$
$ H:\quad \overrightarrow{x} = … $
(2)
$\blacktriangleright$  Punktprobe durchführen
Die Koordinaten von $D$ müssen die Geradengleichung erfüllen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=& \pmatrix{0\\6\\7}+ t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} \\[5pt] \pmatrix{0\\8\\11}&=& \pmatrix{0\\6\\7}+ t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2}&\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{0\\6\\7} \\[5pt] \pmatrix{0\\2\\4}&=& t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2}\\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{0\\2\\4}= t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} $
Daraus entsteht folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& 0\cdot t \\ \text{II}\quad&2&=& t\cdot(-1) \\ \text{III}\quad&4&=& t\cdot (-2) \\ \end{array}$
Die erste Gleichung ist für jedes $t$ erfüllt. Aus der zweiten und dritten Gleichung folgt jeweils $t= -2.$ Für $t=-2$ erfüllen die Koordinaten von $D$ also die Geradengleichung von $h.$ Er liegt also auf der Geraden.
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Durch Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen von $H$ und $h$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\6\\7}+ t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2}&=& s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8} &\quad \scriptsize \mid\;-t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} \\[5pt] \pmatrix{0\\6\\7}&=& s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}-t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} \end{array}$
$ \pmatrix{0\\6\\7} = …$
Daraus lässt sich folgendes Gleichungssystem aufstellen:
Aufgabe 3
Abb. 1: Keyboard $\to$ Math1
Aufgabe 3
Abb. 1: Keyboard $\to$ Math1
Einsetzen von $t$ in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts:
$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{0\\6\\7} + 4\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2} = \pmatrix{0\\2\\-1}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{0\\2\\-1} $
Die Koordinaten des Schnittpunkts lauten $S(0\mid 2\mid -1).$
$\blacktriangleright$  Streckenlänge berechnen
Mit dem Vektorbetrag des zugehörigen Verbindungsvektors folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overline{DS}\right| &=& \left|\overrightarrow{DS} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\-6\\-12} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{0^2 +(-6)^2 +(-12)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{180} \\[5pt] \end{array}$
$ \left| \overline{DS}\right| = \sqrt{180} $
Die Länge der Strecke $\overline{DS}$ beträgt $\sqrt{180}.$
#vektorbetrag
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Senkrechte Lage nachweisen
Die beiden Diagonalen sind senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt der zugehörigen Verbindungsvektoren null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{OB}&=& \pmatrix{-12\\0\\0}\circ\pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=& -12\cdot 0 +0\cdot 16 +0\cdot (-8) \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{OB} = 0$
Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $ \overrightarrow{OB},$ und damit auch die zugehörigen Strecken, stehen also senkrecht zueinander.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt nachweisen
Die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AC}$ können mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{6\\4\\-2}+\pmatrix{-6\\4\\-2} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\4\\-2} \end{array}$
$\overrightarrow{OT} = \pmatrix{0\\4\\-2} $
Die Koordinaten des Mittelpunkts lauten also $T(0\mid 4\mid -2).$
Damit dies der Schnittpunkt von $\overline{AC}$ und $\overline{OB}$ ist, muss $T$ auch auf der Strecke $\overrightarrow{OB}$ liegen. Das ist der Fall wenn $\overrightarrow{OT}$ und $\overrightarrow{OB}$ linear abhängig sind:
$ \pmatrix{0\\16\\-8} = 4\cdot \pmatrix{0\\4\\-2} $
Es gilt also $ \overrightarrow{OB} = 4\cdot\overrightarrow{OT}.$ Da der Faktor $4$ positiv und größer als $1$ ist, liegt der Punkt $T$ zwischen $O$ und $B$ und liegt damit ebenfalls auf der Strecke $\overline{OB}.$
$T$ ist demnach der Schnittpunkt von $\overline{AC}$ und $\overline{OB}.$
(2)
$\blacktriangleright$  Volumen bestimmen
1. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Der Flächeninhalt der Grundfläche $OABC$ ergibt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu:
$\begin{array}[t]{rll} G&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{AC} \right|\cdot \left|\overrightarrow{OB} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-12\\0\\0} \right| \cdot \left| \pmatrix{0\\16\\-8}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{(-12)^2+0^2+0^2} \right| \cdot \left| \sqrt{0^2+16^2+(-8)^2}\right| \\[5pt] &=& 48\sqrt{5}\\[5pt] \end{array}$
$ G= 48\sqrt{5}$
2. Schritt: Höhe berechnen
Da Grund- und Deckfläche parallel sind und die Grundfläche in der Ebene $H$ liegt, entspricht die Höhe des schiefen Prismas beispielsweise dem Abstand des Punkts $D$ zur Ebene $H.$ Mithilfe der bereits bestimmten Koordinatengleichung von $H$ kann die Hessesche Normalform bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad x_2+2x_3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \sqrt{0^2+1^2+2^2} \\[5pt] \dfrac{x_2+2x_2}{\sqrt{5}}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{x_2+2x_2}{\sqrt{5}}= 0 $
Mit dieser kann nun der Abstand zum Punkt $D$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&d(H,D)\\[5pt] &=& \dfrac{8+2\cdot11}{\sqrt{5}} \\[5pt] &=& \dfrac{30}{\sqrt{5}} \\[5pt] \end{array}$
$ h = \dfrac{30}{\sqrt{5}} $
3. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& 48\sqrt{5}\cdot \dfrac{30}{\sqrt{5}}\\[5pt] &=& 1.440 \end{array}$
$ V = 1.440 $
Das Volumen des Prismas $OABCDEFG$ beträgt $1.440\,\text{VE}.$
#drachenviereck
d)
$\blacktriangleright$  Volumengleichheit begründen
Da es sich bei der Grundfläche und damit auch bei der Deckfläche um Drachenvierecke handelt, deren Symmetrieachse die Diagonale $\overline{OB}$ bzw. $\overline{DF}$ ist, werden die Grundfläche und die Deckfläche durch diese Ebene in zwei gleichgroße Dreiecke geteilt, die wiederum Grund- und Deckfläche der entstehenden Teilkörper bilden. Bei diesen Teilkörpern handelt es sich wieder um schiefe Prismen, deren Grundflächen gleich groß sind.
Die Höhe wird durch diesen Schnitt nicht verändert, beide Teilprismen besitzen also die gleiche Größe der Grundfläche und die gleiche Höhe und damit auch das gleiche Volumen. Es entstehen durch den Schnitt also zwei Teilkörper mit gleichem Volumen.
e)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Da der Punkt $B'$ auf der Strecke $\overline{OB}$ liegen muss, liegt er auf der Geraden mit der folgenden Gleichung:
$h:\quad \overrightarrow{OB'} = t\cdot \overrightarrow{OB} = t\cdot \pmatrix{0\\16\\-8}$
Der Parameter $t$ muss so gewählt werden, dass alle vier Seiten gleich lang sind, dass also insbesondere $\left|\overrightarrow{B'C}\right| =\left|\overrightarrow{OC}\right| $ gilt. Mit dem solve-Befehl und dem norm-Befehl des CAS folgt:
Aufgabe 3
Abb. 2: Gleichung lösen
Aufgabe 3
Abb. 2: Gleichung lösen
Für $t=0$ wäre $B'=O,$ was zum einen in der Aufgabenstellung ausgeschlossen ist, zum anderen dazu führen würde, dass es sich nicht mehr um ein Viereck handeln würde. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB'}&=& \frac{1}{2}\cdot \pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\8\\-4} \end{array}$
$ \overrightarrow{OB'} = \pmatrix{0\\8\\-4} $
Die Koordinaten von $B'$ lauten $B'(0\mid 8\mid -4).$
(2)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es sich nicht um ein Quadrat handelt
Damit es sich um ein Quadrat handelt, müssen jeweils zwei benachbarte Seiten senkrecht aufeinander stehen. Für $\overline{OA}$ und $\overline{OC}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OA}\circ\overrightarrow{OC}&=& \pmatrix{6\\4\\-2}\circ\pmatrix{-6\\4\\-2} \\[5pt] &=& 6\cdot (-6) +4\cdot 4 +(-2)\cdot (-2) \\[5pt] &=& -16 \neq 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{OA}\circ\overrightarrow{OC} \neq 0 $
Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren nicht null ist, stehen die beiden Vektoren und damit auch die beiden Seiten des Vierecks nicht senkrecht aufeinander. Es kann sich bei $OAB'C$ also nicht um ein Quadrat handeln.
#vektorbetrag#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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