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Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für $0\leq t \leq 3$ die Funktion $N_1$ mit der Gleichung
$N_{1}(t)=500\cdot\mathrm{e}^{0,6\cdot t}$,   $t\in\mathbb{R}$.
Dabei wird $t$ als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und $N_{1}(t)$ als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ aufgefasst.
Der Graph von $N_1$ ist in der Abbildung dargestellt.
Aufgabe 1 Abbildung
Aufgabe 1 Abbildung
a) (1)  Berechne den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(3P)
(2)  Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind.
(3P)
(3)  Berechne, um wie viele Tiere pro Tag die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung während der ersten drei Tage durchschnittlich wächst.
(3P)
(4)  Wenn eine Funktion $N$ die Anzahl der Pantoffeltierchen in einer Nährlösung beschreibt, dann ist durch $\dfrac{1}{t_2-t_1}\cdot\mathop{\displaystyle\int}\limits_{t_1}^{t_2}N(t)\;\mathrm dt$ die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung im Zeitintervall $[t_1;t_2]$ gegeben.
Berechne die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten Tages der Beobachtung (d. h. im Intervall $[0;1]$).
[Zur Kontrolle: Die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten Tages der Beobachtung beträgt ungefähr $685$.]
(5P)
(5)  Der Schüler berechnet einen Näherungswert für die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten Tages, indem er das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(1)$ bildet.
Zeige, dass das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(1)$ nur um ungefähr $3\,\%$ von der in (4) berechneten durchschnittlichen Anzahl abweicht.
(5P)
(6)  Begründe, warum eine Funktion mit dem Funktionsterm $500\cdot\mathrm e^{0,6\cdot t}$ nur für einen begrenzten Zeitraum zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen geeignet ist.
(3P)
Während der ersten drei Tage (für $0\leq t\leq 3$) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion $r_1$ mit der Gleichung
$r_{1}(t)=300\cdot\mathrm{e}^{0,6\cdot t}$,   $t\in\mathbb{R}$,
beschrieben.
Dabei wird $r_{1}(t)$ als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst.
b)  Für die Funktion $r_1$ und die zugehörige Ableitungsfunktion $r_{1}'$ gilt für alle $t\in\mathbb{R}$ die Aussage:
$r_{1}(t)>0$ und $r_{1}'(t)>0.$
[Die Gültigkeit dieser Aussage musst du nicht nachweisen.]
Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
(6P)
c)  Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Um die Entwicklung ab dem Zeitpunkt $t=3$ zu prognostizieren, sucht er eine Funktion, für deren momentane Änderungsrate $r_2$ zu jedem Zeitpunkt $t=3+a$ mit $0\leq a\leq3$ die Gleichung $r_2(3+a)=r_1(3-a)$ gilt.
(1) Interpretiere die Bedeutung der Gleichung $r_2(3+a)=r_1(3-a),\;\;\;0\leq a\leq3$ im Sachzusammenhang.
(3P)
(2)  Leite aus der Gleichung $r_1(t)=300\cdot\mathrm e^{0,6\cdot t}$ für die momentane Änderungsrate $r_1$ und der Gleichung $r_2(3+a)=r_1(3-a),\;\;\;0\leq a\leq3$, die Gleichung
$r_{2}(t)=300\cdot\mathrm e^{3,6-0,6\cdot t},\;\;\;3\leq t\leq6$,
zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag her.
(4P)
(3)  Bestimme, wie viele Pantoffeltierchen in der Nährlösung in diesem Modell im Laufe des vierten Tages (d. h. im Intervall $[3;4]$) hinzukommen.
(5P)
(4)  Ermittle ausgehend von den Funktionen $N_1$ und $r_2$ eine Gleichung der Funktion $N_2$, durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für $3\leq t\leq6$) beschrieben werden kann.
[Zur Kontrolle: $N_2(t)=1.000\cdot\mathrm e^{1,8}-500\cdot\mathrm e^{3,6-0,6\cdot t}$]
(6P)
(5)  Der Schüler verwendet die Funktion $N_2$ auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für $t\geq6$.
Begründe, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als $6.050$ wird.
(4P)
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Funktionswert berechnen und Interpretation im Sachzusammenhang
Deine Aufgabe ist es hier, den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ zu berechnen. Setze dazu $t=3$ in die Funktionsgleichung $N_1(t)$ ein.
Nun ist noch danach gefragt, den Funktionswert zu interpretieren. $N_1(t)$ wird als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ aufgefasst, wobei $t$ als Maßzahl zur Einheit 1 Tag aufgefasst wird.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt, zu dem 2.000 Pantoffeltierchen vorhanden sind, berechnen
Hier ist nach dem Zeitpunkt gefragt, zu dem 2.000 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. Also ist nach dem $t$ gesucht für das $N_1(t)=2.000$ gilt. Setze dazu den Funktionsterm mit 2.000 gleich und löse nach $t$ auf.
(3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliches Wachstum der Anzahl der Pantoffeltierchen
Das durchschnittliche Wachstum an den ersten drei Tagen berechnest du, indem du die Anzahl an neu dazugekommenen Pantoffeltierchen durch die Anzahl an vergangenen Tagen teilst. Die Anzahl der neu dazugekommenen Pantoffeltierchen ist die Differenz von Pantoffeltierchen zu Beginn und der Pantoffeltierchen nach 3 Tagen, also $N_1(3) - N_1(0)$.
$\text{Durchschnittliches Wachstum}=\dfrac{\text{Anzahl neu dazugekommener Pantoffeltierchen}}{\text{Anzahl vergangener Tagen}}$
(4)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Pantofelltieranzahl
Du sollst die durchschnittliche Anzahl an Pantoffeltierchen während des ersten Tages der Beobachtung, also im Intervall $[\,0\,;\,1\,]$ bestimmen. Auf dem Aufgabenblatt ist dazu eine Funktion gegeben:
$\dfrac{1}{t_2-t_1}\cdot \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}N(t)\;\mathrm dt$
Du musst die Funktion $N_1(t)$, sowie die Intervallgrenzen einsetzen.
(5)
$\blacktriangleright$  Arithmetisches Mittel
Hier musst du zunächst das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(1)$ berechnen, um dann die Abweichung vom vorherigen Ergebnis von $685$ zu bestimmen.
(6)
$\blacktriangleright$  Begründen, warum die Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum geeignet ist
Eine Funktion mit dem Funktionsterm $500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}$ beschreibt exponentielles Wachstum. Betrachte den Grenzwert einer solchen Funktion und begründe warum dies nicht im Sachzusammenhang nur in einem begrenztem Zeitraum zutrifft.
b)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Der erste Teil der Aussage lautet $r_1(t) > 0$. Dies bedeutet, dass die momentane Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt echt größer 0 ist. Überlege welche Auswirkung dies im Sachzusammenhang hat.
Der zweite Teil der Aussage lautet $r'_1(t) > 0$. Die Ableitung von $r_1$, also $r'_1$, beschreibt die Änderungsrate von $r_1$. Überlege dir hier welche Bedeutung die Änderungsrate von $r_1$ im Sachzusammenhang besitzt und welche Auswirkung die Eigenschaft auf die Pantoffeltierchenpopulation hat.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Die Gleichung $r_2\left(3+a\right)=r_1\left(3-a\right)$ bedeutet, dass die Änderungsraten der Anzahl der Pantoffeltierchen zu den Zeitpunkten $t=3+a$ und $t=3-a$ gleich sind. Überlege welcher Zusammenhang zwischen diesen beiden Zeitpunkten herrscht und was dies für die Änderungsraten $r_1$ und $r_2$ bedeutet.
(2)
$\blacktriangleright$  Leite die Gleichung für $\boldsymbol{r_2}$ her
Verwende die gegebenen Gleichungen. Ersetze zunächst $t$ durch $3-a$ bei $r_1$, um einen Funktionsterm für $r_2$ zu erhalten. Abschließend musst du $a$ durch $t-3$ in $r_2$ ersetzen.
(3)
$\blacktriangleright$  Anstieg im Laufe des vierten Tages berechnen
Hier sollst du den Anstieg der Anzahl der Pantoffeltierchen im Laufe des vierten Tages berechnen. Diesen kannst du mit der momentanen Änderungsrate bestimmen. Die momentane Änderungsrate beschreibt hier das Wachstum der Pantoffeltierchen, damit beschreibt das Integral über die Änderungsrate innerhalb eines Zeitintervalls den insgesamten Anstieg der Pantoffeltierchen innerhalb dieses Zeitraums.
Die Anzahl an Pantoffeltierchen, die im Laufe des Tages hinzugekommen sind, ist hier also gerade das Integral über die momentane Änderungsrate $r_2$ von den Zeitpunkten $t=3$ bis $t=4$. Somit beschreibt das Integral $\displaystyle\int_{3}^{4} r_2 (t)\; \mathrm dt$ die Anzahl an Tierchen, die im Laufe des vierten Tages dazugekommen sind. Dieses kannst du direkt mit deinem CAS berechnen.
(4)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $N_2(t)$ für $3\leq t \leq 6$ bestimmen
Hier sollst du eine Funktionsgleichung $N_2(t)$ aufstellen, welche die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag beschreibt. Du hast hierzu $N_1(t)$ und $r_2$ gegeben. Die Funktion muss nun folgende Form haben:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&=& \left( \text{Anzahl der Tierchen am dritten Tag}\right) \\[5pt] &&+ \left( \text{Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt } t \text{ dazugekommen sind}\right) \end{array}$
1. Schritt: Anzahl der Tierchen am dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen am dritten Tag hast du bereits mit $N_1(3)$ in Teilaufgabe a) berechnet.
2. Schritt: Anzahl der Tierchen nach dem dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt $t$ dazukommen, kannst du nun mit Hilfe der Änderungsrate $r_2$ bestimmen. Diese Anzahl ist gerade das Integral über $r_2$ von 3 bis $t$:
3. Schritt: Funktionsgleichung $N_2(t)$ aufstellen
Setze nun die Ergebnisse aus dem ersten und zweiten Schritt in die obige Gleichung ein:
$N_2(t)= N_1(3) + \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx$
(5)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen nicht größer als 6.050 wird
Um zu begründen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als 6.050 wird, benötigst du eine Eigenschaft der Exponentialfunktion. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $\mathrm e^x > 0$, somit gilt auch $\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit gilt auch die Gleichung $500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$. Mit dieser Eigenschaft kannst du nun die Funktionsgleichung $N_2(t)$ abschätzen und damit zeigen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als 6.050 wird.
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Funktionswert berechnen und Interpretation im Sachzusammenhang
Deine Aufgabe ist es hier, den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ zu berechnen. Setze dazu $t=3$ in die Funktionsgleichung $N_1(t)$ ein:
$N_1(3)=500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 3}=500 \cdot \mathrm e^{1,8} \approx 3.024,82$
Nun ist noch danach gefragt, den Funktionswert zu interpretieren. $N_1(t)$ wird als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ aufgefasst, wobei $t$ als Maßzahl zur Einheit $1$ Tag aufgefasst wird. Somit beschreibt $N_1(3)$ die Anzahl der Pantoffeltierchen nach $3$ Tagen.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt, zu dem 2.000 Pantoffeltierchen vorhanden sind, berechnen
Hier ist nach dem Zeitpunkt gefragt, zu dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. Also ist nach dem $t$ gesucht, für das $N_1(t)=2.000$ gilt. Setze dazu den Funktionsterm mit $2.000$ gleich und löse nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} N_1(t)&=2.000 & \quad \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}&=2.000 & \quad \mid\; :500 \\[5pt] \mathrm e^{0,6 \cdot t}&=4 & \quad \mid\; \ln \\[5pt] 0,6 \cdot t &= \ln(4) &\quad \mid\; :0,6 \\[5pt] t&=\dfrac{\ln(4)}{0,6} \\[5pt] &\approx 2,31 \end{array}$
Also sind nach ca. $2,31$ Tagen $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden.
(3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliches Wachstum der Anzahl der Pantoffeltierchen
Das durchschnittliche Wachstum an den ersten drei Tagen berechnest du, indem du die Anzahl an neu dazugekommenen Pantoffeltierchen durch die Anzahl an vergangenen Tagen teilst. Die Anzahl der neu dazugekommenen Pantoffeltierchen ist die Differenz von Pantoffeltierchen zu Beginn und der Pantoffeltierchen nach $3$ Tagen, also $N_1(3) - N_1(0)$. Damit erhältst du:
$\dfrac{N_1(3)-N_1(0)}{3}=\dfrac{3.024,82-500}{3}=\dfrac{2.525,82}{3}\approx 841,61$
Das durchschnittliche Wachstum der Pantoffeltierchen an den ersten drei Tagen beträgt $841,61$ Tierchen pro Tag.
(4)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Pantoffeltieranzahl
Du sollst die durchschnittliche Anzahl an Pantoffeltierchen während des ersten Tages der Beobachtung, also im Intervall $[\,0\,;\,1\,]$ bestimmen. Auf dem Aufgabenblatt ist dazu eine Funktion gegeben:
$\dfrac{1}{t_2-t_1}\cdot \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}N(t)\;\mathrm dt$
Du musst die Funktion $N_1(t)$, sowie die Stellen $t_1=0$ und $t_2=1$, die das Intervall beschreiben, einsetzen und erhältst:
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Die durchschnittliche Anzahl an Pantoffeltierchen während des ersten Tages der Beobachtung beträgt ungefähr $685$.
(5)
$\blacktriangleright$  Arithmetisches Mittel
Hier musst du zunächst das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(1)$ berechnen, um dann die Abweichung vom vorherigen Ergebnis von $685$ zu bestimmen. Das Mittel erhältst du, indem du die Summe der Werte durch die Anzahl der Werte, also $2$, teilst:
$\dfrac{N_1(0)+N_1(1)}{2}\approx\dfrac{500+911,06}{2}\approx 705,5$
Die Abweichung in Prozent erhältst du mit dieser Formel:
$\left(\dfrac{A_2}{A_1}-1\right)\cdot 100 \%$
Wobei $A_1$ dem ursprünglichen Wert $685$ entspricht und $A_2$ das arithmetische Mittel von $705,5$ beschreibt. Somit erhältst du:
$\left(\dfrac{705,5}{685}-1\right)\cdot 100\% \approx 2,99\%$
Die Abweichung beträgt etwa $3\%$.
(6)
$\blacktriangleright$  Begründen, warum die Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum geeignet ist
Eine Funktion mit dem Funktionsterm $500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}$ beschreibt exponentielles Wachstum. Der Grenzwert einer solchen Funktion ist "$\infty$". Nach einem begrenzten Zeitraum wird die Anzahl der Pantoffeltierchen wegen des beschränkten Platz- und Nahrungsangebots in der Nährlösung jedoch nicht weiter unbeschränkt wachsen. Das unbeschränkte Wachstum steht somit im Widerspruch zu dem beschränkten Platz- und Nahrungsangebot. Damit ist eine solche Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum für das Experiment geeignet.
b)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Der erste Teil der Aussage lautet $r_1(t) > 0$. Dies bedeutet, dass die momentane Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt echt größer 0 ist. Also steigt die Anzahl der Tierchen immer weiter an.
Der zweite Teil der Aussage lautet $r'_1(t) > 0$. Die Ableitung von $r_1$, also $r'_1$, beschreibt die Änderungsrate von $r_1$. Diese ist positiv, daher nimmt $r_1$ mit der Zeit größer werdende Werte an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass der Anstieg der Anzahl der Tierchen immer größer wird.
Insgesamt lässt sich sagen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu jeder Zeit steigt und dieser Anstieg immer größer wird.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Die Gleichung $r_2\left(3+a\right)=r_1\left(3-a\right)$ bedeutet, dass die Änderungsraten der Anzahl der Pantoffeltierchen zu den Zeitpunkten $t=3+a$ und $t=3-a$ gleich sind. Diese beiden Zeitpunkte sind "gleich weit" vom Zeitpunkt $t=3$ entfernt. Beispielsweise bedeutet dies, dass die Änderungsrate am zweiten Tag gleich der Änderungsrate am vierten Tag ist (hier ist also $a=1$). Also kann man sagen, dass die Änderungsraten symmetrisch um den dritten Tag verteilt sind.
(2)
$\blacktriangleright$  Leite die Gleichung für $\boldsymbol{r_2}$ her
Es sind zwei Gleichungen mit diesen Termen gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} r_1(t)&=&300\cdot \mathrm e^{0,6\cdot t}\\[5pt] r_2(3+a) &=& r_1(3-a) \\[5pt] \end{array}$
Verwende die gegebenen Gleichungen. Ersetze zunächst $t$ durch $3-a$ im Funktionsterm von $r_1$, um einen Funktionsterm für $r_2$ zu erhalten. Abschließend musst du $a$ durch $t-3$ in $r_2(t)$ ersetzen.
Setzt du jetzt $t=3-a$ in $r_1(t)$ ein, erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} r_1(3-a)&=&300\cdot \mathrm e^{0,6\cdot (3-a)}\\[5pt] &=& 300 \cdot \mathrm e^{1,8 - 0,6\cdot a}\\[5pt] \end{array}$
Mit der zweiten Gleichung weißt du, dass:
$\begin{array}[t]{rll} r_2(3+a) &=& r_1(3-a) \\[5pt] r_2(3+a) &=& 300 \cdot \mathrm e^{1,8 - 0,6\cdot a}\\[5pt] \end{array}$
Abschließend kannst du $a$ durch $a=t-3$ ersetzen, damit die Funktion $r_2$ nur noch von $t$ abhängig ist und du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} r_2(3+t-3) &=& 300 \cdot \mathrm e^{1,8 - 0,6\cdot (t-3)}\\[5pt] r_2(t) &=& 300 \cdot \mathrm e^{1,8 -0,6\cdot t +1,8}\\[5pt] &=& 300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6\cdot t}\\[5pt] \end{array}$
(3)
$\blacktriangleright$  Anstieg der Anzahl am vierten Tag
Hier sollst du den Anstieg der Anzahl der Pantoffeltierchen im Laufe des vierten Tages berechnen. Diesen kannst du mit der momentanen Änderungsrate bestimmen. Die momentane Änderungsrate beschreibt hier das Wachstum der Pantoffeltierchen, damit beschreibt das Integral über die Änderungsrate innerhalb eines Zeitintervalls den insgesamten Anstieg der Pantoffeltierchen innerhalb dieses Zeitraums.
Die Anzahl an Pantoffeltierchen, die im Laufe des Tages hinzugekommen sind, ist hier also gerade das Integral über die momentane Änderungsrate $r_2$ von den Zeitpunkten $t=3$ bis $t=4$. Somit beschreibt das Integral $\displaystyle\int_{3}^{4} r_2 (t)\; \mathrm dt$ die Anzahl an Tierchen, die im Laufe des vierten Tages dazugekommen sind. Dieses kannst mit deinem CAS berechnen:
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Der Anstieg im Laufe des vierten Tages beträgt also ca. $1.365$ Pantoffeltierchen.
(4)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $\boldsymbol{N_2(t)}$ für $\boldsymbol{3\leq t \leq 6}$ bestimmen
Hier sollst du eine Funktionsgleichung $N_2(t)$ aufstellen, welche die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag beschreibt. Du hast hierzu $N_1(t)$ und $r_2$ gegeben. Die Funktion muss nun folgende Form haben:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&=& \left( \text{Anzahl der Tierchen am dritten Tag}\right) \\[5pt] &&+ \left( \text{Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt } t \text{ dazugekommen sind}\right) \end{array}$
1. Schritt: Anzahl der Tierchen am dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen am dritten Tag hast du bereits mit $N_1(3)$ in Teilaufgabe a) berechnet.
Diese lautet: $N_1(3)=500 \cdot \mathrm e^{1,8}$.
2. Schritt: Anzahl der Tierchen nach dem dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt $t$ dazukommen, kannst du nun mit Hilfe der Änderungsrate $r_2$ bestimmen. Diese Anzahl ist gerade das Integral über $r_2$ von 3 bis $t$:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx &= \displaystyle\int_{3}^{t} 300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot x} \;\mathrm dx \\[5pt] &= 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{t} f(x) \;\mathrm dx & \quad \mid\; F \small{\text{ Stammfunktion von }} f \\[5pt] &= 300 \cdot \left(F\left(t\right) - F\left(3\right) \right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left( \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} - \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot 3}\right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left(\dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{1,8} - \dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\right) \\[5pt] &= 500 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \end{array}$
3. Schritt: Funktionsgleichung $\boldsymbol{N_2(t)}$ aufstellen
Setze nun die Ergebnisse aus dem ersten und zweiten Schritt in die obige Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&= N_1(3) + \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx \\[5pt] &= \left(500 \cdot \mathrm e^{1,8}\right) + \left(500 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\right) \\[5pt] &= 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \end{array}$
(5)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen nicht größer als $\boldsymbol{6.050}$ wird
Um zu begründen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als $6.050$ wird, benötigst du eine Eigenschaft der Exponentialfunktion. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $\mathrm e^x > 0$, somit gilt auch $\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit gilt auch die Gleichung $500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$. Also kannst du die Funktionsgleichung folgendermaßen abschätzen:
$N_2(t)=1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} < 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} = 6.049,65 < 6.050$
Damit hast du gezeigt, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu keinem Zeitpunkt größer als $6.050$ wird.
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Funktionswert berechnen und Interpretation im Sachzusammenhang
Deine Aufgabe ist es hier, den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ zu berechnen. Setze dazu $t=3$ in die Funktionsgleichung $N_1(t)$ ein:
$N_1(3)=500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 3}=500 \cdot \mathrm e^{1,8} \approx 3.024,82$
Nun ist noch danach gefragt, den Funktionswert zu interpretieren. $N_1(t)$ wird als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ aufgefasst, wobei $t$ als Maßzahl zur Einheit $1$ Tag aufgefasst wird. Somit beschreibt $N_1(3)$ die Anzahl der Pantoffeltierchen nach $3$ Tagen.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt, zu dem $\boldsymbol{2.000}$ Pantoffeltierchen vorhanden sind, berechnen
Hier ist nach dem Zeitpunkt gefragt, zu dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. Also ist nach dem $t$ gesucht, für das $N_1(t)=2.000$ gilt. Setze dazu den Funktionsterm mit $2.000$ gleich und löse nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} N_1(t)&=2.000 & \quad \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}&=2.000 & \quad \mid\; :500 \\[5pt] \mathrm e^{0,6 \cdot t}&=4 & \quad \mid\; \ln \\[5pt] 0,6 \cdot t &= \ln(4) &\quad \mid\; :0,6 \\[5pt] t&=\dfrac{\ln(4)}{0,6} \\[5pt] &\approx 2,31 \end{array}$
Also sind nach ca. $2,31$ Tagen $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden.
(3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliches Wachstum der Anzahl der Pantoffeltierchen
Das durchschnittliche Wachstum an den ersten drei Tagen berechnest du, indem du die Anzahl an neu dazugekommenen Pantoffeltierchen durch die Anzahl an vergangenen Tagen teilst. Die Anzahl der neu dazugekommenen Pantoffeltierchen ist die Differenz von Pantoffeltierchen zu Beginn und der Pantoffeltierchen nach 3 Tagen, also $N_1(3) - N_1(0)$. Damit erhältst du:
$\dfrac{N_1(3)-N_1(0)}{3}=\dfrac{3.024,82-500}{3}=\dfrac{2.525,82}{3}\approx 841,61$
Das durchschnittliche Wachstum der Pantoffeltierchen an den ersten drei Tagen beträgt $841,61$ Tierchen pro Tag.
(4)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Pantoffeltieranzahl
Du sollst die durchschnittliche Anzahl an Pantoffeltierchen während des ersten Tages der Beobachtung, also im Intervall $[\,0\,;\,1\,]$ bestimmen. Auf dem Aufgabenblatt ist dazu eine Funktion gegeben:
$\dfrac{1}{t_2-t_1}\cdot \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}N(t)\;\mathrm dt$
Du musst die Funktion $N_1(t)$, sowie die Stellen $t_1=0$ und $t_2=1$, die das Intervall beschreiben, einsetzen und erhältst:
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Die durchschnittliche Anzahl an Pantoffeltierchen während des ersten Tages der Beobachtung beträgt ungefähr $685$.
(5)
$\blacktriangleright$  Arithmetisches Mittel
Hier musst du zunächst das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(1)$ berechnen, um dann die Abweichung vom vorherigen Ergebnis von $685$ zu bestimmen. Das Mittel erhältst du, indem du die Summe der Werte durch die Anzahl der Werte, also $2$, teilst:
$\dfrac{N_1(0)+N_1(1)}{2}\approx\dfrac{500+911,06}{2}\approx 705,5$
Die Abweichung in Prozent erhältst du mit dieser Formel:
$\left(\dfrac{A_2}{A_1}-1\right)\cdot 100 \%$
Wobei $A_1$ dem ursprünglichen Wert $685$ entspricht und $A_2$ das arithmetische Mittel von $705,5$ beschreibt. Somit erhältst du:
$\left(\dfrac{705,5}{685}-1\right)\cdot 100\% \approx 2,99\%$
Die Abweichung beträgt etwa $3\%$.
(6)
$\blacktriangleright$  Begründen, warum die Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum geeignet ist
Eine Funktion mit dem Funktionsterm $500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}$ beschreibt exponentielles Wachstum. Der Grenzwert einer solchen Funktion ist "$\infty$". Nach einem begrenzten Zeitraum wird die Anzahl der Pantoffeltierchen wegen des beschränkten Platz- und Nahrungsangebots in der Nährlösung jedoch nicht weiter unbeschränkt wachsen. Das unbeschränkte Wachstum steht somit im Widerspruch zu dem beschränkten Platz- und Nahrungsangebot. Damit ist eine solche Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum für das Experiment geeignet.
b)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Der erste Teil der Aussage lautet $r_1(t) > 0$. Dies bedeutet, dass die momentane Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt echt größer 0 ist. Also steigt die Anzahl der Tierchen immer weiter an.
Der zweite Teil der Aussage lautet $r'_1(t) > 0$. Die Ableitung von $r_1$, also $r'_1$, beschreibt die Änderungsrate von $r_1$. Diese ist positiv, daher nimmt $r_1$ mit der Zeit größer werdende Werte an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass der Anstieg der Anzahl der Tierchen immer größer wird.
Insgesamt lässt sich sagen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu jeder Zeit steigt und dieser Anstieg immer größer wird.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Interpretation im Sachzusammenhang
Die Gleichung $r_2\left(3+a\right)=r_1\left(3-a\right)$ bedeutet, dass die Änderungsraten der Anzahl der Pantoffeltierchen zu den Zeitpunkten $t=3+a$ und $t=3-a$ gleich sind. Diese beiden Zeitpunkte sind "gleich weit" vom Zeitpunkt $t=3$ entfernt. Beispielsweise bedeutet dies, dass die Änderungsrate am zweiten Tag gleich der Änderungsrate am vierten Tag ist (hier ist also $a=1$). Also kann man sagen, dass die Änderungsraten symmetrisch um den dritten Tag verteilt sind.
(2)
$\blacktriangleright$  Leite die Gleichung für $\boldsymbol{r_2}$ her
Es sind zwei Gleichungen mit diesen Termen gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} r_1(t)&=&300\cdot \mathrm e^{0,6\cdot t}\\[5pt] r_2(3+a) &=& r_1(3-a) \\[5pt] \end{array}$
Verwende die gegebenen Gleichungen. Ersetze zunächst $t$ durch $3-a$ im Funktionsterm von $r_1$, um einen Funktionsterm für $r_2$ zu erhalten. Abschließend musst du $a$ durch $t-3$ in $r_2(t)$ ersetzen.
Setzt du jetzt $t=3-a$ in $r_1(t)$ ein, erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} r_1(3-a)&=&300\cdot \mathrm e^{0,6\cdot (3-a)}\\[5pt] &=& 300 \cdot \mathrm e^{1,8 - 0,6\cdot a}\\[5pt] \end{array}$
Mit der zweiten Gleichung weißt du, dass:
$\begin{array}[t]{rll} r_2(3+a) &=& r_1(3-a) \\[5pt] r_2(3+a) &=& 300 \cdot \mathrm e^{1,8 - 0,6\cdot a}\\[5pt] \end{array}$
Abschließend kannst du $a$ durch $a=t-3$ ersetzen, damit der Funktionsterm von $r_2$ nur noch von $t$ abhängig ist. Dadurch erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} r_2(3+t-3) &=& 300 \cdot \mathrm e^{1,8 - 0,6\cdot (t-3)}\\[5pt] r_2(t) &=& 300 \cdot \mathrm e^{1,8 -0,6\cdot t +1,8}\\[5pt] &=& 300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6\cdot t}\\[5pt] \end{array}$
(3)
$\blacktriangleright$  Anstieg der Anzahl am vierten Tag
Hier sollst du den Anstieg der Anzahl der Pantoffeltierchen im Laufe des vierten Tages berechnen. Diesen kannst du mit der momentanen Änderungsrate bestimmen. Die momentane Änderungsrate beschreibt hier das Wachstum der Pantoffeltierchen, damit beschreibt das Integral über die Änderungsrate innerhalb eines Zeitintervalls den insgesamten Anstieg der Pantoffeltierchen innerhalb dieses Zeitraums.
Die Anzahl an Pantoffeltierchen, die im Laufe des Tages hinzugekommen sind, ist hier also gerade das Integral über die momentane Änderungsrate $r_2$ von den Zeitpunkten $t=3$ bis $t=4$. Somit beschreibt das Integral $\displaystyle\int_{3}^{4} r_2 (t)\; \mathrm dt$ die Anzahl an Tierchen, die im Laufe des vierten Tages dazugekommen sind. Dieses kannst mit deinem CAS berechnen:
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Der Anstieg im Laufe des vierten Tages beträgt also ca. $1.365$ Pantoffeltierchen.
(4)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $\boldsymbol{N_2(t)}$ für $\boldsymbol{3\leq t \leq 6}$ bestimmen
Hier sollst du eine Funktionsgleichung $N_2(t)$ aufstellen, welche die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag beschreibt. Du hast hierzu $N_1(t)$ und $r_2$ gegeben. Die Funktion muss nun folgende Form haben:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&=& \left( \text{Anzahl der Tierchen am dritten Tag}\right) \\[5pt] &&+ \left( \text{Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt } t \text{ dazugekommen sind}\right) \end{array}$
1. Schritt: Anzahl der Tierchen am dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen am dritten Tag hast du bereits mit $N_1(3)$ in Teilaufgabe a) berechnet.
Diese lautet: $N_1(3)=500 \cdot \mathrm e^{1,8}$.
2. Schritt: Anzahl der Tierchen nach dem dritten Tag bestimmen
Die Anzahl der Tierchen, die ab dem dritten Tag bis zum Zeitpunkt $t$ dazukommen, kannst du nun mit Hilfe der Änderungsrate $r_2$ bestimmen. Diese Anzahl ist gerade das Integral über $r_2$ von 3 bis $t$:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx &= \displaystyle\int_{3}^{t} 300 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot x} \;\mathrm dx \\[5pt] &= 300 \cdot \displaystyle\int_{3}^{t} f(x) \;\mathrm dx & \quad \mid\; F \small{\text{ Stammfunktion von }} f \\[5pt] &= 300 \cdot \left(F\left(t\right) - F\left(3\right) \right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left( \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} - \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot 3}\right) \\[5pt] &= 300 \cdot \left(\dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{1,8} - \dfrac{5}{3} \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\right) \\[5pt] &= 500 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \end{array}$
3. Schritt: Funktionsgleichung $\boldsymbol{N_2(t)}$ aufstellen
Setze nun die Ergebnisse aus dem ersten und zweiten Schritt in die obige Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)&= N_1(3) + \displaystyle\int_{3}^{t} r_2(x) \;\mathrm dx \\[5pt] &= \left(500 \cdot \mathrm e^{1,8}\right) + \left(500 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t}\right) \\[5pt] &= 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} \end{array}$
(5)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen nicht größer als $6.050$ wird
Um zu begründen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als $6.050$ wird, benötigst du eine Eigenschaft der Exponentialfunktion. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $\mathrm e^x > 0$, somit gilt auch $\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit gilt auch die Gleichung $500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$. Also kannst du die Funktionsgleichung folgendermaßen abschätzen:
$N_2(t)=1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} < 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} = 6.049,65 < 6.050$
Damit hast du gezeigt, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu keinem Zeitpunkt größer als $6.050$ wird.
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