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Aufgabe 3

Aufgaben
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#pyramide
a)
Die folgenden Rechnungen zeigen ein mögliches Vorgehen zur Ermittlung der Koordinaten von $S:$
$\pmatrix{0\\0\\15}+r\cdot \pmatrix{-5\\5\\-15} = \pmatrix{0\\30\\15} + s\cdot \pmatrix{-5\\-5\\-15} \Leftrightarrow r=s=3$
$\pmatrix{0\\0\\15}+3\cdot \pmatrix{-5\\5\\-15} = \pmatrix{-15\\15\\-30}$
d.h. $S(-15\mid 15\mid -30)$
Erläutere das dargestellte Vorgehen.
(5 BE)
b)
(1)
Weise nach, dass die Bodenfläche $DEF$ der oberen Etage nicht rechtwinklig ist.
(4 BE)
#rechtwinkligesdreieck
$\,$
(2)
Bestimme für das Dreieck $DEF$ die Größe des Innenwinkels $\epsilon$ bei $E.$
[Zur Kontrolle: $\epsilon = 45^{\circ}$]
(3 BE)
$\,$
(3)
Im Dreieck $DEF$ ist der Punkt $P$ der Fußpunkt der Höhe $h$ auf die Seite $\overline{EF}$ (vgl. Abbildung 2).
Aufgabe 3
Abb. 2: nicht maßstabsgetreu
Aufgabe 3
Abb. 2: nicht maßstabsgetreu
Begründe, dass das Dreieck $DEP$ gleichschenklig ist, und bestimme die Länge der Höhe $h.$
[Zur Kontrolle: $h=15\sqrt{2}$]
(5 BE)
#gleichschenkligesdreieck
$\,$
(4)
Begründe, dass der Abstand des Punktes $G$ zur Ebene durch $DEF$ direkt aus den $x_3$-Koordinaten der entsprechenden Punkte ermittelt werden kann, und gib diesen Abstand an.
(3 BE)
$\,$
(5)
Für die obere Etage wird eine Anlage zur Entfeuchtung der Luft installiert, die für $100\,\text{m}^3$ Rauminhalt eine elektrische Leistung von $0,8$ Kilowatt benötigt.
Weise nach, dass für den Betrieb der Anlage eine Leistung von $25$ Kilowatt ausreichend ist.
(5 BE)
Die obere Etage wird durch einen Laser alarmgesichert.
Der Laser ist im Punkt $Q(-9\mid 8\mid 15,5)$ an einer Metallstange befestigt. Diese Metallstange verläuft geradlinig von der Spitze $G$ der Pyramide über den Punkt $Q$ zur Bodenfläche der oberen Etage.
c)
(1)
Ermittle die Koordinaten des Bodenpunktes $R$ der Metallstange in der Bodenfläche und die Länge der Metallstange.

Hinweis: Ein Nachweis, dass der Punkt $R$ innerhalb des Dreiecks $DEF$ liegt, wird nicht erwartet.
(7 BE)
$\,$
(2)
Der Laser im Punkt $Q$ ist so eingestellt, dass der Lichtstrahl in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v}$ mit $\overrightarrow{v}= \pmatrix{0,34\\0,84\\0,02}$ ausgerichtet ist.
Zeige, dass der Lichtstrahl mit dieser Einstellung auf die Kante $\overline{GE}$ trifft.
(8 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Vorgehen beschreibenAufgabe 3
Der Punkt $S$ ist der Schnittpunkt der drei Geraden durch die Punkte $F$ und $C,$ $D$ und $A,$ $E$ und $B.$
Es genügt den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. In der dargestellten Rechnung werden die beiden Parameterdarstellungen der Geraden durch die Punkte $D$ und $A$ mit dem Geradenparameter $r$ und durch die Punkte $E$ und $B$ mit dem Geradenparameter $s$ gleichgesetzt.
Diese Gleichung liefert eine Lösung für $r$ und $s.$ Der Wert für $r$ wird in die Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $A$ eingesetzt und liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts.
Daraus erhält man die Koordinaten des Punkts $S.$
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Bodenfläche nicht rechtwinklig ist
Die Bodenfläche $DEF$ ist rechtwinklig, wenn es zwei Verbindungsvektoren der Eckpunkte gibt, die senkrecht aufeinander stehen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{DF}&=& \pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\5\\0} \\[5pt] &=& 0\cdot (-25) + 30\cdot 5 + 0\cdot 0 \\[5pt] &=& 150 \neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{EF}&=& \pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \\[5pt] &=& 0\cdot (-25) + 30\cdot (-25) + 0\cdot 0 \\[5pt] &=& -750 \neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DF}\circ \overrightarrow{EF}&=& \pmatrix{-25\\5\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \\[5pt] &=& (-25)\cdot (-25) + 5\cdot (-25) + 0\cdot 0 \\[5pt] &=& 500 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{DF}& \neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{EF}&\neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DF}\circ \overrightarrow{EF}& \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
Die Bodenfläche $DEF$ ist also nicht rechtwinklig.
#skalarprodukt
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Größe des Innenwinkels bestimmen
Der Innenwinkel des Dreiecks $DEF$ entspricht dem Schnittwinkel der beiden Geraden durch die Punkte $E$ und $F$ und durch $E$ und $D.$ Zugehörige Richtungsvektoren sind $\overrightarrow{DE}$ und $\overrightarrow{EF}.$ Verwende die entsprechende Formel. Den Vektorbetrag kannst du auch mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \cos \epsilon &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{DE} \circ \overrightarrow{EF} \right|}{\left| \overrightarrow{DE}\right| \cdot \left|\overrightarrow{EF}\right|} \\[5pt] \cos \epsilon &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \right|}{\left| \pmatrix{0\\30\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{-25\\-25\\0} \right|} \\[5pt] \cos \epsilon &=& \dfrac{750}{\sqrt{0^2 +30^2 +0^2 }\cdot \sqrt{(-25)^2 +(-25)^2 +0^2} } \\[5pt] \cos \epsilon&=& \dfrac{750}{30\cdot \sqrt{1.250}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \epsilon&=& 45^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \epsilon= 45^{\circ} $
Der Innenwinkel des Dreiecks $DEF$ bei $E$ ist $45^{\circ}$ groß.
#schnittwinkel
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Gleichschenkligkeit begründen
Zwei der Innenwinkel des Dreiecks $DEP$ sind bekannt. Der Winkel $\epsilon$ bei $E$ hat die Größe $45^{\circ}.$ Der Innenwinkel bei $P$ beträgt aufgrund der Eigenschaften der Höhe $90^{\circ}.$ Der dritte Winkel $\alpha$ bei $D$ muss also aufgrund der Winkelsumme $180^{\circ}$ eines Dreiecks folgende Größe haben:
$\alpha = 180^{\circ} - 90^{\circ}-45^{\circ} = 45^{\circ}$
Die beiden Innenwinkel bei $E$ und $D$ sind also gleichgroß, sodass es sich bei $DEP$ um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
$\blacktriangleright$  Länge der Höhe bestimmen
Du kannst die Länge der Seite $\overline{DE}$ mit dem Vektorbetrag des zugehörigen Vebindungsvektors berechnen. Diesen kannst du auch mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DE}&=& \left| \overrightarrow{DE}\right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{ 0\\30\\0}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+30^2 +0^2} \\[5pt] &=& 30 \end{array}$
$ \overline{DE} = 30 $
Die beiden Seiten $h=\overline{DP}$ und $\overline{PE}$ sind aufgrund der Gleichschenkligkeit gleich lang. Mit dem Satz des Pythagoras folgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DE}^2&=& h^2+h^2 \\[5pt] 30^2&=& 2\cdot h^2&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 450&=& h^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 15\sqrt{2}&=& h \end{array}$
$ h =15\sqrt{2} $
Die Höhe $h$ ist $15\sqrt{2}$ Längeneinheiten lang.
#vektorbetrag
$\,$
(4)
$\blacktriangleright$  Abstand begründen und angeben
Die drei Punkte $D,$ $E$ und $F$ besitzen die gleiche $x_3$-Koordinate. Da eine Ebene durch drei unterschiedliche Punkte bereits vollständig bestimmt ist, müssen alle Punkte in der Ebene die gleiche $x_3$-Koordinate besitzen. Bei der Ebene durch die drei Punkte $D,$ $E$ und $F$ handelt es sich also um eine zur $x_1x_2$-Ebene parallele Ebene.
Der Abstand eines Punkts zu dieser Ebene kann daher über die Differenz der $x_3$-Koordinaten berechnet werden. Die $x_3$-Koordinate von $G$ ist $35,$ die $x_3$-Koordinate von $DEF$ ist $15.$
$d = 35 -15 = 20$
Der Abstand von $G$ zur Ebene durch $DEF$ beträgt also $20\,\text{LE}.$
$\,$
(5)
$\blacktriangleright$  Ausreichende Leistung nachweisen
Die obere Etage hat die Form einer Pyramide. Die Höhe der Pyramide entspricht dem Abstand von $G$ zur Ebene durch $DEF,$ welchen du eben berechnet hast:
$h_{\text{Pyramide}} = d = 20\,\text{m} $
1. Schritt: Inhalt der Bodenfläche berechnen
Die Bodenfläche der oberen Etage ist das Dreieck $DEF,$ dessen Höhe zur Seite $\overline{EF}$ du bereits berechnet hast:
$h = 15\sqrt{2}\,\text{m}$
Die Länge der Seite $\overline{EF}$ kannst du wieder über den Vektorbetrag berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{EF}&=& \left|\overrightarrow{EF} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-25\\-25\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-25)^2 +(-25)^2 + 0^2} \\[5pt] &=& 25\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{EF} =25\sqrt{2} $
Für den Flächeninhalt der Bodenfläche gilt daher:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \frac{1}{2}\cdot 15\sqrt{2}\,\text{m} \cdot 25\sqrt{2}\,\text{m} \\[5pt] &=& 375\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A= 375\,\text{m}^2 $
2. Schritt: Volumen berechnen
Mit der Formel für das Volumen einer Pyramide folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{1}{3}\cdot h_{\text{Pyramide}} \cdot A \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 20\,\text{m} \cdot 375\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 2.500\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V = 2.500\,\text{m}^3$
Das Volumen der oberen Etage beträgt $2.500\,\text{m}^3.$ Es werden demnach $25\cdot 0,8 $ Kilowatt benötigt. $25$ Kilowatt reichen also aus.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Bodenpunktes ermitteln
Die Metallstange liegt auf der Geraden $g$ durch die Punkte $G$ und $Q.$ Der Punkt $R$ ist also der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene durch $DEF.$
$g$ kann wie folgt beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OG} + r\cdot \overrightarrow{GQ} \\[5pt] &=& \pmatrix{-10\\10\\35} + r\cdot \pmatrix{1\\-2\\-19,5} \\[5pt] &=& \pmatrix{-10+r\\ 10-2r \\ 35 -19,5r} \\[5pt] \end{array}$
$ g:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{-10+r\\ 10-2r \\ 35 -19,5r} $
Eine Gleichung der Ebene $E$ durch $DEF$ lautet wegen Teilaufgabe b) (4):
$E:\quad x_3 = 15$
Einsetzen der $x_3$-Koordinate von $g$ in die Gleichung $E$ liefert nun:
$\begin{array}[t]{rll} x_3 &=& 15 \\[5pt] 35-19,5r &=& 15 &\quad \scriptsize \mid\;-35 \\[5pt] -19,5r&=& -20 &\quad \scriptsize \mid\;:(-19,5) \\[5pt] r&=& \frac{40}{39} \end{array}$
$ r =\frac{40}{39} $
Einsetzen in die Koordinaten von $g$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=& \pmatrix{-10+\frac{40}{39}\\ 10-2\cdot \frac{40}{39} \\ 35 -19,5\cdot \frac{40}{39}} \\[5pt] &=& \pmatrix{-\frac{350}{39}\\ \frac{310}{39} \\ 15} \end{array}$
$ \overrightarrow{OR} = \pmatrix{-\frac{350}{39}\\ \frac{310}{39} \\ 15} $
Die Koordinaten von $R$ lauten also $R\left(-\frac{350}{39}\mid \frac{310}{39} \mid 15\right).$
$\blacktriangleright$  Länge der Metallstange ermitteln
Die Länge der Metallstange entspricht dem Abstand der beiden Punkte $G$ und $R:$
$\begin{array}[t]{rll} l&=& \left|\overrightarrow{GR} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{\frac{40}{39} \\ -\frac{80}{39} \\ -20} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{\left( \frac{40}{39}\right)^2 + \left( -\frac{80}{39}\right)^2 + \left( -20\right)^2} \\[5pt] &\approx& 20,13 \\[5pt] \end{array}$
$ l \approx 20,13 $
Die Metallstange ist ca. $20,13\,\text{m}$ lang.
#vektorbetrag
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Treffpunkt des Lasers zeigen
Der Lichtstrahl verläuft entlang der Geraden $h$ mit:
$\begin{array}[t]{rll} h: \quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OQ} + s\cdot \overrightarrow{v} \\[5pt] &=& \pmatrix{-9\\8\\15,5} +s\cdot \pmatrix{0,34 \\ 0,84 \\ 0,02} \end{array}$
$ h: \quad \overrightarrow{x} = … $
Die Kante $\overline{GE}$ liegt auf der Geraden $i$ mit folgender Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} i:\quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OG} + t\cdot \overrightarrow{GE} \\[5pt] &=& \pmatrix{-10\\10\\35} + t\cdot \pmatrix{10\\20\\-20}\\[5pt] \end{array}$
$ i:\quad \overrightarrow{x} = … $
Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen liefert eine Gleichung, die du über ein Gleichungssystem oder auch mit dem solve-Befehl deines CAS lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-9\\8\\15,5} +s\cdot \pmatrix{0,34 \\ 0,84 \\ 0,02} &=& \pmatrix{-10\\10\\35} + t\cdot \pmatrix{10\\20\\-20} &\quad \scriptsize \mid\;- \pmatrix{-10\\10\\35}; - s\cdot \pmatrix{0,34 \\ 0,84 \\ 0,02}\\[5pt] \pmatrix{1\\-2\\-19,5}&=& t\cdot \pmatrix{10\\20\\-20} - s\cdot \pmatrix{0,34 \\ 0,84 \\ 0,02} \end{array}$
$ \pmatrix{1\\-2\\-19,5} = … $
Daraus folgt ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1&=& 10t -0,34s \\ \text{II}\quad&-2&=& 20t -0,84s \\ \text{III}\quad&-19,5&=& -20t -0,02s &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{II}+\text{III}\\ \hline \text{II'}\quad&-21,5&=& -0,86s &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,86) \\ & 25 &=& s \\ \end{array}$
$ s = 25 $
Einsetzen in $\text{I}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 1 &=& 10t -0,34s&\quad \scriptsize \mid\; s=25 \\[5pt] 1&=& 10t -0,34\cdot 25 \\[5pt] 1&=& 10t - 8,5&\quad \scriptsize \mid\; +8,5 \\[5pt] 9,5 &=& 10t &\quad \scriptsize \mid\; :10\\[5pt] 0,95&=& t \end{array}$
$ t = 0,95 $
Da das Gleichungssystem eine Lösung hat und der zugehörige Parameterwert $t = 0,95$ zwischen $0$ und $1$ liegt, schneiden sich die Geraden $h$ und $i$ in einem Punkt, der auf der Strecke $\overline{GE}$ liegt. Der Lichtstrahl trifft also auf die Kante $\overline{GE}.$
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