Vektorielle Geometrie

Eine ehemalige Lagerhalle soll für ein Theater umgebaut werden. Die Lagerhalle hat eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von $10\;\text{m}.$ Die Grundfläche liegt in der $xy$ -Ebene.

Die Höhe der Halle beträgt $6\;\text{m}.$ Als „Himmel“ wird, wie in der Abbildung modellhaft dargestellt ist, eine dreieckige Plane aufgespannt.

Gegeben sind die Punkte $E(0\mid0\mid6),\;K(2\mid10\mid6)$ und $L(10\mid0\mid4).$

$1\;\text{LE} =1\;\text{m}.$

Gib die Koordinaten der Punkte $H$ und $G$ an. Untersuche, ob die Plane die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat.

(2 Punkte)

Die Plane liegt in einer Ebene $E_{P}.$ Bestimme eine Gleichung der Ebene $E_{P}$ in Parameter- und in Koordinatenform.

Kontrollergebnis anzeigen

(3 Punkte)

In die Lagerhalle wird ein Boden für den Zuschauerraum eingebaut. Der Boden soll in der Ebene $E_{B}$ liegen, die parallel zur Plane und durch den Punkt $B$ verläuft.
Begründe, dass die Ebene $E_{B}$ durch die Gleichung $E_{B}:5x-y+25z=50$ beschrieben werden kann. Ermittle, wie groß die maximale Höhe des Bodens über der Grundfläche ist.

(6 Punkte)

Begründe, dass der Abstand der Plane vom Boden des Zuschauerraums kleiner als $4\;\text{m}$ ist.

(3 Punkte)

Für die Schauspieler wird schließlich eine Bühne eingebaut. Der Boden der Bühne verläuft parallel zur Grundfläche der Halle in einer Höhe von $0,8\;\text{m}$ soweit, bis sie auf den Boden des Zuschauerraums trifft.

Berechne die Größe der trapezförmigen Bühnenfläche.

(6 Punkte)

(20 Punkte)

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Koordinaten der Punkte $H$ und $G$ angeben

Mit der Höhe der Halle von $6\,\text{m}$ und einer Grundfläche von $10\times10\;\text{m}^2$ folgen die Koordinaten der Punkte mit:

$G(10 \mid 10 \mid 6)$ und $H(0 \mid 10 \mid 6)$

Form der Plane untersuchen

Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn es zwei Seiten hat, die gleich lang sind.

Längen der Seiten berechnen:

$\vert \overrightarrow{EK} \vert = \left\vert \pmatrix{2\\10\\0}\right\vert = \sqrt{104} \approx 10,2 \;[\text{m}]$

$\vert \overrightarrow{EL} \vert = \left\vert \pmatrix{0\\10\\-2}\right\vert = \sqrt{104} \approx 10,2 \;[\text{m}]$

Somit ist die Bedingung erfüllt und die Plane hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks.

Parameterform von $E_P$ aufstellen

Eine Parameterform der Ebene $E_P$ kann beispielsweise wie folgt aufgestellt werden:

Parametergleichung anzeigen

Koordinatenform von $E_P$ bestimmen

Aus den beiden Richtungsvektoren der Parameterform kann durch das Kreuzprodukt ein Normalenvektor der Ebene aufgestellt werden:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n}= \pmatrix{-20\\4 \\-100}$

Einsetzen von $L(10\mid0\mid4)$ und $\overrightarrow{n}$ in die allgemeine Koordinatengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} -20 \cdot x +4y -100\cdot c &=& a& \\[5pt] -20 \cdot 10 -100 \cdot 4&=& a&\\[5pt] -600&=& a \end{array}$

Die Koordinatenform ergibt sich nun mit:

$\begin{array}[t]{rll} -20 x +4 y-100 z&=&-600 &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] 5 x - y+25 z&=&150 \end{array}$

Beschreibung durch $E_B$ begründen

Sind Ebenen parallel, so stimmen ihre Normalenvektoren überein, deshalb lässt sich $E_B$ mit der Koordinatengleichung $E_B:5x-y+25z=d$ darstellen.

Durch Einsetzen von $B(10\mid0\mid0)$ in die Gleichung kann $d$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} 5\cdot10-1\cdot0+25\cdot0&=& d \\[5pt] 50&=&d \end{array}$

Die Ebene $E_B$ kann also durch $E_B: 5x-y+25z=50$ beschrieben werden.

Maximale Höhe berechnen

Die maximale Höhe des Bodens wird an dem Eckpunkt des Bodens angenommen, der auf der Kante $\overline{DH}$ liegt. Für diesen gilt $x=0$ und $y=10$ .

Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 5\cdot0-1\cdot10+25z&=&50 &\quad \scriptsize \mid\;+10\;\mid\;:25 \\[5pt] z&=&2,4 \end{array}$

Die maximale Höhe des Bodens über der Grundfläche beträgt somit $2,4\;\text{m}.$

Da die Plane parallel zum Boden des Zuschauerraums verläuft, kann anhand von zwei übereinanderliegenden Punkten der vertikale Abstand bestimmt werden:

Der Punkt $L$ der Plane und Punkt $B$ des Bodens liegen beispielsweise übereinander, sodass anhand der Differenz der $z$ -Koordinaten ein Abstand von genau $4$ Metern ermittelt werden kann.

Da $\overline{LB}$ jedoch nicht senkrecht zu den Ebenen liegt, ist der tatsächliche Abstand der beiden Ebenen kleiner als $4$ Meter.

1. Schritt: Gleichung der Schnittgeraden bestimmen

Die Schnittgerade $s$ von $E_B$ und der Bühnenebene kann durch Einsetzen der Höhe $z=0,8$ in die Ebenengleichung $E_B$ des Bodens ermittelt werden:

$\begin{array}[t]{rll} 5x -y+25z &=& 50 &\quad \scriptsize \mid\; z=0,8 \\[5pt] 5x -y +25\cdot 0,8&=& 50 \end{array}$

Für $x=r$ folgt $y= -30 +5r$ .

Somit lautet die Gleichung der Schnittgeraden:

$s: \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\-30\\0,8} + r \cdot \pmatrix{1\\5\\0}$

2. Schritt: Größe der Bühnenfläche berechnen

Ermitteln der $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte von $s$ mit den Seitenflächen $ABFE$ und $DCGH$ des Theaters:

Für den Schnittpunkt $S_{ABFE}$ gilt :

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0& \\[5pt] -30+5r&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +30 \quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] r&=& 6 &\\[5pt] x&=& 6 \end{array}$

Für den Schnittpunkt $S_{DCGH}$ gilt :

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 10& \\[5pt] -30 +5r&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\;+30 \quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] r&=& 8& \\[5pt] x&=&8 \end{array}$

Somit haben die parallelen Trapezseiten Längen von $4\,\text{m}$ bzw. $2\;\text{m}.$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt:

$A= \dfrac{4+2}{2} \cdot 10 =30$

Die Bühne hat also eine Fläche von $30\;\text{m}^2.$

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