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Lerninhalte in Mathe
Inhaltsverzeichnis

Vektorielle Geometrie

Betrachtet wird ein gerades Prisma mit den Eckpunkten \(A, B, C, D, E\) und \(F.\)

Grundfläche ist das Dreieck \(A B C.\)

\(A(-2 \mid 0 \mid 0), B(2 \mid 0 \mid 0), C(0 \mid 8 \mid 0),D(-2 \mid 0 \mid 4), E(2 \mid 0 \mid 4), F(0 \mid 8 \mid 4).\)

a)

Abbildung 1 zeigt die Kante \(\overline{B C}\) des Prismas.

Abbildung
Abbildung 1

Zeichne das Prisma in Abbildung 1 ein und berechne das Volumen des Prismas.

(5 Punkte)
b)

Das Dreieck \(D E F\) liegt in der Ebene \(L.\)

(1)

Gib eine Gleichung von \(L\) in Parameterform an.

(2)

Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks \(DEF\) am Eckpunkt \(D.\)

(3)

Begründe, dass das Dreieck \(DEF\) parallel zur \(x_1 x_2\)-Ebene liegt.

(2+2+1 Punkte)

Im Folgenden wird die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\12}+t \cdot \pmatrix{0\\1\\-1},t \in \mathbb{R}\) betrachtet.

Des Weiteren wird der Punkt \(F\) durch einen Punkt \(F_t(0 \mid t \mid 12-t)\) mit \(0 \lt t \leq 8\) ersetzt. Für jeden Wert von \(t\) liegt der Punkt \(F_t\) auf der Gerade \(g\) (vgl. Abbildung 2).

Abbildung
Abbildung 2

Mit \(M\) wird der Mittelpunkt der Basis \(\overline{D E}\) des gleichschenkligen Dreiecks \(E F_t D\) bezeichnet.

c)

Zeige rechnerisch, dass für \(t=4\) die Strecke \(\overline{M F_t}\) senkrecht auf der Gerade \(g\) steht.

(2 Punkte)
d)

Begründe ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks \(E F_t D\) für \(t=4\) am kleinsten ist.

(3 Punkte)

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