Aufgabe 1

Aufgabenstellung:
In einer Studie zum Spracherwerb von Kindern ist untersucht worden, wie sich die Länge gesprochener Sätze (kurz: Satzlänge) mit dem Alter der Kinder entwickelt.
Ein Sprachforscher modelliert mit einer Funktion \(r\) die momentane Änderungsrate, mit der sich die durchschnittliche Satzlänge\(^1\) der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, im Alter von \(1,5\) Jahren bis \(5,5\) Jahren verändert. Dazu verwendet er für \(1,5 \leq t \leq 5,5\) die Gleichung
\(r(t) = 0,31 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot t^2 + 1,25 \cdot t}\), \(t \in \mathbb{R}\).

Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Maßeinheit \(1\) Jahr und \(r(t)\) als Maßzahl zur Maßeinheit \(1\) Wort pro Jahr aufgefasst.
Der Graph von \(r\) im Bereich \(1,5 \leq t \leq 5,5\) ist in Abbildung 1 dargestellt.
\(^1\) Im Folgenden wird die durchschnittliche Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, kurz als Satzlänge bezeichnet.
a)
(1)
Berechne den Funktionswert von \(r\) an der Stelle \(t=2\) und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(3P)
\(\,\)
(2)
Für die Funktion \(r\) gilt die Aussage:
\(r(t)\gt 0\) für alle \(t \in \mathbb{R}\).
Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
(3P)
\(\,\)
(3)
Ermittle rechnerisch den Zeitraum im Alter zwischen \(1,5\) und \(5,5\) Jahren, in dem die Satzlänge mit einer momentanen Änderungsrate wächst, die größer als ein Wort pro Jahr ist.
(4P)
\(\,\)
(4)
Weise rechnerisch nach, dass im gegebenen Modell im Alter von \(2,5\) Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt.
(7P)
b)
In der Studie ist bei Kindern im Alter von \(1,5\) Jahren eine Satzlänge von \(1,2\) Wörtern beobachtet worden.

(1)
Interpretiere die Bedeutung des Terms \(1,2 + \displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t) \,\mathrm dt\) im Sachzusammenhang.
(3P)
\(\,\)
Die konkrete Ermittlung eines Funktionsterms einer Stammfunktion von \(r\) mit Hilfe eines Integrationsverfahrens ist nicht möglich. Daher wird der Wert des Integrals \(\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\,\mathrm dt\) durch ein numerisches Verfahren bestimmt. In Abbildung 2 ist dieses Verfahren veranschaulicht.
(2)
Beschreibe kurz das Vorgehen bei diesem numerischen Verfahren.
(4P)
\(\,\)
(3)
Berechne mit diesem numerischen Verfahren einen Nährungswert für den Term \(1,2 +  \displaystyle\int_{1,5}^{5,5} r(t) \,\mathrm dt\).
(5P)
\(\,\)
(4)
Für \(1,5 \leq a \leq 4,5\) ist die Funktion \(z\) definiert durch die Gleichung \(z(a)= \displaystyle\int_{a}^{a+1} r(t) \,\mathrm dt\).
Berechne die absolute Maximalstelle der Funktion \(z\) im Intervall \([1,5; 4,5]\) und interpretiere den berechneten Wert im Sachzusammenhang.
(8P)
c)
Einige Forscher gehen davon aus, dass bei zweisprachig aufwachsenden Kindern eine verzögerte Sprachentwicklung auftritt.
Zur Modellierung der durchschnittlichen Satzlänge von zweisprachig aufwachsenden Kindern im Alter von \(2\) Jahren bis \(5,5\) Jahren verwendet der Sprachforscher für \(2 \leq t \leq 5,5\) die Funktion \(r_{neu}\) mit der Gleichung
\(r_{neu}(t) = 0,31 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot t^2 + 1,5 \cdot t - 0,6875}\), \(t \in \mathbb{R}\).
(1)
Der Graph der Funktion \(r_{neu}\) geht durch eine Verschiebung aus dem Graphen der Funktion \(r\) hervor.
Zeichne in Abbildung 1 den Graphen von \(r_{neu}\) ein und ermittle anhand deiner Zeichnung die Verschiebung.
(6P)
\(\,\)
(2)
Prüfe nun rechnerisch, ob sich bei der von dir ermittelten Verschiebung der Funktionsterm von \(r_{neu}\) aus dem Funktionsterm von \(r\) ergibt.
(3P)
\(\,\)
(3)
Für die zweisprachig aufwachsenden Kinder geht der Sprachforscher davon aus, dass die durchschnittliche Satzlänge von \(1,2\) Wörtern statt im Alter von \(1,5\) Jahren erst im Alter von \(2\) Jahren vorliegt.
Ermittle unter dieser Voraussetzung, welcher Unterschied im Alter von \(5,5\) Jahren zwischen der Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, und der Satzlänge der zweisprachig aufgewachsenen Kinder besteht.
(4P)
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