Aufgabe 1
Aufgabenstellung:
In einer Studie zum Spracherwerb von Kindern ist untersucht worden, wie sich die Länge gesprochener Sätze (kurz: Satzlänge) mit dem Alter der Kinder entwickelt.
Ein Sprachforscher modelliert mit einer Funktion
die momentane Änderungsrate, mit der sich die durchschnittliche Satzlänge
der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, im Alter von
Jahren bis
Jahren verändert. Dazu verwendet er für
die Gleichung
,
.
Dabei wird
als Maßzahl zur Maßeinheit
Jahr und
als Maßzahl zur Maßeinheit
Wort pro Jahr aufgefasst.
Der Graph von
im Bereich
ist in Abbildung 1 dargestellt.
Im Folgenden wird die durchschnittliche Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, kurz als Satzlänge bezeichnet.
Bildnachweise [nach oben]
Ein Sprachforscher modelliert mit einer Funktion
Dabei wird
Der Graph von
a)
(1)
Berechne den Funktionswert von
an der Stelle
und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(3P)
(2)
Für die Funktion
gilt die Aussage:
für alle
.
Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
(3P)
(3)
Ermittle rechnerisch den Zeitraum im Alter zwischen
und
Jahren, in dem die Satzlänge mit einer momentanen Änderungsrate wächst, die größer als ein Wort pro Jahr ist.
(4P)
(4)
Weise rechnerisch nach, dass im gegebenen Modell im Alter von
Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt.
(7P)
b)
In der Studie ist bei Kindern im Alter von
Jahren eine Satzlänge von
Wörtern beobachtet worden.
(1)
Interpretiere die Bedeutung des Terms
im Sachzusammenhang.
(3P)
Die konkrete Ermittlung eines Funktionsterms einer Stammfunktion von
mit Hilfe eines Integrationsverfahrens ist nicht möglich. Daher wird der Wert des Integrals
durch ein numerisches Verfahren bestimmt. In Abbildung 2 ist dieses Verfahren veranschaulicht.
(2)
Beschreibe kurz das Vorgehen bei diesem numerischen Verfahren.
(4P)
(3)
Berechne mit diesem numerischen Verfahren einen Nährungswert für den Term
.
(5P)
(4)
Für
ist die Funktion
definiert durch die Gleichung
.
Berechne die absolute Maximalstelle der Funktion
im Intervall
und interpretiere den berechneten Wert im Sachzusammenhang.
Berechne die absolute Maximalstelle der Funktion
(8P)
c)
Einige Forscher gehen davon aus, dass bei zweisprachig aufwachsenden Kindern eine verzögerte Sprachentwicklung auftritt.
Zur Modellierung der durchschnittlichen Satzlänge von zweisprachig aufwachsenden Kindern im Alter von
Jahren bis
Jahren verwendet der Sprachforscher für
die Funktion
mit der Gleichung
,
.
Zur Modellierung der durchschnittlichen Satzlänge von zweisprachig aufwachsenden Kindern im Alter von
(1)
Der Graph der Funktion
geht durch eine Verschiebung aus dem Graphen der Funktion
hervor.
Zeichne in Abbildung 1 den Graphen von
ein und ermittle anhand deiner Zeichnung die Verschiebung.
Zeichne in Abbildung 1 den Graphen von
(6P)
(2)
Prüfe nun rechnerisch, ob sich bei der von dir ermittelten Verschiebung der Funktionsterm von
aus dem Funktionsterm von
ergibt.
(3P)
(3)
Für die zweisprachig aufwachsenden Kinder geht der Sprachforscher davon aus, dass die durchschnittliche Satzlänge von
Wörtern statt im Alter von
Jahren erst im Alter von
Jahren vorliegt.
Ermittle unter dieser Voraussetzung, welcher Unterschied im Alter von
Jahren zwischen der Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, und der Satzlänge der zweisprachig aufgewachsenen Kinder besteht.
Ermittle unter dieser Voraussetzung, welcher Unterschied im Alter von
(4P)
© 2016 - SchulLV.
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