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Aufgabe 2

Aufgaben
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Die Zeitspanne vom Sonnenaufgang (Zeitpunkt, zu dem die Oberkante der Sonne den Horizont überschreitet) bis zum Sonnenuntergang (Zeitpunkt, zu dem die Oberkante der Sonne den Horizont unterschreitet) wird als Tageslänge bezeichnet. Sie hängt vom Ort ab und ändert sich im Verlauf des Jahres.
In der folgenden Abbildung sind die Tageslängen in der kleinen ostwestfälischen Stadt Rahden für jeden ersten Tag eines Monats im Zeitraum vom 1. Januar 2017 bis zum 1. Januar 2018 aufgetragen.
Vereinfachend wird hier angenommen, dass alle Monate die gleiche Länge von $30$ Tagen haben.
Dabei entspricht $t = 0$ dem 1. Januar 2017, $t = \frac{1}{3}\approx 0,03$ entspricht dem 2. Januar 2017, …, $t = 1$ entspricht dem 1. Februar 2017, $t = 1\frac{1}{30}\approx 1,03$ entspricht dem 2. Februar 2017 usw.
Zur Modellierung der Tageslängen in Rahden im Zeitraum vom 1. Januar 2017 bis zum 21. Juni 2017 wird von einem Schüler für $0 \leq t \leq 5,67$ die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f (t)= -0,08\cdot t^3 +0,6324\cdot t^2 +0,54432\cdot t+8 ,$ $t \in \mathbb{R},$
$ f(t)= … $
verwendet. Dabei wird $f(t)$ als Tageslänge in Stunden aufgefasst.
a)
(1)
Ermittle mit der Funktion $f$ die Tageslänge in Rahden für den heutigen Tag (3. Mai, also $t \approx 4,07$ ) und vergleiche den von dir berechneten Wert mit der tatsächlichen heutigen Tageslänge in Rahden von $15$ Stunden und $10$ Minuten.
(4 BE)
(2)
Gib den Wert des Terms $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(4 BE)
(3)
Vom 1. Januar 2017 bis zum 21. Juni 2017 $(t \approx 5,67 )$ werden nördlich des Äquators (und damit auch in Rahden) die Tage immer länger.
Zeige rechnerisch, dass diese Tatsache durch die Funktion $f$ zutreffend modelliert wird.
(6 BE)
(4)
Für die zweite Ableitung $f''$ der Funktion $f$ gilt die folgende Aussage:
$f''(t) < 0$ für alle $t \in\mathbb{R}$ mit $t > 2,635.$
Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage für $2,635 < t < 5,67$ unter Berücksichtigung von a) (3) im Sachzusammenhang.
[Hinweis: Ein Nachweis der Aussage ist nicht erforderlich.]
(3 BE)
(5)
Begründe, dass die Funktion $f$ nicht zur Modellierung der Tageslängen für das gesamte Jahr 2017 geeignet ist.
(3 BE)
#ableitung
b)
Der 21. Juni 2017 $( t \approx 5,67 )$ ist der längste Tag des Jahres 2017, der 21. Dezember 2017 $( t \approx 11,67 )$ ist der kürzeste Tag des Jahres 2017 in Rahden.
Eine Freundin des Schülers schlägt vor, zur Modellierung der Tageslängen vom 21. Juni 2017 bis zum 1. Januar 2018 für $5,67 \leq t \leq 12$ eine ganzrationale Funktion $h$ dritten Grades zu verwenden, deren Ableitung $h'$ eine quadratische Funktion von folgender Form ist:
$ g'(t)= a \cdot ( t - 5,67) \cdot (t - 11,67) ,$ $t \in \mathbb{R},$
wobei $a$ eine noch zu ermittelnde reelle Zahl ist.
(1)
Skizziere in Abbildung 2 die vier zu $a=-0,5,$ $a= -0,25,$ $a= 0,25$ und $a= 0,5$ gehörenden Graphen von $g'.$
(4 BE)
(2)
Begründe, dass es sinnvoll ist, von dem Ansatz $g'(t) = a \cdot ( t - 5,67) \cdot (t - 11,67)$ auszugehen, wenn die Tageslängen ab dem 21. Juni 2017 durch eine ganzrationale Funktion $g$ dritten Grades modelliert werden sollen.
Entscheide begründet, ob $a$ zur Modellierung des gegebenen Sachzusammenhangs positiv oder negativ sein muss.
(6 BE)
(3)
Die Freundin des Schülers hat herausgefunden, dass am 21. Dezember 2017 die Tageslänge in Rahden $7,73$ Stunden beträgt. Um den passenden Wert von $a$ zu bestimmen, verwendet sie die Gleichung
$f(5,67) +a\cdot \displaystyle\int_{5,67}^{11,67}g'(t)\;\mathrm dt = 7,73.$
$ f(5,67) +… = 7,73 $
Interpretiere diese Gleichung im Sachzusammenhang.
Bestimme den passenden Wert von $a.$
(7 BE)
(4)
Stelle ausgehend von $g'$ eine Gleichung einer Funktion $g$ zur Modellierung der Tageslängen in Rahden vom 21. Juni 2017 bis zum 1. Januar 2018 auf.
(3 BE)
#integral
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a)
(1)
Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
(2)
$\blacktriangleright$  Wert des Terms angeben
Wie oben ergibt sich mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(4)-f(2)}{2}&=& 2,09872 \end{array}$
Der Wert gibt die durchschnittliche Steigung des Graphen von $f$ im Intervall $[2;4]$ an. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Tageslänge in Stunden vom 1. März bis zum 1. Mai im Schnitt um ca. $2,1$ Stunden pro Monat zunimmt.
(3)
$\blacktriangleright$  Zutreffende Modellierung zeigen
Du sollst zeigen, dass die Funktion $f$ im Bereich $[0; 5,67]$ streng monoton wachsend ist.
Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die erste Ableitung von $f$ in diesem Bereich positiv ist, also $f'(t) >0$ gilt.
Die erste Ableitungsfunktion lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=& 3\cdot (-0,08)\cdot t^2+2\cdot 0,6324\cdot t +0,54432 \\[5pt] &=& -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t+0,54432 \end{array}$
$ f'(t) = \approx $
Es ergibt sich folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)& >&0 \\[5pt] -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t+0,54432&>& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,24) \\[5pt] t^2-5,27\cdot t -2,268&<& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)& >&0 \\[5pt] … \\[5pt] \end{array}$
Mit der $pq$-Formel lassen sich jetzt die Stellen berechnen, an denen Gleichheit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1/2}&=& -\frac{-5,27}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-5,27}{2}\right)^2 +2,268} \\[5pt] &=& 2,635 \pm 3,035 \\[5pt] t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$
Ein Wert innerhalb des Intervalls wäre beispielsweise $t=0,$ für diesen gilt:
$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 = -2,258 <0$
$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 <0$
Damit ist der Term $t^2-5,27\cdot t -2,268$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4;5,67[$ negativ. Aufgrund der vorherigen Umformungen ist damit auch $f'(t)>0$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4; 5,67[.$
Die Funktion $f$ ist also auf diesem Intervall streng monoton steigend. Die Tageslänge wird also immer länger.
(4)
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
Laut Aufgabe a) (3) gilt $f'(t)>0$ für $0\leq t < 5,67.$ Die Tage werden also immer länger.
Gilt nun noch $f''(t) <0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ mit $t> 2,635,$ so wird diese Zunahme der Tageslänge immer langsamer.
Da $t\approx 2,635$ in etwa für den 19. März steht, werden die Tage zwar ab dem 19. März immer noch länger, allerdings wird die Differenz der Tageslängen, also der Zuwachs, immer geringer.
(5)
$\blacktriangleright$  Modellierung für das gesamte Jahr überprüfen
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Dies ist nicht realistisch, selbst eine Tageslänge von $0$ Stunden ist nicht realistisch, da die Stadt Rahden in Nordrhein-Westfalen und damit in Deutschland liegt.
Spätestens aufgrund der negativen Werte kann $f$ also nicht zur Modellierung der Tageslänge für das gesamte Jahr 2017 geeignet sein.
#monotonie
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Abb. 3: Einzeichnen der Graphen
Abb. 3: Einzeichnen der Graphen
(2)
$\blacktriangleright$  Ansatz begründen
Angegeben ist, dass der 21. Juni 2017 der längste und der 21. Dezember 2017 der kürzeste Tag des Jahres ist.
Für $g$ muss also vorausgesetzt werden, dass ihr Graph an der Stelle $t\approx 5,67$ einen Hochpunkt und an der Stelle $t\approx 11,67$ einen Tiefpunkt besitzt. Für Extremstellen muss das notwendige Kriterium $g'(t)=0$ erfüllt sein.
Aufgrund der faktoriellen Darstellung wird durch den gewählten Ansatz sichergestellt, dass $g'$ an den Stellen $t= 5,67$ und $t=11,67$ Nullstellen besitzt, das obige Kriterium also erfüllt ist. Gleichzeitig sind dies die einzigen Nullstellen von $g',$ also die einzigen möglichen Extremstellen von $g,$ da eine ganzrationale Funktion zweiten Grades maximal zwei Nullstellen besitzen kann.
$\blacktriangleright$  Vorzeichen bestimmen
Der Tag mit der längsten Tageslänge ist der 21. Juni, an der Stelle $t\approx 5,67$ muss der Graph von $g$ also einen Hochpunkt besitzen. Dies bedeutet, dass er danach fallen muss bis er seinen Tiefpunkt am 21. Dezember 2017 bei $t\approx 11,67$ erreicht.
Im Intervall $[5,67;11,67]$ muss die Steigung von $g$ also negativ sein. Da $g'$ die Steigung des Graphen von $g$ beschreibt, muss also $g'(t)$ negativ sein für $5,67 < t < 11,67.$ Dies ist für positive Werte von $a$ der Fall. $a$ muss zur Modellierung des gegebenen Sachzusammenhangs also positiv sein.
(3)
$\blacktriangleright$  Gleichung im Sachzusammenhang interpretieren
Die Gleichung kann in drei Bestandteile aufgeteilt werden:
  • $f(5,67)$ gibt die Tageslänge in Rahden am 21. Juni 2017 an.
  • $ \displaystyle\int_{5,67}^{11,67}g'(t)\;\mathrm dt$ gibt an, um wie viele Stunden die Tageslänge im Zeitraum vom 21. Juni 2017 bis zum 21. Dezember 2017 insgesamt zunimmt bzw. abnimmt.
  • $7,73$ ist die geforderte Tageslänge in Rahden am 21. Dezember 2017.
$\blacktriangleright$  Passenden Wert bestimmen
Abb. 4: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Abb. 4: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Der passende Wert von $a$ ist $a\approx 0,25.$
(4)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Da $g$ eine Stammfunktion von $g'$ sein muss, ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t) &=& a\cdot \left( t^2 -11,67\cdot t-5,67\cdot t +66,1689\right) \\[5pt] &=& a\cdot \left( t^2 -17,34\cdot t +66,1689\right)\\[10pt] g(t)&=&a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c &\scriptsize \quad \mid \; a\approx 0,25\\[5pt] &=&0,25\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c \\[5pt] &=&\frac{1}{12} \cdot t^3 - 2,1675\cdot t^2 + 16,542225 \cdot t +c \end{array}$
$ g(t)= …$
Wegen der angegebenen Tageslänge am 21. Dezember 2017 muss $c$ jetzt so gewählt werden, dass $g(11,67)=7,73$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(11,67)&=&7,73 \\[5pt] \frac{1}{12}\cdot 11,67^3 - 2,1675\cdot 11,67^2 + 16,542225 \cdot 11,67 +c&=& 7,73 \\[5pt] 30,30203025+c &=& 7,73 &\quad \scriptsize \mid\;- 30,30203025 \\[5pt] c&=& -22,57203025 \end{array}$
$ c= -22,57203025 $
Eine Gleichung von $g$ lautet also:
$g(t)= \frac{1}{12} \cdot t^3 - 2,1675\cdot t^2 + 16,542225 \cdot t -22,57203025.$
$ g(t)= … $
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Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
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(2)
$\blacktriangleright$  Wert des Terms angeben
Wie oben ergibt sich mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(4)-f(2)}{2}&=& 2,09872 \end{array}$
Der Wert gibt die durchschnittliche Steigung des Graphen von $f$ im Intervall $[2;4]$ an. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Tageslänge in Stunden vom 1. März bis zum 1. Mai im Schnitt um ca. $2,1$ Stunden pro Monat zunimmt.
(3)
$\blacktriangleright$  Zutreffende Modellierung zeigen
Du sollst zeigen, dass die Funktion $f$ im Bereich $[0; 5,67]$ streng monoton wachsend ist.
Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die erste Ableitung von $f$ in diesem Bereich positiv ist, also $f'(t) >0$ gilt.
Die erste Ableitungsfunktion lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=& 3\cdot (-0,08)\cdot t^2+2\cdot 0,6324\cdot t +0,54432 \\[5pt] &=& -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t+0,54432 \end{array}$
$ f'(t) = \approx $
Es ergibt sich folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)& >&0 \\[5pt] -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t+0,54432&>& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,24) \\[5pt] t^2-5,27\cdot t -2,268&<& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)& >&0 \\[5pt] … \\[5pt] \end{array}$
Mit der $pq$-Formel lassen sich jetzt die Stellen berechnen, an denen Gleichheit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1/2}&=& -\frac{-5,27}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-5,27}{2}\right)^2 +2,268} \\[5pt] &=& 2,635 \pm 3,035 \\[5pt] t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$
Ein Wert innerhalb des Intervalls wäre beispielsweise $t=0,$ für diesen gilt:
$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 = -2,258 <0$
$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 <0$
Damit ist der Term $t^2-5,27\cdot t -2,268$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4;5,67[$ negativ. Aufgrund der vorherigen Umformungen ist damit auch $f'(t)>0$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4; 5,67[.$
Die Funktion $f$ ist also auf diesem Intervall streng monoton steigend. Die Tageslänge wird also immer länger.
(4)
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
Laut Aufgabe a) (3) gilt $f'(t)>0$ für $0\leq t < 5,67.$ Die Tage werden also immer länger.
Gilt nun noch $f''(t) <0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ mit $t> 2,635,$ so wird diese Zunahme der Tageslänge immer langsamer.
Da $t\approx 2,635$ in etwa für den 19. März steht, werden die Tage zwar ab dem 19. März immer noch länger, allerdings wird die Differenz der Tageslängen, also der Zuwachs, immer geringer.
(5)
$\blacktriangleright$  Modellierung für das gesamte Jahr überprüfen
Abb. 2: Nullstellen bestimmen
Abb. 2: Nullstellen bestimmen
Dies ist nicht realistisch, selbst eine Tageslänge von $0$ Stunden ist nicht realistisch, da die Stadt Rahden in Nordrhein-Westfalen und damit in Deutschland liegt.
Spätestens aufgrund der negativen Werte kann $f$ also nicht zur Modellierung der Tageslänge für das gesamte Jahr 2017 geeignet sein.
#monotonie
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Abb. 3: Einzeichnen der Graphen
Abb. 3: Einzeichnen der Graphen
(2)
$\blacktriangleright$  Ansatz begründen
Angegeben ist, dass der 21. Juni 2017 der längste und der 21. Dezember 2017 der kürzeste Tag des Jahres ist.
Für $g$ muss also vorausgesetzt werden, dass ihr Graph an der Stelle $t\approx 5,67$ einen Hochpunkt und an der Stelle $t\approx 11,67$ einen Tiefpunkt besitzt. Für Extremstellen muss das notwendige Kriterium $g'(t)=0$ erfüllt sein.
Aufgrund der faktoriellen Darstellung wird durch den gewählten Ansatz sichergestellt, dass $g'$ an den Stellen $t= 5,67$ und $t=11,67$ Nullstellen besitzt, das obige Kriterium also erfüllt ist. Gleichzeitig sind dies die einzigen Nullstellen von $g',$ also die einzigen möglichen Extremstellen von $g,$ da eine ganzrationale Funktion zweiten Grades maximal zwei Nullstellen besitzen kann.
$\blacktriangleright$  Vorzeichen bestimmen
Der Tag mit der längsten Tageslänge ist der 21. Juni, an der Stelle $t\approx 5,67$ muss der Graph von $g$ also einen Hochpunkt besitzen. Dies bedeutet, dass er danach fallen muss bis er seinen Tiefpunkt am 21. Dezember 2017 bei $t\approx 11,67$ erreicht.
Im Intervall $[5,67;11,67]$ muss die Steigung von $g$ also negativ sein. Da $g'$ die Steigung des Graphen von $g$ beschreibt, muss also $g'(t)$ negativ sein für $5,67 < t < 11,67.$ Dies ist für positive Werte von $a$ der Fall. $a$ muss zur Modellierung des gegebenen Sachzusammenhangs also positiv sein.
(3)
$\blacktriangleright$  Gleichung im Sachzusammenhang interpretieren
Die Gleichung kann in drei Bestandteile aufgeteilt werden:
  • $f(5,67)$ gibt die Tageslänge in Rahden am 21. Juni 2017 an.
  • $ \displaystyle\int_{5,67}^{11,67}g'(t)\;\mathrm dt$ gibt an, um wie viele Stunden die Tageslänge im Zeitraum vom 21. Juni 2017 bis zum 21. Dezember 2017 insgesamt zunimmt bzw. abnimmt.
  • $7,73$ ist die geforderte Tageslänge in Rahden am 21. Dezember 2017.
$\blacktriangleright$  Passenden Wert bestimmen
Abb. 4: Keyboard $\to$ Math2
Abb. 4: Keyboard $\to$ Math2
Der passende Wert von $a$ ist $a\approx 0,25.$
(4)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Da $g$ eine Stammfunktion von $g'$ sein muss, ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t) &=& a\cdot \left( t^2 -11,67\cdot t-5,67\cdot t +66,1689\right) \\[5pt] &=& a\cdot \left( t^2 -17,34\cdot t +66,1689\right)\\[10pt] g(t)&=&a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c &\scriptsize \quad \mid \; a\approx 0,25\\[5pt] &=&0,25\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c \\[5pt] &=&\frac{1}{12} \cdot t^3 - 2,1675\cdot t^2 + 16,542225 \cdot t +c \end{array}$
$ g(t)= …$
Wegen der angegebenen Tageslänge am 21. Dezember 2017 muss $c$ jetzt so gewählt werden, dass $g(11,67)=7,73$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(11,67)&=&7,73 \\[5pt] \frac{1}{12}\cdot 11,67^3 - 2,1675\cdot 11,67^2 + 16,542225 \cdot 11,67 +c&=& 7,73 \\[5pt] 30,30203025+c &=& 7,73 &\quad \scriptsize \mid\;- 30,30203025 \\[5pt] c&=& -22,57203025 \end{array}$
$ c= -22,57203025 $
Eine Gleichung von $g$ lautet also:
$g(t)= \frac{1}{12} \cdot t^3 - 2,1675\cdot t^2 + 16,542225 \cdot t -22,57203025.$
$ g(t)= … $
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