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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.
Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(t)=t^{4}-24t^{3}+144t^{2}+400$,   $t\in\mathbb{R}$,
und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion $g$ mit der Gleichung
$g(t)=-t^{4}+26t^{3}-167,5t^{2}-12,5t+2.053$,    $t\in\mathbb{R}$,
modelliert, und zwar für das Zeitintervall $[0;12]$, das dem Kalenderjahr entspricht.
Dabei fasst man $t$ als Maßzahl zur Einheit $1$ Monat und $f(t)$ sowie $g(t)$ als Maßzahlen zur Einheit $1$ Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat $30$ Tage.) Der Zeitpunkt $t=0$ entspricht dem Beginn des Kalenderjahres.
Die Graphen von $f$ und $g$ sind in der Abbildung unten dargestellt.
a) (1)  Vergleiche die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang.
(5P)
(2)  Berechne $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.
(5P)
(3)  Bestimme rechnerisch die Zeitpunkte, zu denen die Leistung der Solaranlage dem Leistungsbedarf der Familie entspricht.
(5P)
b) (1)  Bestimme den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechne den Maximalwert.
(7P)
(2)  Ermittle den Zeitpunkt im Intervall $[0; 12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt.
(8P)
Durch das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}f(t)\,\mathrm dt$ ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeitintervall $[a; b]$ abrufbare Energie und durch das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}g(t)\, \mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a; b]$ für $0\leq a< b \leq 12$ in Kilowattstunden [kWh] gegeben.
c) (1)  Berechne den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
(3P)
(2)  Ermittle eine Gleichung der Funktion $B:t\mapsto B(t)$, die jedem Zeitpunkt $t\in[0;12]$ den Energiebedarf der Familie im Intervall $[t;12]$ zuordnet.
(3P)
(3)  Zu jedem Zeitpunkt, zu dem die Leistung der Solaranlage größer ist als der Leistungsbedarf der Familie, soll die „überschüssige“ Leistung zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden.
Ermittle die Energie, die zum Heizen des Gartenpools in dem Kalenderjahr zur Verfügung steht.
(6P)
d)  Der Anteil des Energiebedarfs der Familie (ohne Heizung des Gartenpools!) in einem Kalenderjahr, der durch die Solaranlage gedeckt wird, heißt solarer Deckungsgrad. Dieser kann für das vorliegende Kalenderjahr folgendermaßen berechnet werden:
$\dfrac{\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{12}f(t)\,\mathrm dt-\mathop{\displaystyle\int}\limits_{3}^{9,5}\left(f(t)-g(t)\right)\,\mathrm dt}{\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{12}g(t)\,\mathrm dt}\approx0,575$
(1)  Skizziere in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler des Bruches bestimmt wird.
(3P)
(2)  Für eine doppelt so große Solaranlage wird deren Leistung im Intervall $[0;12]$ durch die Funktion $t\mapsto2\cdot f(t)$ modelliert.
Bestimme den solaren Deckungsgrad für diese größere Solaranlage bei einem weiterhin durch die Funktion $g$ beschriebenen Leistungsbedarf.
(5P)
Aufgabe 2 Abbildung
Aufgabe 2 Abbildung
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Tipps
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Vergleich von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang
Hier sollst du die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang vergleichen. Die Funktion $f$ modelliert die Leistung der Solaranlage, die Funktion $g$ den Leistungsbedarf der Familie. Du erkennst, dass in den Intervallen $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ der Graph der Funktion $f$ oberhalb des Graphen von $g$ liegt, im Intervall $\left[3;9,5\right]$ ist es gerade andersrum und der Graph von $g$ liegt über dem Graphen von $f$. Die Graphen von $f$ und $g$ verhalten sich gegenläufig um einen Mittelwert von ca. 1.000.
(2)
$\blacktriangleright$  $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen und im Sachzusammenhang interpretieren
Zuerst sollst du den Wert $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen. Um die Werte $f(0)$ bzw. $g(0)$ zu berechnen setze jeweils $t=0$ in die Funktionsgleichungen von $f$ bzw. $g$ ein. Nun sollst du noch diesen Wert interpretieren. $f(0)$ repräsentiert hier die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn des Jahres, $g(0)$ den Leistungsbedarf zu Beginn des Jahres.
(3)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass Leistung der Solaranlage dem Leistungsbedarf entspricht
Hier ist nun deine Aufgabe zu zeigen, dass die Leistung der Solaranlage und der Leistungsbedarf der Familie zu den Zeitpunkten $t_1=3$ und $t_2=9,5$ gleich sind. Berechne hierzu die beiden Funktionswerte $f(3)$ und $g(3)$ bzw. $f(9,5)$ und $g(9,5)$ und überprüfe diese auf Gleichheit.
b) (1)
$\blacktriangleright$  Maximale Leistung der Solaranlage und deren Zeitpunkt bestimmen
Deine Aufgabe ist es den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und den dazugehörigen Maximalwert zu bestimmen. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ beschrieben, also suchst du die Maximalstelle und den Maximalwert der Funktion $f$. Diese kannst du mit deinem CAS bestimmen. Speichere dazu den Funktionsterm von $f$ und bestimme den gesuchten Zeitpunkt, sowie den gesuchten Maximalwert.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der maximalen Abnahme des Leistungsbedarfs bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Dies kannst du auch folgendermaßen interpretieren:
Die Änderungsrate $g'$ beschreibt die Zu- oder Abnahme des Leistungsbedarf der Familie. Da der Zeitpunkt der stärksten Abnahme gesucht ist, erhältst du diesen durch das Bestimmen des Minimums der Änderungsrate $g'$. Leite also $g$ ab und bestimme anschließend die Minimalstelle der Ableitung. Dieses kannst du mit deinem CAS bestimmen.
Berechne also wie im Lösungsweg A die erste Ableitung $g'$. Speichere anschließend den Funktionsterm von $g'$ und berechne das Minimum von $g'$ im Intervall $\left[0;12\right]$. Dies ist der Zeitpunkt der stärksten Abnahme.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Energiebedarf der Familie berechnen
Nach Aufgabenstellung ist durch das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a;b]$ gegeben. Das Zeitintervall $[0;12]$ beschreibt hier das Kalenderjahr. Somit musst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt$ berechnen. Das Integral kannst du mit dem CAS berechenen.
(2)
$\blacktriangleright$  Ermittle die Gleichung der Funktion $\boldsymbol{B}$
Die Funktion $B$ soll zu jedem Zeitpunkt $t\in [\,0\,;\,12\,]$ den Energiebedarf der Familie im Intervall $[\,t\,;\,12]$ beschreiben. Der Energiebedarf für ein Intervall hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet. Analog dazu berechnest du das Integral jetzt mit den Integrationsgrenzen $a=t$ und $b=12$ mit dem CAS:
(3)
$\blacktriangleright$  Energie zum Heizen des Pools
Immer wenn die Leistung der Solaranlage größer ist als der Bedarf der Familie, soll die überschüssige Energie zum Heizen des Pools verwendet werden. Du sollst die Energie bestimmen, die zum Heizen verwendet wird. Dazu musst du das Integral über die Differenz der Funktionen $f$ und $g$ bestimmen, in dem Intervall, in die Ungleichung $f(t)>g(t)$ erfüllt ist. Wenn du dir die Abbildung der Graphen der Funktionen anschaust, siehst du, dass das Intervall in der Mitte des Jahres liegt. Die Intervallgrenzen hast du bereits in Aufgabe a)(3) bestimmt. Sie sind $t_1=3$ und $t_2=9,5$.
d)(1)
$\blacktriangleright$  Fläche skizzieren
Deine Aufgabe ist es die Fläche zu skizzieren, welche durch den Zähler des Bruches bestimmt wird. Der Zähler lautet:
$\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt-\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$
Betrachte zuerst die einzelnen Teile des Zählers:
  1. Das erste Integral $\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt$ bestimmt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;12]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
  2. Das zweite Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ bestimmt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und dem Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[3;9,5]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
Die Differenz dieser beiden Integrale ist auch die Differenz der beiden Flächeninhalte.
(2)
$\blacktriangleright$  Deckungsgrad einer doppelt so großen Anlage
Abschließend sollst du den Deckungsgrad einer doppelt so große Anlage bestimmen. Die Leistung wird durch die durch den Funktionsterm $h(t)=2\cdot f(t)$ beschrieben. Um den Deckungsgrad zu bestimmen, musst du zunächst die Stellen bestimmen, an denen Leistung und Leistungsbedarf übereinstimmen. Denn die Integrationsgrenzen des zweiten Integrals des Zählers müssen angepasst werden. Für die erste Anlage sind die Grenzen die Schnittstellen der Graphen. Das kannst du mit dem CAS lösen.
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Vergleich von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ im Sachzusammenhang
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Hier sollst du die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang vergleichen. Die Funktion $f$ modelliert die Leistung der Solaranlage, die Funktion $g$ den Leistungsbedarf der Familie. Du erkennst, dass in den Intervallen $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ der Graph der Funktion $g$ oberhalb des Graphen von $f$ liegt, im Intervall $\left[3;9,5\right]$ ist es gerade andersrum und der Graph von $f$ liegt über dem Graphen von $g$. Die Graphen von $f$ und $g$ verhalten sich gegenläufig um einen Mittelwert von ca. $1.000$.
Im Sachzusammenhang lässt sich dies so deuten, dass im Winter (Intervalle $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$) ein hoher Bedarf an Energie besteht und die Solaranlage wenig Energie generiert. Es wird somit weniger Energie generiert als verbraucht. Im Sommer (Intervall $\left[3;9,5\right]$) hingegen ist die Leistung der Solaranlage groß und der Bedarf an Energie niedrig. Hier wird nun mehr Energie generiert als verbraucht.
Um den Juni ($t=6$) ist die Leistung der Solaranlage maximal und der Leistungsbedarf minimal. Um den Jahreswechsel ($t=0$ bzw. $t=12$) ist die Leistung der Solaranlage minimal und der Leistungsbedarf maximal.
(2)
$\blacktriangleright$  $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen und im Sachzusammenhang interpretieren
Zuerst sollst du den Wert $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen. Um die Werte $f(0)$ bzw. $g(0)$ zu berechnen, setze jeweils $t=0$ in die Funktionsgleichungen von $f$ bzw. $g$ ein:
$\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{400}{2.053}\approx 0,1948$
Nun sollst du noch diesen Wert interpretieren. $f(0)$ repräsentiert hier die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn des Jahres, $g(0)$ den Leistungsbedarf zu Beginn des Jahres. Der Quotient dieser beiden Werte ist der Anteil an Leistungsbedarf, der von der Solaranlage gedeckt wird. Es wird also zu Beginn des Jahres $19,48\%$ des Leistungsbedarf von der Solaranlage gedeckt.
(3)
$\blacktriangleright$  Bestimme die Zeitpunkte, zu denen die Leistung dem Bedarf entspricht
Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ beschrieben, der Leistungsbedarf durch die Funktion $g$. Setzt du die Funktionsterme gleich und löst die Gleichung nach $t$ auf, erhältst du die Zeitpunkte, zu denen Leistung und Bedarf gleich sind.
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&g(t)\\[5pt] t^4-24t^3+144t^2+400&=&-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053\\[5pt] \end{array}$
Das ganze lässt sich am einfachsten mit dem CAS lösen:
1:Aktion $\to$ 1:Define , 3:Algebra $\to$ 1:Löse
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Die Funktionen $f$ und $g$ sind nur im Intervall $[\,0\,;\,12\,]$ definiert. Deswegen sind nur die Zeitpunkte $t_1=3$ und $t_2=9,5$ Lösungen, zu denen die Leistung dem Leistungsbedarf entspricht.
b) (1)
$\blacktriangleright$  Maximale Leistung der Solaranlage und deren Zeitpunkt bestimmen
Deine Aufgabe ist es den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und den dazugehörigen Maximalwert zu bestimmen. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ beschrieben, also suchst du die Maximalstelle und den Maximalwert der Funktion $f$. Diese kannst du mit dem CAS bestimmen. Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Maximalstelle und den Maximalwert kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste und zweite Ableitung von $f$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $t_M$ gilt:
    $f'(t_M)=0$
    Setze also $f'(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $f''(t_M) < 0$ für eine potenzielle Extremstelle $t_M$, so handelt es sich bei $t_M$ um eine Maximalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Den Maximalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Maximalstelle in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Die maximale Leistung der Solaranlage beträgt $1.696\dfrac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$ zum Zeitpunkt $t_M=6$. (2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der maximalen Abnahme des Leistungsbedarfs bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Dies kannst du auch folgendermaßen interpretieren:
Deine Aufgabe ist es den Zeitpunkt der maximalen Abnahme des Leistungsbedarfs und den dazugehörigen Wert zu bestimmen. Die Abnahme des Leistungsbedarfs wird durch die Ableitung der Funktion $g$ beschrieben, also suchst du die Minimalstelle und den Minimalwert der Funktion $g'$. Diese kannst du mit dem CAS bestimmen. Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Minimalstelle und den Minimalwert kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste, zweite und dritte Ableitung von $g$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $t_m$ gilt:
    $g''(t_m)=0$
    Setze also $g''(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $g'''(t_m) > 0$ für eine potenzielle Extremstelle $t_m$, so handelt es sich bei $t_m$ um eine Minimalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die dritte Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Den Minimalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Minimalstelle in die Funktionsgleichung von $g'$ einsetzt.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Zum Zeitpunkt $t_{m}=2,71$ nimmt der Leistungsbedarf innerhalb des Kalenderjahres am stärksten ab.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Energiebedarf der Familie berechnen
Nach Aufgabenstellung ist durch das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a;b]$ gegeben. Das Zeitintervall $[0;12]$ beschreibt hier das Kalenderjahr. Somit musst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt$ berechnen. Das Integral kannst du mit dem CAS berechenen:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr beträgt $12.273,6\,\text{kWh}$.
(2)
$\blacktriangleright$  Ermittle die Gleichung der Funktion $\boldsymbol{B}$
Die Funktion $B$ soll zu jedem Zeitpunkt $t\in [\,0\,;\,12\,]$ den Energiebedarf der Familie im Intervall $[\,t\,;\,12]$ beschreiben. Der Energiebedarf für ein Intervall hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet. Analog dazu berechnest du das Integral jetzt mit den Integrationsgrenzen $a=t$ und $b=12$ mit dem CAS:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Funktionsterm der Funktion $B$ lautet somit:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&0,2t^5-6,5t^4+55,83t^3+6,25t^2-2.053t+12.273,6\\[5pt] \end{array}$
(3)
$\blacktriangleright$  Energie zum Heizen des Pools
Immer wenn die Leistung der Solaranlage größer ist als der Bedarf der Familie, soll die überschüssige Energie zum Heizen des Pools verwendet werden. Du sollst die Energie bestimmen, die zum Heizen verwendet wird. Dazu musst du das Integral über die Differenz der Funktionen $f$ und $g$ in dem Intervall bestimmen, in dem die Ungleichung $f(t)>g(t)$ erfüllt ist. Wenn du dir die Abbildung der Graphen der Funktionen anschaust, siehst du, dass das Intervall in der Mitte des Jahres liegt. Die Intervallgrenzen hast du bereits in Aufgabe a)(3) bestimmt. Sie sind $t_1=3$ und $t_2=9,5$. Wir suchen also das folgende Integral:
$\displaystyle\int_{3}^{9.5}(f(t)-g(t))\;\mathrm dt$
Das Integral berechnest du mit dem CAS:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Es werden etwa $6.037\,\text{kWh}$ Energie zum Heizen des Pools verwendet.
d) (1)
$\blacktriangleright$  Fläche skizzieren
Deine Aufgabe ist es, die Fläche zu skizzieren, welche durch den Zähler des Bruches bestimmt wird. Der Zähler lautet:
$\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt-\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$
Betrachte zuerst die einzelnen Terme des Zählers:
  1. Das erste Integral $\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt$ entspricht dem Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;12]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
  2. Das zweite Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ bestimmt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und dem Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[3;9,5]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
Die Differenz dieser beiden Integrale ist auch die Differenz der beiden Flächeninhalte. In den Intervallen $[0;3]$ und $[9,5;12]$ bleibt die erste Fläche unverändert. Im Intervall $[3;9,5]$ wird von der Fläche unter dem Graphen von $f$ die Fläche zwischen den Graphen von $f$ und $g$ abgezogen. Du erhältst die Fläche unter dem Graphen von $g$. Damit ergibt sich die unten eingezeichnete Fläche:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
(2)
$\blacktriangleright$  Deckungsgrad einer doppelt so großen Anlage
Abschließend sollst du den Deckungsgrad einer doppelt so große Anlage bestimmen. Die Leistung wird durch den Funktionsterm $h(t)=2\cdot f(t)$ beschrieben. Im Aufgabenteil zuvor haben wir den Zähler des solaren Deckungsgrades betrachtet und herausgefunden, dass dieser gerade der Fläche unterhalb der Graphen f und g entspricht. Liegt eine doppelt so starke Solaranlage vor, so verändern sich die Schnittstellen der Graphen von f und g bzw. damit auch die Integrationsgrenzen im zweiten Integral des Zählers.
$\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{12}f(t)\;\mathrm dt-\displaystyle\int_{a}^{b}(f(t)-g(t))\;\mathrm dt}{\displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt}$
Um den Deckungsgrad zu bestimmen, musst du zunächst die Stellen bestimmen, an denen Leistung und Leistungsbedarf übereinstimmen. Wir müssen also die folgende Gleichung lösen: $g(t)=2\cdot f(t)$ Das kannst du mit dem CAS lösen:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Die Schnittstellen der Graphen und somit die Integrationsgrenzen sind $t_1=1,95$ und $t_2=10,4$, die weiteren Schnittstellen kannst du vernachlässigen, da sie außerhalb des Definitionsbereichs liegen. Der Deckungsgrad kann jetzt bestimmt werden:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Deckungsgrad der doppelt so großen Anlage beträgt in etwa $0,785$.
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a) (1)
$\blacktriangleright$  Vergleich von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ im Sachzusammenhang
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Hier sollst du die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang vergleichen. Die Funktion $f$ modelliert die Leistung der Solaranlage, die Funktion $g$ den Leistungsbedarf der Familie. Du erkennst, dass in den Intervallen $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ der Graph der Funktion $g$ oberhalb des Graphen von $f$ liegt, im Intervall $\left[3;9,5\right]$ ist es gerade andersrum und der Graph von $f$ liegt über dem Graphen von $g$. Die Graphen von $f$ und $g$ verhalten sich gegenläufig um einen Mittelwert von ca. $1.000$.
Im Sachzusammenhang lässt sich dies so deuten, dass im Winter (Intervalle $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$) ein hoher Bedarf an Energie besteht und die Solaranlage wenig Energie generiert. Es wird somit weniger Energie generiert als verbraucht. Im Sommer (Intervall $\left[3;9,5\right]$) hingegen ist die Leistung der Solaranlage groß und der Bedarf an Energie niedrig. Hier wird nun mehr Energie generiert als verbraucht.
Um den Juni ($t=6$) ist die Leistung der Solaranlage maximal und der Leistungsbedarf minimal. Um den Jahreswechsel ($t=0$ bzw. $t=12$) ist die Leistung der Solaranlage minimal und der Leistungsbedarf maximal.
(2)
$\blacktriangleright$  $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen und im Sachzusammenhang interpretieren
Zuerst sollst du den Wert $\dfrac{f(0)}{g(0)}$ berechnen. Um die Werte $f(0)$ bzw. $g(0)$ zu berechnen, setze jeweils $t=0$ in die Funktionsgleichungen von $f$ bzw. $g$ ein:
$\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{400}{2.053}\approx 0,1948$
Nun sollst du noch diesen Wert interpretieren. $f(0)$ repräsentiert hier die Leistung der Solaranlage zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn des Jahres, $g(0)$ den Leistungsbedarf zu Beginn des Jahres. Der Quotient dieser beiden Werte ist der Anteil an Leistungsbedarf, der von der Solaranlage gedeckt wird. Es wird also zu Beginn des Jahres $19,48\%$ des Leistungsbedarf von der Solaranlage gedeckt.
(3)
$\blacktriangleright$  Bestimme die Zeitpunkte, zu denen die Leistung dem Bedarf entspricht
Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ beschrieben, der Leistungsbedarf durch die Funktion $g$. Setzt du die Funktionsterme gleich und löst die Gleichung nach $t$ auf, erhältst du die Zeitpunkte, zu denen Leistung und Bedarf gleich sind.
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&g(t)\\[5pt] t^4-24t^3+144t^2+400&=&-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053\\[5pt] \end{array}$
Das ganze lässt sich am einfachsten mit dem CAS lösen:
Interactive $\to$ Define , Action $\to$ Advanced $\to$ solve
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Die Funktionen $f$ und $g$ sind nur im Intervall $[\,0\,;\,12\,]$ definiert. Deswegen sind nur die Zeitpunkte $t_1=3$ und $t_2=9,5$ Lösungen, zu denen die Leistung dem Leistungsbedarf entspricht.
b) (1)
$\blacktriangleright$  Maximale Leistung der Solaranlage und deren Zeitpunkt bestimmen
Deine Aufgabe ist es den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und den dazugehörigen Maximalwert zu bestimmen. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ beschrieben, also suchst du die Maximalstelle und den Maximalwert der Funktion $f$. Diese kannst du mit dem CAS bestimmen. Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Maximalstelle und den Maximalwert kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste und zweite Ableitung von $f$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $t_M$ gilt:
    $f'(t_M)=0$
    Setze also $f'(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $f''(t_M) < 0$ für eine potenzielle Extremstelle $t_M$, so handelt es sich bei $t_M$ um eine Maximalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Den Maximalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Maximalstelle in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Die maximale Leistung der Solaranlage beträgt $1.696\dfrac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$ zum Zeitpunkt $t_M=6$.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der maximalen Abnahme des Leistungsbedarfs bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$, zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Dies kannst du auch folgendermaßen interpretieren:
Deine Aufgabe ist es den Zeitpunkt der maximalen Abnahme des Leistungsbedarfs und den dazugehörigen Wert zu bestimmen. Die Abnahme des Leistungsbedarfs wird durch die Ableitung der Funktion $g$ beschrieben, also suchst du die Minimalstelle und den Minimalwert der Funktion $g'$. Diese kannst du mit dem CAS bestimmen. Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Minimalstelle und den Minimalwert kannst du folgendermaßen berechnen:
  1. Bestimme die erste, zweite und dritte Ableitung von $g$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $t_m$ gilt:
    $g''(t_m)=0$
    Setze also $g''(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $g'''(t_m) > 0$ für eine potenzielle Extremstelle $t_m$, so handelt es sich bei $t_m$ um eine Minimalstelle.
    Setze die potenziellen Extremstellen in die dritte Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.
  4. Den Minimalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Minimalstelle in die Funktionsgleichung von $g'$ einsetzt.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Zum Zeitpunkt $t_{m}=2,71$ nimmt der Leistungsbedarf innerhalb des Kalenderjahres am stärksten ab.
c) (1)
$\blacktriangleright$  Energiebedarf der Familie berechnen
Nach Aufgabenstellung ist durch das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a;b]$ gegeben. Das Zeitintervall $[0;12]$ beschreibt hier das Kalenderjahr. Somit musst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt$ berechnen. Das Integral kannst du mit dem CAS berechenen:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr beträgt $12.273,6\,\text{kWh}$.
(2)
$\blacktriangleright$  Ermittle die Gleichung der Funktion $\boldsymbol{B}$
Die Funktion $B$ soll zu jedem Zeitpunkt $t\in [\,0\,;\,12\,]$ den Energiebedarf der Familie im Intervall $[\,t\,;\,12]$ beschreiben. Der Energiebedarf für ein Intervall hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet. Analog dazu berechnest du das Integral jetzt mit den Integrationsgrenzen $a=t$ und $b=12$ mit dem CAS:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Funktionsterm der Funktion $B$ lautet somit:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&0,2t^5-6,5t^4+55,83t^3+6,25t^2-2.053t+12.273,6\\[5pt] \end{array}$
(3)
$\blacktriangleright$  Energie zum Heizen des Pools
Immer wenn die Leistung der Solaranlage größer ist als der Bedarf der Familie, soll die überschüssige Energie zum Heizen des Pools verwendet werden. Du sollst die Energie bestimmen, die zum Heizen verwendet wird. Dazu musst du das Integral über die Differenz der Funktionen $f$ und $g$ in dem Intervall bestimmen, in dem die Ungleichung $f(t)>g(t)$ erfüllt wird. Wenn du dir die Abbildung der Graphen der Funktionen anschaust, siehst du, dass das Intervall in der Mitte des Jahres liegt. Die Intervallgrenzen hast du bereits in Aufgabe a)(3) bestimmt. Sie sind $t_1=3$ und $t_2=9,5$. Wir suchen das folgende Integral
$\displaystyle\int_{3}^{9,5}(f(t)-g(t))\;\mathrm dx$
Das kannst du mit dem CAS berechnen:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Es werden etwa $6.037\,\text{kWh}$ Energie zum Heizen des Pools verwendet.
d) (1)
$\blacktriangleright$  Fläche skizzieren
Deine Aufgabe ist es, die Fläche zu skizzieren, welche durch den Zähler des Bruches bestimmt wird. Der Zähler lautet:
$\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt-\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$
Betrachte zuerst die einzelnen Terme des Zählers:
  1. Das erste Integral $\displaystyle\int_{0}^{12} f(t) \;\mathrm dt$ entspricht dem Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;12]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
  2. Das zweite Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ bestimmt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und dem Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[3;9,5]$:
    Aufgabe 2
    Aufgabe 2
Die Differenz dieser beiden Integrale ist auch die Differenz der beiden Flächeninhalte. In den Intervallen $[0;3]$ und $[9,5;12]$ bleibt die erste Fläche unverändert. Im Intervall $[3;9,5]$ wird von der Fläche unter dem Graphen von $f$ die Fläche zwischen den Graphen von $f$ und $g$ abgezogen. Du erhältst die Fläche unter dem Graphen von $g$. Insgesamt ergibt sich die unten eingezeichnete Fläche:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
(2)
$\blacktriangleright$  Deckungsgrad einer doppelt so großen Anlage
Abschließend sollst du den Deckungsgrad einer doppelt so große Anlage bestimmen. Die Leistung wird durch den Funktionsterm $h(t)=2\cdot f(t)$ beschrieben. Im Aufgabenteil zuvor haben wir den Zähler des solaren Deckungsgrades betrachtet und herausgefunden, dass dieser gerade der Fläche unterhalb der Graphen f und g entspricht. Liegt eine doppelt so starke Solaranlage vor, so verändern sich die Schnittstellen der Graphen von f und g bzw. damit auch die Integrationsgrenzen im zweiten Integral des Zählers.
$\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{12}f(t)\;\mathrm dt-\displaystyle\int_{a}^{b}(f(t)-g(t))\;\mathrm dt}{\displaystyle\int_{0}^{12}g(t)\;\mathrm dt}$
Um den Deckungsgrad zu bestimmen, musst du zunächst die Stellen bestimmen, an denen Leistung und Leistungsbedarf übereinstimmen. Wir müssen also die folgende Gleichung lösen: $g(t)=2\cdot f(t)$ Das kannst du mit dem CAS lösen:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Die Schnittstellen der Graphen und somit die Integrationsgrenzen sind $t_1=1,95$ und $t_2=10,4$, die weiteren Schnittstellen kannst du vernachlässigen, da sie außerhalb des Definitionsbereichs liegen. Der Deckungsgrad kann jetzt bestimmt werden:
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Der Deckungsgrad der doppelt so großen Anlage beträgt in etwa $0,785$.
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