Stochastik
Bei einem Smartphone-Spiel kann jeder Spieler jeden Sonntag Sterne gewinnen. Dazu hat er jeweils zehn Versuche. Bei jedem Versuch kann nur ein Stern gewonnen werden; die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 
a)
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass
„ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt.“
„ein Spieler bei zehn Versuchen mindestens fünf, aber höchstens acht Sterne gewinnt.“
(2 Punkte)
b)
An einem Sonntag machen zwei Spieler jeweils zehn Versuche. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jeder der beiden Spieler dabei mehr als vier Sterne gewinnt.
(2 Punkte)
c)
Beurteile die folgende Aussage eines Spielers:
„Ich habe an den letzten drei Sonntagen jeweils acht Sterne gewonnen. Daher ist meine Chance, an diesem Sonntag wieder acht Sterne zu gewinnen, deutlich kleiner als vorher.“
(1 Punkte)
d)
An einem Sonntag nutzen vier Spieler jeweils die möglichen zehn Versuche zum Gewinnen von Sternen.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau zwei der vier Spieler jeweils genau fünf Sterne gewinnen.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau zwei der vier Spieler jeweils genau fünf Sterne gewinnen.
(2 Punkte)
e)
Berechne, wie viele Versuche ein Spieler mindestens machen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 
mindestens einen Stern zu gewinnen.
mindestens einen Stern zu gewinnen.
(3 Punkte )
f)
Gib jeweils einen Wert für 
und 
mit 
an, so dass mit dem Term
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden kann.
Beschreibe das zugehörige Ereignis.
Außerdem hat jeder Spieler täglich einmal die Möglichkeit, allein durch Starten des Spiels Bonuspunkte zu erhalten. Durch das Starten wird ihm automatisch eine zufällig bestimmte Anzahl von Bonuspunkten gutgeschrieben. Der Tabelle können die möglichen Anzahlen und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnommen werden.
und mit an, so dass mit dem Term
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden kann.
Beschreibe das zugehörige Ereignis.
(2 Punkte)
| Bonuspunkte | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 10 | 50 % |
| 20 | 40 % |
| 50 | 10 % |
g)
Ein Spieler startet das Spiel an drei aufeinanderfolgenden Tagen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält.
(2 Punkte)
h)
Ein Spieler startet das Spiel an vier Tagen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler dabei insgesamt 80 Bonuspunkte erhält.
(3 Punkte)
i)
Die Wahrscheinlichkeiten für 10 und 20 Bonuspunkte werden so geändert, dass die Spieler im Zeitraum von 200 Tagen, an denen das Spiel gestartet wird, im Mittel 3000 Bonuspunkte erhalten.
Ermittle die beiden geänderten Wahrscheinlichkeiten.
Ermittle die beiden geänderten Wahrscheinlichkeiten.
(3 Punkte)
(20 Punkte)
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a)
Die Zufallsvariable 
beschreibt die Anzahl der gewonnenen Sterne und ist binomialverteilt mit 
und 
Ereignis 
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(A)&=& P(X\gt6)& \\[5pt]
&=& 1-P(X\leq6)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d74d645a2df87e7667152dc4f48c0f01d5e6c5eed91575368804138796570d49_light.svg)
Mit dem CAS folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(A)&\approx& 1- 0,9452& \\[5pt]
&=& 0,0548& \\[5pt]
&=& 5,48 \,\%
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1b6e80a58974028d59b19bb07832f61934ca22d544fd08e8e8ef930e7ae0b79e_light.svg)
Ereignis 
Mit dem CAS ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(B)&=& P(5\leq X\leq8)&\\[5pt]
&=& P(X\leq8)-P(X\leq4)&\\[5pt]
&\approx& 0,9983-0,6331&\\[5pt]
&=& 0,3652&\\[5pt]
&=& 36,52\,\%
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/023233cf4626f1fac68da98091e69d69e81e887fdc0a7f3b8388d82f725fc345_light.svg)
beschreibt die Anzahl der gewonnenen Sterne und ist binomialverteilt mit und
Ereignis
Mit dem CAS folgt:
Ereignis
Mit dem CAS ergibt sich:
b)
Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der gewonnenen Sterne und ist binomialverteilt mit und
Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler mehr als 4 Sterne gewinnt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(X\gt4)&=& 1-P(X\leq4) & \\[5pt]
&\approx& 1-0,6331& \\[5pt]
&=& 0,3669& \\[5pt]
&=& 36,69 \,\%
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ef869de51fb7efacd34a05ba1b72186a9044baa6cf581adeee1f2987876e865b_light.svg)
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt für die Wahrscheinlichkeit beider Spieler:
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Spieler mehr als vier Sterne gewinnen, beträgt damit ca. 
beschreibt die Anzahl der gewonnenen Sterne und ist binomialverteilt mit und
Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler mehr als 4 Sterne gewinnt:
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt für die Wahrscheinlichkeit beider Spieler:
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Spieler mehr als vier Sterne gewinnen, beträgt damit ca.
c)
Die Wahrscheinlichkeit einen Stern zu ziehen, ist bei jedem Versuch gleich groß und unabhängig von den vorherigen Versuchen. Damit ist die Aussage falsch.
d)
Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der gewonnenen Sterne und ist binomialverteilt mit und
Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Spieler genau fünf Sterne gewinnt:
Die Zufallsgröße 
beschreibt die Anzahl der Spieler, die fünf Sterne gewinnen und ist binomialverteilt mit 
und 
Mit dem CAS folgt nun:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 
gewinnen also genau zwei von vier Spielern jeweils genau fünf Sterne.
beschreibt die Anzahl der gewonnenen Sterne und ist binomialverteilt mit und
Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Spieler genau fünf Sterne gewinnt:
Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der Spieler, die fünf Sterne gewinnen und ist binomialverteilt mit und
Mit dem CAS folgt nun:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. gewinnen also genau zwei von vier Spielern jeweils genau fünf Sterne.
e)
Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der gewonnenen Sterne und ist binomialverteilt mit
Es soll gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(X\geq1)&\geq& 0,95\\[5pt]
1-P(X=0)&\geq&0,95\\[5pt]
P(X=0)&\leq&0,05
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/890c84987400cb8406deef09eab1276e8fa91e303b7f73a4837ac4bdec96966a_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit, bei 
Versuchen keinen einzigen Stern zu gewinnen, beträgt 
Damit folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0,6^n &\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt]
n\cdot \ln 0,6 &\leq& \ln 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;: \ln 0,6 \\[5pt]
n &\geq& 5,86
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6c38dbdc44b9c338aae67343aac02ceb4ea8895ea426c33d9f98d42d5ace3676_light.svg)
Ein Spieler muss also mindestens 
Versuche machen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens einen Stern zu gewinnen.
beschreibt die Anzahl der gewonnenen Sterne und ist binomialverteilt mit
Es soll gelten:
Die Wahrscheinlichkeit, bei Versuchen keinen einzigen Stern zu gewinnen, beträgt
Damit folgt:
Ein Spieler muss also mindestens Versuche machen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens einen Stern zu gewinnen.
f)
Mit 
und 
berechnet der Term die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mindestens zwei Sterne gewinnt.
und berechnet der Term die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mindestens zwei Sterne gewinnt.
g)
Damit der Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte bekommt, muss er am ersten Tag 50 Bonuspunkte, am zweiten Tag 20 Bonuspunkte und am dritten Tag 10 Bonuspunkte erhalten.
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält, beträgt 
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält, beträgt
h)
Es gibt insgesamt 5 Kombinationen, bei denen der Spieler nach 4 Tagen 80 Bonuspunkte erhalten hat.
Mit den Pfadregeln folgt:
i)
Die geänderte Wahrscheinlichkeit, 10 Bonuspunkte zu erhalten, wird mit 
bezeichnet.
Da ein Spieler bei 200 Spieltagen im Mittel 3000 Bonuspunkte erzielen soll, beträgt die durchschnittliche Anzahl an Bonuspunkten pro Spieltag 
Für den Erwartungswert an einem Spieltag folgt also:
Die Wahrscheinlichkeit für 
Bonuspunkte beträgt somit 
und die Wahrscheinlichkeit für 
Bonuspunkte folglich 
bezeichnet.
Da ein Spieler bei 200 Spieltagen im Mittel 3000 Bonuspunkte erzielen soll, beträgt die durchschnittliche Anzahl an Bonuspunkten pro Spieltag
Für den Erwartungswert an einem Spieltag folgt also:
Die Wahrscheinlichkeit für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
x\cdot 10+(1-0,1-x)\cdot 20 +0,1\cdot 50 &=&\dfrac{ 3000}{200}\\[5pt]
x\cdot 10+ (0,9-x)\cdot 20+ 5&=&15\\[5pt]
x\cdot 10-x\cdot 20+23&=&15 &\quad \scriptsize \mid -23\\[5pt]
-10\cdot x&=&-8 &\quad \scriptsize \mid :(-10)\\[5pt]
x&=&0,8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6abd8d64618f8744b3387503786d40a62908bb65bd2e19e27e0eb92359c25343_light.svg)
Bonuspunkte beträgt somit und die Wahrscheinlichkeit für Bonuspunkte folglich