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Aufgabe 4

Aufgaben
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Die Einfahrt zu einem Parkhaus bietet vor der Schranke Platz für maximal drei wartende Autos. Sind diese drei Plätze besetzt, so kann ein ankommendes Auto nicht von der Straße in die Einfahrt zum Parkhaus einbiegen, sondern muss weiterfahren (siehe Abbildung).
Die Entwicklung der Wartschlange vor der Schranke kann durch einen stochastischen Prozess beschrieben werden. Dieser stochastische Prozess besitzt die vier Zustände:
$Z_0:\,$ kein Auto steht in der Einfahrt $\quad$ bis $\quad Z_3:\,$ drei Autos stehen in der Einfahrt.
Es wird angenommen, dass maximal ein Auto pro Minute in die Einfahrt zum Parkhaus einbiegt und auch maximal ein Auto pro Minute die Schranke passieren und in das Parkhaus fahren kann („Schranke öffnet“).
Wenn in der Einfahrt mindestens ein Platz frei ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Einbiegen eines Autos in die Einfahrt in jeder Minute stets $p_1= 0,3.$ Vereinfachend wird angenommen, dass sich unabhängig von der bisherigen Wartezeit die Schranke in jeder Minute mit der Wahrscheinlichkeit $p_2=0,6$ öffnet, sodass ein Auto ins Parkhaus fahren kann. Ein Auto, das in die Einfahrt biegt, kann nicht in derselben Minute weiter ins Parkhaus fahren.
a)
Angenommen der Prozess befindet sich im Zustand $Z_3.$ Der Prozess verbleibt in diesem Zustand,
… wenn ein Auto ins Parkhaus fährt („Schranke öffnet“) und gleichzeitig ein neues Auto ankommt,
… wenn kein Auto aus der Warteschlange ins Parkhaus fahren kann („Schranke geschlossen“).
Der Prozess befindet sich im Zustand $Z_3.$
$\,$
(1)
Gib die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm an.
ein Auto biegt in die Einfahrt ein
kein Auto biegt in die Einfahrt ein
(3 BE)
#baumdiagramm
$\,$
(2)
Leite her:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess in der nächsten Minute im Zustand $Z_3$ bleibt, beträgt $p=0,58.$
(3 BE)
b)
Die Wahrscheinlichkeit für die Veränderung des Prozesses von einer Minute zur nächsten wird vollständig beschrieben durch die Übergangsmatrix $U.$
von:$Z_0$$Z_1$$Z_2$$Z_3$
$Z_0$$\begin{pmatrix}0,7 & 0,42 & 0 & 0\\[2pt]0,3&0,46&0,42&0\\[2pt]0&0,12&0,46&0,42\\[2pt] 0 & 0 & 0,12 & 0,58\end{pmatrix}$
nach:$Z_1$$U=$
$Z_2$
$Z_3$
$ U= … $
#übergangsmatrix
$\,$
(1)
Stelle die durch $U$ beschriebenen Veränderungen mit Hilfe eines Übergangsdiagramms dar.
(4 BE)
#übergangsgraph
$\,$
(2)
Begründe im Sachkontext, warum die Matrixelemente $u_{13} $ $= u_{14}$ $= u_{24}$ $= u_{31}$ $=u_{41}$ $=u_{42}$ den Wert Null haben.
(3 BE)
c)
(1)
Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht kein Auto in der Einfahrt.
Bestimme den Term $U^5\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0}$ und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(4 BE)
$\,$
Zu einem anderen Zeitpunkt steht genau ein Auto in der Einfahrt.
$\,$
(2)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass nach $10$ Minuten drei Autos in der Einfahrt stehen.
(4 BE)
$\,$
(3)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass nach $15$ Minuten höchstens ein Auto in der Einfahrt steht.
(4 BE)
$\,$
(4)
Untersuche, ausgehend von der Startverteilung $\overrightarrow{x_0} = \pmatrix{0\\1\\0\\0}$ die langfristige Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und entscheide begründet, ob der Bereich für wartende Autos vergrößert werden soll.
(5 BE)
d)
Die zur Abrechnung der Parkgebühren verwendeten Parkchips werden von einem Produzenten als Massenware hergestellt. Sie werden in Kartons mit jeweils $300$ Stück geliefert. Erfahrungsgemäß kann aufgrund von Fehlproduktionen ein Teil der angelieferten Chips nicht verwendet werden. Nach Angaben des Produzenten sind $5\,\%$ der Chips fehlerhaft. Dieser Wert wird als Wahrscheinlichkeit angenommen, dass ein zufällig ausgewählter Chip fehlerhaft ist. Die Anzahl der fehlerhaften Chips pro Karton wird im Folgenden als binomialverteilt angenommen.
Die Kartons werden vom Parkhausinhaber geprüft. Er muss pro Karton den vollen Preis bezahlen, wenn er weniger als $17$ fehlerhafte Parkchips entdeckt. Bei $17$ bis $24$ fehlerhaften Parkchips müssen $60\,\%$ des vollen Preises bezahlt werden, bei mehr als $24$ fehlerhaften Parkchips erhält er den Karton kostenlos.
#binomialverteilung
$\,$
(1)
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten für alle drei Fälle.
(6 BE)
$\,$
(2)
Es sollen im Mittel Einnahmen von $30\,€$ pro Karton erwartet werden können.
Bestimme den vollen Verkaufspreis eines Kartons, den der Produzent festlegen muss, um dies zu erreichen.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Fehlende Wahrscheinlichkeiten angebenAufgabe 4
Aufgabe 4
Abb. 1: Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 4
Abb. 1: Wahrscheinlichkeiten
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit herleiten
Wenn der Prozess im Zustand $Z_3$ ist, bleibt er in der nächsten Minute in diesem Zustand, wenn
  • … sich die Schranke öffnet, sodass ein Auto in das Parkhaus fahren kann und ein neues Auto in die Einfahrt einbiegt.
  • … sich die Schranke nicht öffnet, sodass kein Auto in das Parkhaus fahren und auch kein neues in die Einfahrt einbiegen kann.
Mit den beiden Pfadregeln ergibt sich mit Hilfe des Baumdiagramms:
$\begin{array}[t]{rll} p&=& P(\text{Schranke öffnet}) \cdot P_{\text{Schranke öffnet}}(A) + P(\text{Schranke geschlossen}) \\[5pt] &=& 0,6\cdot 0,3 + 0,4 \\[5pt] &=& 0,58 \\[5pt] \end{array}$
$ p = 0,58 $
#pfadregeln
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Übergangsdiagramm erstellen
Aufgabe 4
Abb. 2: Übergangsdiagramm
Aufgabe 4
Abb. 2: Übergangsdiagramm
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Nullwerte begründen
Da in jeder Minute maximal ein Auto in die Einfahrt einbiegen kann, kann sich innerhalb von einer Minute die Anzahl der Autos in der Einfahrt um maximal eins erhöhen. Der Prozess kann also maximal in den nächsten Zustand aber nicht in den übernächsten übergehen. Daher sind:
$u_{31} = u_{41} = u_{42} = 0$
Analog dazu kann maximal ein Auto pro Minute die Schranke passieren und ins Parkhaus fahren. Aus diesem Grund kann sich die Anzahl der Autos in der Einfahrt in einer Minute maximal um eins reduzieren. Der Prozess kann also höchstens in den nächst kleineren Zustand übergehen. Daher sind:
$u_{13} = u_{14} = u_{24} = 0$
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Term bestimmen und interpretieren
Den Term kannst du mit deinem CAS berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} U^5\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0}&=& \pmatrix{0,7 & 0,42 & 0 & 0\\0,3&0,46&0,42&0\\0&0,12&0,46&0,42\\ 0 & 0 & 0,12 & 0,58}^5 \cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0} &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& \pmatrix{0,5413\\0,3639\\0,0806\\0,0141} \\[5pt] \end{array}$
$ U^5\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0} \approx\pmatrix{0,5413\\0,3639\\0,0806\\0,0141} $
Befindet sich zu einem Zeitpunkt kein Auto in der Einfahrt, so beschreibt der Term die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, wie viele Autos sich nach $5$ Minuten in der Einfahrt befinden:
Nach fünf Minuten
… befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $54\,\%$ kein Auto in der Einfahrt.
… befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $36\,\%$ ein Auto in der Einfahrt.
… befinden sich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $8\,\%$ zwei Autos in der Einfahrt.
… befinden sich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $1\,\%$ drei Autos in der Einfahrt.
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach $10$ Minuten analog zu Teilaufgabe c) (1):
$\begin{array}[t]{rll} U^{10}\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0}&=& \pmatrix{0,7 & 0,42 & 0 & 0\\0,3&0,46&0,42&0\\0&0,12&0,46&0,42\\ 0 & 0 & 0,12 & 0,58}^{10} \cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0} &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& \pmatrix{0,5071\\0,3615\\0,1025\\0,0289} \\[5pt] \end{array}$
$ U^{10}\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0} \approx \pmatrix{0,5071\\0,3615\\0,1025\\0,0289} $
Nach $10$ Minuten befinden sich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,89\,\%$ drei Autos in der Einfahrt.
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Analog zu oben ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach $15$ Minuten:
$\begin{array}[t]{rll} U^{15}\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0}&=& \pmatrix{0,7 & 0,42 & 0 & 0\\0,3&0,46&0,42&0\\0&0,12&0,46&0,42\\ 0 & 0 & 0,12 & 0,58}^{15} \cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0} &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& \pmatrix{0,5062\\0,3614\\0,1031\\0,0294} \\[5pt] \end{array}$
$ U^{15}\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0}\approx \pmatrix{0,5062\\0,3614\\0,1031\\0,0294} $
Höchstens ein Auto steht in der Einfahrt, wenn kein oder ein Auto in der Einfahrt steht:
$0,5062 + 0,3614 = 0,8676$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $86,76\,\%$ befindet sich nach $15$ Minuten höchstens ein Auto in der Einfahrt.
$\,$
(4)
$\blacktriangleright$  Langfristige Wahrscheinlichkeitsverteilung untersuchen
Mit dem CAS erhältst du folgende Ergebnisse:
$\begin{array}[t]{rll} U^{100}\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0}&=& \pmatrix{0,7 & 0,42 & 0 & 0\\0,3&0,46&0,42&0\\0&0,12&0,46&0,42\\ 0 & 0 & 0,12 & 0,58}^{100} \cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0} &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& \pmatrix{0,5059\\0,3614\\0,1032\\0,0295} \\[10pt] U^{1.000}\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0}&=& \pmatrix{0,7 & 0,42 & 0 & 0\\0,3&0,46&0,42&0\\0&0,12&0,46&0,42\\ 0 & 0 & 0,12 & 0,58}^{1.000} \cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0} &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& \pmatrix{0,5059\\0,3614\\0,1032\\0,0295} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U^{100}\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0}&\approx \pmatrix{0,5059\\0,3614\\0,1032\\0,0295} \\[10pt] U^{1.000}\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0}&\approx \pmatrix{0,5059\\0,3614\\0,1032\\0,0295} \\[10pt] \end{array}$
Es gilt also:
$\lim\limits_{n\to\infty} U^{n}\cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0} \approx \pmatrix{0,5059\\0,3614\\0,1032\\0,0295}.$
$ \lim\limits_{n\to\infty} U^n\cdot … $
Langfristig ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einer Startverteilung von $\pmatrix{0\\1\\0\\0}$ also durch den Vektor $\pmatrix{0,5059\\0,3614\\0,1032\\0,0295}$ gegeben.
$\blacktriangleright$  Vergrößerung beurteilen
Langfristig befinden sich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $3\,\%$ drei Autos in der Einfahrt, sodass kein neues Auto mehr in die Einfahrt einbiegen kann.
Ich würde den Bereich für die wartenden Autos daher nicht vergrößern.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Parkchips in einem Karton beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=300$ und $p=0,05$ angenommen werden.
Die Wahrscheinlichkeiten kannst du dann mit deinem CAS berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq 16)&\approx& 0,6666 \\[10pt] P(17\leq X \leq 24)&\approx& 0,3240 \\[10pt] P(25 \leq X)&\approx& 0,0093 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} …&\approx& 0,6666 \\[10pt] …&\approx& 0,3240 \\[10pt] …&\approx& 0,0093 \\[10pt] \end{array}$
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Verkaufspreis bestimmen
Bezeichne den Verkaufspreis eines Kartons mit $p.$ Der Erwartungswert der Einnahmen eines Kartons soll $30\,€$ betragen. Es folgt also:
$\begin{array}[t]{rll} 30\,€ &=& P(X\leq 16) \cdot p + P(17\leq X \leq 24) \cdot 0,6p + P(25\leq X)\cdot 0 \\[5pt] 30\,€&=& 0,6666\cdot p + 0,3240\cdot 0,6p +0 \\[5pt] 30\,€&=& 0,861p &\quad \scriptsize \mid\; :0,861 \\[5pt] 34,84\,€&\approx& p \end{array}$
$ p\approx 34,84\,€ $
Der Verkäufer muss für einen Karton einen Verkaufspreis von $34,84\,€$ festlegen, um im Schnitt Einnahmen von $30\,€$ erwarten zu können.
#erwartungswert
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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