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Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=4-2x-4\cdot\mathrm e^{-5x}$, $x\in\mathbb{R}$.
a)
(1)
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse.
(2P)
(2)
Bestimme die lokale Maximalstelle $x_E$ der Funktion $f$.
[Zur Kontrolle: $f'(x)=-2+20 \cdot \mathrm e^{-5x}$; $x_E=0,2 \cdot \ln(10)$]
(9P)
#schnittpunkt#extrempunkt
b)
(1)
Begründe, dass die Ableitungsfunktion $f'$ streng monoton fallend ist.
(3P)
(2)
Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion $f$.
(4P)
(3)
Begründe nun, dass die Funktion $f$ höchstens zwei Nullstellen besitzt.
(3P)
#ableitung#nullstelle#monotonie
c)
$g$ sei die Gerade mit der Gleichung $g(x)=4-2x$,$\ x \in \mathbb{R}$.

(1)
Zeichne die Gerade $g$ in die Abbildung ein.
(2P)
(2)
Zeige:
Für alle $\ x \in \mathbb{R}$ verläuft der Graph der Funktion $f$ unterhalb der Geraden $g$.
(3P)
(3)
Begründe mit Hilfe von c) (2):
Wenn $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ ist, dann gilt $x_0<2$.
(4P)
(4)
Zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen der Funktion $f$ ist im Intervall $[0; 1]$ eine Fläche eingeschlossen.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
(5P)
#nullstelle#geradengleichung#intervall
d)
Im Rahmen eines schulischen Projekts untersucht ein Schüler, wie stark ein Ball aus Styropor beim Wurf von der Luft abgebremst wird.
Dazu lehnt er sich aus einem Fenster der Schule und wirft den Ball senkrecht nach oben. Dabei zeichnet eine Kamera die Bewegung des Balles auf, bis dieser unten auf den Boden trifft. Er stellt fest, dass die Bewegung des Balles für $0 \leq x \leq 5$ durch die oben gegebene Funktion $f$ modelliert werden kann. Dabei wird $x$ als Maßzahl der Zeit zur Einheit $1 \text{s}$ und $f(x)$ als Maßzahl der Höhe des Balles zur Einheit $1 \text{m}$ aufgefasst.
Die Höhe des Balles bezieht sich auf die Abwurfhöhe $f(0)=0$ $[\text{m}]$ zur Zeit $x=0$ $[\text{s}]$.

(1)
Nach $5$ $\text{s}$ trifft der Ball auf den Boden.
Berechne, in welcher Höhe über dem Boden der Ball abgeworfen wurde.
(2P)
(2)
Bestimme die maximale Höhe des Balles über dem Boden.
(3P)
(3)
Begründe durch den Sachzusammenhang, dass die Funktion $f$ im Zeitintervall $[0; 5]$ genau zwei Nullstellen besitzt.
Gib diese Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau an.
(5P)
(4)
Berechne das Maximum und das Minimum der Funktion $f'$ im Zeitintervall $[0; 5]$ und interpretiere deine Ergebnisse im Sachzusammenhang.
(5P)
#intervall#extrempunkt#nullstelle
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts mit der $\boldsymbol{y}$-Achse berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Schnittpunkt $S(x_S \mid y_S)$ des Graphen von $f(x)$ mit der $y$-Achse berechnen. Für den Schnittpunkt ist bekannt, dass die $x$-Koordinate des Punktes $x_S=0$ betragen muss. Berechne deshalb $f(x_S=0)$, um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu bestimmen.
(2)
$\blacktriangleright$  Lokale Maximalstelle $\boldsymbol{x_E}$ der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die lokale Maximalstelle $x_E$ der Funktion $f$ bestimmen. Für eine Maximalstelle $x_E$ einer Funktion $h$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • Notwendiges Kriterium: $h'(x_G)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $h''(x_G)\neq0$
Du kannst somit für die Berechnung der lokalen Maximalstelle wie folgt vorgehen:
  1. Ableitungen $f'(x)$ und $f''(x)$ von der Funktion $f$ berechnen.
  2. Berechne mit Hilfe des notwendigen Kriteriums die $x_E$-Koordinate.
  3. Prüfe das hinreichende Kriterium.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Begründe, dass $\boldsymbol{f'}$ streng monoton fallend ist
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Ableitungsfunktion $f'$ streng monoton fallend ist. Da du bereits, dass Schaubild von $f$ gegeben hast musst du dir überlegen, wie das Monotomieverhalten von der Funktion $f$ und ihrer Ableitungsfunktion $f'$ zusammen hängt. Hierbei kannst du dir die Krümmung der Funktion $f$ anschauen.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion $\boldsymbol{f}$
In dieser Teilaufgabe sollst du das Monotonieverhalten der Funktion $f$ bestimmen. Betrachte hierfür die Steigung des Graphen, der in der Aufgabenstellung dargestellt ist. Nun hast du bereits in der ersten Teilaufgabe die $x_E$-Koordinate der Maximalstelle berechnet. Du weißt außerdem, dass die Steigung an der Maximalstelle $0$ beträgt. Somit kannst du den Bereich vor und nach der Maximalstelle mit $x_E= - \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$ betrachten.
(3)
$\blacktriangleright$  Begründe, dass die Funktion $\boldsymbol{f}$ höchstens zwei Nullstellen besitzt
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Funktion $f$ höchstens zwei Nullstellen besitzt. Hierzu kannst du erneut den Graphen von $f$ betrachten und dessen Grenzverhalten untersuchen.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Zeichne die Gerade $\boldsymbol{g}$ in die Abbildung ein
In dieser Teilaufgabe hast du die Funktion $g$ mit $g(x)=4-2x$ gegeben und sollst die Gerade in die gegebene Abbildung einzeichnen. Die Gerade kannst du mit dem gegebene $y$-Achsenabschnitt $b=4$ und der Steigung $m=-2$ einzeichnen.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeige, dass für alle $\boldsymbol{x\in \mathbb{R}}$ der Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$ unterhalb der Geraden $\boldsymbol{g}$ verläuft
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Graphen der Funktion $f$ immer unterhalb der Geraden $g$ verläuft. Das bedeutet, dass der Funktionswert $f(x)$ stets kleiner als der Funktionswert $g(x)$ sein muss. Betrachte hierzu die Funktionsgleichungen genauer. Die Funktionsgleichung der Funktion $f$ hast du mit $f(x)=4-2x-4\cdot \mathrm e^{-5x}$ gegeben und die Funktionsgleichung der Funktion $g$ mit $g(x)=4-2x$.
(3)
$\blacktriangleright$  Begründe, dass $\boldsymbol{x_0<2}$ gilt, wenn $\boldsymbol{x_0}$ eine Nullstelle von $\boldsymbol{f}$ ist
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass $\boldsymbol{x_0<2}$ gilt, wenn $x_0$ eine Nullstelle von der Funktion $f$ ist. Für die Begründung sollst du die Teilaufgabe (2) benutzen. In der Teilaufgabe (2) hast du bereits gezeigt, dass der Graphen von $f$ immer unterhalb des Graphen von $g$ liegt.
(4)
$\blacktriangleright$  Berechne den Flächeninhalt zwischen der Geraden $\boldsymbol{g}$ und dem Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$
Nun sollst du den Flächeninhalt $A$, der zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen der Funktion $f$ eingeschlossenen Fläche im Intervall $[0;1]$ bestimmen.
Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen in einem Intervall $[a;b]$ berechnet sich mit folgender Formel:
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Berechne, in welcher Höhe der Ball abgeworfen wurde
In dieser Teilaufgabe sollst du die Höhe berechnen in welcher der Ball abgeworfen wurde, wenn er nach $5$ s auf den Boden trifft. Da sich die Abwurfhöhe des Balls lauf Aufgabe im Ursprung befindet, liegt der Boden im negativen Bereich deines Koordinatensystems. Um die Abwurfhöhe zu berechnen, musst du wissen, auf welcher Höhe der Boden liegt. Dazu musst du zuerst die Höhe des Bodens berechnen, also die Höhe des Balles, wenn er auf den Boden trifft. Diese Höhe hat der Ball nach $5$ s erreicht. Somit musst du den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=5$ berechnen. Also den Wert $f(x=5)$. $f(x=5)$ gibt hierbei die Höhe des Bodens im Bezug zur Abwurfhöhe an. Gesucht ist die Abwurfhöhe im Bezug zur Höhe des Bodens, deshalb musst du die Höhe des Bodens noch von der Abwurfhöhe abziehen.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimme die maximale Höhe des Balles
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale Höhe des Balles über dem Boden berechnen. Die maximale Höhe des Balles ist auch die Maximalstelle der Funktion $f$. Aus der Aufgabe a) weißt du bereits, dass sich die Maximalstelle des Graphen der Funktion $f$ und somit auch die maximale Höhe des Balles bei $x_E=- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$ befindet. Deshalb musst du nur noch den Funktionswert an der Stelle $x_E=- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$ berechnen und bekommst so die maximale Höhe des Balles über der Abwurfhöhe. Da die maximale Höhe des Balles über dem Boden gesucht ist musst du noch die Abwurfhöhe $h_A$ im Bezug zum Boden hinzu addieren.
(3)
$\blacktriangleright$  Begründe im Sachzusammenhang, dass die Funktion $\boldsymbol{f}$ genau 2 Nullstellen besitzt
In dieser Teilaufgabe sollst du im Sachzusammenhang begründen, dass die Funktion $f$ im Zeitintervall $[0;5]$ genau zwei Nullstellen besitzt und diese Nullstellen angeben. Überlege dir also zuerst die Bewegung des Balles und für welche Zeitpunkte die Höhe des Balles bereits bekannt ist.
(4)
$\blacktriangleright$  Berechne das Maximum und das Minimum der Funktion $\boldsymbol{f'}$
Nun sollst du das Maximum und das Minimum der Funktion $f'$ bestimmen und außerdem die Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren. Wir wissen bereits, dass die Funktion $f'$ in dem Intervall $[0;5]$ streng monoton fallend ist, weißt du, dass die Extremstellen gerade an dem Rand des Intervalls liegen müssen.
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts mit der $\boldsymbol{y}$-Achse berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Schnittpunkt $S(x_S \mid y_S)$ des Graphen von $f(x)$ mit der $y$-Achse berechnen. Für den Schnittpunkt ist bekannt, dass die $x$-Koordinate des Punktes $x_S=0$ betragen muss.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hand
Berechne deshalb $f(x_S=0)$, um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu bestimmen. Somit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4-2x-4 \mathrm e^{-5x} \\[5pt] f(0)&=& 4 - 2\cdot 0 -4 \mathrm e^{-5\cdot 0}\\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse besitzt somit die Koordinaten $S(0 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Den Schnittpunkt mit der $y$-Achse kannst du auch direkt mit deinem GTR berechnen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort eingegeben, dann passe das Fenster so an, dass du den gewünschten Bereich sehen kannst. Bestimme dann mit
2ND $\to$ F4: CALC $\to$ 1: value
2ND $\to$ F4: CALC $\to$ 1: value
den Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
Nun musst du für $x=0$ wählen und kannst somit den Schnittpunkt mit der $y$-Achse bestimmen.
Abb. 1: Schnittpunkt mit der $y$-Achse
Abb. 1: Schnittpunkt mit der $y$-Achse
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse lautet somit $S(0\mid 0)$.
(2)
$\blacktriangleright$  Lokale Maximalstelle $\boldsymbol{x_E}$ der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die lokale Maximalstelle $x_E$ der Funktion $f$ bestimmen. Für eine Maximalstelle $x_E$ einer Funktion $h$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • Notwendiges Kriterium: $h'(x_G)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $h''(x_G)\neq0$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hand
Du kannst somit für die Berechnung der lokalen Maximalstelle wie folgt vorgehen:
  1. Ableitungen $f'(x)$ und $f''(x)$ von der Funktion $f$ berechnen.
  2. Berechne mit Hilfe des notwendigen Kriteriums die $x_E$-Koordinate.
  3. Prüfe das hinreichende Kriterium.
1. Schritt: Ableitungen $\boldsymbol{f'(x)}$ und $\boldsymbol{f''(x)}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4-2x-4 \mathrm e^{-5x} \\[5pt] f'(x)&=& -2 -4 \cdot \left(-5 \mathrm e^{-5x}\right)\\[5pt] f'(x)&=& -2 +20 \mathrm e^{-5x}\\[5pt] f''(x)&=& -100 \mathrm e^{-5x} \end{array}$
2. Schritt: Ableitung $\boldsymbol{f'(x)}$ gleich 0 setzen und $\boldsymbol{x_E}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_E)&=& 0 \\[5pt] -2 +20 \mathrm e^{-5x_E}&=& 0 & \quad \mid +2\\[5pt] 20 \mathrm e^{-5x_E}&=& +2 & \quad \mid :20\\[5pt] \mathrm e^{-5x_E}&=& \dfrac{1}{10} & \quad \mid \ln()\\[5pt] -5x_E &=& \ln\left(\dfrac{1}{10}\right) & \quad \mid :(-5)\\[5pt] x_E &=& - \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right) \end{array}$
$x_E = - \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$
3. Schritt: Überprüfe, ob es sich um eine Maximalstelle handelt
$\begin{array}[t]{rll} f''(x_E)&=& -100 \mathrm e^{-5x_E} \\[5pt] f''(x_E)&=& -100 \mathrm e^{-5 \cdot \left(- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)\right)} \\[5pt] f''(x_E)&=& -100 \mathrm e^{ \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)} \\[5pt] f''(x_E)&=& -100 \cdot \dfrac{1}{10}\\[5pt] f''(x_E)&=& -10 \quad < 0 \end{array}$
Die lokale Maximalstelle beträgt somit $x_E=-\dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Die Maximalstelle kannst du auch direkt mit deinem GTR berechnen. Wechsel dazu mit deinem GTR in das GRAPH-Menü. Bestimme dann mit
2ND $\to$ F4: CALC $\to$ 4: maximum
2ND $\to$ F4: CALC $\to$ 4: maximum
die Maximalstelle $x_E$.
Dein GTR gibt dir nun den Wert für die Maximalstelle.
Abb. 2: Wert der Maximalstelle $x_E$
Abb. 2: Wert der Maximalstelle $x_E$
Die Maximalstelle lautet somit $x_E \approx 0,55$.
#extrempunkt#ableitung#schnittpunkt
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Begründe, dass $\boldsymbol{f'}$ streng monoton fallend ist
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Ableitungsfunktion $f'$ streng monoton fallend ist. Da du bereits, dass Schaubild von $f$ gegeben hast musst du dir überlegen, wie das Monotomieverhalten von der Funktion $f$ und ihrer Ableitungsfunktion $f'$ zusammen hängt. Hierbei kannst du dir die Krümmung der Funktion $f$ anschauen. Der Graph der Funktion $f$ ist stets rechtsgekrümmt, das bedeutet, dass für die zweite Ableitung $f''<0$ gelten muss. Da die zweite Ableitung $f''$ gerade die Steigung der ersten Ableitung $f'$ beschreibt, weißt du nun, dass die Steigung der ersten Ableitung $f'$ stets kleiner als $0$ sein muss, dadurch muss $f'$ streng monoton fallend sein.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion $\boldsymbol{f}$
In dieser Teilaufgabe sollst du das Monotonieverhalten der Funktion $f$ bestimmen. Betrachte hierfür die Steigung des Graphen, der in der Aufgabenstellung dargestellt ist. Nun hast du bereits in der ersten Teilaufgabe die $x_E$-Koordinate der Maximalestelle berechnet. Du weißt außerdem, dass die Steigung an der Maximalstelle $0$ beträgt. Somit kannst du den Bereich vor und nach der Maximalstelle mit $x_E= - \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$ betrachten. In dem Bereich vor der Maximalstelle steigt der Graph der Funktion $f$ und somit ist die Funktion $f$ im Bereich $]-\infty;x_E[ $ streng monoton steigend. Nach der Maximalstelle fällt die Funktion $f$ und ist deshalb im Bereich $]x_E;+\infty,[$ streng monoton fallend.
(3)
$\blacktriangleright$  Begründe, dass die Funktion $\boldsymbol{f}$ höchstens zwei Nullstellen besitzt
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Funktion $f$ höchstens zwei Nullstellen besitzt. Hierzu kannst du erneut den Graphen von $f$ betrachten und dessen Grenzverhalten untersuchen. Die Funktion $f$ besitzt folgendes Grenzverhalten:
$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)= +\infty$
$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)= -\infty$
Außerdem weißt du aus Aufgabe 1, dass die Funktion $f$ nur eine Maximalstelle besitzt und keinen Wendepunkt. Deshalb ergibt sich aus dem Grenzverhalten, dass die Funktion nur maximal zwei Nullstellen besitzen kann, da der Funktionswert von $-\infty$ zum Maximum ansteigt und anschließend wieder gegen $-\infty$ fällt. In diesem Fall liegt das Maximum oberhalb der $x$-Achse und somit schneidet der Graph der Funktion $f$ die $x$-Achse genau zweimal.
#nullstelle#monotonie
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Zeichne die Gerade $\boldsymbol{g}$ in die Abbildung ein
In dieser Teilaufgabe hast du die Funktion $g$ mit $g(x)=4-2x$ gegeben und sollst die Gerade in die gegebene Abbildung einzeichnen. Die Gerade kannst du mit dem gegebene $y$-Achsenabschnitt $b=4$ und der Steigung $m=-2$ einzeichnen. Das Schaubild sieht nun wie folgt aus:
Abb. 3: Abbildung 1 mit der Geraden $g$
Abb. 3: Abbildung 1 mit der Geraden $g$
(2)
$\blacktriangleright$  Zeige, dass für alle $\boldsymbol{x\in \mathbb{R}}$ der Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$ unterhalb der Geraden $\boldsymbol{g}$ verläuft
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Graphen der Funktion $f$ immer unterhalb der Geraden $g$ verläuft. Das bedeutet, dass der Funktionswert $f(x)$ stets kleiner als der Funktionswert $g(x)$ sein muss. Betrachte hierzu die Funktionsgleichungen genauer. Die Funktionsgleichung der Funktion $f$ hast du mit $f(x)=4-2x-4\cdot \mathrm e^{-5x}$ gegeben und die Funktionsgleichung der Funktion $g$ mit $g(x)=4-2x$. Hierbei kannst du erkennen, dass sich die Funktionsgleichungen sehr ähnlich sind. Du kannst zwischen $f(x)$ und $g(x)$ nun einen Zusammenhang herstellen. Für $f(x)$ kannst du folgendermaßen umformen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4-2x-4\cdot \mathrm e^{-5x} \\[5pt] f(x)&=& g(x) -4\cdot \mathrm e^{-5x} \end{array}$
Nun kannst du mit den Funktionswert von $f$ den Funktionswert von $g$ bestimmen. Außerdem weißt du, dass die $\mathrm e$-Funktion für alle $x\in \mathbb{R}$ immer größer als $0$ ist. Somit ist $-4\cdot \mathrm e^{-5x}$ immer kleiner als $0$. Durch den Zusammenhang von $f(x)$ und $g(x)$ folgt nun, dass der Funktionswert von der Funktion $f$ immer kleiner als der Funktionswert von der Funktion $g$ ist. Deshalb liegt auch der Graph der Funktion $f$ für jeden $x$-Wert unterhalb des Graphen von $g$.
(3)
$\blacktriangleright$  Begründe, dass $\boldsymbol{x_0<2}$ gilt, wenn $\boldsymbol{x_0}$ eine Nullstelle von $\boldsymbol{f}$ ist
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass $\boldsymbol{x_0<2}$ gilt, wenn $x_0$ eine Nullstelle von der Funktion $f$ ist. Für die Begründung sollst du die Teilaufgabe (2) benutzen. In der Teilaufgabe (2) hast du bereits gezeigt, dass der Graphen von $f$ immer unterhalb des Graphen von $g$ liegt. Bei $x=2$ gilt für den Funktionswert von $g$:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 4-2x\\[5pt] g(2)&=& 4- 2\cdot 2\\[5pt] g(2)&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt die Funktion $g$ an der Stelle $x=2$ den Wert $0$. Nun weißt du, dass der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=2$ kleiner als $0$ sein muss. Somit ist $f(x=2)$ negativ und liegt deshalb unterhalb der $x$-Achse. Das bedeutet, dass für eine Nullstelle der Funktion $f(x)$ $x_0<2$ gelten muss.
(4)
$\blacktriangleright$  Berechne den Flächeninhalt zwischen der Geraden $\boldsymbol{g}$ und dem Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$
Nun sollst du den Flächeninhalt $A$, der zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen der Funktion $f$ eingeschlossenen Fläche im Intervall $[0;1]$ bestimmen.
Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen in einem Intervall $[a;b]$ berechnet sich mit folgender Formel:
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
Nun kannst du das gegebene Intervall $[0;1]$ und die entsprechende Funktionsgleichung einsetzen und erhältst somit:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right|\\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(4-2x-4\cdot \mathrm e^{-5x}-4 +2x\right)\mathrm dx \right|\\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(-4\cdot \mathrm e^{-5x}\right)\mathrm dx \right|\\[5pt] \end{array}$
$A=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(-4\cdot \mathrm e^{-5x}\right)\mathrm dx \right|$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hand
$\begin{array}[t]{rll} &=& \left|\left[\dfrac{-4}{-5}\cdot \mathrm e^{-5x}\right]_0^{1} \right|\\[5pt] &=& \left|\left[\dfrac{4}{5}\cdot \mathrm e^{-5x}\right]_0^{1} \right|\\[5pt] &=& \left|\left(\dfrac{4}{5}\cdot \mathrm e^{-5\cdot 1}\right)- \left(\dfrac{4}{5}\cdot \mathrm e^{-5\cdot 0}\right)\right|\\[5pt] &=& \left|\left(\dfrac{4}{5}\cdot \mathrm e^{-5}\right)- \left(\dfrac{4}{5}\right)\right|\\[5pt] &\approx& 0,79 \\[5pt] \end{array}$
Somit beträgt der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen der Funktion $f$ im Intervall $[0;1]$ $A\approx0,79$ FE.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Das Integral kannst du auch mit deinem GTR berechnen gebe hierfür die Funktion $y=-4\cdot \mathrm e^{-5x}$ im GRAPH-Menü ein und bestimme mit
2ND $\to$ F4: CALC $\to$ 7: $\displaystyle\int_{}^{}f(x)\mathrm dx$
2ND $\to$ F4: CALC $\to$ 7: $\displaystyle\int_{}^{}f(x)\mathrm dx$
den Flächeninhalt der Fläche zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen der Funktion $f$. Dazu musst du für die Grenzen $x_1=0$ und $x_2=1$ wählen.
Abb. 4: Fläche zwischen der Gerade $g$ und dem Graphen der Funktion $f$
Abb. 4: Fläche zwischen der Gerade $g$ und dem Graphen der Funktion $f$
Da der Flächeninhalt immer positiv sein muss musst du noch den Flächenihalt in Betrag setzen. Deshalb beträgt der Flächeninhalt $A\approx|-0,79| \text{ FE}=0,79 \text{ FE}$.
#geradengleichung#integral#nullstelle
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Berechne, in welcher Höhe der Ball abgeworfen wurde
In dieser Teilaufgabe sollst du die Höhe berechnen in welcher der Ball abgeworfen wurde, wenn er nach $5$ s auf den Boden trifft. Da sich die Abwurfhöhe des Balls lauf Aufgabe im Ursprung befindet, liegt der Boden im negativen Bereich deines Koordinatensystems. Um die Abwurfhöhe zu berechnen, musst du wissen, auf welcher Höhe der Boden liegt. Dazu musst du zuerst die Höhe des Bodens berechnen, also die Höhe des Balles, wenn er auf den Boden trifft. Diese Höhe hat der Ball nach $5$ s erreicht. Somit musst du den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=5$ berechnen. Also den Wert $f(x=5)$. $f(x=5)$ gibt hierbei die Höhe des Bodens im Bezug zur Abwurfhöhe an. Gesucht ist die Abwurfhöhe im Bezug zur Höhe des Bodens, deshalb musst du die Höhe des Bodens noch von der Abwurfhöhe abziehen.
Für $f(x=5)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4-2x-4\cdot \mathrm e^{-5x} \\[5pt] f(5)&=& 4-2\cdot 5 -4\cdot \mathrm e^{-5 \cdot 5}\\[5pt] &=& -6 -4\cdot \mathrm e^{-25}\\[5pt] &=& -6 \end{array}$
Somit beträgt die Höhe des Bodens im Bezug zur Abwurfhöhe $f(x=5)=-6$ m. Ziehe nun die Höhe des Bodens noch von der Abwurfhöhe ab. Die Abwurfhöhe ist mit $f(0)=0$ m in der Aufgabenstellung gegeben. Somit gilt für die gesuchte Höhe $h$:
$\begin{array}[t]{rll} h&=& f(0) - f(5) \\[5pt] h&=& 0 - (-6)\\[5pt] &=& 6 \end{array}$
Der Ball wird also in einer Höhe von $h=6$ m über dem Boden abgeworfen.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimme die maximale Höhe des Balles
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale Höhe des Balles über dem Boden berechnen. Die maximale Höhe des Balles ist auch die Maximalstelle der Funktion $f$. Aus der Aufgabe a) weißt du bereits, dass sich die Maximalstelle des Graphen der Funktion $f$ und somit auch die maximale Höhe des Balles bei $x_E=- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$ befindet. Deshalb musst du nur noch den Funktionswert an der Stelle $x_E=- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$ berechnen und bekommst so die maximale Höhe des Balles über der Abwurfhöhe. Da die maximale Höhe des Balles über dem Boden gesucht ist musst du noch die Abwurfhöhe $h_A$ im Bezug zum Boden hinzu addieren. Die Abwurfhöhe im Bezug zum Boden beträgt $h_A=6$ m.
Setze zuerst den Wert für $x_E$ in die Funktionsgleichung ein. Somit gilt für $f(x_E)$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x_E)&=& 4-2x_E-4\cdot \mathrm e^{-5x_E} \\[5pt] &=& 4-2\cdot \left(- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)\right) -4\cdot \mathrm e^{ \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)}\\[5pt] &=& 4+ \dfrac{2}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right) -4\cdot \dfrac{1}{10}\\[5pt] &\approx& 2,68 \end{array}$
$f(x_E)\approx 2,68$
Somit beträgt die maximale Höhe des Balles über der Abwurfhöhe $2,68$ m.
Für die maximale Höhe des Balles über dem Boden gilt nun:
$h_{max}=2,68 \text{m}+ 6 \text{m}=8,68 \text{m}$
Die maximale Höhe des Balles über dem Boden beträgt somit $8,68$ m.
(3)
$\blacktriangleright$  Begründe im Sachzusammenhang, dass die Funktion $\boldsymbol{f}$ genau 2 Nullstellen besitzt
In dieser Teilaufgabe sollst du im Sachzusammenhang begründen, dass die Funktion $f$ im Zeitintervall $[0;5]$ genau zwei Nullstellen besitzt und diese Nullstellen angeben. Überlege dir also zuerst die Bewegung des Balles und für welche Zeitpunkte die Höhe des Balles bereits bekannt ist.
Du hast bereits gegeben, dass $f(0)=0$ gilt. Das bedeutet, dass die erste Nullstelle bei $x_1=0$ s liegt. Da der Ball hierbei senkrecht nach oben geworfen wird, steigt der Ball zunächst noch an und fällt anschließend nachdem er seine maximale Höhe erreicht hat nach unten. Das bedeutet, dass der Ball beim Fallen erneut die Abwurfhöhe erreicht. Somit besitzt die Funktion $f$, welche die Höhe des Balles in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt genau $2$ Nullstellen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hand
Um die zweite Nullstelle $x_2$ der Funktion $f$ zu bestimmen musst du verschiedene $x$-Werte einsetzen und ausprobieren für welchen $x$-Wert $f(x)=0$ gilt. Durch ausprobieren erhältst du folgende Werte:
$f(x=1,9)\approx0,2$
$f(x=1,99)\approx0,02$
$f(x=1,999)\approx0,002$
Somit liegt die zweite Nullstelle bei $x\approx2$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Du kannst die $x$-Koordinate der zweiten Nullstelle auch direkt mit deinem GTR berechnen. Den entsprechenden Befehl findest du unter
2ND $\to$ F4: CALC $\to$ 2: zero.
2ND $\to$ F4: CALC $\to$ 1: zero.
Hierbei musst du nun noch einen Bereich wählen, indem sich die Nullstelle befindet.
Abb. 5: Zweite Nullstelle der Funktion $f$
Abb. 5: Zweite Nullstelle der Funktion $f$
Somit gilt für die zweite Nullstelle $x_2\approx2$.
(4)
$\blacktriangleright$  Berechne das Maximum und das Minimum der Funktion $\boldsymbol{f'}$
Nun sollst du das Maximum und das Minimum der Funktion $f'$ bestimmen und außerdem die Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren. Wir wissen bereits, dass die Funktion $f'$ in dem Intervall $[0;5]$ streng monoton fallend ist, weißt du, dass die Extremstellen gerade an dem Rand des Intervalls liegen müssen. Da wir wisssen, dass die Funktion fällt muss das Maximum bei $x_{max}=0$ und das Minimum bei $x_{min}=5$ liegen. Für die Funktion $f'}$ gilt aus a) $f'(x)=-2 +20 \mathrm e^{-5x}$.
Somit gilt für das Maximum:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_{max})&=& -2 +20 \mathrm e^{-5x_{max}} \\[5pt] f'(0)&=& -2 +20 \mathrm e^{-5 \cdot 0}\\[5pt] &=& 18 \end{array}$
Für das Minimum gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_{min})&=& -2 +20 \mathrm e^{-5x_{min}} \\[5pt] f'(5)&=& -2 +20 \mathrm e^{-5 \cdot 5}\\[5pt] &=& -2 \end{array}$
Das Maximum liegt deshalb bei $(0\mid18)$ und das Minimum bei $(5\mid-2)$.
Da die Ableitung $f'$ die Steigung der Funktion $f$ beschreibt und die Steigung in einem $s-t$-Diagramm die Geschwindigkeit angibt. Wissen wir nun, dass der Ball während seines Fluges maximal eine Geschwindigkeit von $18 \dfrac{m}{s}$ und minimal eine Geschwindigkeit von $-2 \dfrac{m}{s}$ erfährt. Dabei bedeutet eine negative Geschwindigkeit, dass der Ball fällt und eine positive Geschwindigkeit, dass der Ball steigt.
#extrempunkt#nullstelle
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts mit der $\boldsymbol{y}$-Achse berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Schnittpunkt $S(x_S \mid y_S)$ des Graphen von $f(x)$ mit der $y$-Achse berechnen. Für den Schnittpunkt ist bekannt, dass die $x$-Koordinate des Punktes $x_S=0$ betragen muss.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hand
Berechne deshalb $f(x_S=0)$, um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu bestimmen. Somit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4-2x-4 \mathrm e^{-5x} \\[5pt] f(0)&=& 4 - 2\cdot 0 -4 \mathrm e^{-5\cdot 0}\\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse besitzt somit die Koordinaten $S(0 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Den Schnittpunkt mit der $y$-Achse kannst du auch direkt mit deinem GTR berechnen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das GRAPH-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort eingegeben, dann passe das Fenster so an, dass du den gewünschten Bereich sehen kannst. Bestimme dann mit
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F4: Y-ICPT
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F4: Y-ICPT
den Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
Nun musst du für $x=0$ wählen und kannst somit den Schnittpunkt mit der $y$-Achse bestimmen.
Abb. 1: Schnittpunkt mit der $y$-Achse
Abb. 1: Schnittpunkt mit der $y$-Achse
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse lautet somit $S(0\mid 0)$.
(2)
$\blacktriangleright$  Lokale Maximalstelle $\boldsymbol{x_E}$ der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die lokale Maximalstelle $x_E$ der Funktion $f$ bestimmen. Für eine Maximalstelle $x_E$ einer Funktion $h$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • Notwendiges Kriterium: $h'(x_G)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $h''(x_G)\neq0$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hand
Du kannst somit für die Berechnung der lokalen Maximalstelle wie folgt vorgehen:
  1. Ableitungen $f'(x)$ und $f''(x)$ von der Funktion $f$ berechnen.
  2. Berechne mit Hilfe des notwendigen Kriteriums die $x_E$-Koordinate.
  3. Prüfe das hinreichende Kriterium.
1. Schritt: Ableitungen $\boldsymbol{f'(x)}$ und $\boldsymbol{f''(x)}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4-2x-4 \mathrm e^{-5x} \\[5pt] f'(x)&=& -2 -4 \cdot \left(-5 \mathrm e^{-5x}\right)\\[5pt] f'(x)&=& -2 +20 \mathrm e^{-5x}\\[5pt] f''(x)&=& -100 \mathrm e^{-5x} \end{array}$
2. Schritt: Ableitung $\boldsymbol{f'(x)}$ gleich 0 setzen und $\boldsymbol{x_E}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_E)&=& 0 \\[5pt] -2 +20 \mathrm e^{-5x_E}&=& 0 & \quad \mid +2\\[5pt] 20 \mathrm e^{-5x_E}&=& +2 & \quad \mid :20\\[5pt] \mathrm e^{-5x_E}&=& \dfrac{1}{10} & \quad \mid \ln()\\[5pt] -5x_E &=& \ln\left(\dfrac{1}{10}\right) & \quad \mid :(-5)\\[5pt] x_E &=& - \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right) \end{array}$
$x_E = - \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$
3. Schritt: Überprüfe, ob es sich um eine Maximalstelle handelt
$\begin{array}[t]{rll} f''(x_E)&=& -100 \mathrm e^{-5x_E} \\[5pt] f''(x_E)&=& -100 \mathrm e^{-5 \cdot \left(- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)\right)} \\[5pt] f''(x_E)&=& -100 \mathrm e^{ \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)} \\[5pt] f''(x_E)&=& -100 \cdot \dfrac{1}{10}\\[5pt] f''(x_E)&=& -10 \quad < 0 \end{array}$
Die lokale Maximalstelle beträgt somit $x_E=-\dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Die Maximalstelle kannst du auch direkt mit deinem GTR berechnen. Wechsel dazu mit deinem GTR in das GRAPH-Menü. Bestimme dann mit
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F2: MAX
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F2: MAX
die Maximalstelle $x_E$.
Dein GTR gibt dir nun den Wert für die Maximalstelle.
Abb. 2: Wert der Maximalstelle $x_E$
Abb. 2: Wert der Maximalstelle $x_E$
Die Maximalstelle lautet somit $x_E \approx 0,55$.
#extrempunkt
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Begründe, dass $\boldsymbol{f'}$ streng monoton fallend ist
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Ableitungsfunktion $f'$ streng monoton fallend ist. Da du bereits, dass Schaubild von $f$ gegeben hast musst du dir überlegen, wie das Monotomieverhalten von der Funktion $f$ und ihrer Ableitungsfunktion $f'$ zusammen hängt. Hierbei kannst du dir die Krümmung der Funktion $f$ anschauen. Der Graph der Funktion $f$ ist stets rechtsgekrümmt, das bedeutet, dass für die zweite Ableitung $f''<0$ gelten muss. Da die zweite Ableitung $f''$ gerade die Steigung der ersten Ableitung $f'$ beschreibt, weißt du nun, dass die Steigung der ersten Ableitung $f'$ stets kleiner als $0$ sein muss, dadurch muss $f'$ streng monoton fallend sein.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion $\boldsymbol{f}$
In dieser Teilaufgabe sollst du das Monotonieverhalten der Funktion $f$ bestimmen. Betrachte hierfür die Steigung des Graphen, der in der Aufgabenstellung dargestellt ist. Nun hast du bereits in der ersten Teilaufgabe die $x_E$-Koordinate der Maximalestelle berechnet. Du weißt außerdem, dass die Steigung an der Maximalstelle $0$ beträgt. Somit kannst du den Bereich vor und nach der Maximalstelle mit $x_E= - \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$ betrachten. In dem Bereich vor der Maximalstelle steigt der Graph der Funktion $f$ und somit ist die Funktion $f$ im Bereich $]-\infty;x_E[ $ streng monoton steigend. Nach der Maximalstelle fällt die Funktion $f$ und ist deshalb im Bereich $]x_E;+\infty,[$ streng monoton fallend.
(3)
$\blacktriangleright$  Begründe, dass die Funktion $\boldsymbol{f}$ höchstens zwei Nullstellen besitzt
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Funktion $f$ höchstens zwei Nullstellen besitzt. Hierzu kannst du erneut den Graphen von $f$ betrachten und dessen Grenzverhalten untersuchen. Die Funktion $f$ besitzt folgendes Grenzverhalten:
$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)= +\infty$
$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)= -\infty$
Außerdem weißt du aus Aufgabe 1, dass die Funktion $f$ nur eine Maximalstelle besitzt und keinen Wendepunkt. Deshalb ergibt sich aus dem Grenzverhalten, dass die Funktion nur maximal zwei Nullstellen besitzen kann, da der Funktionswert von $-\infty$ zum Maximum ansteigt und anschließend wieder gegen $-\infty$ fällt. In diesem Fall liegt das Maximum oberhalb der $x$-Achse und somit schneidet der Graph der Funktion $f$ die $x$-Achse genau zweimal.
#monotonie#nullstelle
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Zeichne die Gerade $\boldsymbol{g}$ in die Abbildung ein
In dieser Teilaufgabe hast du die Funktion $g$ mit $g(x)=4-2x$ gegeben und sollst die Gerade in die gegebene Abbildung einzeichnen. Die Gerade kannst du mit dem gegebene $y$-Achsenabschnitt $b=4$ und der Steigung $m=-2$ einzeichnen. Das Schaubild sieht nun wie folgt aus:
Abb. 3: Abbildung 1 mit der Geraden $g$
Abb. 3: Abbildung 1 mit der Geraden $g$
(2)
$\blacktriangleright$  Zeige, dass für alle $\boldsymbol{x\in \mathbb{R}}$ der Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$ unterhalb der Geraden $\boldsymbol{g}$ verläuft
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Graphen der Funktion $f$ immer unterhalb der Geraden $g$ verläuft. Das bedeutet, dass der Funktionswert $f(x)$ stets kleiner als der Funktionswert $g(x)$ sein muss. Betrachte hierzu die Funktionsgleichungen genauer. Die Funktionsgleichung der Funktion $f$ hast du mit $f(x)=4-2x-4\cdot \mathrm e^{-5x}$ gegeben und die Funktionsgleichung der Funktion $g$ mit $g(x)=4-2x$. Hierbei kannst du erkennen, dass sich die Funktionsgleichungen sehr ähnlich sind. Du kannst zwischen $f(x)$ und $g(x)$ nun einen Zusammenhang herstellen. Für $f(x)$ kannst du folgendermaßen umformen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4-2x-4\cdot \mathrm e^{-5x} \\[5pt] f(x)&=& g(x) -4\cdot \mathrm e^{-5x} \end{array}$
Nun kannst du mit den Funktionswert von $f$ den Funktionswert von $g$ bestimmen. Außerdem weißt du, dass die $\mathrm e$-Funktion für alle $x\in \mathbb{R}$ immer größer als $0$ ist. Somit ist $-4\cdot \mathrm e^{-5x}$ immer kleiner als $0$. Durch den Zusammenhang von $f(x)$ und $g(x)$ folgt nun, dass der Funktionswert von der Funktion $f$ immer kleiner als der Funktionswert von der Funktion $g$ ist. Deshalb liegt auch der Graph der Funktion $f$ für jeden $x$-Wert unterhalb des Graphen von $g$.
(3)
$\blacktriangleright$  Begründe, dass $\boldsymbol{x_0<2}$ gilt, wenn $\boldsymbol{x_0}$ eine Nullstelle von $\boldsymbol{f}$ ist
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass $\boldsymbol{x_0<2}$ gilt, wenn $x_0$ eine Nullstelle von der Funktion $f$ ist. Für die Begründung sollst du die Teilaufgabe (2) benutzen. In der Teilaufgabe (2) hast du bereits gezeigt, dass der Graphen von $f$ immer unterhalb des Graphen von $g$ liegt. Bei $x=2$ gilt für den Funktionswert von $g$:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 4-2x\\[5pt] g(2)&=& 4- 2\cdot 2\\[5pt] g(2)&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt die Funktion $g$ an der Stelle $x=2$ den Wert $0$. Nun weißt du, dass der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=2$ kleiner als $0$ sein muss. Somit ist $f(x=2)$ negativ und liegt deshalb unterhalb der $x$-Achse. Das bedeutet, dass für eine Nullstelle der Funktion $f(x)$ $x_0<2$ gelten muss.
(4)
$\blacktriangleright$  Berechne den Flächeninhalt zwischen der Geraden $\boldsymbol{g}$ und dem Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$
Nun sollst du den Flächeninhalt $A$, der zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen der Funktion $f$ eingeschlossenen Fläche im Intervall $[0;1]$ bestimmen.
Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen in einem Intervall $[a;b]$ berechnet sich mit folgender Formel:
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
Nun kannst du das gegebene Intervall $[0;1]$ und die entsprechende Funktionsgleichung einsetzen und erhältst somit:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right|\\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(4-2x-4\cdot \mathrm e^{-5x}-4 +2x\right)\mathrm dx \right|\\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(-4\cdot \mathrm e^{-5x}\right)\mathrm dx \right|\\[5pt] \end{array}$
$A=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(-4\cdot \mathrm e^{-5x}\right)\mathrm dx \right|$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hand
$\begin{array}[t]{rll} &=& \left|\left[\dfrac{-4}{-5}\cdot \mathrm e^{-5x}\right]_0^{1} \right|\\[5pt] &=& \left|\left[\dfrac{4}{5}\cdot \mathrm e^{-5x}\right]_0^{1} \right|\\[5pt] &=& \left|\left(\dfrac{4}{5}\cdot \mathrm e^{-5\cdot 1}\right)- \left(\dfrac{4}{5}\cdot \mathrm e^{-5\cdot 0}\right)\right|\\[5pt] &=& \left|\left(\dfrac{4}{5}\cdot \mathrm e^{-5}\right)- \left(\dfrac{4}{5}\right)\right|\\[5pt] &\approx& 0,79 \\[5pt] \end{array}$
Somit beträgt der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen der Funktion $f$ im Intervall $[0;1]$ $A\approx0,79$ FE.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Das Integral kannst du auch mit deinem GTR berechnen gebe hierfür die Funktion $y=-4\cdot \mathrm e^{-5x}$ im GRAPH-Menü ein und bestimme mit
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F6 $\to$ F3: $\displaystyle\int_{}^{}\mathrm dx$
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F6 $\to$ F3: $\displaystyle\int_{}^{}\mathrm dx$
den Flächeninhalt der Fläche zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen der Funktion $f$. Dazu musst du für die Grenzen $x_1=0$ und $x_2=1$ wählen.
Abb. 4: Fläche zwischen der Gerade $g$ und dem Graphen der Funktion $f$
Abb. 4: Fläche zwischen der Gerade $g$ und dem Graphen der Funktion $f$
Da der Flächeninhalt immer positiv sein muss musst du noch den Flächenihalt in Betrag setzen. Deshalb beträgt der Flächeninhalt $A=|-0,79| \text{ FE}=0,79 \text{ FE}$.
#nullstelle#geradengleichung#integral
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Berechne, in welcher Höhe der Ball abgeworfen wurde
In dieser Teilaufgabe sollst du die Höhe berechnen in welcher der Ball abgeworfen wurde, wenn er nach $5$ s auf den Boden trifft. Da sich die Abwurfhöhe des Balls lauf Aufgabe im Ursprung befindet, liegt der Boden im negativen Bereich deines Koordinatensystems. Um die Abwurfhöhe zu berechnen, musst du wissen, auf welcher Höhe der Boden liegt. Dazu musst du zuerst die Höhe des Bodens berechnen, also die Höhe des Balles, wenn er auf den Boden trifft. Diese Höhe hat der Ball nach $5$ s erreicht. Somit musst du den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=5$ berechnen. Also den Wert $f(x=5)$. $f(x=5)$ gibt hierbei die Höhe des Bodens im Bezug zur Abwurfhöhe an. Gesucht ist die Abwurfhöhe im Bezug zur Höhe des Bodens, deshalb musst du die Höhe des Bodens noch von der Abwurfhöhe abziehen.
Für $f(x=5)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4-2x-4\cdot \mathrm e^{-5x} \\[5pt] f(5)&=& 4-2\cdot 5 -4\cdot \mathrm e^{-5 \cdot 5}\\[5pt] &=& -6 -4\cdot \mathrm e^{-25}\\[5pt] &=& -6 \end{array}$
Somit beträgt die Höhe des Bodens im Bezug zur Abwurfhöhe $f(x=5)=-6$ m. Ziehe nun die Höhe des Bodens noch von der Abwurfhöhe ab. Die Abwurfhöhe ist mit $f(0)=0$ m in der Aufgabenstellung gegeben. Somit gilt für die gesuchte Höhe $h$:
$\begin{array}[t]{rll} h&=& f(0) - f(5) \\[5pt] h&=& 0 - (-6)\\[5pt] &=& 6 \end{array}$
Der Ball wird also in einer Höhe von $h=6$ m über dem Boden abgeworfen.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimme die maximale Höhe des Balles
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale Höhe des Balles über dem Boden berechnen. Die maximale Höhe des Balles ist auch die Maximalstelle der Funktion $f$. Aus der Aufgabe a) weißt du bereits, dass sich die Maximalstelle des Graphen der Funktion $f$ und somit auch die maximale Höhe des Balles bei $x_E=- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$ befindet. Deshalb musst du nur noch den Funktionswert an der Stelle $x_E=- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)$ berechnen und bekommst so die maximale Höhe des Balles über der Abwurfhöhe. Da die maximale Höhe des Balles über dem Boden gesucht ist musst du noch die Abwurfhöhe $h_A$ im Bezug zum Boden hinzu addieren. Die Abwurfhöhe im Bezug zum Boden beträgt $h_A=6$ m.
Setze zuerst den Wert für $x_E$ in die Funktionsgleichung ein. Somit gilt für $f(x_E)$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x_E)&=& 4-2x_E-4\cdot \mathrm e^{-5x_E} \\[5pt] &=& 4-2\cdot \left(- \dfrac{1}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)\right) -4\cdot \mathrm e^{ \ln\left(\dfrac{1}{10}\right)}\\[5pt] &=& 4+ \dfrac{2}{5} \ln\left(\dfrac{1}{10}\right) -4\cdot \dfrac{1}{10}\\[5pt] &\approx& 2,68 \end{array}$
$f(x_E)\approx 2,68$
Somit beträgt die maximale Höhe des Balles über der Abwurfhöhe $2,68$ m.
Für die maximale Höhe des Balles über dem Boden gilt nun:
$h_{max}=2,68 \text{m}+ 6 \text{m}=8,68 \text{m}$
Die maximale Höhe des Balles über dem Boden beträgt somit $8,68$ m.
(3)
$\blacktriangleright$  Begründe im Sachzusammenhang, dass die Funktion $\boldsymbol{f}$ genau 2 Nullstellen besitzt
In dieser Teilaufgabe sollst du im Sachzusammenhang begründen, dass die Funktion $f$ im Zeitintervall $[0;5]$ genau zwei Nullstellen besitzt und diese Nullstellen angeben. Überlege dir also zuerst die Bewegung des Balles und für welche Zeitpunkte die Höhe des Balles bereits bekannt ist.
Du hast bereits gegeben, dass $f(0)=0$ gilt. Das bedeutet, dass die erste Nullstelle bei $x_1=0$ s liegt. Da der Ball hierbei senkrecht nach oben geworfen wird, steigt der Ball zunächst noch an und fällt anschließend nachdem er seine maximale Höhe erreicht hat nach unten. Das bedeutet, dass der Ball beim Fallen erneut die Abwurfhöhe erreicht. Somit besitzt die Funktion $f$, welche die Höhe des Balles in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt genau $2$ Nullstellen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Hand
Um die zweite Nullstelle $x_2$ der Funktion $f$ zu bestimmen musst du verschiedene $x$-Werte einsetzen und ausprobieren für welchen $x$-Wert $f(x)=0$ gilt. Durch ausprobieren erhältst du folgende Werte:
$f(x=1,9)\approx0,2$
$f(x=1,99)\approx0,02$
$f(x=1,999)\approx0,002$
Somit liegt die zweite Nullstelle bei $x\approx2$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Du kannst die $x$-Koordinate der zweiten Nullstelle auch direkt mit deinem GTR berechnen. Den entsprechenden Befehl findest du unter
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F1: ROOT.
SHIFT $\to$ F5: G-Solv $\to$ F1: ROOT.
Hierbei kannst du mit den Pfeiltasten zwischen den einzelnen Nullstellen wechseln.
Abb. 5: Zweite Nullstelle der Funktion $f$
Abb. 5: Zweite Nullstelle der Funktion $f$
Somit gilt für die zweite Nullstelle $x_2\approx2$.
(4)
$\blacktriangleright$  Berechne das Maximum und das Minimum der Funktion $\boldsymbol{f'}$
Nun sollst du das Maximum und das Minimum der Funktion $f'$ bestimmen und außerdem die Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren. Wir wissen bereits, dass die Funktion $f'$ in dem Intervall $[0;5]$ streng monoton fallend ist, weißt du, dass die Extremstellen gerade an dem Rand des Intervalls liegen müssen. Da wir wisssen, dass die Funktion fällt muss das Maximum bei $x_{max}=0$ und das Minimum bei $x_{min}=5$ liegen. Für die Funktion $f'}$ gilt aus a) $f'(x)=-2 +20 \mathrm e^{-5x}$.
Somit gilt für das Maximum:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_{max})&=& -2 +20 \mathrm e^{-5x_{max}} \\[5pt] f'(0)&=& -2 +20 \mathrm e^{-5 \cdot 0}\\[5pt] &=& 18 \end{array}$
Für das Minimum gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_{min})&=& -2 +20 \mathrm e^{-5x_{min}} \\[5pt] f'(5)&=& -2 +20 \mathrm e^{-5 \cdot 5}\\[5pt] &=& -2 \end{array}$
Das Maximum liegt deshalb bei $(0\mid18)$ und das Minimum bei $(5\mid-2)$.
Da die Ableitung $f'$ die Steigung der Funktion $f$ beschreibt und die Steigung in einem $s-t$-Diagramm die Geschwindigkeit angibt. Wissen wir nun, dass der Ball während seines Fluges maximal eine Geschwindigkeit von $18 \dfrac{m}{s}$ und minimal eine Geschwindigkeit von $-2 \dfrac{m}{s}$ erfährt. Dabei bedeutet eine negative Geschwindigkeit, dass der Ball fällt und eine positive Geschwindigkeit, dass der Ball steigt.
#extrempunkt#nullstelle
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