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Aufgabe 1

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Aufgabenstellung
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=4-2x-4\cdot\mathrm e^{-5x}$, $x\in\mathbb{R}$.
a)
(1)
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse.
(2P)
(2)
Bestimme die lokale Maximalstelle $x_E$ der Funktion $f$.
[Zur Kontrolle: $f'(x)=-2+20 \cdot \mathrm e^{-5x}$; $x_E=0,2 \cdot \ln(10)$]
(9P)
#schnittpunkt#extrempunkt
b)
(1)
Begründe, dass die Ableitungsfunktion $f'$ streng monoton fallend ist.
(3P)
(2)
Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion $f$.
(4P)
(3)
Begründe nun, dass die Funktion $f$ höchstens zwei Nullstellen besitzt.
(3P)
#ableitung#nullstelle#monotonie
c)
$g$ sei die Gerade mit der Gleichung $g(x)=4-2x$,$\ x \in \mathbb{R}$.

(1)
Zeichne die Gerade $g$ in die Abbildung ein.
(2P)
(2)
Zeige:
Für alle $\ x \in \mathbb{R}$ verläuft der Graph der Funktion $f$ unterhalb der Geraden $g$.
(3P)
(3)
Begründe mit Hilfe von c) (2):
Wenn $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ ist, dann gilt $x_0<2$.
(4P)
(4)
Zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen der Funktion $f$ ist im Intervall $[0; 1]$ eine Fläche eingeschlossen.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
(5P)
#nullstelle#geradengleichung#intervall
d)
Im Rahmen eines schulischen Projekts untersucht ein Schüler, wie stark ein Ball aus Styropor beim Wurf von der Luft abgebremst wird.
Dazu lehnt er sich aus einem Fenster der Schule und wirft den Ball senkrecht nach oben. Dabei zeichnet eine Kamera die Bewegung des Balles auf, bis dieser unten auf den Boden trifft. Er stellt fest, dass die Bewegung des Balles für $0 \leq x \leq 5$ durch die oben gegebene Funktion $f$ modelliert werden kann. Dabei wird $x$ als Maßzahl der Zeit zur Einheit $1 \text{s}$ und $f(x)$ als Maßzahl der Höhe des Balles zur Einheit $1 \text{m}$ aufgefasst.
Die Höhe des Balles bezieht sich auf die Abwurfhöhe $f(0)=0$ $[\text{m}]$ zur Zeit $x=0$ $[\text{s}]$.

(1)
Nach $5$ $\text{s}$ trifft der Ball auf den Boden.
Berechne, in welcher Höhe über dem Boden der Ball abgeworfen wurde.
(2P)
(2)
Bestimme die maximale Höhe des Balles über dem Boden.
(3P)
(3)
Begründe durch den Sachzusammenhang, dass die Funktion $f$ im Zeitintervall $[0; 5]$ genau zwei Nullstellen besitzt.
Gib diese Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau an.
(5P)
(4)
Berechne das Maximum und das Minimum der Funktion $f'$ im Zeitintervall $[0; 5]$ und interpretiere deine Ergebnisse im Sachzusammenhang.
(5P)
#intervall#extrempunkt#nullstelle
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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