Wahlteil B

Aufgabe 1

Die abgebildete Umfrage ergab, dass 270 der befragten Personen beim Kauf von Kleidung auf die Marke achten.

Wie viele der befragten Personen achten beim Kauf auf den Preis?
Begründe rechnerisch.

(2 Pkt.)

Familie Klein möchte ihre Rasenfläche entlang der gestrichelten Linie einzäunen.

Maßstab
1:500

Wie viel kostet der Zaun, wenn der Preis für ein $2,5 \,\text{m}$ langes Zaunstück $62,50\,\ €$ beträgt?

(3 Pkt.)

Aufgabe 2

Wie sollen die Teile gesteckt werden, damit die größtmögliche viereckige Fläche entsteht?

(2 Pkt.)

Für einen Schulgarten wurde eine Überdachung gebaut.
Zuerst wurde Dachform 1 geplant. Aus Kostengründen wurde dann die Dachform 2 gebaut.

Dachform 1:

Dachform 2:

Zeichnung nicht maßstabsgetreu

Dachform 1 und Dachform 2 haben den gleichen Flächeninhalt.
Berechne die Länge von $x$ für Dachform 2.

(3 Pkt.)

Aufgabe 3

Für ein Glücksrad gilt:

alle Flächen sind gleich groß
jede Fläche hat eine andere Farbe

Aussage

wahr

falsch

Je mehr Flächen es sind, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Farbe zu drehen.



Die Wahrscheinlichkeit jeder Farbe ist gleich groß.



Eine gewünschte Farbe ist lange nicht gedreht worden. Die Wahrscheinlichkeit, diese Farbe beim nächsten Mal zu drehen, ist nun höher.



Wenn die Wahrscheinlichkeit, eine Farbe zu drehen, bei $12,5 \,\%$ liegt, dann ist das Glücksrad in 8 Flächen unterteilt.



(2 Pkt.)

Berechne die abgebildete zusammengesetzte Fläche.

Zeichnung nicht maßstabsgetreu

(3 Pkt.)

Aufgabe 4

Kim hat $1\,850 €$ gespart und möchte das Geld bei einer Bank 3 Jahre anlegen.
Immer am Ende des Jahres werden die Zinsen zum Kapital hinzugezählt.
Sie hat zwei Angebote eingeholt. Wie groß ist der Zinsunterschied?
Bei welchem Angebot bekommt man nach drei Jahren mehr Zinsen?

(2 Pkt.)

Zeichne ein Dreieck mit $\beta=34^{\circ}, \gamma=56^{\circ}$ und $\mathrm{a}=10 \,\text{cm}$ und beschrifte die Eckpunkte.
Wie in der Skizze dargestellt, treffen sich bei einem gleichseitigen Dreieck die Winkelhalbierenden in einem Punkt. Berechne den Winkel $\delta$ .

Winkelhalbierende im gleichseitigen Dreieck

Zeichnung nicht maßstabsgetreu

(3 Pkt.)

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Lösung 1

Abmessen der Winkelweite des Sektors „Marke“.
Sektor „Marke“: $135^{\circ}$
Abmessen der Winkelweite des Sektors „Preis“.
Sektor „Preis“: $195^{\circ}$

Mit diesen beiden Winkelweiten kann nun bestimmt werden, wie viele Personen $1^{\circ}$ entsprechen und dann wie viele Personen auf den Preis achten.

$:135$

$\cdot 195$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 135^{\circ}& \mathrel{\widehat{=}}& 270\,\text{ Personen}\\[5pt] 1^{\circ} & \mathrel{\widehat{=}}& 2\,\text{ Personen}\\[5pt] 195^{\circ}& \mathrel{\widehat{=}}& 390\,\text{ Personen} \end{array}$

$:135$

$\cdot 195$

390 der befragten Personen achten beim Einkaufen auf den Preis.

1. Schritt: Längen der gestrichelten Linien messen und addieren

$2\,\text{cm}+5\,\text{cm}+7,5\,\text{cm}+1,5\,\text{cm}=16\,\text{cm}$

Hinweis: Je nach Bildschirmbreite variiert die Messung.

2. Schritt: Messung in Wirklichkeit bestimmen

Der Maßstab 1:500 bedeutet, dass $1\,\text{cm}$ in der Zeichnung $500\,\text{cm}$ in der Wirklichkeit entspricht.

$16\,\text{cm}\cdot 500=8\,000\,\text{cm}$

$8\,000\,\text{cm}$ in Meter umrechnen: $8\,000\,\text{cm}=800\,\text{dm}=80\,\text{m}.$

3. Schritt: Benötigte Anzahl der Zaunstücke berechnen

$80\,\text{m}:2,50\,\text{m}=32$

3. Schritt: Preis berechnen

$32\cdot 62,50\,€=2\,000\,€$

Der Zaun kostet also $2\,000\,€.$

Lösung 2

Damit man die größtmögliche Fläche erhält, sollten die Zaunteile zu einem Quadrat zusammengesetzt werden, sodass jede Seite 10 Zaunelemente als Länge hat.

1. Schritt: Flächeninhalt von Dachform 1 berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dreieck}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h &\\[5pt] A_{\text{Dreieck}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 2\,\text{m}\cdot 2,41\,\text{m} &\\[5pt] A_{\text{Dreieck}}&=& 2,41\,\text{m}^2 &\\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt also $2,41\,\text{m}.$ Die Dachform 1 besteht aus $8$ solcher Dreiecke. Um den Flächeninhalt der Dachform 1 zu erhalten, muss also noch mit $8$ multipliziert werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dachform}\, 1}&= 8\cdot A_{\text{Dreieck}} \\[5pt] A_{\text{Dachform}\, 1}&= 8\cdot 2,41\,\text{m}^2 \\[5pt] A_{\text{Dachform}\, 1}&= 19,28\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Gesuchte Länge von $\boldsymbol{x}$ berechnen

Die Dachform 2 ist ein Trapez. Der Flächeninhalt eines Trapezes lässt sich mit folgender Formel berechnen: $A_{\text{Trapez}}=\dfrac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h.$

Die gesuchte Länge der Seite $x$ entspricht der Höhe $h.$ Um die Länge von $x$ zu berechnen muss also die Formel nach $h$ umgestellt werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Trapez}}&=& \dfrac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2\cdot A_{\text{Trapez}}&=& (a+c)\cdot h&\quad \scriptsize \mid\;:(a+c) \\[5pt] \dfrac{2\cdot A_{\text{Trapez}}}{(a+c)}&=& h \\[5pt] h&=& \dfrac{2\cdot A_{\text{Trapez}}}{(a+c)}\\[5pt] h&=& \dfrac{2\cdot 19,28\,\text{m}^2}{(2\,\text{m}+5\,\text{m})}\\[5pt] h&\approx& 5,5\,\text{m} \end{array}$

Die Länge von $x$ beträgt etwa $5,5\,\text{m}.$

Lösung 3

Aussage

wahr

falsch

Je mehr Flächen es sind, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Farbe zu drehen.





Die Wahrscheinlichkeit jeder Farbe ist gleich groß.





Eine gewünschte Farbe ist lange nicht gedreht worden. Die Wahrscheinlichkeit, diese Farbe beim nächsten Mal zu drehen, ist nun höher.





Wenn die Wahrscheinlichkeit, eine Farbe zu drehen, bei $12,5 \,\%$ liegt, dann ist das Glücksrad in 8 Flächen unterteilt.





1. Schritt: Flächeninhalt des Rechtecks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Rechteck}}&=& 14,5\,\text{cm}\cdot 22,0\,\text{cm} &\\[5pt] A_{\text{Rechteck}}&=& 319\,\text{cm}^2&\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Höhe des Trapezes berechnen

Für diese Rechnung wird zunächst die Länge der Seite $b$ benötigt: $b=(22,0\,\text{cm}-16,0\,\text{cm}):2=3\,\text{cm}$

Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Höhe $h$ des Trapezes berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} b^2+h^2&=&(5,8\,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; -b^2\\[5pt] h^2&=&(5,8\,\text{cm})^2-b^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h&=&\sqrt{(5,8\,\text{cm})^2-b^2} \\[5pt] h&=&\sqrt{(5,8\,\text{cm})^2-(3\,\text{cm})^2} \\[5pt] h&=&\sqrt{24,64\,\text{cm}^2} \\[5pt] h&\approx&5,0\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Flächeninhalt des Trapezes berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Trapez}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h \\[5pt] A_{\text{Trapez}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot (22,0\,\text{cm}+16,0\,\text{cm})\cdot 5,0\,\text{cm} \\[5pt] A_{\text{Trapez}}&=&95\,\text{cm}^2 \end{array}$

4. Schritt: Flächeninhalt der zusammengesetzten Fläche berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Gesamt}}&=&A_{\text{Rechteck}}+A_{\text{Trapez}} \\[5pt] A_{\text{Gesamt}}&=& 319\,\text{cm}^2+95\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_{\text{Gesamt}}&=& 414\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt beträgt also $414\,\text{cm}^2.$

Lösung 4

Zinsen bei Bank A

Zinsen nach dem 1. Jahr

$:100$

$\cdot 100,9$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,850\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 18,50\,€\\[5pt] 100,9\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,866,65\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 100,9$

Zinsen nach dem 2. Jahr

$:100$

$\cdot 100,9$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,866,65\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 18,67\,€\\[5pt] 100,9\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,883,80\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 100,9$

Zinsen nach dem 3. Jahr

$:100$

$\cdot 100,9$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,883,80\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 18,84\,€\\[5pt] 100,9\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,900,96\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 100,9$

Nach drei Jahren besitzt Kim $1\,900,96\,€$ bei Bank A.

Zinsen bei Bank B

Zinsen nach dem 1. Jahr

$:100$

$\cdot 100,4$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,850\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 18,50\,€\\[5pt] 100,4\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,857,40\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 100,4$

Zinsen nach dem 2. Jahr

$:100$

$\cdot 101,1$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,857,40\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 18,57\,€\\[5pt] 101,1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,877,43\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 101,1$

Zinsen nach dem 3. Jahr

$:100$

$\cdot 101,3$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,877,43\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 18,77\,€\\[5pt] 101,3\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,901,40\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 101,3$

Nach drei Jahren besitzt Kim $1\,901,40\,€$ bei Bank B.

Zinsunterschied

$1\,901,40\,€-1\,900,96\,€=0,44\,€$

Nach 3 Jahren erhält Kim bei Bank B $0,44\,€$ mehr Zinsen als bei Bank A.

Dreieck zeichnen

Konstruktionsschritte

Seite $a=10\,\text{cm}$ zeichnen.
Winkel $\beta=34^{\circ}$ in Punkt B einzeichnen.
Winkel $\gamma=56^{\circ}$ in Punkt C einzeichnen.

Größe des Winkels $\beta$ berechnen

Die Winkelhalbierenden teilen den Kreis in drei gleich große Abschnitte. Da der gesamte Kreis $360^{\circ}$ groß ist, lässt sich die Größe des Winkels $\delta$ mit folgender Rechnung bestimmen: $\delta=360^{\circ}:3=120^{\circ}$

Die Größe des Winkels $\delta$ beträgt also $120^{\circ}.$

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