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Wahlpflichtaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1 - Spielzeug

a)
KaufanlassAngaben in $\,\%$
Geburtstag24
Weihnachten23
Ostern4
Belohnung6
Sonstige43
(2P)
#diagramm#prozent
b)
Benjamin kauft einen Bausatz für $59,90\,€$ und ein Brettspiel für $39,95\,€$.
Er hat zwei verschiedene Gutscheine.
$10 \,€$ Rabatt
auf einen Artikel Ihrer Wahl
$20 \,\%$ Rabatt
auf einen Artikel Ihrer Wahl
Welchen Gutschein sollte er für den Bausatz einsetzen, um möglichst wenig bezahlen zu müssen?
Begründe deine Entscheidung.
Wie viel Euro muss er insgesamt bezahlen, wenn er auch noch den anderen Gutschein für das Brettspiel einsetzt?
(2P)
#prozentrechnen
c)
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 1: Spielbrett
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 1: Spielbrett
(2P)

Aufgabe 2 - Pizza

a)
In Tonis Pizzeria kann man seine Pizza selbst zusammenstellen.
FleischGemüseKäse
SchinkenChampignonsMozzarella
SalamiPaprikaParmesan
HackfleischTomaten
$ $
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, wenn man aus den Bereichen Fleisch, Gemüse und Käse jeweils genau eine Zutat nimmt?
(2P)
b)
Toni legt nach und nach eine Pizza, im Karton verpackt, in die Transportbox.
Wie viele Kartons kann Toni höchstens in seiner Transportbox unterbringen?
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 3: Transportbox
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 3: Transportbox
(2P)
c)
Bei welcher Pizzagröße bekommst du für $36\,€$ insgesamt die größte Pizzafläche?
Gib die Größe der Fläche an.
PizzagrößeKlein $\varnothing \text{ }24\text{ cm} $Groß $\varnothing \text{ }32\text{ cm} $Party $60x40\text{ cm} $
Margherita$3,00\,€$$6,00\,€$$18,00\,€$
$ $
(2P)
#flächeninhalt#durchmesser

Aufgabe 3

a)
Info:
Die Zeitverschiebung zwischen Frankfurt und San Francisco beträgt 9 Stunden.
FrankfurtSan Francisco
19:00 Uhr10:00 Uhr
Info:
Die Zeitverschiebung zwischen Frankfurt und San Francisco beträgt 9 Stunden.
FrankfurtSan Francisco
19:00 Uhr10:00 Uhr
(2P)
b)
Welche Fläche hat der Bundesstaat Nevada ungefähr?
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 4: Skizze Nevada
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 4: Skizze Nevada
#flächeninhalt
c)
USA im Jahr 2015

$\begin{array}[t]{rll} Einwohnerzahl&:&319\text{ Mio.} \\[5pt] Verschuldung&:&18 \text{ Bio. Dollar} \end{array}$
USA im Jahr 2015
$\begin{array}[t]{rll} Einwohnerzahl&:&319\text{ Mio.} \\[5pt] Verschuldung&:&18 \text{ Bio. Dollar} \end{array}$
$ $
(2P)
#potenz#durchschnitt

Aufgabe 4 - Waschen

a)
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 5: prozentuale Entwicklung der Waschtemperaturen
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 5: prozentuale Entwicklung der Waschtemperaturen
(2P)
#prozent
b)
Waschmittel wird meist überdosiert. Deswegen ändert Familie Mayer ihre Dosierung.
Ihre alte Dosierung:
„Normal verschmutzt“ bei Wasserhärte „hart“.
Ihre neue Dosierung:
„Leicht verschmutzt“ bei Wasserhärte „mittel“

Wasserhärte
leicht verschmutznormal verschmutztstark verschmutzt
weich45 ml (36g)60 ml (48g)105 ml (84g)
mittel45 ml (36g)80 ml (64g)120 ml (96g)
hart45 ml (36g)105 ml (84g)140 ml (112g)
$ $
Wie viele Liter Waschmittel spart Familie Mayer bei 220 Waschvorgängen ein?
(2P)
c)
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 6: Waschmaschinentrommel
Wahlpflichtaufgaben
Abb.6: Waschmaschinentrommel
(2P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Streifendiagramm zeichnen
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 1: Verteilung der Kaufanlässe
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 1: Verteilung der Kaufanlässe
b)
$\blacktriangleright$  Gutschein für Bausatz wählen
1. Schritt: Preis mit Gutschein $\boldsymbol{2}$ berechnen
Benjamin bekommt $20\,\%$ Rabatt mit Gutschein $2$, darum muss er nur noch $80\,\%$ des Preises für den Bausatz bezahlen.
$80\,\%\cdot59,90\,€=0,8\cdot59,90\,€=47,92\,€$
$ 47,92\,€ $
2. Schritt: Gutscheine vergleichen
Mit Gutschein $1$ muss Benjamnin noch $49,90\,€$ bezahlen, denn er spart $10\,€$.
$49,90\,€>47,92\,€$
Mit Gutschein $2$ muss Benjamin am wenigsten bezahlen.
$\blacktriangleright$  Beide Gutscheine verwenden
Wenn Benjamin Gutschein $2$ für den Bausatz verwendet, bleibt noch Gutschein $1$ für das Brettspiel.
$39,95\,€-10\,€=29,95\,€$
Rechnet man nun beide reduzierten Preise zusammen, so kommt man auf den Gesamtbetrag:
$29,95\,€+47,92\,€=77,87\,€$
Benjamin bezahlt insgesamt für den Bausatz und das Brettspiel $77,87\,€$.
c)
$\blacktriangleright$  Maße der Schachtel berechnen
1. Schritt: Länge berechnen
Die Schachtel muss mindestens so lang wie die Grundseite des Spielbrettes ($40\text{ cm}$) sein.
Hinzu kommen noch auf jeder der $2$ Seiten die gewünschten $1\text{ cm}$ Platz zum Rand.
$40\text{ cm}+2\cdot 1\text{ cm}= 42\text{ cm}$
2. Schritt: Breite berechnen
Um die Breite der Schachtel zu berechnen, benötigst du die Höhe des Spielbrettes.
Da die Höhe das Spielbrett in genau $2$ gleichgroße rechtwinklige Dreiecke teilt, kannst du die Höhe über den Satz des Pythagoras berechnen.
Satz des Pythagoras
$a^2+b^2=c^2$
Satz des Pythagoras
$a^2+b^2=c^2$
$c$ (Hypotenuse) ist die gegenüberliegende Seite des rechten Winkels, also in diesem Fall $50\text{ cm}$
und $b$ die Hälfte der Grundseite des Spielbrettes, also $20\text{ cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} a^2+(20\text{ cm})^2&=&(50\text{ cm})^2 \\[5pt] a^2+400\text{ cm}^2&=&2500\text{ cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; -400 \\[5pt] a^2&=&2100\text{ cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\, } \\[5pt] a&=&10\sqrt{21}\text{ cm}\approx 45,83\text{ cm} \end{array}$
$ a \approx 45,83\text{ cm} $
Die Breite der Schachtel entspricht der halben Höhe des Spielbrettes plus jeweils $1\text{ cm}$ für den Rand.
$\dfrac{1}{2}\cdot45,83\text{ cm}+2\cdot 1\text{ cm}\approx 24,92\text{ cm}$
$ $
Die Schachtel ist $24,92\text{ cm}$ breit und $42\text{ cm}$ lang.
#wurzel#satzdespythagoras

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Kombinationsmöglichkeiten berechnen
1. Schritt: Fleisch und Gemüse
Um zu berechnen, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, beziehst du erst einmal nur Fleisch und Gemüse in deine Berechnung mit ein.
Für Schinken gibt es somit $3$ verschiedene Möglichkeiten:
Schinken-Champignons
Schinken-Paprika
Schinken-Tomaten
Auch für Salami und Hackfleisch gibt es jeweils diese $3$ möglichen Kombinationen.
$3\cdot3=9$
Somit gibt es für die Möglichkeiten Fleisch und Gemüse $9$ verschiedene Kombinationen.
2. Schritt: Fleisch, Gemüse und Käse
Jede der $9$ verschiedenen Möglichkeiten von oben lässt sich nun entweder mit Mozerella oder Parmesan kombinieren. Also mit jeweils $2$ weiteren Auswahlmöglichkeiten.
$9\cdot2=18$
Wenn man aus jedem Bereich genau eine Zutat nimmt, gibt es $18$ verschiedene Kombinationsmöglichkeiten.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der möglichen Kartons berechnen
Die Transportbox ist $60\text{ cm}$ lang und $30\text{ cm}$ breit.
Der Pizzakarton ist $25\text{ cm}$ lang und $25\text{ cm}$ breit.
$\dfrac{60}{25}=2,4$ $\rightarrow$ in der Länge passen $2$ Kartons nebeneinander
$\dfrac{30}{25}=1,2$$\rightarrow$ in die Breite passt nur $1$ Karton
Somit passen nebeneinander jeweils $2$ Kartons, um den Boden zu bedecken.
Die Höhe der Transportbox beträgt $35\text{ cm}$ und die Höhe eines Pizzakartons entspricht $3\text{ cm}.$
$\dfrac{35}{3}\approx11,67$
Somit passen höchstens $11$ Pizzakartons übereinander.
$11\cdot2=22$
In die Transportbox passen insgesamt höchstens $22$ Pizzakartons.
#division
c)
$\blacktriangleright$  Größte Pizzafläche für $\boldsymbol{36\,€}$ berechnen
1. Schritt: Pizzafläche bei nur kleinen Pizzen ($\boldsymbol{\varnothing 24\text{ cm}}$) berechnen
Eine kleine Pizza kostet $3\,€$ pro Pizza.
$\dfrac{36\,€}{3\dfrac{\,€}{\text{Pizza}}}=12\text{ Pizzen}$
Mit $36\,€$ kannst du $12$ kleine Pizzen kaufen.
Den Flächeninhalt einer Pizza berechnest du über folgende Formel:
$A=\pi \cdot r^2$
Der Radius der Pizza entspricht der Hälfte des Durchmessers und somit:
$r=\dfrac{1}{2}\cdot 24\text{ cm}=12\text{ cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{klein}&=&\pi \cdot (12\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&144\pi \text{ cm}^2 \\[5pt] &\approx& 452,39\text{ cm}^2 \end{array}$
Da du dir von $36\,€$ $12$ kleine Pizzen kaufen kannst, musst du das ganze noch mit $12$ multiplizieren:
$12\cdot452,39\text{ cm}^2=5.428,68\text{ cm}^2$
Für $36\,€$ bekommst du, wenn du kleine Pizzen bestellst, $5.428,68\text{ cm}^2$ Pizza.
2. Schritt: Pizzafläche bei nur großen Pizzen ($\boldsymbol{\varnothing 32\text{ cm}}$) berechnen
Eine große Pizza kostet $6\,€$ pro Pizza.
$\dfrac{36\,€}{6\dfrac{\,€}{\text{Pizza}}}=6 \text{ Pizzen}$
Mit $36\,€$ kannst du $6$ große Pizzen kaufen.
Den Flächeninhalt einer Pizza berechnest du wie oben, hier mit $r=\dfrac{1}{2}\cdot 32\text{ cm}=16\text{ cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{groß}&=&\pi \cdot (16\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&256\pi \text{ cm}^2 \\[5pt] &\approx&804,25\text{ cm}^2 \end{array}$
Da du dir von $36\,€$ $6$ große Pizzen kaufen kannst, musst du das ganze noch mit $6$ multiplizieren:
$6\cdot804,25\text{ cm}^2=4.825,5\text{ cm}^2$
Für $36\,€$ bekommst du, wenn du große Pizzen bestellst, $4.825,5\text{ cm}^2$ Pizza.
3. Schritt: Pizzafläche bei nur Partypizzen ($\boldsymbol{60\text{ x }40\text{ cm}}$) berechnen
Eine Partypizza kostet $18\,€$ pro Pizza.
$\dfrac{36\,€}{18\dfrac{\,€}{\text{Pizza}}}=2$
Mit $36\,€$ kannst du $2$ Partypizzen kaufen.
Da eine Partypizza nicht rund sondern viereckig ist, berechnest du den Flächeninhalt mit $\text{Länge $\cdot$ Breite}$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Party}&=&60\text{ cm}\cdot 40\text{ cm} \\[5pt] &=&2.400\text{ cm}^2 \end{array}$
Da du dir von $36\,€$ $2$ Partypizzen kaufen kannst, musst du das ganze noch mit $2$ multiplizieren:
$2\cdot 2.400\text{ cm}^2=4.800\text{ cm}^2$
Für $36\,€$ bekommst du, wenn man Partypizzen bestellst, $4.800\text{ cm}^2$ Pizza.
4. Schritt: Größte Fläche bestimmen
Um die größte Fläche zu bestimmen, ordnest du sie nach der Größe, beginnend mit der kleinsten Fläche.
$4.800\text{ cm}^2<4.825,5\text{ cm}^2<5.428,68\text{ cm}^2$
$ $
Du bekommst die größte Fläche Pizza, wenn du kleine Pizzen mit $\varnothing 24\text{ cm}$ bestellst.
#radius#kreis#flächeninhalt#durchmesser

Aufgabe 3

a)
In San Francisco ist es $9\text{ h}$ früher als in Frannkfurt.
Fliegt Sarah um $13.55\text{ Uhr}$ in Frankfurt los, so ist es in San Francisco zu diesem Zeitpunkt $04.55\text{ Uhr}$ ($13.55\text{ Uhr}-9\text{ h}$).
Hier musst du noch die Flugzeit von $11\text{ h } 15\text{ min}$ aufaddieren.
Du addierst erst die vollen Stunden und anschließend die restlichen Minuten.
$04.55\text{ Uhr}+11\text{ h}=15.55\text{ Uhr}$
$15.55\text{ Uhr}+15\text{ min}=16.10\text{ Uhr}$
Sarah kommt in San Francisco um $16.10\text{ Uhr}$ Ortszeit an.
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt von Nevada berechnen
Um die Fläche des Bundesstaates Nevada zu berechnen, teilst du den Staat in ein Rechteck und ein Dreieck auf und berechnest diese seperat.
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 2: Rechteck
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 2: Rechteck
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 3: Dreieck
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 3: Dreieck
3. Schritt: gesamten Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{gesamt}}&=&A_{\text{Rechteck}}+A_{\text{Dreieck}} \\[5pt] A_{\text{gesamt}}&=&158.906,88\text{ km}+ 110.816,64\text{ km} \\[5pt] &=&269.723,52\text{ km}^2 \end{array}$
$ A_{\text{gesamt}}=269.723,52\text{ km}^2 $
Die Fläche von Nevada beträgt ca. $269.724\text{ km}^2$
#rechteck#rechtwinkligesdreieck
c)
$\blacktriangleright$  Verschuldung als Zehnerpotenz
Eine Billion hat $12$ Nullen ($1.000.000.000.000$).
$1$ Billion $\longrightarrow$ $1\cdot 10^{12}$
Deshalb lassen sich $18$ Billionen Dollar auch als $18\cdot 10^{12}$ Dollar schreiben.
$\blacktriangleright$  Durschnittliche Verschuldung
Die durchschnittliche Verschuldung berechnest du, indem du die gesamte Verschuldung durch die Zahl der Einwohner teilst.
$319\text{ Mio. Einwohner} \longrightarrow 319.000.000 \text{ Einwohner}$
$\dfrac{18.000.000.000.000\text{ Dollar} }{319.000.000\text{ Einwohner} }\approx 56.426,33 \dfrac{\text{Dollar} }{\text{ Einwohner}} $
$ \approx 56.426,33 \dfrac{\text{Dollar} }{\text{ Einwohner}} $
Die durchschnittliche Verschuldung beträgt $56.426,33\text{ Dollar pro Einwohner}$.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Waschtemperaturen zuordnen
1. Schritt: Waschtemperatur $\boldsymbol{90^{\circ}}$ überprüfen
$1972$ lag der Anteil der Waschtemperatur $90^{\circ}$ bei $42\,\%$. $2012$ liegt er nur noch bei $7\,\%$.
$42-7=35$
Bei der Waschtemperatur $90^{\circ}$ ist der Wert von $1972$ bis $2012$ um $35$ Prozentpunkte gefallen.
Dies schließt aus, dass die Waschtemperatur prozentual immer anstieg.
2. Schritt: Waschtemperatur $\boldsymbol{60^{\circ}}$ überprüfen
Auch die Waschtemperatur ${60^{\circ}}$ ist nicht ständig gestiegen, denn vom Jahr $2001$ bis $2012$ ist der prozentuale Anteil um $4$ Prozentpunkte gefallen.
3. Schritt: Waschtemperatur $\boldsymbol{40^{\circ}}$ überprüfen
Die Waschtemperatur ${40^{\circ}}$ ist in jedem Jahr prozentual gestiegen.
Somit ist sie die zweite gesuchte Waschtemperatur.
b)
$\blacktriangleright$  Waschmittelersparnis berechnen
1. Schritt: alter Waschmittelverbauch berechnen
Aus der Tabelle kannst du ablesen, dass die alte Dosierung bei $105\text{ ml}$ pro Waschgang liegt.
$220\cdot 105\text{ ml}=23.100\text{ ml}$
Willst du das in Liter umrechnen, so musst du das Ergebnis durch $1.000$ teilen, denn $1.000\text{ ml}\mathrel{\widehat{=}}1\text{ l}$.
$\dfrac{23.100}{1.000}=23,1$
Mit der alten Dosierung benötigt Familie Mayer für $220$ Waschvorgänge $23,1\text{ l}$ Waschmittel.
2. Schritt: neuer Waschmittelverbrauch berechnen
Die neue Dosierung liegt bei $45\text{ ml}$ pro Waschgang.
$220\cdot 45\text{ ml}=9.900\text{ ml}$
In Liter umrechnen:
$\dfrac{9.900}{1.000}=9,9$
Mit der neuen Dosierung benötigt Familie Mayer für $220$ Waschvorgänge $9,9\text{ l}$ Waschmittel.
3. Schritt: Ersparnis berechnen
$23,1\text{ l}-9,9\text{ l}=13,2\text{ l}$
Mit der neune Dosierung spart Familie Mayer bei $220$ Waschvorgängen $13,2\text{ l}$ Waschmittel.
c)
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit des Fahrzeuges berechnen
Um die zurückgelegte Strecke des Fahrzeuges zu berechnen, benötigst du den Umfang der Trommel.
$U=2\pi\cdot r$
Der Radius $r$ entspricht der Hälfte des Durchmessers, also $24,5\text{ cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Trommel}}&=&2\pi\cdot 24,5\text{ cm} \\[5pt] &=&49\pi \text{ cm} \\[5pt] &\approx& 153,94 \text{ cm} \end{array}$
Da es sich mit Meter einfacher weiterrechnen lässt, teilst du das Ganze durch $100$, denn $100\text{ cm}\mathrel{\widehat{=}} 1\text{ m}$.
$\dfrac{153,94}{100}\approx 1,54$
Die Trommel würde also mit einer Umdrehung $1,54\text{ m}$ zurücklegen.
Pro Minute dreht die Trommel sich $1.600\text{ Mal}$.
Das sind in Sekunden umgerechnet $26,67$ Umdrehungen ($\frac{1600}{60}$).
$1,54 \cdot 26,67\approx 41,07$
Wäre die Waschmaschinentrommel das Rad eines Fahrzeuges, so würde sich dieses mit einer Geschwindigkeit von $41,07\text{ Meter pro Sekunde ($\frac{\text{m}}{\text{s}}$) }$ fortbewegen.
Um das ganze in $\text{Kilometer pro Stunde ($\frac{\text{km}}{\text{h}})$}$ anzugeben, musst du wissen, wie viele $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ $1 \frac{\text{m}}{\text{s}}$ sind.
$\begin{array}[t]{rll} 1 \text{ km}&=&1.000\text{ m} \\[5pt] 1\text{ h}&=&60\text{ min}=3.600\text{ s} \\[5pt] \end{array}$
Jetzt setzt du beides ein und formst es um, damit du am Ende $\text{x}\frac{\text{km}}{\text{h}}=1\frac{\text{m}}{\text{s}}$ bekommst.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1\text{ km}}{1\text{ h}}&=&\dfrac{1.000\text{ m}}{3.600\text{ s}} \\[5pt] \dfrac{1\text{ km}}{1\text{ h}}&=&\dfrac{1\text{ m}}{3,6\text{ s}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3,6\\[5pt] 3,6 \dfrac{\text{ km}}{\text{ h}}&=&1\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}} \end{array}$
Jetzt musst du das Ergebnis noch mit den oben berechneten $41,07 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}$ multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} 3,6 \dfrac{\text{ km}}{\text{ h}}&=&1\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 41,07\\[5pt] 147,85 \dfrac{\text{ km}}{\text{ h}}&=& 41,07 \dfrac{\text{ m}}{\text{ s}} \end{array}$
$ $
Wäre die Wäschetrommel der Reifen eines Fahrzeuges, so würde dieses sich mit ca. $147,85 \frac{\text{ km}}{\text{ h}}$ fortbewegen.
#durchmesser
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