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Wahlpflichtaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1: Sport

a)  Herr Schneider geht 10-mal pro Monat joggen.
Seine Trainingsstrecke ist $12,5\,\text{km}$ lang.
Wie viele Kilometer joggt er in einem Vierteljahr?
(2P)
b)  Die Skizze zeigt den Verlauf von Onurs Schwimmstrecke.
Wie lang ist seine zurückgelegte Strecke insgesamt?
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
(2P)
c)  Das Bild zeigt zwei Laufwege von Sportlern in einem Leichtathletikstadion.
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
Der Laufweg der Innenbahn ist $400\,\text{m}$ lang.
Um wie viel Meter ist der Laufweg der Außenbahn länger?
(2P)

Aufgabe 2: Kochen

a) 
Spaghetti Carbonara
Rezept für 4 Personen
$400\,\text{g}$Spaghetti
$250\,\text{g}$Schinken
$4$Eigelb
$60\,\text{g}$Butter
Antonia möchte die genaue Zutatenmenge für 7 Personen berechnen.
Wie viel braucht sie von den einzelnen Zutaten?
(2P)
b)  Antonias Eltern möchten eine neue Küche für $10.500\,€$ kaufen.
Sie entschließen sich für einen Ratenkauf (Laufzeit 36 Monate).
Dafür verlangt das Küchenstudio einen Aufschlag von $5\,\%$ auf den Kaufpreis.
Wie viel müssen Antonias Eltern monatlich bezahlen?
(2P)
c)  Welchen Durchmesser muss ein $16\,\text{cm}$ hoher zylinderförmiger Kochtopf mindestens haben, damit 5 Liter Wasser hineinpassen?
Runde auf ganze Zentimeter.
(2P)

Aufgabe 3: Smartphones

a)  Diese Grafik zeigt die Verteilung der Smartphones auf die 5 größten Hersteller.
Wie viel Prozent der Smartphones entfallen auf den Hersteller C?
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
(2P)
b)  Auf einer Internetseite kann man seine eigene App erstellen.
Gestalten Sie das Startbild ihrer App selbst.
Wählen Sie jeweils aus…
…2 Formen
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
…4 Farben und
…3 Bildern
eine Möglichkeit aus.
  • Wie viele verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten gibt es?
  • Die Firma möchte 72 Kombinationsmöglichkeiten anbieten.
    Wie viele Bilder, Formen und Farben könnten jetzt zur Auswahl stehen?
(2P)
c)  Im Jahr 2012 besaßen 87 Prozent der über 14-jährigen ein Handy.
40 Prozent dieser Handys waren Smartphones.
Wie viele Smartphones besaßen die über 14-jährigen?
Bevölkerung in Deutschland 2012:
AlterAnzahl in Millionen
0 - 1410,64
15 - 248,78
25 - 6444,41
65 und älter16,69
(2P)

Aufgabe 4: Schwimmbad

a)  Wie viele Sekunden rutscht man mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $15\,\frac{\text{ km}}{\text{h}}$? Runde auf ganze Sekunden.
SUPERRUTSCHE!
$180$ Meter
Rutschspaß
(2P)
b)  Ein Schwimmbad hat folgende Maße:
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
Wie viel $\text{m}^3$ Wasser passen in dieses Becken, wenn es bis zum Rand gefüllt ist?
(2P)
c)  Ein Schwimmbecken wurde renoviert und muss neu befüllt werden.
Insgesamt werden $2.000.000$ Liter Wasser benötigt.
Pumpe 1 läuft 5 Tage, dann wird zur Unterstützung auch noch Pumpe 2 eingesetzt. Beide Pumpen laufen ohne Unterbrechung.
Wie viele Tage dauert das Befüllen des Schwimmbeckens insgesamt?
Runde auf ganze Tage.
Leistung der Pumpen
1. Pumpe:
$3.500\,\dfrac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$
2. Pumpe:
$2.500\,\dfrac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$
(2P)
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Tipps
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Aufgabe 1: Sport

a) $\blacktriangleright$  Kilometer in einem Vierteljahr berechnen
Berechne zuerst wie viele km Herr Schneider in einem Monat joggt.
Berechne anschließend wie viele Monate ein Vierteljahr hat und multipliziere die Zahl mit der Strecke die er in einem Monat läuft.
b) $\blacktriangleright$  Gesamtstrecke berechnen
Berechne zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Länge derfehlende Strecke. Addiere anschließend alle drei Seiten.
c) $\blacktriangleright$  Längendifferenz berechnen
Die Länge der Innenbahn ist mit $400$ m gegeben.
Jede Bahn besteht aus zwei langen, geraden Strecken $s$ die jeweils $85$ m lang sind und zwei Halbkreisen.
Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:
$U_{\text{Kreis}}=2\cdot\pi\cdot r$
Berechne zuerst den Radius des Halbkreises der Außenbahn.
Damit kannst du die Gesamtstrecke der Außenbahn $s_{ges}$ berechnen.
Zuletzt ziehst du die Längen der Bahnen voneinander ab, um auf die Längendifferenz der beiden Laufbahnen zu kommen.

Aufgabe 2: Kochen

a) $\blacktriangleright$  Zutatenmenge für $\boldsymbol{7}$ Personen berechnen
Zum umrechnen von $4$ auf $7$ Personen löst du mit einem Dreisatz.
Rechne die Angaben für jede der Zutaten um.
b) $\blacktriangleright$  Monatliche Rate berechnen
Berechne zuerst die gesamten Kosten für die Küche mit den $5\,\%$ Aufschlag mit den Formeln für die Prozentrechnung.
Danach teilst du die gesamten Kosten durch die Anzahl an Monaten.
c) $\blacktriangleright$  Durchmesser des Topfes berechnen.
Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet:
 
$V_{\text{Zylinder}}=G\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h$
Dabei ist $G$ die Größe der Grundfläche des Zylinders, also die Größe eines Kreises, $r$ ist der Radius des Zylinders und $h$ seine Höhe.
Der Kochtopf soll Platz für $5$ Liter Wasser haben, das entspricht $5\,000\,\text{cm}^3$
Setze die bekannten Größen in die Formel ein und löse nach $r$ auf. Runde anschließend auf ganze Zentimeter.

Aufgabe 3: Smartphones

a) $\blacktriangleright$  Prozentanteil berechnen
Zähle die Gesamtzahl an Kästchen und die Anzahl an Kästchen die die Farbe von Hersteller C haben.
Berechne den Anteil von Hersteller C, indem du die Anzahl an Kästchen mit der Farbe von Hersteller C durch die Gesamtzahl an Kästchen teilst.
b1) $\blacktriangleright$  Anzahl möglicher Kombinationen berechnen
Du hast $2$ Formen, $4$ Farben und $3$ Bilder zur Gestaltung des Startbilds deiner App zur Verfügung.
Eine bestimmte Form zu wählen hat keinen Einfluss auf die Anzahl an Farben und Bildern, die dir zur Verfügung stehen. Du hast immer noch $4$ Möglichkeiten eine Farbe zu wählen.
Die Gesamtzahl an Möglichkeiten berechnet sich daher, indem du die Möglichkeiten für Formen, Farbe und Bild multiplizierst.
b2) $\blacktriangleright$  Neue Möglichkeiten berechnen
Die Firma will nun $72$ mögliche Kombinationen anbieten. Die einfachste Art besteht darin die Anzahl an Möglichkeiten die man bei einer Komponente, wie z.B. den Farben, hat zu verändern. Um z.B. die Anzahl an Farben, die die Firma zur Verfügung stellen muss zu berechnen, stellst du eine Gleichung auf. Wie in Aufgabenteil b1) müssen die Anzahl an Möglichkeiten für Farbe, Form und Bild einen bestimmten Wert, hier $72$ ergeben. Du kannst nun für $2$ der Komponenten, z.B. Bild und Form, die vorgegebenen Werte einsetzen, die dritte lässt du allgemein. Nun kannst du die Gleichung umformen und die Anzahl an Möglichkeiten berechnen, die für die letzte Komponente gegeben sein müssen, damit man $72$ Kombinationsmöglichkeiten hat. Dies kannst du für jede der Komponenten berechnen.
Berechne die benötigte Anzahl an Möglichkeiten für die Farbe, Form und das Bild.
c) $\blacktriangleright$  Anzahl an Smartphones der $\boldsymbol{14}$-jährigen berechnen
Berechne zuerst mithilfe der Tabelle, die Anzahl an über $14$-jährigen.
Dann multiplizierst du diese Zahl mit dem Anteil an Personen die ein Handy besitzen.
Zuletzt multiplizierst du das Ergebnis mit dem Anteil an Smartphones.

Aufgabe 4: Schwimmbad

a) $\blacktriangleright$  Rutschdauer berechnen
Die Rutsche ist laut Angabe $180$ m lang.
Man rutscht durchschnittlich mit einer Geschwindigkeit von $15\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$
. Rechne zuerst die Geschwindigkeit in die Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ um und teile anschließend die Länge der Rutsche durch diese Geschwindigkeit.
Zum Umrechnen der Geschwindigkeit ersetzt du die Einheiten, durch ihre entsprechenden Angaben in anderen Einheiten. $1$ km entspricht z.B. $1\,000$ m, also kannst du die km-Angabe in der Geschwindigkeit durch $1\,000$ m ersetzen.
Bist du bei der gewünschten Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ angekommen, dann verrechnest du die Umrechnungsfaktoren, wie z.B. die $1\,000$ bei der Umrechnung von km in m und du erhältst die gesuchte Geschwindigkeit.
b) $\blacktriangleright$  Füllmenge des Schwimmbeckens berechnen
Um die Füllmenge des Schwimmbeckens zu berechnen teilst du das Becken in einzelne Bereiche ein und berechnest deren Volumen getrennt voneinander. Anschließend rechnest du die einzelnen Volumina zusammen.
c) $\blacktriangleright$  Zeit, bis das Becken gefüllt ist, berechnen
Das Becken muss mit $2\,000\,000$ Liter Wasser befüllt werden.
Pumpe $1$ lief $5$ Tage bevor Pumpe $2$ ebenfalls angeschaltet wurde.
  • Berechne zuerst wieviele Liter Wasser Pumpe $1$ in den $5$ Tagen bereits in das Becken gepumpt hat.
  • Berechne anschließend die kombinierte Pumpleistung beider Pumpen.
  • Zuletzt berechnest du die verbliebene Zeit, die benötigt wird, um das Becken zu füllen.
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Aufgabe 1: Sport

a) $\blacktriangleright$  Kilometer in einem Vierteljahr berechnen
Berechne zuerst wie viele km Herr Schneider in einem Monat joggt.
Berechne anschließend wie viele Monate ein Vierteljahr hat und multipliziere die Zahl mit der Strecke die er in einem Monat läuft.
Herr Schneider läuft $10$ mal im Monat $12,5\,\text{km}$. Multipliziere die beiden Angaben.
$10\cdot12,5\,\text{km}=125\,\text{km}$
Ein Vierteljahr hat 3 Monate. Berechne die Strecke die Herr Schneider in einem Vierteljahr läuft.
$3\cdot125\,\text{km}=375\,\text{km}$
Herr Schneider läuft in einem Vierteljahr $375$ km.
b) $\blacktriangleright$  Gesamtstrecke berechnen
Berechne zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Länge derfehlende Strecke. Addiere anschließend alle drei Seiten.
Die Grundseite $c$ des rechtwinkligen Dreiecks ist $375$ m lang. Die Seite $a$ ist $225$ m lang, die Seite $b$ ist die fehlende Seite.
$ \begin{array}{rcll} c^2&=&a^2+b^2& \scriptsize \mid-a^2\\[5pt] c^2-a^2&=&b^2& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 375^2-225^2&=&b^2& \scriptsize \\[5pt] 140\,625-50\,625&=&b^2& \scriptsize \\[5pt] 90\,000&=&b^2& \scriptsize \mid \sqrt{\;}\\[5pt] 300&=&b& \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die fehlende Strecke ist $300$ m lang.
Rechne nun die drei Streckenlängen zusammen.
$300\,\text{m}+225\,\text{m}+375\,\text{m}=900\,\text{m}$
Onurs Schwimmstrecke ist insgesamt $900$ m lang.
c) $\blacktriangleright$  Längendifferenz berechnen
Die Länge der Innenbahn ist mit $400$ m gegeben.
Jede Bahn besteht aus zwei langen, geraden Strecken $s$ die jeweils $85$ m lang sind und zwei Halbkreisen.
Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:
$U_{\text{Kreis}}=2\cdot\pi\cdot r$
Berechne zuerst den Radius des Halbkreises der Außenbahn.
Damit kannst du die Gesamtstrecke der Außenbahn $s_{ges}$ berechnen.
Zuletzt ziehst du die Längen der Bahnen voneinander ab, um auf die Längendifferenz der beiden Laufbahnen zu kommen.
1. Schritt: Radius der Außenbahn berechnen
Der Radius der Innenbahn ist $36,5$ m lang.
Der Abstand zwischen Innen- und Außenbahn beträgt $8,5$ m.
Berechne den Radius der Außenbahn, indem du beide Längen addierst.
$r=36,5\,\text{m}+8,5\,\text{m}=45\,\text{m}$
Der Radius $r$ der Außenbahn ist $45\,\text{m}$ groß.
2. Schritt: Länge der Außenbahn berechnen
Die zwei langen, geraden Strecken $s$ sind jeweils $85\,\text{m}$ lang.
Der Radius der Halbkreise der Außenbahn $r$ ist $45\,\text{m}$ groß.
Zur Vereinfachung kannst du aus den zwei Halbkreisen der Außenbahn einen ganzen Kreis machen.
Berechne die Länge der Außenbahn, indem du alle Streckenteile addierst.
$ \begin{array}{rcll} s_{ges}&=&s+s+2\cdot\pi\cdot r& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] &=&85\,\text{m}+85\,\text{m}+2\dot\pi\cdot45\,\text{m}& \scriptsize \\[5pt] &=&170\,\text{m}+\pi\cdot90\,\text{m}& \scriptsize \\[5pt] &\approx&170\,\text{m}+282,74\,\text{m}& \scriptsize \\[5pt] &\approx&452,74\,\text{m}& \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Außenbahn ist $452,74$ m lang.
3. Schritt: Längendifferenz berechnen
Die Innenbahn ist $400$ m lang.
Die Außenbahn ist $452,74$ m lang.
Berechne den Längenunterschied zwischen den beiden Längen.
$452,74\,\text{m}-400\,\text{m}=52,74\,\text{m}$
Der Laufweg der Außenbahn ist $52,74$ m länger als der der Innenbahn.

Aufgabe 2: Kochen

a) $\blacktriangleright$  Zutatenmenge für $\boldsymbol{7}$ Personen berechnen
Zum umrechnen von $4$ auf $7$ Personen löst du mit einem Dreisatz.
Berechne die benötigte Menge Spaghetti:
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:4\;\mid&\quad4\text{ Personen}&=&400\,\text{g}\quad&\scriptsize\mid\;:4\\[5pt] \scriptsize\cdot7\;\mid&1\text{ Person}&=&100\,\text{g}&\scriptsize\mid\;\cdot7\\[5pt] &7\text{ Personen}&=&700\,\text{g}& \end{array}$
Antonia benötigt $700$ g Spaghetti.
Berechne die benötigte Menge Schinken:
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:4\;\mid&\quad4\text{ Personen}&=&250\,\text{g}\quad&\scriptsize\mid\;:4\\[5pt] \scriptsize\cdot7\;\mid&1\text{ Person}&=&62,5\,\text{g}&\scriptsize\mid\;\cdot7\\[5pt] &7\text{ Personen}&=&473,5\,\text{g}& \end{array}$
Antonia benötigt $437,5$ g Schinken.
Berechne die benötigte Menge Eigelb:
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:4\;\mid&\quad4\text{ Personen}&=&4\,\text{Eigelb}\quad&\scriptsize\mid\;:4\\[5pt] \scriptsize\cdot7\;\mid&1\text{ Person}&=&1\,\text{Eigelb}&\scriptsize\mid\;\cdot7\\[5pt] &7\text{ Personen}&=&7\,\text{Eigelb}& \end{array}$
Antonia benötigt $7$ Eigelb.
Berechne die benötigte Menge Butter:
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:4\;\mid&\quad4\text{ Personen}&=&60\,\text{g}\quad&\scriptsize\mid\;:4\\[5pt] \scriptsize\cdot7\;\mid&1\text{ Person}&=&15\,\text{g}&\scriptsize\mid\;\cdot7\\[5pt] &7\text{ Personen}&=&105\,\text{g}& \end{array}$
Antonia benötigt $105$ g Butter.
b) $\blacktriangleright$  Monatliche Rate berechnen
Berechne zuerst die gesamten Kosten für die Küche mit den $5\,\%$ Aufschlag mit den Formeln für die Prozentrechnung.
Danach teilst du die gesamten Kosten durch die Anzahl an Monaten.
$10\,500\,\text{€}\cdot1,05=11\,025\,\text{€}$
Die Laufzeit beträgt $36$ Monate.
Teile die berechneten Kosten durch die Anzahl an Monaten.
$\dfrac{11\,025\,\text{€}}{36\,\text{Monate}}=306,25\,\dfrac{\text{€}}{\text{Monat}}$
Antonias Eltern müssen monatlich $306,25$ € bezahlen.
c) $\blacktriangleright$  Durchmesser des Topfes berechnen.
Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet:
$V_{\text{Zylinder}}=G\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h$
Dabei ist $G$ die Größe der Grundfläche des Zylinders, also die Größe eines Kreises, $r$ ist der Radius des Zylinders und $h$ seine Höhe.
Der Kochtopf soll Platz für $5$ Liter Wasser haben, das entspricht $5\,000\,\text{cm}^3$
Setze die bekannten Größen in die Formel ein und löse nach $r$ auf. Runde anschließend auf ganze Zentimeter.
$\begin{array}{rcll} V_{\text{Zylinder}}&=&\pi\cdot r^2\cdot h& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 5\,000\,\text{cm}^3&=&\pi\cdot r^2\cdot 16\,\text{cm}& \scriptsize \mid :16\,\text{cm}\\[5pt] 312,5\,\text{cm}^2&=&\pi\cdot r^2& \scriptsize \mid :\pi\\[5pt] 99,47\,\text{cm}^2&=&r^2& \scriptsize \mid \sqrt{}\\[5pt] 9,97\,\text{cm}&=&r\\[5pt] \end{array}$
Der Topf muss einen Radius von ungefähr $10$ cm haben.
Der Durchmesser entspricht dem doppelten Radius, also:
$2\cdot10\,\text{cm}=20\,\text{cm}$
Der Topf muss also einen Durchmesser von $20$ cm haben.

Aufgabe 3: Smartphones

a) $\blacktriangleright$  Prozentanteil berechnen
Zähle die Gesamtzahl an Kästchen und die Anzahl an Kästchen die die Farbe von Hersteller C haben.
Berechne den Anteil von Hersteller C, indem du die Anzahl an Kästchen mit der Farbe von Hersteller C durch die Gesamtzahl an Kästchen teilst.
$6$ Kästchen tragen die Farbe von Hersteller C.
Es gibt insgesamt $25$ Kästchen.
$\dfrac{\text{Kästchen von Hersteller C}}{\text{Gesamtzahl an Kästchen}}=\dfrac{6\,\text{Kästchen}}{25\,\text{Kästchen}}=0,24$
Rechne die Angabe in eine Prozentzahl um, indem du $0,24$ mit $100\,\%$ multiplizierst.
$0,24\cdot100\,\%=24\,\%$
$24\,\%$ der Smartphones entfallen auf Hersteller C.
b1) $\blacktriangleright$  Anzahl möglicher Kombinationen berechnen
Du hast $2$ Formen, $4$ Farben und $3$ Bilder zur Gestaltung des Startbilds deiner App zur Verfügung.
Eine bestimmte Form zu wählen hat keinen Einfluss auf die Anzahl an Farben und Bildern, die dir zur Verfügung stehen. Du hast immer noch $4$ Möglichkeiten eine Farbe zu wählen.
Die Gesamtzahl an Möglichkeiten berechnet sich daher, indem du die Möglichkeiten für Formen, Farbe und Bild multiplizierst.
$\begin{array}{cl} \scriptsize&\scriptsize \text{Anzahl möglicher Formen}\cdot\text{Anzahl möglicher Farben}\cdot\text{Anzahl möglicher Bilder}\\[5pt] \scriptsize=& \scriptsize2\,\text{Möglichkeiten}\cdot4\,\text{Möglichkeiten}\cdot3\,\text{Möglichkeiten}\\[5pt] \scriptsize=& \scriptsize24\,\text{Möglichkeiten} \end{array}$
Es gibt $24$ verschiedene Möglichkeiten, das Startbild deiner eigenen App zu gestalten.
b2) $\blacktriangleright$  Neue Möglichkeiten berechnen
Die Firma will nun $72$ mögliche Kombinationen anbieten. Die einfachste Art besteht darin die Anzahl an Möglichkeiten die man bei einer Komponente, wie z.B. den Farben, hat zu verändern. Um z.B. die Anzahl an Farben, die die Firma zur Verfügung stellen muss zu berechnen, stellst du eine Gleichung auf. Wie in Aufgabenteil b1) müssen die Anzahl an Möglichkeiten für Farbe, Form und Bild einen bestimmten Wert, hier $72$ ergeben. Du kannst nun für $2$ der Komponenten, z.B. Bild und Form, die vorgegebenen Werte einsetzen, die dritte lässt du allgemein. Nun kannst du die Gleichung umformen und die Anzahl an Möglichkeiten berechnen, die für die letzte Komponente gegeben sein müssen, damit man $72$ Kombinationsmöglichkeiten hat. Dies kannst du für jede der Komponenten berechnen.
Berechne die benötigte Anzahl an Möglichkeiten für die Farbe:
$\begin{array}{rcll} \scriptsize\text{Kombinationsmöglichkeiten}&=&\scriptsize\text{Anzahl möglicher Formen}\cdot\text{Anzahl möglicher Farben}\cdot\text{Anzahl möglicher Bilder}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \scriptsize72\,\text{Möglichkeiten}&=&\scriptsize2\,\text{Möglichkeiten}\cdot\text{Anzahl möglicher Farben}\cdot3\,\text{Möglichkeiten}\\[5pt] \scriptsize72\,\text{Möglichkeiten}&=&\scriptsize6\,\text{Möglichkeiten}\cdot\text{Anzahl möglicher Farben}& \scriptsize \mid :6\\[5pt] \scriptsize12\,\text{Möglichkeiten}&=&\scriptsize\text{Anzahl möglicher Farben}& \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Für $72$ Kombinationsmöglichkeiten müssen $12$ verschiedene Farben gegeben sein
Berechne die benötigte Anzahl an Möglichkeiten für die Form:
$\begin{array}{rcll} \scriptsize\text{Kombinationsmöglichkeiten}&=&\scriptsize\text{Anzahl möglicher Formen}\cdot\text{Anzahl möglicher Farben}\cdot\text{Anzahl möglicher Bilder}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \scriptsize72\,\text{Möglichkeiten}&=&\scriptsize\text{Anzahl möglicher Formen}\cdot4\,\text{Möglichkeiten}\cdot3\,\text{Möglichkeiten}\\[5pt] \scriptsize72\,\text{Möglichkeiten}&=&\scriptsize12\,\text{Möglichkeiten}\cdot\text{Anzahl möglicher Formen}& \scriptsize \mid :12\\[5pt] \scriptsize6\,\text{Möglichkeiten}&=&\scriptsize\text{Anzahl möglicher Formen}& \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Für $72$ Kombinationsmöglichkeiten müssen $6$ verschiedene Formen gegeben sein.
Berechne die benötigte Anzahl an Möglichkeiten für die Bilder:
$\begin{array}{rcll} \scriptsize\text{Kombinationsmöglichkeiten}&=&\scriptsize\text{Anzahl möglicher Formen}\cdot\text{Anzahl möglicher Farben}\cdot\text{Anzahl möglicher Bilder}& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \scriptsize72\,\text{Möglichkeiten}&=&\scriptsize2\,\text{Möglichkeiten}\cdot4\,\text{Möglichkeiten}\cdot\text{Anzahl möglicher Bilder}\\[5pt] \scriptsize72\,\text{Möglichkeiten}&=&\scriptsize8\,\text{Möglichkeiten}\cdot\text{Anzahl möglicher Bilder}& \scriptsize \mid :8\\[5pt] \scriptsize9\,\text{Möglichkeiten}&=&\scriptsize\text{Anzahl möglicher Bilder}& \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Für $72$ Kombinationsmöglichkeiten müssen $9$ verschiedene Bilder gegeben sein.
Lässt man bei jeweils zwei der Komponenten die Anzahl an Möglichkeiten gleich und verändert nur die Anzahl an Möglichkeiten bei der dritten Komponente müsste die Firma:
  • die Anzahl an möglichen Formen auf $12$ erhöhen,
  • die Anzahl an möglichen Farben auf $6$ erhöhen,
  • oder die Anzahl an möglichen Bildern auf $9$ erhöhen.
c) $\blacktriangleright$  Anzahl an Smartphones der $\boldsymbol{14}$-jährigen berechnen
Berechne zuerst mithilfe der Tabelle, die Anzahl an über $14$-jährigen.
Dann multiplizierst du diese Zahl mit dem Anteil an Personen die ein Handy besitzen.
Zuletzt multiplizierst du das Ergebnis mit dem Anteil an Smartphones.
  • $8\,780\,000$ Menschen in Deutschland waren $2012$ zwischen $15$ und $24$ Jahren alt.
  • Weitere $44\,410\,000$ Menschen waren zwischen $25$ und $64$ Jahren alt.
  • Noch einmal $16\,690\,000$ Menschen waren $65$ Jahre und älter.
Berechne die Summe dieser Menschen.
$\begin{array}{cl} &\scriptsize 8\,780\,000\,\text{Menschen}+44\,410\,000\,\text{Menschen}+16\,690\,000\,\text{Menschen}\\[5pt] \scriptsize=& \scriptsize69\,880\,000\,\text{Menschen}\\[5pt] \end{array}$
Multipliziere nun diese Zahl mit dem Anteil an Menschen die ein Handy besaßen.
Rechne dazu zuerst die Prozentzahl in eine Dezimalzahl um, indem du durch $100$ teilst.
$87\,\%:100=0,87$
Berechne nun die Anzahl an Handys.
$69\,880\,000\cdot0,87=60\,795\,600\,\text{Handys}$
Nun weißt du wie viele Menschen $2012$ in Deutschland ein Handy besaßen, doch nur $40\,\%$ der Handys waren Smartphones.
Berechne die Anzahl an Smartphones, indem du die Anzahl an Handys mit dem Smartphoneanteil multiplizierst.
Rechne dazu zuerst die Prozentangabe in eine Dezimalzahl um, indem du durch $100$ teilst.
$40\,\%\cdot100=0,4$
Berechne nun die Anzahl an Smartphones.
$60\,795\,600\cdot0,4=24\,318\,240\,\text{Smartphones}$
$2012$ besaßen $24\,318\,240$ der über $14$-jährigen in Deutschland ein Smartphone.

Aufgabe 4: Schwimmbad

a) $\blacktriangleright$  Rutschdauer berechnen
Die Rutsche ist laut Angabe $180$ m lang.
Man rutscht durchschnittlich mit einer Geschwindigkeit von $15\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$
. Rechne zuerst die Geschwindigkeit in die Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ um und teile anschließend die Länge der Rutsche durch diese Geschwindigkeit.
Zum Umrechnen der Geschwindigkeit ersetzt du die Einheiten, durch ihre entsprechenden Angaben in anderen Einheiten. $1$ km entspricht z.B. $1\,000$ m, also kannst du die km-Angabe in der Geschwindigkeit durch $1\,000$ m ersetzen.
Bist du bei der gewünschten Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ angekommen, dann verrechnest du die Umrechnungsfaktoren, wie z.B. die $1\,000$ bei der Umrechnung von km in m und du erhältst die gesuchte Geschwindigkeit.
$15\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}=15\cdot\dfrac{1\,000\,\text{m}}{60\,\text{min}}=15\cdot\dfrac{1\,000\,\text{m}}{60\cdot60\,\text{s}}=15\cdot\dfrac{1\,000\,\text{m}}{3\,600\,\text{s}}=15\cdot\dfrac{\text{m}}{3,6\,\text{s}}=4,17\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
Teile nun die Länge der Rutsche durch die Geschwindigkeit.
$\dfrac{180\,\text{m}}{4,17\,\frac{\text{m}}{\text{2}}}=43.2\,\text{s}$
Die Rutschdauer beträgt $43,2$ Sekunden. Auf ganze Sekunden gerundet wären das $43$ Sekunden.
b) $\blacktriangleright$  Füllmenge des Schwimmbeckens berechnen
Um die Füllmenge des Schwimmbeckens zu berechnen teilst du das Becken in einzelne Bereiche ein und berechnest deren Volumen getrennt voneinander. Anschließend rechnest du die einzelnen Volumina zusammen.
Teile das Schwimmbecken in folgende $4$ Körper:
  • Den Quader $Q_1$, der das Schwimmbecken von der linken Seite, bis zum abfallenden Bereich einnimmt.
  • Den Quader $Q_2$, der das Schwimmbecken von der rechten Seite bis zum abfallenden Bereich einnimmt.
  • Den Quader $Q_3$, der den Bereich über dem abfallenden Bereich einnimmt.
  • Das Dreiecksprisma $P$ das den noch fehlenden abfallenden Bereich einnimmt.
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
Das Volumen eines Quaders berechnet sich nach der Formel:
$V_Q=a\cdot b\cdot c$
Wobei $a$, $b$ und $c$ die Höhe, Breite und Tiefe des Quaders sind.
Das Volumen eines Prismas berechnet sich nach der Formel:
$V_P=G\cdot h$
Wobei $h$ die Höhe ist und $G$ der Inhalt der Grundfläche. In unserem Fall also ein rechtwinkliges Dreieck.
1. Schritt: Volumen des Quaders $\boldsymbol{Q_1}$ berechnen
Über den Quader $Q_1$ wissen wir, dass er $2$ m hoch, $12$ m tief und $20$ m breit ist.
Berechne das Volumen des Quaders.
$\begin{array}{rcll} V_Q&=&a\cdot b\cdot c& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_Q&=&2\,\text{m}\cdot12\,\text{m}\cdot20\,\text{m}\\[5pt] V_Q&=&480\,\text{m}^3\\[5pt] \end{array}$
Das Volumen des Quaders $Q_1$ entspricht $480\,\text{m}^3$.
2. Schritt: Volumen des Quaders $\boldsymbol{Q_2}$ berechnen
Über den Quader $Q_2$ wissen wir, dass er $4$ m hoch, $12$ m tief und $15$ m breit ist.
Berechne das Volumen des Quaders.
$\begin{array}{rcll} V_Q&=&a\cdot b\cdot c& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_Q&=&4\,\text{m}\cdot12\,\text{m}\cdot15\,\text{m}\\[5pt] V_Q&=&720\,\text{m}^3\\[5pt] \end{array}$
Das Volumen des Quaders $Q_2$ entspricht $720\,\text{m}^3$.
3. Schritt: Volumen des Quaders $\boldsymbol{Q_3}$ berechnen
Über den Quader $Q_3$ wissen wir, dass er $12$ m tief und $15$ m breit ist.
Er beginnt auf der selben Höhe wie der Quader $Q_1$, seine Höhe entspricht also $2$ m.
Berechne das Volumen des Quaders.
$\begin{array}{rcll} V_Q&=&a\cdot b\cdot c& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_Q&=&2\,\text{m}\cdot12\,\text{m}\cdot15\,\text{m}\\[5pt] V_Q&=&360\,\text{m}^3\\[5pt] \end{array}$
Das Volumen des Quaders $Q_3$ entspricht $360\,\text{m}^3$.
4. Schritt: Volumen des Dreiecksprismas $\boldsymbol{P}$ berechnen
Das Prisma hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Flächeninhalt berechnest du mit der Formel:
$V_D=a\cdot b\cdot \frac{1}{2}$
Die Seiten $a$ und $b$ sind hierbei die Schenkel des Dreiecks. Der Schenkel $a$ ist $15$ m lang. Der Schenkel $b$ entspricht der Größe des Höhenunterschieds zwischen dem unteren Rand des Beckens und der Höhe, auf der das Becken abfällt. In der Zeichnung sehen wir, dass das Becken am tiefsten Punkt $4$ m tief ist. Es ist bereits $2$ m tief, wenn es beginnt schräg abzufallen. Der Höhenunterschied entspricht also $4\,\text{m}-2\,\text{m}=2\,\text{m}$.
Das Prisma hat eine Höhe von $12$ m.
Berechne das Volumen des Prismas.
$\begin{array}{rcll} V_P&=&G\cdot h& \scriptsize \\[5pt] V_P&=&a\cdot b\cdot\frac{1}{2}\cdot h& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_P&=&15\,\text{m}\cdot2\,\text{m}\cdot\frac{1}{2} \cdot12\,\text{m}\\[5pt] V_P&=&180\,\text{m}^3\\[5pt] \end{array}$
Das Volumen des Prismas $P$ entspricht $180\,\text{m}^3$.
5. Schritt: Volumen des Schwimmbeckens berechnen
Berechne das Volumen des Schwimmbeckens, indem du die Volumina aller einzelnen Körper addierst.
$V_{Becken}=V_{Q_1}+V_{Q_2}+V_{Q_3}+V_P=480\,\text{m}^3+720\,\text{m}^3+360\,\text{m}^3+180\,\text{m}^3=1\,740\,\text{m}^3$
Es passen $1\,740\,\text{m}^3$ Wasser in das Becken, wenn es bis zum Rand gefüllt ist.
c) $\blacktriangleright$  Zeit, bis das Becken gefüllt ist, berechnen
Das Becken muss mit $2\,000\,000$ Liter Wasser befüllt werden.
Pumpe $1$ lief $5$ Tage bevor Pumpe $2$ ebenfalls angeschaltet wurde.
  • Berechne zuerst wieviele Liter Wasser Pumpe $1$ in den $5$ Tagen bereits in das Becken gepumpt hat.
  • Berechne anschließend die kombinierte Pumpleistung beider Pumpen.
  • Zuletzt berechnest du die verbliebene Zeit, die benötigt wird, um das Becken zu füllen.
1. Schritt: Wasser in den ersten $\boldsymbol{5}$ Tagen berechnen
Pumpe $1$ pumpt $3\,500\,\dfrac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$. Ein Tag dauert $24$ Stunden.
Berechne die ins Becken gepumpte Menge Wasser.
$V=\text{Leistung}\cdot\text{Zeit}=3\,500\,\dfrac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}\cdot5\cdot24\,\text{Stunden}=420\,000\,\text{Liter}$
In den ersten $5$ Tagen werden bereits $420\,000$ Liter in das Becken gepumpt.
2. Schritt: Restliche Zeit berechnen
Berechne zuerst die verbleibende Menge Wasser, die in das Becken gepumpt werden muss.
$\scriptsize V=\text{Gesamtes Volumen}-\text{Eingepumptes Volumen}=2\,000\,000\,\text{Liter}-420\,000\,\text{Liter}=1\,580\,000\,\text{Liter}$
Berechne nun die Leistung beider Pumpen zusammen.
$\text{Leistung}_{1+2}=\text{Leistung}_1+\text{Leistung}_2=3\,500\,\frac{\text{l}}{\text{h}}+2\,500\,\frac{\text{l}}{\text{h}}=6\,000\,\frac{\text{l}}{\text{h}}$
Berechne als letztes die Zeit die benötigt wird, um das Becken zu befüllen. Teile dazu die fehlende Menge an Wasser durch die Leistung der beiden Pumpen.
$\text{Zeit}=\dfrac{\text{Fehlende Menge}}{\text{Pumpleistung}}=\dfrac{1\,580\,000\,\text{l}}{6\,000\,\frac{\text{l}}{\text{h}}}=263,33\,\text{h}$
Es werden $263,33$ weitere Stunden benötigt, um das Becken zu füllen.
3. Schritt: Gesamte Zeit berechnen
Berechne nun die gesamte Zeit die benötigt wird, um das Becken zu füllen. Rechne dazu zuerst dein Ergebnis von eben in Tage um, indem du die Stundenangabe durch die Anzahl an Stunden, die ein Tag hat, teilst.
$263,33\,\text{h}:24 \,\dfrac{\text{h}}{\text{Tag}}\approx10,97\,\text{Tage}$
Runde das Ergebnis auf ganze Tage. Es wird aufgerundet, also sind es $11$ Tage.
Addiere nun die Zeit, in der nur Pumpe $1$ lief, mit der Zeit, in der beide Pumpen liefen.
$\text{Zeit}=5\,\text{Tage}+11\,\text{Tage}=16\,\text{Tage}$
Es dauert ungefähr $16$ Tage das Schwimmbecken zu füllen.
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