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Wahlpflichtaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1 - Luftschiff

a)
Die „Hindenburg“ war das größte Luftschiff der Geschichte.
Ermittle die Länge des Luftschiffes.
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 1: Hindenburg und Airbus im Vergleich
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 1: Hindenburg und Airbus im Vergleich
2 P.
b)
Ein Luftschiff hatte eine Reisegeschwindigkeit von durchschnittlich $115~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
Wie lange benötigte es für die $11~247~\text{km}$ von Friedrichshafen nach Tokio?
Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.
2 P.
c)
Die aufgelisteten $5$ Etappen wurden 1929 als „Weltumrundung“ bezeichnet.
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 2: Skizze des Flughöhe
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 2: Skizze des Flughöhe
Würden die Kilometer der $5$ Etappen zusammengenommen ausreichen, um mit einem Flugzeug in $11~\text{km}$ Höhe die Erde zu umfliegen?
Begründe rechnerisch.
2 P.

Aufgabe 2 - Wasser

a)
Täglicher Wasserverbrauch pro Kopf
in Deutschland in Litern (zusammen $125$ Liter)
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 3: Diagramm
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 3: Diagramm
2 P.
#diagramm
b)
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 4: Zeichnung nicht maßstabsgetreu
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 4: Zeichnung nicht maßstabsgetreu
2 P.
#volumen
c)
Unter einen gleichmäßig tropfenden Wasserhahn wird ein leerer $10$-Liter-Eimer geschoben. Um $10$ Uhr befinden sich $2,0~\text{Liter}$ Wasser im Eimer, $90~\text{Minuten}$ später sind es $4,4~\text{Liter}$.
  • Um wie viel Uhr ist der Eimer voll?
  • Zu welcher Uhrzeit wurde der leere Eimer unter den Wasserhahn gestellt?
2 P.

Aufgabe 3 - Hausbau

a)
Eine quaderförmige Baugrube wird ausgehoben.
Maße: Länge $15~\text{m}$, Breite $10~\text{m}$, Höhe $2,50~\text{m}$
Pro Fahrt kann ein Lkw $7~\text{m}^3$ dieser Erde transportieren.
Wie oft muss der Lke mindestens fahren, um die gesamte Erde abzutransportieren?
2 P.
#volumen
b)
Kredit: $200~00~\text{Euro}$
Zinssatz pro Jahr: $0,96~\%$
Kredit: $200~00~\text{Euro}$
Zinssatz pro Jahr: $0,96~\%$
2 P.
#zinssatz
c)
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 5: Zeichnung nicht maßstabsgetreu
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 5: Zeichnung nicht maßstabsgetreu
2 P.
#flächeninhalt

Aufgabe 4 - Neue Eurobanknoten

a)
Die Tabelle gibt Auskunft über die Anzahl und den Wert der 2014 im Umlauf befindlichen Banknoten.
Auswahl an
Eurobanknoten
Anzahl der
Eurobanknoten
Wert
$5~€$ $8,30~\text{Mrd.}~€$
$10~€$$2~112~\text{Mio.}$ $21,12~\text{Mrd.}~€$
$50~€$$7~165~\text{Mio.}$
$100~€$$202~\text{Mio.}$ $40,40~\text{Mrd.}~€$
Berechne die fehlenden Angaben.
2 P.
b)
Durchschnittlich sind $12$ gefälschte Geldscheine je $10~000$ Einwohner im Umlauf.
Wie viele gefälschte Geldscheine sind es in Mannheim ($316~00$ Einwohner) durchschnittlich?
2 P.
c)
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 6: Zeichnung nicht maßstabsgetreu
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 6: Zeichnung nicht maßstabsgetreu
2 P.
#flächeninhalt
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Lösungen
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Aufgabe 1 - Luftschiff

a)
$\blacktriangleright$  Läge des Luftschiffs ermitteln
Messe sowohl die „Hindenburg“, als auch den Airbus auf dem Papier aus. Hier solltest du in etwa $10,1~\text{cm}$ für das Luftschiff und $2,9~\text{cm}$ für den Airbus erhalten. Mit einem Dreisatz kannst du jetzt die wirklichen Längen berechnen:
$:2,9$
Wahlpflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &2,9~\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}&72,7~\text{m}\\[5pt] &1~\text{cm}&\mathrel{\widehat{\approx}}&25,07\\[5pt] &10,1~\text{cm}&\mathrel{\widehat{\approx}}&253,2~\text{cm}& \end{array}$ Wahlpflichtaufgaben
$:2,9$
$\cdot 10,1$
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
$\cdot 10,1$
$ \begin{array}{rrcll} &2,9~\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}&72,7~\text{m}\\[5pt] &1~\text{cm}&\mathrel{\widehat{\approx}}&25,07\\[5pt] &10,1~\text{cm}&\mathrel{\widehat{\approx}}&253,2~\text{cm}& \end{array} $
Die „Hindenburg“ war in Wirklichkeit also etwa $253~\text{m}$ lang.
#dreisatz
b)
$\blacktriangleright$  Reisedauer berechnen
Für den Zusammenhang von Strecke, Zeit und Geschwindigkeit gilt:
$\text{Geschwindigkeit}=\dfrac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}$
Setze die gegebenen Zahlen ein, und löse nach der Zeit $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 115~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}&=&\dfrac{11~247~\text{km}}{t} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot t \\[5pt] 115~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \cdot t&=& 11~247~\text{km} &\quad \scriptsize \mid\; :115~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \\[5pt] t&=&\dfrac{11~247}{115} ~\text{h} \\[5pt] &=&97,8~\text{h} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 115~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}&=&\dfrac{11~247~\text{km}}{t} \\[5pt] t&=&97,8~\text{h} \end{array} $
Das Luftsschiff benötigt $97,8$ Stunden. Jetzt musst du noch $0,8$ Stunden in Minuten umrechnen. Da eine Stunde $60$ Minuten hat gilt:
$0,8~\text{h}=0,8 \cdot 60~\text{min}=48~\text{min}$
Die „Hindenburg“ hat also $97$ Stunden und $48$ Minuten für die Strecke benötigt.
#geschwindigkeit
c)
$\blacktriangleright$  Weltumrundung überprüfen
Berechne zuerst die Summe der Kilometer aller $5$ Etappen:
$8~500~\text{km}+11~247~\text{km}+9~652~\text{km}+4~822~\text{km}+8~478~\text{km}=42~699~\text{km}$
$ 42~699~\text{km}$
Jetzt musst du die Strecke berechnen, die für eine Erdumrundung benötigt wird. Dafür kannst du die Formel für einen Kreisumfang nutzen, wobei der Radius dem Erdradius und der Flughöhe entsprechen. Also gilt für den Radius:
$r=6~371~\text{km}+11~\text{km}=6~382~\text{km}$
$ r=6~382~\text{km} $
Und damit für den Umfang:
$\begin{array}[t]{rll} U&=&2\cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=&2\cdot \pi \cdot 6~382~\text{km} \\[5pt] &\approx& 40~099~\text{km} \end{array}$
Da die zurückgelegte Strecke von $42~699~\text{km}$ größer ist als eine Erdumrundung mit $40~099~\text{km}$, ist die Aussage richtig, dass die Strecke zur Erdumrundung ausreichen würde.
#umfang#kreis

Aufgabe 2 - Wasser

a)
$\blacktriangleright$  Durchschnittlichen Wasserverbrauch berechnen
Durchschnittlich werden pro Person $125$ Liter am Tag verbraucht. Davon sind $34$ Liter für die Toilettenspülung. Berechne also den prozentualen Anteil von $34$ aus $125$ mithilfe eines Dreisatzes:
$:125$
Wahlpflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &125 ~\text{L}&\mathrel{\widehat{=}}&100~\% \\[5pt] &1~\text{L}&\mathrel{\widehat{=}}&0,8~\%\\[5pt] &34~\text{L}&\mathrel{\widehat{=}}&27,2~\%& \end{array}$ Wahlpflichtaufgaben
$:125$
$\cdot 34$
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
$\cdot 34$
$ \begin{array}{rrcll} &125 ~\text{L}&\mathrel{\widehat{=}}&100~\% \\[5pt] &1~\text{L}&\mathrel{\widehat{=}}&0,8~\%\\[5pt] &34~\text{L}&\mathrel{\widehat{=}}&27,2~\%& \end{array}$
Der durchschnittliche Wasserverbrauch für die Toilettenspülung beträgt also $27,2~\%$.
#dreisatz
b)
$\blacktriangleright$  Wassermenge überprüfen
Berechne zuerst das Volumen, welches im abgebildeten Behälter noch leer ist. Dies ist ein Quader mit der Grundfläche des Behälters und mit Höhe $2~\text{cm}$:
$V_{leer}=8~\text{cm}\cdot 10~\text{cm} \cdot 2~\text{cm}=160~\text{cm}^3$
$ V_{leer}=160~\text{cm}^3 $
Berechne jetzt das Volumen, welches in das Gefäß von Felix passt:
$V_{voll}=6~\text{cm}\cdot 6 ~\text{cm} \cdot 4~\text{cm}=144~\text{cm}^3$
$V_{voll}=144~\text{cm}^3 $
Das Volumen des Wassers ist geringer als das freie Volumen im Behälter:
$144~\text{cm}^3 < 160~\text{cm}^3$
Also passt das Wasser noch in den Behälter.
#volumen#quader
c)
$\blacktriangleright$  Uhrzeit für einen vollen Eimer berechnen
Innerhalb von $90$ Minuten hat sich der Eimer um $4,4-2=2,2$ Liter gefüllt. Da der $10$-Liter Eimer um $10$ Uhr schon mit $2$ Litern gefüllt war, musst du die Zeit berechnen, bis weitere $8$ Liter in den Eimer getropft sind. Dies kannst du mit einem Dreisatz berechnen:
$:2,2$
Wahlpflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &2,2~\text{L}&\mathrel{\widehat{=}}&90~\text{min}\\[5pt] &1~\text{L}&\mathrel{\widehat{\approx}}&40,91~\text{min}\\[5pt] &8~\text{L}&\mathrel{\widehat{\approx}}&327,27~\text{min}& \end{array}$ Wahlpflichtaufgaben
$:2,2
$\cdot 8$
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
$\cdot 8$
$ \begin{array}{rrcll} &2,2~\text{L}&\mathrel{\widehat{=}}&90~\text{min}\\[5pt] &1~\text{L}&\mathrel{\widehat{\approx}}&40,91~\text{min}\\[5pt] &8~\text{L}&\mathrel{\widehat{\approx}}&327,27~\text{min}& \end{array} $
Jetzt musst du $327~\text{min}$ in Stunden und Minuten umrechnen, damit du die Uhrzeit angeben kannst:
$\dfrac{327\text{min}}{60~\text{min}}=5,45$
$327$ Minuten enstprechen also $5$ vollen Stunden mit $60\cdot5=300$ Minuten. Übrig sind dann noch $327-300=27$ Minuten.
Der Eimer ist um $15:27$ Uhr voll.
$\blacktriangleright$  Uhrzeit für den leeren Eimer berechnen
Um $10$ Uhr waren bereits $2$ Liter Wasser im Eimer. Berechne also wie lang der Eimer schon unter dem tropfenden Wasserhahn stand. Aus dem Dreisatz von oben kannst du entnehmen, dass $1$ Liter innerhalb von etwa $41$ Minuten in den Eimer tropft. Für $2$ Liter gilt:
$2\cdot 41~\text{min}=82~\text{min}$
Auch dies musst du wieder in Stunden und Minuten umrechnen. Ziehst du eine volle Stunde ab, bleiben noch $82-60=22$ Minuten. Der Eimer ist demnach nach $1$ Stunde und $22$ Minuten mit $2$ Litern Wasser gefüllt. Gehst du diese Zeit von $10$ Uhr rückwärts, erhältst du die Uhrzeit, bei welcher der Eimer unter den Wasserhahn gestellt wurde:
$\begin{array}[t]{rll} 60~\text{min}-22~\text{min}&=& 38~\text{min} \\[5pt] 10:00 ~\text{Uhr} - 1~\text{h} - 22~\text{min}&=&8:38~\text{Uhr} \end{array}$
$ … $
Der leere Eimer würde um $8:38$ Uhr unter den tropfenden Wasserhahn gestellt.
#dreisatz

Aufgabe 3 - Hausbau

a)
$\blacktriangleright$  Fahrten des Lkws berechnen
Berechne das Volumen an Erde, welches aus der Baugrube ausgehoben wird:
$V=15~\text{m}\cdot 10~\text{m} \cdot 2,50~\text{cm}=375~\text{m}^3$
$ V=375~\text{m}^3 $
Pro Fahrt kann der Lkw $7~\text{m}^3$ Erde transportieren. Damit kannst du die Anzahl der Fahrten berechnen:
$\dfrac{375~\text{m}^2}{7~\text{m}^3}\approx 53,6$
Da der Lkw keine $0,6$ Fahrt unternehmen kann, muss er mindestens $54$ Mal fahren, um die Erde abzutransportieren.
#volumen#quader
b)
$\blacktriangleright$  Zinsen im ersten Monat berechnen
Der Zinssatz pro Jahr beträgt $0,96~\%$. Pro Monat muss Familie Häberle also $\dfrac{0,96}{12}~\%=0,08~\%$ Zins zahlen.
Im ersten Monat ist der Kredit noch $200~00~€$, da bisher noch nichts getilgt wurde. Familie Häberle zahlt im ersten Monat also $0,08~\%$ von $200~000~€$ Zins:
$200~000~€\cdot 0,08~\%=200~000\cdot 0,0008=160~€$
$ 200~000~€\cdot 0,08~\%=160~€ $
Familie Häberle muss im ersten Monat $160~€$ Zinsen zahlen.
#prozent
c)
$\blacktriangleright$  Dachfläche berechnen
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 1: Skizze des Daches
Wahlpflichtaufgaben
Abb. 1: Skizze des Daches
#rechteck#satzdespythagoras

Aufgabe 4 - Neue Eurobanknoten

a)
$\blacktriangleright$  Fehlende Angaben berechnen
Die Anzahl der $5~€$-Banknoten kannst du mithilfe deren Wertes berechnen:
$\dfrac{8,3~\text{Mrd.}~€}{5~€}=1,66~\text{Mrd.}~€=1~660~\text{Mio. Stück}$
$ \dfrac{8,3~\text{Mrd.}~€}{5~€}=1~660~\text{Mio.} $
Den Wert der $50~€$ Geldscheine kannst du mithilfe deren Anzahl berechnen:
$50~€ \cdot 7~165~\text{Mio.}=358~250~\text{Mio.}~€=358,25~\text{Mrd.}~€$
$ …=358,25~\text{Mrd.}~€ $
Trage zum Schluss die Werte in die Tabelle ein:
Auswahl an
Eurobanknoten
Anzahl der
Eurobanknoten
Wert
$5~€$ $1~660~\text{Mio.}$ $8,30~\text{Mrd.}~€$
$10~€$$2~112~\text{Mio.}$ $21,12~\text{Mrd.}~€$
$50~€$$7~165~\text{Mio.}$ $358,25~\text{Mrd.}~€$
$100~€$$202~\text{Mio.}$ $40,40~\text{Mrd.}~€$
#großezahlen
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl an gefälschten Geldscheinen berechnen
Berechne die Anzahl an gefälschten Gelscheinen mithilfe eines Dreisatzes:
$:10$
Wahlpflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &10~000&\mathrel{\widehat{=}}&12\\[5pt] &1~000&\mathrel{\widehat{=}}&1,2\\[5pt] &316~000&\mathrel{\widehat{=}}&379,2& \end{array}$ Wahlpflichtaufgaben
$:10$
$\cdot 316$
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
$\cdot 316$
$ \begin{array}{rrcll} &10~000&\mathrel{\widehat{=}}&12\\[5pt] &1~000&\mathrel{\widehat{=}}&1,2\\[5pt] &316~000&\mathrel{\widehat{=}}&379,2& \end{array} $
Bei $316~00$ Einwohnern in Mannheim sind durchschnittlich etwa $379$ gefälschte Geldscheine im Umlauf.
#dreisatz
c)
$\blacktriangleright$  Fläche der stadt berechnen
Berechne zuerst die Fläche eines $50$-Euro-Scheins:
$140~\text{mm}\cdot 77~\text{mm}=10~780~\text{mm}^2$
Für die Fläche von Weinheim gilt damit:
$10~780~\text{mm}^2\cdot 5,4~\text{Mrd.}=58~212~\text{Mrd. mm}^2$
$ …=58~212~\text{Mrd. mm}^2 $
Jetzt musst du dein Ergebnis noch in $\text{km}^2$ angeben.
Da $1~000~000~\text{mm}^2=1~\text{m}^2$ und $1~000~000~\text{m}^2=1~\text{km}^2$ gilt, kannst du die Fläche zuerst in $\text{m}^2$ umrechnen:
$58~212~\text{Mrd. mm}=\dfrac{58~212~000~000~000}{1~000~000}~\text{km}^2=58 ~212~000~\text{km}^2$
$ …=58 ~212~000~\text{km}^2 $
Und anschließend in $\text{km}^2$:
$ 58~212~000~\text{km}^2=\dfrac{58~212~000}{1~000~000}~\text{km}^2=58,212~\text{km}^2$
$ …=58,212~\text{km}^2 $
Die Stadt Weinheim hat eine Fläche von $58,212~\text{km}^2$.
#längeneinheiten#großezahlen
Bildnachweise [nach oben]
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