Wahlteil B

Aufgabe 1

Im Jahr 2002 erhielt man bei einer Geldanlage noch $4 \,\%$ Zinsen, 2022 nur noch $0,6 \,\%$ Zinsen.

Frau Ziegler legte 2002 den Betrag von $5\,000 \,€$ für ein Jahr an.

Berechne den Jahreszins für 2002.
Wie viel Geld hätte sie 2022 anlegen müssen, um den gleichen Jahreszins wie 2002 zu erhalten?

(2 Pkt.)

Setze einen der beiden Lösungswege fort und berechne die Länge der Seitenkante $s.$

Zeichnung nicht maßstabsgetreu!

Lösungsweg 1:
Skizze:

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& (4\,\text{cm})^2 +(4\,\text{cm})^2 & \\[5pt] x^2&=& 16\,\text{cm}^2 +16\,\text{cm}^2 \\[5pt] x^2&=& 32\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,\,}\\[5pt] x&=&\underline{ 5,7\,\text{cm} } \end{array}$

Lösungsweg 2:
Skizze:

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=&(4\,\text{cm})^2 +(2\,\text{cm})^2 & \\[5pt] x^2&=& 16\,\text{cm}^2 +4\,\text{cm}^2 \\[5pt] x^2&=& 20 \,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] x&=& \underline{ 4,5\,\text{cm} } \end{array}$

(3 Pkt.)

Aufgabe 2

Claudia muss vier Ziffern eingeben, um eine Eingangstür zu öffnen.
Leider weiß sie nur noch, dass die erste Ziffer eine $7$ ist.
Auch erinnert sie sich, dass die Ziffern $0,2,3$ je einmal vorkommen.

Wie viele Kombinationsmöglichkeiten bleiben Claudia?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Claudia beim ersten Versuch die richtige Ziffernreihenfolge eingibt?

(2 Pkt.)

Beim „Tag der offenen Tür“ führt die Klasse 9a einen Verkauf von Hotdogs durch.
Folgende Lebensmittel hat sie hierfür eingekauft.

HSA 2023 BAWÜ HotDog Verkauf Kosten Lebensmittel

Ergänze die Tabelle.

Insgesamt hat die Klasse alle Hotdogs für jeweils $3 \,€$ verkauft.
Die Klasse 9a möchte das Geld nach Abzug der Gesamtkosten an drei verschiedene Projekte spenden:
Schülerzeitung: $50 \,\%;$ Brot für Kinder: $25 \,\%;$ Förderverein der Schule: $25 \,\%$

Berechne, wie viel $€$ für jedes Projekt gespendet werden können.

(3 Pkt.)

Aufgabe 3

Grundriss:

Schrägbild:

Zeichnung nicht maßstabsgetreu!

Mit welchen Formeln lässt sich das Volumen dieses Körpers bestimmen?
Kreuze für jede Formel „richtig“ oder „falsch“ an.

Formel	richtig	falsch
$V=V_{\text{Quader}}$ $-2 \cdot V_{\,\text{Dreiecksprisma}}$		
$V=V_{\text{Würfel}}$ $+V_{\,\text{Trapezprisma}}$		
$V=V_{\text {Quader }}+V_{\text{Würfel}}$ $+2 \cdot V_{\text {Dreiecksprisma}}$		
$V=V_{\text{Quader}}-$ $V_{\text{Trapezprisma}}$		

(2 Pkt.)

Das Bild unten zeigt einen $1,80 \,\text{m}$ großen Mann mit einem Regenschirm.
Er steht neben einem Kunstwerk, das ebenfalls einen Regenschirm darstellt.

hauptschulprüfung 2023 baden-württemberg

Stell dir vor, der Mann würde als Statue passend zum Kunstwerk gebaut werden. Wie groß müsste er sein?
Berechne.

Entnimm nötige Maße der Zeichnung.

(3 Pkt.)

Aufgabe 4

Das Schaubild zeigt den Tauchgang von Hendrik.

HSA 2023 BAWÜ Koordinatensystem Tauchgang Tiefe Strecke

Wie lange befindet er sich auf einer Tiefe von genau 12 Metern?
Ergänze das Diagramm um folgende Sachverhalte:
Nach $35$ Minuten steigt er gleichmäßig in $5$ Minuten um $4$ Meter auf.
In dieser Tiefe bleibt er $5$ Minuten.
Nach weiteren $5$ Minuten ist er wieder an der Wasseroberfläche.

(2 Pkt.)

Durchschnittlicher Heizölpreis in Deutschland (in Cent pro Liter):

Berechne, um wie viel Prozent der Heizölpreis von 2020 bis 2022 angestiegen ist.

Ein Heizöllieferant erhöht am Anfang des Monats den Preis um $5 \,\%$ pro Liter.
Am Ende des Monats sinkt er wieder um $5 \,\%$ .

Wie ist der Heizölpreis im Vergleich zum Monatsanfang? Kreuze an und begründe deine Entscheidung.

	billiger
	gleich
	teurer

(3 Pkt.)

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Lösung 1

Jahreszins für 2002 berechnen

Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 4$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 5\,000 \,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 50 \,€\\[5pt] 4\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 200 \,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 4$

Lösungsweg über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] P&=&\dfrac{5\,000 \,€\cdot 4}{100} \\[5pt] P&=& 200 \,€ \end{array}$

Der Jahreszins beträgt $200 \,€.$

Wie viel Geld hätte sie 2022 anlegen müssen, um den gleichen Jahreszins wie 2002 zu erhalten?

Lösungsweg über den Dreisatz

$:0,6$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 0,6\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 200 \,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 333,33 \,€\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 33\,333 \,€ \end{array}$

$:0,6$

$\cdot 100$

Lösungsweg über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 100 \\[5pt] P\cdot 100&=& G\cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:p \\[5pt] \dfrac{P\cdot 100}{p}&=& G \\[5pt] G&=&\dfrac{P\cdot 100}{p} \\[5pt] G&=&\dfrac{200 \,€\cdot 100}{0,6} \\[5pt] G&\approx& 33\,333\,€ \end{array}$

Sie hätte etwa $33\,333 \,€$ anlegen müssen.

Lösungsweg 1 fortsetzen

Skizze:

hauptschulabschluss mathe 2023 baden-württemberg

Länge der Seite $s$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} s^2&=&h^2+(x:2)^2 \\[5pt] s^2&=&(4\,\text{cm})^2+(5,7\,\text{cm}:2)^2 \\[5pt] s^2&=&(4\,\text{cm})^2+(2,85\,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,\,}\\[5pt] s&=&\sqrt{(4\,\text{cm})^2+(2,85\,\text{cm})^2} \\[5pt] s&=&\sqrt{24,1225\,\text{cm}^2} \\[5pt] s&\approx&4,9\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Lösungsweg 2 fortsetzen

Skizze:

Länge der Seite $s$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} s^2&=&x^2+a^2 \\[5pt] s^2&=&(4,5\,\text{cm})^2+(2\,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] s&=&\sqrt{(4,5\,\text{cm})^2+(2\,\text{cm})^2} \\[5pt] s&=&\sqrt{24,25\,\text{cm}^2} \\[5pt] s&\approx& 4,9\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Lösung 2

Wie viele Kombinationsmöglichkeiten bleiben Claudia?

Claudia bleiben 6 Kombinationsmöglichkeiten:

Möglichkeit: $7, 0, 2, 3$
Möglichkeit: $7, 0, 3, 2$
Möglichkeit: $7, 2, 0, 3$
Möglichkeit: $7, 2, 3, 0$
Möglichkeit: $7, 3, 0, 2$
Möglichkeit: $7, 3, 2, 0$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Claudia beim ersten Versuch die richtige Ziffernreihenfolge eingibt?

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\dfrac{1}{6}$ bzw. $0,167$ bzw. $16,7\,\%.$

Tabelle ergänzen

1. Rechnung: Stückpreis der Würstchen berechnen

$69,00\,€:100=0,69\,€$

2. Rechnung: Gesamtpreis der Brötchen berechnen

$0,29\,€\cdot 100=29,00\,€$

3. Rechnung: Anzahl der Ketchup-Flaschen berechnen

$7,96\,€:1,99\,€=4$

4. Rechnung: Stückpreis der Gläser mit sauren Gurken berechnen

$4,95\,€:5=0,99\,€$

5. Rechnung: Gesamtpreis der Röstzwiebel-Beutel berechnen

$115,80\,€-69\,€-29\,€-7,96\,€-4,95\,€=4,89\,€$

6. Rechnung: Stückpreis der Röstzwiebel-Beutel berechnen

$4,89\,€:1=4,89\,€$

Berechnen, wie viel $€$ für jedes Projekt gespendet werden können

Die Klasse hat 100 Würstchen gekauft. Somit konnte die Klasse 100 Hotdogs verkaufen.

Einnahmen: : $100\cdot 3\,€=300\,€$
Einnahmen nach Abzug der Gesamtkosen: $300\,€-115,80\,€=184,20\,€$

Spende an die Schülerzeitung

$184,20\,€\cdot 0,5=92,10\,€$

Spende an Brot für Kinder

$184,20\,€\cdot 0,25=46,05\,€$

Spende an den Förderverein der Schule

$184,20\,€\cdot 0,25=46,05\,€$

Lösung 3

Formel	richtig	falsch
$V=V_{\,\text{Quader}}$ $-2 \cdot V_{\text{Dreiecksprisma}}$		
$V=V_{\text{Würfel}}$ $+V_{\text{Trapezprisma}}$		
$V=V_{\text {Quader }}+V_{\text{Würfel}}$ $+2 \cdot V_{\text {Dreiecksprisma}}$		
$V=V_{\text{Quader}}$ $-V_{\text{Trapezprisma}}$		

Der echte Regenschirm hat abgemessen eine Größe von $2\,\text{cm}.$ Das Kunstwerk hat abgemessen eine Größe von $10\,\text{cm}.$

Hinweis: Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch gleich.

Bei dem echten Regenschirm ist das Verhältnis zwischen Regenschirm und Mann bekannt: $2\,\text{cm}$ zu $1,80 \,\text{m}.$
Mit diesem Verhältnis lässt sich die Größe des Mannes als Statue berechnen:

$:2$

$\cdot 10$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 2\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 1,80 \,\text{m}\\[5pt] 1\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 0,9 \,\text{m}\\[5pt] 10\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 9 \,\text{m} \end{array}$

$:2$

$\cdot 10$

Der Mann als Statue müsste $9 \,\text{m}$ groß sein.

Lösung 4

Wie lange befindet er sich auf einer Tiefe von genau 12 Metern?

Hendrik befindet sich 15 min auf einer Tiefe von genau 12 Metern.

Das Diagramm ergänzen

Berechnen, um wie viel Prozent der Heizölpreis von 2020 bis 2022 angestiegen ist

Lösungsweg über den Dreisatz

$:49,9$

$\cdot 116,8$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 49,9 \,\text{ct}\\[5pt] 2\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1 \,\text{ct}\\[5pt] 234\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 116,8 \,\text{ct} \end{array}$

$:49,9$

$\cdot 116,8$

$234\,\%-100\,\%=134\,\%$

Lösungsweg über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 100 \\[5pt] P\cdot 100&=&G\cdot p &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] \dfrac{P\cdot 100}{G}&=&p &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] p&=&\dfrac{P\cdot 100}{G} &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] p&=&\dfrac{116,8 \,\text{ct}\cdot 100}{49,9 \,\text{ct}} \\[5pt] p&\approx&234 \end{array}$

$234-100=134$

Von 2020 bis 2022 ist der Heizölpreis um $134\,\%$ gestiegen.

Wie ist der Heizölpreis im Vergleich zum Monatsanfang?

	billiger
	gleich
	teurer

Rechnerische Begründung

Angenommen der Preis liegt Anfang des Monats bei $100\,\text{ct}$ pro Liter.

Preiserhöhung um $5 \,\%$ pro Liter: $100\,\text{ct}\cdot 1,05=105\,\text{ct}$
Preissenkung um $5 \,\%$ pro Liter: $105\,\text{ct}\cdot 0,95=99,75\,\text{ct}$

Verbale Begründung

Der Heizölpreis ist im Vergleich zum Monatsanfang billiger, da der Grundwert, von dem die $5 \,\%$ Ende des Monats abgezogen werden, höher ist. Dadurch entsprechen $5 \,\%$ Ende des Monats einem höheren Wert als noch Anfang des Monats.

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