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Wahlpflichtaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1: Kaffee

a)
Die Werte zeigen den durchschnittlichen Pro-Kopf-Verbrauch in Deutschland im Jahr 2014:
Kaffee: $162\, Liter$
Wasser: $144\, Liter$
Bier:$107\,Liter$
Stelle die drei Werte in einem Säulendiagramm dar.
(2P)
#diagramm
b)
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
(2P)
#diagramm
c)
Die Abbildung zeigt eine Verpackung, in der sich $16$ Kaffeepads befinden.
$16$ Kaffeepads haben ein Volumen von $460\,cm³$.
$\,$
Mogelpackung
Mogelpackung:
eine Verpackung muss mindestens zu 70% befüllt sein, ansonsten gilt sie als Mogelpackung.
Handelt es sich hierbei um eine Mogelpackung? Berechne und begründe deine Antwort.
(2P)

Aufgabe 2: Dinosaurier

a)
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
(2P)
b)
Ein Argentinosaurus wog ca. $70\,t$. Tim sagt: „Alle 450 Schülerinnen und Schüler unserer Schule wiegen zusammen mehr.“
Hat er recht? Begründe rechnerisch.
(2P)
c)
Die Entwicklung der Tierarten ist in Form einer Uhr dargestellt.
$\,$
Wahlpflichtaufgaben
Wahlpflichtaufgaben
$\,$
Übertrage die Uhr mit einem Radius von $3 cm$ auf dein Blatt.
Zeichne genau den Zeitraum ein, in dem die Dinosaurier gelebt haben.
(2P)

Aufgabe 3: Sticker

a)
In einem Supermarkt erhält man je $15\,€$ Einkaufswert ein Stickerpäckchen.
$\,$
  • Wie viele Stickerpäkchen erhält Marie für folgenden Einkauf?

  • Wahlpflichtaufgaben
    Wahlpflichtaufgaben
    $\,$
  • Simon fehlen bei seinem Einkauf noch Waren im Wert von mindestens $4,77\,€$, damit er $3$ Stickerpäckchen erhält. Wie teuer ist sein bisheriger Einkauf?
  • (2P)
    b)
    Wahlpflichtaufgaben
    Wahlpflichtaufgaben
    (2P)
    #prozent
    c)
    Mehmet kauft $200 Sticker$ in einer verschlossenen quadradförmigen Box. Ein Sticker hat die Maße $4,9\,cm$x$6,7\,cm$ und ist $0,2\,mm$ dick.
    Zeichne das Netz der quadratförmigen Box.
    (2P)
    #quadernetz

    Aufgabe 4: Fitnessstudio

    a)
    Fitnessstudio
    Tageskarte: 13,50 €
    Jahresbeitrag: 780 €
    (2P)
    b)
    Wahlpflichtaufgaben
    Wahlpflichtaufgaben
    (2P)
    $\,$
    Wahlpflichtaufgaben
    Wahlpflichtaufgaben
    #graph
    c)
    Moritz läuft $60\,Minuten$ auf dem Laufband. Dabei dreht sich das Laufband $2.650$ Mal. Wie viel Kilometer ist Moritz gelaufen?
    Wahlpflichtaufgaben
    Wahlpflichtaufgaben
    (2P)
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    Tipps
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    1.
    a)
    $\blacktriangleright$  Säulendiagramm zeichnen
    Bei dieser Aufgabe sollst du dir zunächst ein sinnvolles Größenverhältnis der drei gegeben Liter-Angaben überlegen, um diese dann sinnvoll auf der $x$- und $y$-Achse in einem Säulendiagramm darstellen zu können:
    • Alle drei Werte liegen über $100$, sodass du auf der $y$-Achse erst bei $100$ Litern beginnen solltest, um alle Werte so detailliert wie möglich einzeichnen zu können.
    • Der höchste Wert liegt bei $162$. Damit solltest du bis mindestens $170$ Liter auf der $y$-Achse einzeichnen.
    • Für eine recht genaue Abmessung, wählst du am besten $5$ Kästchen = $10$ Liter. Also (mindestens) $14$ Kästchen von $100$ bis $170$ auf der $y$-Achse. Somit kannst du auch den Wert $107$ (also eine ziemlich genaue Darstellung von der $7$) gut einzeichnen:
    Achtung: Zum Schluss die Achsenbeschriftung nicht vergessen!
    $\,$
    b)
    $\blacktriangleright$  Prozentrechnen
    Du sollst berechnen, wie viel Liter Kaffe mit Kapseln zubereitet werden. Die Prozentangabe der Kapseln sind in den $13\,\%$ des großen Tortendiagramms in einem seperaten, kleineren Tortendiagramm mit $40\,\%$ angegeben. Also konkret musst du $40\,\%$ von den $13\,\%$ der $162$ Liter berechnen:
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 1: Kaffee-Kapsel Anteil
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 1: Kaffee-Kapsel Anteil
  • Verwende den Dreisatz
  • $\,$
    c)
    $\blacktriangleright$  Volumen berechnen
    Du sollst das Volumen der „Haus“-Verpackung berechnen. Dazu unterteilst du die Verpackung (das „Haus“) gedanklich sinnvoll in $2$ Teile: Einmal den unteren Würfel und einmal das Dach (=Prisma). Hinterher rechnest du die Volumina beiden Elemente zusammen, um auf das Gesamtvolumen zu kommen:
    • Volumen des Würfels berechnen
    • Volumen des Prismas berechnen
    • Addiere nun beide Volumina zusammen
    $\blacktriangleright$  Mogelpackung identifizieren
    Nun sollst du noch berechnen, ob es sich bei der Verpackung mit den $16$ Kapseln um eine Mogelpackung handelt. Dazu rechnest du zunächst aus, wie groß $70\,\%$ vom Gesamtvolumen der Verpackung ($819\text{ cm}³$) sind. Dann musst du das berechnete, $70\,\%$ große Volumen, mit dem Volumen der $16$ Kapseln (= $460\text{ cm}³$, s. Text) vergleichen.
    2.
    a)
    $\blacktriangleright$  Flügelspannweite ermitteln
    Du sollst ermitteln, wie lang die Dinosaurier-Flügel in ihrer Spannweite sind. Dazu misst du mit dem Lineal die größtmögliche Breite des Autos. Danach misst du den Dinosaurier in seiner gesamten Breite. Mit dem Dreisatz setzt du die gemessene Länge des Autos in das Verhältnis von den Metern in Wirklichkeit. Das bedeutet, dass du damit berechnest, wie viel ein gemessener Zentimeter auf dem Papier in Wirklichkeit in Meter sind. Mit diesem Verhältnis kannst du schließlich die Länge der Flügel-Spannweite in Metern ausrechnen.
    $\,$
    b)
    $\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
    Du sollst ausrechnen, ob alle $450$ Schüler und Schülerinnen der Schule zusammen über $70$ Tonnen schwer sind (und Tim damit Recht hat). Da du nicht weißt, wie schwer ein durschnittlicher Schüler ist, musst du eine Gleichung mit $x$ aufstellen. Das $x$ steht hierbei für das Gewicht eines/r einzelnen Schülers/in. Da ein Mensch in Kilogramm gemessen wird, musst du zuvor aber noch die Tonnen in Kilogramm umrechnen.
    $\,$
    c)
    $\blacktriangleright$  Lebenszeit der Dinosaurier einzeichnen
    Du sollst hier in Form von einem Tortenstück einzeichnen, wie lange die Dinosaurier gelebt haben. Die Inforamtionen hierfür stehen in den drei Stichpunkten. Zeichne zunächst einen Kreis mit einem Radius von $3\text{ cm}$ auf dein Blatt. (Dazu misst du mit dem Zirkel drei Zentimeter auf dem Lineal ab. Die Spitze des Zirkels bei $0\text{ cm}$ und der Bleistift des Zirkels bei $3\text{ cm}$.)
    • Die Angaben „vor $540$ Mio. Jahren/ heute“, „vor $405$ Mio. Jahren“, „vor $270$ Mio. Jahren“ und „vor $230$ Mio. Jahren“ sind bereits gegeben und eingezeichnet. Diese kannst du so in deine Zeichnung übernehmen.
    • Als nächstes berechnest du, wann das Ende der Dinosaurier-Zeit war. Hierzu rechnest du zunächst aus, wie groß ein Viertel des Kreises in Millionen Jahren ist. Davon ausgehend, kannst du nun mit dem Dreisatz die Gradzahl für die $65$ Mio. Jahre ausrechnen.
    • Zum Schluss zeichnest du das Tortenstück bei $230$ Mio. Jahren und $65$ Mio. Jahren ein. Dazu verbindest du die Kreismitte jeweils mit den beiden Kreisrandpunkten.
    3.
    a)
    $\blacktriangleright$  Einkäufe zusammenrechnen
    Du sollst berechnen, wie viel Geld Marie für ihren Einkauf ausgibt. Ausgehend davon kannst du berechnen, wie viele Stickerpäckchen sie damit erhält.
    Marie's Einkauf:
    • Preise der einzelnen „Zutaten“ bzw. der Punkte der Liste berechnen
    • Nun musst du die Preise aller Einkäufe zusammenrechnen
    • Du schaust nun wie häufig die $15,00\,€$ in den berechneten Gesamtpreis reinpasst und erhälst damit die Anzahl der Stickerpäckchen, die Marie bei ihrem Einkauf erhält.
    $\blacktriangleright$  Einkauf berechnen
    Du berechnest hier, wie viel Geld Simon für seinen bisherigen Einkauf bezahlt.
    Simon's Einkauf:
    • Berechne den Preis, den Simon für $3$ Stickerpäckchen bezahlen müsste
    • Nun ziehst du die $4,77\,€$ vom Preis den man für $3$ Päckchen bezahlen müsste ab, um auf den Wert zu kommen, den Simon bezahlt
    $\,$
    b)
    $\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
    Du sollst zunächst den Flächeninhalt der einzelnen Sticker und den Flächeninhalt des Plakats berechnen. Danach musst du die Anzahl der Sticker mit dem Flächeninhalt eines einzelnen Stickers multiplizieren, um den Flächeninhalt aller Sticker zu erhalten. Ausgehend davon kannst du berechnen, wie viel Prozent alle Sticker auf dem ganzen Plakat einnehmen:
      1. Schritt: Flächeninhalt eines einelnen Stickers
      2. Schritt: Rechne den Flächeninhalt aller $150$ Sticker zusammen
      3. Schritt: Flächeninhalt des Plakats berechnen
      4. Schritt: Mit einem Dreisatz berechnest du nun den Anteil des Flächeninhalts aller Sticker zusammen auf dem Plakat
    $\,$
    c)
    $\blacktriangleright$  Netz einer quaderförmigen Box zeichnen
    Du hast bereits die Höhe und die Breite der Box für die Sticker angegeben. Nun musst du noch die Höhe der Box berechnen, bevor du diese als Netz zeichnen kannst. Hierzu musst du die Höhe eines einzelnen Stickers mal die Anzahl der Sticker rechnen.
    Achtung, gegebenfalls ist es notwendig, die Einheiten umzurechnen, um das Netz der quarderförmigen Box einzeichnen zu können.
    4.
    a)
    $\blacktriangleright$  Bruch ausrechnen
    Du sollst berechnen, wie häufig Martin in einem Jahr ins Fitnesstudio gehen muss, damit sich für ihn der Jahresbeitrag lohnt. Wenn du den Preis für ein Jahr durch den Preis für eine Tageskarte teilst, erhältst du die Anzahl der Tage, für die Martin eine Tagskarte kaufen müsste, um am Ende das gleich bezahlt zu haben, wie mit einem Jahresbeitrag.
    $\,$
    b)
    $\blacktriangleright$  Graph zuordnen
    Um die Aufgabe zu lösen, musst du dir zunächst überlegen, wie die Hantel aufgebaut ist und wie schnell sie sich mit Wasser füllen wird, um den zugehörigen Graph zu erkennen:
    • Eine Hantel ist immer rund, sodass du weißt, dass alle drei Teile der Hantel Zylinder darstellen. Der untere Teil und der obere Teil der Hantel sind gleich groß und größer als der mittlere Teil. Die Hantel wird von unten nach oben mit Wasser gefüllt.
    • Du weißt nun, dass die Zylinder oben und unten einen größeren Durchmesser haben, als der Zylinder in der Mitte. Wenn nun Wasser hineingegossen wird, braucht das Wasser länger um den ersten Zylinder gleichmäßig mit Wasser zu füllen. Das Wasser braucht also mehr Zeit sich waagerecht in alle Richtungen innerhalb des Zylinders zu verteilen.
    • In einem Zylinder mit schmaleren Durchmesser braucht das Wasser hingegen weniger Zeit, den Zylinder mit Wasser zu füllen.
    Schaust du dir nun die Graphen an, suchst du einen Graphen, dessen Linie zu den Stichpunkten am ehesten passen.
    $\,$
    c)
    $\blacktriangleright$  Laufbandumfang berechnen
    Du sollst ausrechnen, wie viele Kilometer Moritz in einer Stunde auf dem Laufband gelaufen ist. Dazu weißt du bereits wie häufig sich dabei das Laufband in einer Stunde gedreht hat. Für den Umfang (= die Länge des Laufbands für eine Runde) musst du noch die fehlende Längen an den beiden Enden des Laufbands ermitteln. Du benötigst dazu also noch zweimal den halben Kreisumfang (siehe die grünen Halbkreise in Abb. 5). Dann addierst du noch die obere und die untere Längenseite (je $1,97\,\text{cm}$) des Laufbands.
    1. Schritt: Radius berechnen
    2. Schritt: Kreisumfang berechnen
    3. Schritt: Laufband-Umfang berechnen
    4. Schritt: Gesamtstrecke berechnen, die Moritz gelaufen ist
    Bildnachweise [nach oben]
    [1]
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    Lösungen
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    1.
    a)
    $\blacktriangleright$  Säulendiagramm zeichnen
    Bei dieser Aufgabe sollst du dir zunächst ein sinnvolles Größenverhältnis der drei gegeben Liter-Angaben überlegen, um diese dann sinnvoll auf der $x$- und $y$-Achse in einem Säulendiagramm darstellen zu können:
    • Alle drei Werte liegen über $100$, sodass du auf der $y$-Achse erst bei $100$ Litern beginnen solltest, um alle Werte so detailliert wie möglich einzeichnen zu können.
    • Der höchste Wert liegt bei $162$. Damit solltest du bis mindestens $170$ Liter auf der $y$-Achse einzeichnen.
    • Für eine recht genaue Abmessung, wählst du am besten $5$ Kästchen = $10$ Liter. Also (mindestens) $14$ Kästchen von $100$ bis $170$ auf der $y$-Achse. Somit kannst du auch den Wert $107$ (also eine ziemlich genaue Darstellung von der $7$) gut einzeichnen:
    Achtung: Zum Schluss die Achsenbeschriftung nicht vergessen!
    $\,$
    b)
    $\blacktriangleright$  Prozentrechnen
    Du sollst berechnen, wie viel Liter Kaffe mit Kapseln zubereitet werden. Die Prozentangabe der Kapseln sind in den $13\,\%$ des großen Tortendiagramms in einem seperaten, kleineren Tortendiagramm mit $40\,\%$ angegeben. Also konkret musst du $40\,\%$ von den $13\,\%$ der $162$ Liter berechnen:
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 2: Kaffe-Kapsel Anteil
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 2: Kaffe-Kapsel Anteil
  • Verwende den Dreisatz:
    • $:100$
      Wahlpflichtaufgaben
      $\begin{array}{rrcll} & 162 \text{ Liter}&\mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] & 1,62\text{ Liter}&\mathrel{\widehat{=}}& 1\,\%\\[5pt] & 21,06\text{ Liter}&\mathrel{\widehat{=}}& 13\,\%\\[5pt] \end{array}$ Wahlpflichtaufgaben
      $:100$
      $\cdot 13$
      Wahlpflichtaufgaben
      Wahlpflichtaufgaben
      $\cdot 13$
      Als Zwischenergebnis erhältst du: Die „Pads/Kapeln“-Kaffeezubereitung in Deutschland liegt bei $21,06$ Litern.
    • Die $21,06$ bilden den Ausgangswert, um weiter die $40\,\%$, also die Zubereitung mit Kapseln, zu berechnen:
        $:100$
        Wahlpflichtaufgaben
        $\begin{array}{rrcll} & 21,06 \text{ Liter}&\mathrel{\widehat{=}}& 100\%\\[5pt] & 0,2106\text{ Liter}&\mathrel{\widehat{=}}& 1\%\\[5pt] & 8,42\text{ Liter}&\mathrel{\widehat{=}}& 40\%\\[5pt] \end{array}$ Wahlpflichtaufgaben
        $:100$
        $\cdot 40$
        Wahlpflichtaufgaben
        Wahlpflichtaufgaben
        $\cdot 40$
      In Deutschland werden $8,42$ Liter Kaffee in Form von Kapseln zubreitet.
    #prozent#dreisatz
    $\,$
    c)
    $\blacktriangleright$  Volumen berechnen
    Du sollst das Volumen der „Haus“-Verpackung berechnen. Dazu unterteilst du die Verpackung (das „Haus“) gedanklich sinnvoll in $2$ Teile: Einmal den unteren Würfel und einmal das Dach (=Prisma). Hinterher rechnest du die Volumina beiden Elemente zusammen, um auf das Gesamtvolumen zu kommen:
    • Volumen des Würfels:
      $7\text{ cm [Höhe]} \cdot 7 \text{ cm [Breite]}\cdot 13 \text{ cm [Tiefe]}\, = \,637\text{ cm} ³$
    • Volumen des Prismas:
      $\frac{1}{2}\,\cdot \, (11\text{ cm}\, - 7\text{ cm})\text{ [Höhe]}\,\cdot \, 7\text{ cm} \text{ [Breite]}\cdot \, 13\text{ cm} \text{ [Tiefe]} \,= \,182 \text{ cm} ³ $
    • Addiere nun beide Volumina zusammen:
      $637\text{ cm} ³\,+\,182 \text{ cm} ³= 819\text{ cm}³$
    Das Volumen der Verpackung ist $819\text{ cm}³$ groß.
    $\blacktriangleright$  Mogelpackung identifizieren
    Nun sollst du noch berechnen, ob es sich bei der Verpackung mit den $16$ Kapseln um eine Mogelpackung handelt. Dazu rechnest du zunächst aus, wie groß $70\,\%$ vom Gesamtvolumen der Verpackung ($819\text{ cm}³$) sind. Dann musst du das berechnete, $70\,\%$ große Volumen, mit dem Volumen der $16$ Kapseln (= $460\text{ cm}³$, s. Text) vergleichen:
    • Berechne $70$% des von dir oben berechneten Gesamt-Verpackungsvolumens:
      $:100$
      Wahlpflichtaufgaben
      $\begin{array}{rrcll} & 819 \text{ cm}³&\mathrel{\widehat{=}}& 100\%\\[5pt] & 8,19 \text{ cm}³&\mathrel{\widehat{=}}& 1\%\\[5pt] & 573,3 \text{ cm}³&\mathrel{\widehat{=}}& 70\%\\[5pt] \end{array}$ Wahlpflichtaufgaben
      $:100$
      $\cdot 70$
      Wahlpflichtaufgaben
      Wahlpflichtaufgaben
      $\cdot 70$
    • In der Aufgabenstellung steht, dass alle 16 Kapseln zusammen nur ein Volumen von $460\text{ cm}³$ haben. Dieses Volumen liegt deutlich unter dem Volumen der Mindestanforderung von $70$%, das du mit $573,3\text{ cm}³$ berechnet hast.
    Bei der Verpackung handelt es sich um eine Mogelpackung.
    #prisma#dreisatz#würfel
    2.
    a)
    $\blacktriangleright$  Flügelspannweite ermitteln
    Du sollst ermitteln, wie lang die Dinosaurier-Flügel in ihrer Spannweite sind. Dazu misst du mit dem Lineal die größtmögliche Breite des Autos. Danach misst du den Dinosaurier in seiner gesamten Breite. Mit dem Dreisatz setzt du die gemessene Länge des Autos in das Verhältnis von den Metern in Wirklichkeit. Das bedeutet, dass du damit berechnest, wie viel ein gemessener Zentimeter auf dem Papier in Wirklichkeit in Meter sind. Mit diesem Verhältnis kannst du schließlich die Länge der Flügel-Spannweite in Metern ausrechnen:
    • Das Auto ist $5,2\text{ cm}$ und der Dinsosaurier ist $12,8\text{ cm}$ lang
    • Nun setzt du die gemessene Länge des Autos gleich der Auto-Länge in Wirklichkeit (Dreisatz). Du rechnest das Verhältnis dann auf die gemessenen Zentimeter der Flügelspannbreite des Dinosauriers um. Du erhältst mit dieser Umrechnung die Flügelspannweite in Wirklichkeit:
      $:5,2$
      Wahlpflichtaufgaben
      $\begin{array}{rrcll} & 5,2\text{ cm} &\mathrel{\widehat{=}}& 4,30\text{ m}\\[5pt] & 1\text{ cm} &\mathrel{\widehat{=}}& 0,83 \text{ m}\\[5pt] & 12,8 \text{ cm} &\mathrel{\widehat{=}}& 10,58 \text{ m} & \end{array}$ Wahlpflichtaufgaben
      $:5,2$
      $\cdot 12,8$
      Wahlpflichtaufgaben
      Wahlpflichtaufgaben
      $\cdot 12,8$
    Die Flügelspannweite beträgt $10,58\text{ m}$.
    #dreisatz
    $\,$
    b)
    $\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
    Du sollst ausrechnen, ob alle $450$ Schüler und Schülerinnen der Schule zusammen über $70$ Tonnen schwer sind (und Tim damit Recht hat). Da du nicht weißt, wie schwer ein durschnittlicher Schüler ist, musst du eine Gleichung mit $x$ aufstellen. Das $x$ steht hierbei für das Gewicht eines/r einzelnen Schülers/in. Da ein Mensch in Kilogramm gemessen wird, musst du zuvor aber noch die Tonnen in Kilogramm umrechnen.
    • Rechne Tonnen in Kilogramm um: $70\,\text{t} = 70 \,000\, \text{kg}$
    • Nun stellst du eine Gleichung auf, die nach $x$ (für das Gewicht) aufzulösen ist:
      $\begin{array}[t]{rll} 70\,000\, \text{kg} &=& 450 \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; : 450\\[5pt] 155,56\, \text{kg} &=& x \end{array}$
      Ein einzelner Schüler müsste $156 \,\text{kg}$ wiegen, damit alle $450$ Schüler und Schülerinnen zusammen mindestens so schwer wie der Dinosaurier wären. Ein Schüler durschnittlicher Schüler wiegt jedoch um die $60\text{ kg}$.
    Tims Aussage ist falsch. Ein Argentinosaurus war schwerer, als alle $450$ Schüler und Schülerinnen der Schule zusammen.
    #gleichung
    $\,$
    c)
    $\blacktriangleright$  Lebenszeit der Dinosaurier einzeichnen
    Du sollst hier in Form von einem Tortenstück einzeichnen, wie lange die Dinosaurier gelebt haben. Die Inforamtionen hierfür stehen in den drei Stichpunkten. Zeichne zunächst einen Kreis mit einem Radius von $3\text{ cm}$ auf dein Blatt. (Dazu misst du mit dem Zirkel drei Zentimeter auf dem Lineal ab. Die Spitze des Zirkels bei $0\text{ cm}$ und der Bleistift des Zirkels bei $3\text{ cm}$.)
    • Die Angaben „vor $540$ Mio. Jahren/ heute“, „vor $405$ Mio. Jahren“ und „vor $270$ Mio. Jahren“ sind bereits gegeben und eingezeichnet. Diese kannst du so in deine Zeichnung übernehmen.
    • Der Beginn der Zeit der Dinosaurier war vor $230$ Mio. Jahren. Diese Angabe ist auch bereits (auf dem Aufgabenblatt) eingezeichnet. Du kannst dies also ebenfalls in deine Zeichnung übertragen und eine Linie vom Kreisrand bis zur Kreismitte ziehen. Somit erhältst du die erste Seite des Tortenstücks.
    • Als nächstes berechnest du, wann das Ende der Dinosaurier-Zeit war. Hierzu rechnest du zunächst aus, wie groß ein Viertel des Kreises in Millionen Jahren ist. Ein Viertel des Kreises entspricht $135$ Mio. Jahre. Du weißt also, dass $90\,\text{°} \mathrel{\widehat{=}} \,135\,$ Mio. Jahre. (Ein Kreis: $360\,\text{°}$ = $540$ Mio. Jahre.)
    • Nun rechnest du mit dem Dreisatz die Gradzahl aus:
      $:135$
      Wahlpflichtaufgaben
      $\begin{array}{rrcll} & 135\,\text{Mio. Jahre} &\mathrel{\widehat{=}}& 90\,° \\[5pt] & 1\, \text{Mio. Jahre} &\mathrel{\widehat{=}}& 0,67 \,°\\[5pt] & 65\, \text{Mio. Jahre} &\mathrel{\widehat{=}}& 43,3 \, ° & \end{array}$ Wahlpflichtaufgaben
      $: 135$
      $\cdot 65$
      Wahlpflichtaufgaben
      Wahlpflichtaufgaben
      $\cdot 65$
    • Der Ausgangspunkt mit dem Geodreieck ist also bei $135$ Mio. Jahre, da du Basis dessen die Gradzahl für die $65$ Mio. Jahre ausgrechnet hast. Das heißt also, dass du das Geodreieck so anlegst, dass die rechtwinklige Spitze nach oben zeigt und das Lineal die $135$ Mio. Jahre und die $10$ Mio. Jahre verbindet. Nun suchst du die $43,3\,\text{°}$ im inneren Gradangabe-Kreis und verlängerst diese Gradzahl bis außerhalb des Geodreiecks. Mache einen Punkt dort und verbinde den Punkt mit dem Kreismittelpunkt. Du hast nun das vollständige Tortenstück gezeichnet. In diesem eingezeichneten Tortenstück haben die Dinosaurier gelebt:
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 3: Tortenstück-Einzeichnung Kreisdiagramm
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 3: Tortenstück-Einzeichnung Kreisdiagramm
    #zirkel#winkelmessung#dreisatz#diagramm
    3.
    a)
    $\blacktriangleright$  Einkäufe zusammenrechnen
    Du sollst berechnen, wie viel Geld Marie für ihren Einkauf ausgibt. Ausgehend davon kannst du berechnen, wie viele Stickerpäckchen sie damit erhält.
    Marie's Einkauf:
    • Preise der einzelnen „Zutaten“ bzw. der Punkte der Liste berechnen:
      $\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 1,09\, €&=& 2,18\, €&\text{(Zwei Päckchen Butter für $1,09\,€$)} \\[5pt] 1 \cdot 12,29 \,€&=& 12,29\, €& \text{(Einmal Waschmittel für $12,29\,€$)} \\[5pt] 1 \cdot 10,99 \,€&=& 10,99\, €& \text{(Eine Kiste Saft für $10,99\,€$)} \\[5pt] 3 \cdot 1,49 \,€&=& 4,47\, €& \text{(3 Päckchen Milch für $1,49\,€$)} \\[5pt] 1 \cdot 2,99 \,€&=& 2,99\, €& \text{(Ein Kilogram Äpfel für $2,99\,€$)} \\[5pt] \end{array}$
    • Nun musst du die Preise aller Einkäufe zusammenrechnen:
      $\begin{array}[t]{rll} 2,18 \,€ &+& 12,29 \,€ &+& 10,99 \,€ &+& 4,47 \,€ &+& 2,99 \,€ &=& 32,92 \, € \end{array}$
    • Du schaust nun wie häufig die $15,00\,€$ in die $32,92\,€$ reinpasst:
      $32,92\,€ :\,15,00 = 2,19$
      Marie erhält bei ihrem Einauf $2$ Stickerpäckchen.
    $\blacktriangleright$  Einkauf berechnen
    Du berechnest hier, wie viel Geld Simon für seinen bisherigen Einkauf bezahlt.
    Simon's Einkauf:
    • Du weißt, dass ihm bis zum $3$. Stickerpäckchen $4,77\,€$ fehlen. Für je $15,00\,€$ Einkaufswert erhält man ein Päckchen.
    • Berechne den Preis, den Simon für $3$ Stickerpäckchen bezahlen müsste: $3\,\cdot\,15,00\,€= 45,00\,€$
    • Nun ziehst du die $4,77\,€$ von den $45,00€\,$ ab, um auf den Wert zu kommen, den Simon bezahlt:
      $45,00\,€\, - \,4,77\,€= 40,23\,€$
      Simon's bisheriger Einkauf kostet $40,23\,€$.
    Marie erhält bei ihrem Einauf $2$ Stickerpäckchen und Simon's bisheriger Einkauf kostet $40,23\,€$.
    #multiplikation#addition#subtraktion
    $\,$
    b)
    $\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
    Du sollst zunächst den Flächeninhalt der einzelnen Sticker und den Flächeninhalt des Plakats berechnen. Danach musst du die Anzahl der Sticker mit dem Flächeninhalt eines einzelnen Stickers multiplizieren, um den Flächeninhalt aller Sticker zu erhalten. Ausgehend davon kannst du berechnen, wie viel Prozent alle Sticker auf dem ganzen Plakat einnehmen:
      1. Schritt:
      Flächeninhalt eines einelnen Stickers: $4,9\text{ cm}\cdot\,6,7\text{ cm}\,=\,32,83\text{ cm}²$
      2. Schritt:
      Rechne den Flächeninhalt aller $150$ Sticker zusammen: $150\,\cdot\,32,83\text{ cm}²\, =\,4.924,5\text{ cm}²$
      3. Schritt:
      Flächeninhalt des Plakats berechnen: $70\text{ cm}\,\cdot\,100\text{ cm}=\,7.000\text{ cm}²$
      4. Schritt:
      Mit einem Dreisatz berechnest du nun den Anteil des Flächeninhalts aller Sticker zusammen auf dem Plakat:
      $\begin{array}[t]{rll} 7.000\text{ cm}²&=& 100\,\% &\quad \scriptsize \mid\;:7.000 \\[5pt] 1\text{ cm}²&=& \frac{100}{7.000} \,\% &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \,4.924,5 \\[5pt] 4.924,5 \text{ cm}²&=& \frac{492.450}{7.000} \,\% &\quad \scriptsize \mid\;\text{ausrechnen} \\[5pt] 4.924,5 \text{ cm}²&=& 70,35 \,\% \end{array}$
    Die Sticker bedecken eine Fläche von $70,35\,\%$ vom ganzen Plakat.
    $\,$
    c)
    $\blacktriangleright$  Netz einer quaderförmigen Box zeichnen
    Du hast bereits die Höhe und die Breite der Box für die Sticker angegeben. Nun musst du noch die Höhe der Box berechnen, bevor du diese als Netz zeichnen kannst. Hierzu musst du die Höhe eines einzelnen Stickers mal die Anzahl der Sticker rechnen:
    $0,2\text{ mm}\, \cdot 200\,=\, 40\text{ mm}$
    Wenn du nun die Millimeter in Zentimeter umrechnest, kommst du auf eine Höhe von $4,00\text{ cm}$. Damit kannst du nun das Netz der quaderförmigen Box zeichnen:
    Höhe: $4,0\text{ cm}$,
    Breite: $4,9\text{ cm}$
    Tiefe: $6,7\text{ cm}$
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 4 : Netz der quaderförmigen Box
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 4 : Netz der quaderförmigen Box
    4.
    a)
    $\blacktriangleright$  Bruch ausrechnen
    Du sollst berechnen, wie häufig Martin in einem Jahr ins Fitnesstudio gehen muss, damit sich für ihn der Jahresbeitrag lohnt. Wenn du den Preis für ein Jahr durch den Preis für eine Tageskarte teilst, erhältst du die Anzahl der Tage, für die Martin eine Tagskarte kaufen müsste, um am Ende das gleich bezahlt zu haben, wie mit einem Jahresbeitrag:
    $780,00\,€\,:13,50\,€ = 57,78\,$
    Martin muss das Fitnessstudio mindestens $58$ mal in einem Jahr besuchen, damit sich für ihn der Jahresbeitrag lohnt.
    #division
    $\,$
    b)
    $\blacktriangleright$  Graph zuordnen
    Um die Aufgabe zu lösen, musst du dir zunächst überlegen, wie die Hantel aufgebaut ist und wie schnell sie sich mit Wasser füllen wird, um den zugehörigen Graph zu erkennen:
    • Eine Hantel ist immer rund, sodass du weißt, dass alle drei Teile der Hantel Zylinder darstellen. Der untere Teil und der obere Teil der Hantel sind gleich groß und größer als der mittlere Teil. Die Hantel wird von unten nach oben mit Wasser gefüllt.
    • Du weißt nun, dass die Zylinder oben und unten einen größeren Durchmesser haben, als der Zylinder in der Mitte. Wenn nun Wasser hineingegossen wird, braucht das Wasser länger, also mehr Zeit um den ersten Zylinder gleichmäßig mit Wasser zu füllen. Durch den breiteren Durchmesser des Zylinders, braucht das Wasser mehr Zeit sich waagerecht in alle Richtungen innerhalb des Zylinders zu verteilen.
    • Wenn das Wasser in einem breiteren Zylinder (also mit größerem waagerechten Durchmesser) langsamer ansteigt, braucht das Wasser eine längere Zeit, um die Höhe des Zylinders zu füllen. Der Graph muss daher zunächst flach ansteigen, bis der erste Zylinder gefüllt ist. Im Vergleich braucht ein Zylinder mit kleinerem Durchmesser (wie der mittlere Zylinder der Hantel), weniger Zeit, bis dieser mit Wasser gefüllt ist. Der Graph muss also steiler ansteigen, als in dem ersten Zylinder mit größerem Durchmesser.
    • Wenn du nun den letzten, oberen Zylinder anschaust, stellst du fest, dass dieser genauso groß ist, wie der untere Zylinder. Daher muss der Graph für den letzten Zylinder genauso flach ansteigen, wie für den unteren und ersten Zylinder.
    Schaust du dir nun die Graphen an, suchst du einen Graphen, dessen Linie im ersten Abschnitt flacher ansteigt. Im zweiten Abschnitt steigt sie danach steiler an, bevor sie im letzten Abschnitt wieder flacher werden muss. Graph $2$ beschreibt genau solch einen Verlauf.
    Graph $2$ ist richtig.
    #zylinder
    $\,$
    c)
    $\blacktriangleright$  Laufbandumfang berechnen
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 5: Fehlende Elemente (grün) zur vollständigen Laufband-Umfangberechnung
    Wahlpflichtaufgaben
    Abb. 5: Text
    Formel Kreisumfang:
    $\text{U}= \,2\cdot \pi \,\cdot\, r$
    1. Schritt: Radius berechnen
      Du weißt, dass für den Durchmesser $d\,=\,2\cdot\,r$ gilt. Um auf den Radius zu kommen, muss du den Durchmesser von $7\,\text{cm}$ nun durch $2$ teilen: $r\,=\frac{7}{2}\,\,\text{cm}\,=\,3,5\,\text{cm}$
    2. Schritt: Kreisumfang berechnen
      Mit dem Radius, kannst du nun den Kreisumfang mit der Formel ausrechnen:
      $\text{U}\,=2\,\cdot\,\pi\,\cdot\,3,5\,\,\text{cm}\,\approx 21,99\,\text{cm}$
    3. Schritt: Laufband-Umfang berechnen
      Jetzt kannst du den Umfang des gesamten Laufbands ausrechnen:
      $\begin{array}[t]{rll} 2\cdot\,1,97\,\text{m}&=& 3,94 \,\text{m}&\quad \scriptsize \mid\;\text{Ober- + Unterseite des Laufbands} \\[5pt] 2\cdot\,\frac{1}{2}\cdot\,21,99\,\text{cm}&=& 21,99\,\text{cm}&\quad \scriptsize \mid\;\text{für je einen halben Kreisumfang rechts und links am Laufband} \\[5pt] \end{array}$
      Als nächstes rechnest du beide Ergebnisse zusammen:
      (Achtung - du musst zunächst beide Ergebnisse auf eine Einheit bringen: $3,94 \,\text{m}\,= 394\,\text{cm}$)
      Laufbandumfang: $394 \,\text{cm}\,+\,21,99 \,\text{cm}\,= \,415,99\,\text{cm}$
    4. Schritt: Gesamtstrecke berechnen, die Moritz gelaufen ist:
      Du rechnest hier den Umfang des Laufbands mal die Anzahl der Laufband-Umdrehungen:
      $415,99\,\text{cm}\,\cdot\,2.650\,=\, 1.102.373,5 \,\text{cm}$
      Nun rechnest du die Zentimeter in Kilometer um:
      $1.102.373,5 \,\text{cm}\,\approx\,11,02\,\text{km}$
    Moritz ist in $60$ Minuten auf dem Laufband $11,02\,\text{km}$ gelaufen.
    #kreis
    Bildnachweise [nach oben]
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