Wahlpflichtaufgaben

Aufgabe 1 – Kaffee

Die Werte zeigen den durchschnittlichen Pro-Kopf-Verbrauch in Deutschland im Jahr 2014:

Kaffee: $162\,\text{Liter}$
Wasser: $144\,\text{Liter}$
Bier: $107\,\text{Liter}$

Stelle die drei Werte in einem Säulendiagramm dar.

(2 Pkt.)

Wie viel Liter Kaffee werden mit Kapseln zubereitet?

Kaffeekonsum in Deutschland
162 Liter

hauptschulabschluss mathe 2016 baden-württemberg

(2 Pkt.)

Die Abbildung zeigt eine Verpackung, in der sich 16 Kaffeepads befinden.
16 Kaffeepads haben ein Volumen von $460\,\text{cm}^3.$

Mogelpackung
Eine Verpackung muss mindestens zu $70\,\%$ befüllt sein, ansonsten gilt sie als Mogelpackung.

Handelt es sich hierbei um eine Mogelpackung? Berechne und begründe deine Antwort.

(2 Pkt.)

Aufgabe 2 – Dinosaurier

Das Auto ist genau $4,30\,\text{Meter}$ lang.

Ermittle möglichst genau die wirkliche Spannweite des Flugsauriers.

(2 Pkt.)

Ein Argentinosaurus wog ca. $70\,\text{t}.$ Tim sagt: „Alle 450 Schülerinnen und Schüler unserer Schule wiegen zusammen mehr.“
Hat er recht? Begründe rechnerisch.

(2 Pkt.)

Die Entwicklung der Tierarten ist in Form einer Uhr dargestellt.

Man nimmt an, dass:

die Entwicklung der Tierarten vor $540\,\text{Mio}$ Jahren begann.
es vor $230\,\text{Mio}$ Jahren die ersten Dinosaurier gab.
die Dinosaurier vor $65\,\text{Mio}$ Jahren ausgestorben sind.

Übertrage die Uhr mit einem Radius von $3\,\text{cm}$ .
Zeichne genau den Zeitraum ein, in dem die Dinosaurier gelebt haben.

(2 Pkt.)

Aufgabe 3 – Sticker

In einem Supermarkt erhält man je $15\,€$ Einkaufswert ein Stickerpäckchen.

Wie viele Stickerpäkchen erhält Marie für folgenden Einkauf?

Einkaufsliste
2 Butter
1 Waschmittel
1 Kiste Saft
3 Milch
1 kg Äpfel

Simon fehlen bei seinem Einkauf noch Waren im Wert von mindestens $4,77\,€$ , damit er 3 Stickerpäckchen erhält.
Wie teuer ist sein bisheriger Einkauf?

(2 Pkt.)

Eine Firma möchte auf dem Plakat 150 Sticker in Originalgröße abbilden.

Zeichnungen nicht maßstabsgetreu

Wie viel Prozent der Fläche des Plakates sind mit Stickern bedeckt?

(2 Pkt.)

Sascha kauft 200 Sticker in einer verschlossenen quaderförmigen Box.
Ein Sticker hat die Maße $4,9\,\text{cm}$ x $6,7\,\text{cm}$ und ist $0,2\,\text{mm}$ dick.

Zeichne das Netz der quaderförmigen Box.

(2 Pkt.)

Aufgabe 4 – Fitnessstudio

Wie oft muss Max monatlich mindestens ins Fitnessstudio gehen, damit sich für ihn ein Jahresbeitrag lohnt?

Fitnessstudio

Tageskarte: $13,50\,€$
Jahresbeitrag: $780\,€$

(2 Pkt.)

Das Bild zeigt eine aus drei Zylindern zusammengesetzte Hantel.

Die Hantel wird gleichmäßig mit Wasser befüllt.

Welcher Graph passt zu diesem Vorgang?
Begründe, warum der von dir gewählte Graph zum Füllvorgang passt.

(2 Pkt.)

Moritz läuft 60 Minuten auf dem Laufband. Dabei dreht sich das Laufband 2650 Mal.

Wie viel Kilometer ist Moritz gelaufen?

(2 Pkt.)

Lösung 1

Maßstab: $20\,\text{l}\mathrel{\widehat{=}}1\,\text{cm}$

Daraus folgt:

$162\,\text{l}\mathrel{\widehat{=}}(162:20)\,\text{cm}=8,1\,\text{cm}$
$144\,\text{l}\mathrel{\widehat{=}}(144:20)\,\text{cm}=7,2\,\text{cm}$
$107\,\text{l}\mathrel{\widehat{=}}(107:20)\,\text{cm}\approx5,4\,\text{cm}$

Wie viel Liter Kaffee werden mit Pads/Kapseln zubereitet?

Lösung über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 13$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}&162\,\text{l}\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1,62\,\text{l}\\[5pt] 13\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 21,06\,\text{l} \end{array}$

$:100$

$\cdot 13$

Lösung über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] P&=&\dfrac{162\,\text{l}\cdot 13}{100} \\[5pt] P&=&21,06\,\text{l}\\[5pt] \end{array}$

$21,06\,\text{l}$ Liter Kaffee werden mit Pads/Kapseln zubereitet.
Jetzt kann berechnet werden, wie viel Liter nur mit Kapseln zubereitet werden.

Wie viel Liter Kaffee werden mit Kapseln zubereitet?

Lösung über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 40$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}&21,06\,\text{l}\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 0,2106\,\text{l}\\[5pt] 40\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 8,424\,\text{l} \end{array}$

$:100$

$\cdot 40$

Lösung über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] P&=&\dfrac{21,06\,\text{l}\cdot 40}{100} \\[5pt] P&=&8,424\,\text{l}\\[5pt] \end{array}$

Etwa $8,4\,\text{l}$ Liter Kaffe werden mit Kapseln zubereitet.

Um die Frage zu beantworten, muss das Volumen der Verpackung berechnet werden.

Für das Volumen benötigt man die Grundfläche $A_{\text{gesamt}}$ und die Höhe $h$ des Körpers. Die Höhe ist bereits gegeben mit $h=13\,\text{cm}.$

Flächeninhalt der Grundfläche $A_{\text{gesamt}}$ berechnen

Die Grundfläche setzt sich aus einem Quadrat und einem Dreieck zusammen:

Flächeninhalt des Dreiecks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \dfrac{g\cdot h}{2} \\[5pt] A_D&=& \dfrac{7\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}}{2}\\[5pt] A_D&=&14\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt des Quadrats berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=& a^2 \\[5pt] A_Q&=& (7\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_Q&=& 49\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Daraus ergibt sich für $A_{\text{gesamt}}$ :

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{gesamt}}&=&A_D+A_Q \\[5pt] A_{\text{gesamt}}&=&14\,\text{cm}^2+49\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_{\text{gesamt}}&=&63\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Volumen der Verpackung berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&A_{\text{gesamt}}\cdot h \\[5pt] V&=&63\,\text{cm}^2\cdot 13\,\text{cm} \\[5pt] V&=&819\,\text{cm}^3 \end{array}$

70 % des Volumens berechnen

Lösung über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 70$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}&819\,\text{cm}^3\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}&8,19\,\text{cm}^3\\[5pt] 70\,\% & \mathrel{\widehat{=}}&573,3\,\text{cm}^3\\[5pt] \end{array}$

$:100$

$\cdot 70$

Lösung über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] P&=&\dfrac{819\,\text{cm}^3\cdot 70}{100} \\[5pt] P&=&573,3\,\text{cm}^3\\[5pt] \end{array}$

Es handelt sich um eine Mogelpackung, da nur $460\,\text{cm}^3$ Kaffee enthalten ist. Es müssten aber mindestens $573,3\,\text{cm}^3$ enthalten sein.

Lösung 2

Maße des Autos in der Zeichnung: $5,1\,\text{cm}$
Maße der Spannweite in der Zeichnung: $12,7\,\text{cm}$

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Mit diesen Angaben kann mithilfe des Dreisatzes die wirkliche Spannweite ermittelt werden:

$:5,1$

$\cdot 12,7$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 5,1\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 4,3\,\text{m}\\[5pt] 1\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{4,3}{5,1}\,\text{m}\\[5pt] 12,7\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{4,3}{5,1} \cdot 12,7\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$

$:5,1$

$\cdot 12,7$

$\dfrac{4,3}{5,1} \cdot 12,7\,\text{m}\approx10,7\,\text{m}$

Die wirkliche Spannweite des Flugsauriers beträgt etwa $10,7\,\text{m}.$

Wenn Tims Aussage stimmt, dann beträgt das durchschnittliche Gewicht eines Schülers: $70\,\text{t}:450=70\,000\,\text{kg}:450\approx 155,6\,\text{kg}.$

Da das nicht möglich ist, hat Tim nicht recht.

Um die Uhr zu zeichnen, werden die Mittelpunktswinkel benötigt:

Mittelpunktswinkel für das Segment „Zeit, in der die Dinosaurier lebten“

$:540$

$\cdot 230$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 540\,\text{Mio. Jahre} & \mathrel{\widehat{=}}& 360^{\circ} \\[5pt] 1\,\text{Mio. Jahre} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{360}{540}^{\circ} \\[5pt] 230\,\text{Mio. Jahre} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{360}{540}\cdot 230^{\circ} \end{array}$

$:540$

$\cdot 230$

$\dfrac{360}{540}\cdot 230^{\circ}\approx 153^{\circ}$

Mittelpunktswinkel für das Segment „Zeit nach den Dinosauriern“

$:540$

$\cdot 65$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 540\,\text{Mio. Jahre} & \mathrel{\widehat{=}}& 360^{\circ} \\[5pt] 1\,\text{Mio. Jahre} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{360}{540}^{\circ} \\[5pt] 65\,\text{Mio. Jahre} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{360}{540}\cdot 65^{\circ} \end{array}$

$:540$

$\cdot 65$

$\dfrac{360}{540}\cdot 65^{\circ}\approx 43^{\circ}$

Uhr zeichnen

Beachte beim Zeichnen den Radius $r=3\,\text{cm}.$

Lösung 3

Wie viele Stickerpäckchen erhält Marie für folgenden Einkauf?

Hierfür müssen die Gesamtkosten des Einkaufs berechnet werden:

		$1$	,	$0$	$9$
		$1$	,	$0$	$9$
	$1$	$2$	,	$2$	$9$
	$1$	$0$	,	$9$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
$+$		$2$	,	$9$	$9$

	$3$	$2$	,	$9$	$2$

Marie erhält 2 Stickerpäckchen für ihren Einkauf.

Wie teuer ist Simons bisheriger Einkauf?

Damit Simon 3 Stickerpäckchen bekommt, braucht er einen Einkaufswert von $3\cdot 15\,€=45\,€.$

Also beträgt Simons bisheriger Einkauf: $45\,€-4,77\,€=\boldsymbol{40,23\,€}.$

Fläche des Plakats berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_P&=&a\cdot b \\[5pt] A_P&=&100\,\text{cm}\cdot 70\,\text{cm} \\[5pt] A_P&=&7\,000\,\text{cm}^2 \end{array}$

Fläche eines Stickers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&a\cdot b \\[5pt] A_S&=&4,9\,\text{cm}\cdot 6,7\,\text{cm} \\[5pt] A_S&=&32,83\,\text{cm}^2 \end{array}$

Fläche aller Sticker berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_\text{Gesamt}&=&150\cdot A_S \\[5pt] A_\text{Gesamt}&=&150\cdot 32,83\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_\text{Gesamt}&=&4\,924,5\,\text{cm}^2 \end{array}$

Prozentsatz berechnen

Lösung über den Dreisatz

Dreisatz anzeigen

$\dfrac{100}{7\,000}\cdot 4\,924,5\,\%=\boldsymbol{70,35\,\%}$

Lösung über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} p\,\% &=&\dfrac{P\cdot 100}{G}\,\% & \\[5pt] p\,\% &=&\dfrac{4\,924,5\cdot 100}{7\,000}\,\% & \\[5pt] p\,\% &=& \boldsymbol{70,35\,\%} \end{array}$

Das Plakat wäre zu $70,35\,\%$ mit Stickern bedeckt.

Höhe der 200 Sticker: $200\cdot 0,2\,\text{mm}=40\,\text{mm}=4\,\text{cm}$

Damit ergibt sich folgendes Netz:

Lösung 4

Der Jahresbeitrag kostet pro Monat $780\,€:12=65\,€$

$65\,€:13,50\,€\approx4,8$

Max müsste mindestens 5-mal monatlich ins Fitnessstudio gehen, damit sich für ihn ein Jahresbeitrag lohnt.

Welcher Graph passt zu diesem Vorgang?

Graph 2

Begründung

Im ersten und letzten Abschnitt der Hantel steigt das Wasser gleich schnell. Die dazugehörigen Teilgraphen müssen dort also gleich steil verlaufen.
Im mittleren Abschnitt der Hantel steigt das Wasser schneller, da die Hantel hier schmaler ist. Der mittlere Teilgraph muss somit steiler sein.
Beides trifft auf Graph 2 zu.

Bei Graph 1 steigt das Wasser bei allen Teilgraphen gleich schnell. Die Hantel müsste also in allen Abschnitten die gleiche Form haben.
Bei Graph 3 steigt das Wasser von Abschnitt zu Abschnitt immer schneller. Die Hantel müsste also von unten nach oben immer schmäler werden.

Die Strecke, die Moritz bei einer Drehung des Laufbands zurücklegt, setzt sich zusammen aus der Länge oben, Länge unten und den beiden Halbkreisen links und rechts (= ein ganzer Kreis).

Die beiden Halbkreise entsprechen dem Umfang eines Kreises:
$\begin{array}[t]{rll} u&=&\pi\cdot d \\[5pt] u&=&\pi\cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] u&\approx&22\,\text{cm} \\[5pt] u&=&0,22\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$

Streckenlänge bei einer Drehung des Laufbands: $2\cdot 1,97\,\text{m}+0,22\,\text{m}=4,16\,\text{m}$

Streckenlänge bei 2650 Drehungen des Laufbands: $2\,650\cdot 4,16\,\text{m}=11\,024\,\text{m}=11,024\,\text{km}$

Moritz ist etwa $11,024\,\text{km}$ gelaufen.

		$1$	,	$0$	$9$
		$1$	,	$0$	$9$
	$1$	$2$	,	$2$	$9$
	$1$	$0$	,	$9$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
$+$		$2$	,	$9$	$9$

	$3$	$2$	,	$9$	$2$

		$1$	,	$0$	$9$
		$1$	,	$0$	$9$
	$1$	$2$	,	$2$	$9$
	$1$	$0$	,	$9$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
$+$		$2$	,	$9$	$9$

	$3$	$2$	,	$9$	$2$

		$1$	,	$0$	$9$
		$1$	,	$0$	$9$
	$1$	$2$	,	$2$	$9$
	$1$	$0$	,	$9$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
		$1$	,	$4$	$9$
$+$		$2$	,	$9$	$9$

	$3$	$2$	,	$9$	$2$