Wahlteil B

Aufgabe 1

Ein zylinderförmiger Wasserbehälter ist zu $95\,\%$ mit Wasser gefüllt.

hauptschulabschluss mathe 2020 baden-württemberg

Zeichnung nicht maßstabsgetreu

Wie viele $\text{cm}^3$ Wasser befinden sich in dem Behälter?

(3 Pkt.)

Ein quaderförmiger Behälter soll das Volumen von $210\,\text{Liter}$ haben.

Gib eine Möglichkeit für die Maße des Behälters an.
Bedingung: Kein Maß darf kleiner als $20\,\text{cm}$ sein.

(2 Pkt.)

Aufgabe 2

Zeichne das Dreieck mit den Maßen $c=6\,\text{cm}$ , $b=6\,\text{cm}$ und $\alpha=80^{\circ}.$
Ermittle die Winkelgrößen $\beta$ und $\gamma.$

(2 Pkt.)

Berechne den Flächeninhalt deines gezeichneten Dreiecks.
Entnimm die nötigen Maße deiner Zeichnung.

Zeichne ein Dreieck mit dem gleichen Flächeninhalt, bei dem die Seite $c=10\,\text{cm}$ lang ist.

(3 Pkt.)

Aufgabe 3

Die Klassen 9a und 10b planen jeweils einen Ausflug.
Jede Klasse benötigt dazu einen Kleintransporter.
Im Internet finden sie folgende Angebote:

Firma Schnell

Grundpreis: $90\,€$
Preis pro gefahrenem Kilometer: $25\,\text{Cent}$

Firma Flott

Kein Grundpreis
Preis pro gefahrenem Kilometer: $0,70\,€$

Firma Eilig

Preis: $180\,€$

Ordne die drei Angebote den entsprechenden Graphen zu.
Ordne die drei Angebote den entsprechenden Wertetabellen zu.

Wertetabelle A

Strecke (km)	$100$	$200$	$300$
Preis (€)	$180$	$180$	$180$

Wertetabelle B

Strecke (km)	$100$	$200$	$300$
Preis (€)	$70$	$140$	$210$

Wertetabelle C

Strecke (km)	$100$	$200$	$300$
Preis (€)	$115$	$140$	$165$

(2 Pkt.)

Die Klasse 9a wird bei ihrem Ausflug voraussichtlich $230\,\text{km}$ zurücklegen.
Welches Angebot ist am günstigsten? Begründe deine Entscheidung.

Die Klasse 10b möchte nicht mehr als $80\,\text{€}$ für den Kleintransporter ausgeben.
Welche Strecke können sie maximal zurücklegen? Begründe rechnerisch.

(3 Pkt.)

Lösung 1

Gesamtes Volumen des Zylinders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] V&=&\pi\cdot(35\,\text{cm})^2\cdot50\,\text{cm} \\[5pt] V&\approx&192\,422,55\,\text{cm}^3 \end{array}$

95 % des Volumen berechnen

Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 95$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 192\,422,55\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{192\,422,55}{100} \\[5pt] 95\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{192\,422,55}{100}\cdot 95 \end{array}$

$:100$

$\cdot 95$

$\dfrac{192\,422,55\,\text{cm}^3}{100}\cdot 95\approx 182\,801\,\text{cm}^3$

Lösungsweg über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] P&=& \dfrac{192\,422,55\,\text{cm}^3\cdot95}{100} \\[5pt] P&\approx&182\,801\,\text{cm}^3 \end{array}$

Es befinden sich $182\,801\,\text{cm}^3$ Wasser im Behälter.

Überlegungen:

Formel zur Berechnung des Volumen in einem Quader: $V=a\cdot b\cdot c$
Es werden also drei Zahlen gesucht, die miteinander multipliziert $210\,\text{l}$ ergeben.
$210\,\text{l}$ umgerechnet: $210\,\text{l}=210\,\text{dm}^3$
Kein Maß darf kleiner als $20\,\text{cm}=2\,\text{dm}$ sein.

Durch Ausprobieren erhält man zum Beispiel: $5\,\text{dm}\cdot6\,\text{dm}\cdot 7\,\text{dm}=210\,\text{dm}^3$

Eine mögliche Lösung: $a=5\,\text{dm}; b=6\,\text{dm}; c=7\,\text{dm}$

Lösung 2

Dreieck zeichnen

Konstruktionsschritte

Seite $c=6\,\text{cm}$ zeichnen.
Winkel $\alpha=80^{\circ}$ in $A$ einzeichnen.
Länge der Seite $b=6\,\text{cm}$ abmessen und $C$ einzeichnen.

Fehlende Winkelgrößen ermitteln

Da das Dreieck gleichschenklig ist, müssen die Winkel $\beta$ und $\gamma$ gleich groß sein: $\beta=\gamma=(180^{\circ}-80^{\circ}):2=50^{\circ}$

Alternativ können die Winkelgrößen auch in der Zeichnung abgemessen werden.

Flächeninhalt des gezeichneten Dreiecks berechnen

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, werden die Länge einer Seite und die dazugehörige Höhe benötigt.

Die Länge der Seite $c$ ist bereits gegeben: $c=6\,\text{cm}.$
Die Höhe $h$ erhält man durch Abmessen: $h=5,8\,\text{cm}.$

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Damit lässt sich nun der Flächeninhalt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{c\cdot h}{2} \\[5pt] A&=&\dfrac{6\,\text{cm}\cdot 5,8\,\text{cm}}{2} \\[5pt] A&=&17,4\,\text{cm}^2 \end{array}$

Weiteres Dreieck zeichnen

Um das Dreieck zeichnen zu können, wird die Höhe benötigt. Diese erhält man durch Umstellung der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{c\cdot h}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot2 \\[5pt] 2\cdot A&=&c\cdot h&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] \dfrac{2\cdot A}{c}&=&h \ \\[5pt] h&=&\dfrac{2\cdot A}{c} \ \\[5pt] h&=& \dfrac{2\cdot 17,4\,\text{cm}^2}{10\,\text{cm}} \\[5pt] h&=&3,48\,\text{cm}\approx3,5\,\text{cm} \end{array}$

Mit der Seitenlänge $c=10\,\text{cm}$ und der Höhe $h=3,5\,\text{cm}$ kann das Dreieck gezeichnet werden.

Eine mögliche Lösung:

Die Höhe $h$ kann an einer beliebigen Stelle eingezeichnet werden.

Lösung 3

Angebote den Graphen zuordnen

Firma Schnell: Graph 2
Firma Flott: Graph 3
Firma Eilig: Graph 1

Angebote den Wertetabellen zuordnen

Firma Schnell: Wertetabelle C
Firma Flott: Wertetabelle B
Firma Eilig: Wertetabelle A

Welches Angebot ist am günstigsten?

Firma Schnell bietet das günstigste Angebot an, da der dazugehörige Graph 2 bei $230\,\text{km}$ am niedrigsten ist.

Welche Strecke können sie maximal zurücklegen?

Da Firma Schnell bei $90\,€$ und Firma Eilig bereits bei $180\,€$ starten, kommt für die Klasse 10b nur das Angebot der Firma Flott in Frage.
Mit dieser Info kann ausgerechnet werden, wie viele Kilometer gefahren werden können: $80\,€:0,70\dfrac{€}{\text{km}}\approx 114\,\text{km}$

Die Klasse 10b kann maximal $114\,\text{km}$ zurücklegen.